geometría.pdf

cur

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matem

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atica

´

GEOMETR

GEOMETR´

´IA EUCLIDEANA

IA EUCLIDEANA

Equipo de Dise˜

Equipo de Dise˜

no:

no:

Nahomy Jhopselyn Hern´ 

Nahomy Jhopselyn Hern´ 

andez Cruz 

andez Cruz 

Gabriel Alexander Chicas Reyes 

Gabriel Alexander Chicas Reyes 

Eduardo Arnoldo Aguilar Ca˜ 

Eduardo Arnoldo Aguilar Ca˜ 

nas 

nas 

H´

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Enmanuel

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Alberti Arroyo

Arroyo

Ernesto

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erico Hidalgo

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Castellanos 

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Jua

Juan

n Agust´

Agust´ın

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Cuadra 

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Claudia Patricia Corcio L´ 

Claudia Patricia Corcio L´ 

opez de Beltr´ 

opez de Beltr´ 

an 

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Carlos Mauricio Canjura Linares 

Carlos Mauricio Canjura Linares 

Oscar Armando Hern´ 

Oscar Armando Hern´ 

andez Morales 

andez Morales 

Aar´ 

Aar´ 

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on Erne

Ernesto

sto Ram

Ram´

´ırez

ırez Flores 

Flores 

5 de abril de 2010

5 de abril de 2010

´

´Indice

Indice

1.

1. ´AAn´ngguulloos s eennttrre e ppaarraalleellaass. . 22 2

2. . TTrrii´´aanngguullooss: : TTeeoorreemmaas s FFuunnddaammeennttaalleess. . 77 3.

3. CongrCongruenciuencia de a de TTri´ri´aanngguullooss.. 1166 4.

4. CuadrCuadril´il´ateros: Clasificaci´ateros: Clasificaci´oon n y y PPrrooppiieeddaaddeess. . 2244 5.

5. ´AAn´ngguulloos s een n lla a CCiirrccuunnffeerreenncciiaa. . 3300 6

6. . TTeeoorerema ma de de ThThalalees s y y su su rrecec´´ııprprococo. o. SeSemmeejajanznza a de de TTriri´anga´ngululoos. s. 4466 7

7. . PPuunnttoos s y y RReeccttaas s NNoottaabbllees s ddeel l TTrrii´´aanngguulloo. . 5588 8.

1.

1.

Angulos entre paralelas.

Angulos entre paralelas.

´

´

´

´

ANGULOS

ANGULOS

Definimos como ´

Definimos como ´angulo angulo a a la la figura figura geom´geom´etrica formada etrica formada por por dos dos rayos (o rayos (o semirrectas) distintassemirrectas) distintas que tienen el mismo origen. Ese origen se llama

que tienen el mismo origen. Ese origen se llama  v´  v´erertitice ce dedel l ´ anguloangulo´  . Al ´ang. Al ´angulo ulo de de v´v´ertierticece OO yy rayos

rayos OAOA yy OBOB se le denota se le denota ∠∠_AOBAOB.. Dos ´

Dos ´angulosangulos ∠∠_{AOBAOB yy} ∠∠_{BOC BOC sonson adyacentes  adyacentes  si  si y s´y s´olo olo si si tienen un tienen un lado lado com´com´unun O OBB y los lados y los lados} no comunes

no comunes O OAA y y O OC C   est´  est´an en semiplanos distintos, determinados por el lado com´an en semiplanos distintos, determinados por el lado com´un.un.

Bisectriz 

Bisectriz  de un ´angulo es la semirrecta que lo “divide” en dos ´ de un ´angulo es la semirrecta que lo “divide” en dos ´angulos adyacentes iguales.angulos adyacentes iguales. Dos ´

Dos ´angulos son:angulos son:

Congruentes o Iguales 

Congruentes o Iguales : si tienen igual medida.: si tienen igual medida.

Suplementarios 

Suplementarios : si su suma es 180: si su suma es 180 ..

Complementarios 

Complementarios : si su suma es 90: si su suma es 90  . .

Por otra parte, dos rectas en el plano pueden ser

Por otra parte, dos rectas en el plano pueden ser secantes  secantes oo paralelas  paralelas ,,11 _{dependiendo si se cortandependiendo si se cortan}

o no; adem´

o no; adem´as, si las rectas son secantes, el punto de corte es ´as, si las rectas son secantes, el punto de corte es ´unico, y definen cuatro ´unico, y definen cuatro ´angulos,angulos, que se agrupan por parejas en ´

que se agrupan por parejas en ´angulosangulos opue opuestostos s por por el el v´v´ertertice ice  (las parejas de ´ (las parejas de ´angulos tales queangulos tales que uno est´

uno est´a formado por la prolongaci´a formado por la prolongaci´on de los lados del otro).on de los lados del otro). Los ´

Los ´angulos opuestos angulos opuestos por por el v´el v´ertice son ertice son iguales (Justifique), piguales (Justifique), p or lo or lo que dos que dos rectas secantes for-rectas secantes for-man cuatro ´

man cuatro ´angulos que definen dos parejas de ´angulos que definen dos parejas de ´angulos iguales, y si tomamos un miembro deangulos iguales, y si tomamos un miembro de cada pareja, se tienen dos ´

cada pareja, se tienen dos ´angulos suplementarios. En particular, si las rectas son secantes yangulos suplementarios. En particular, si las rectas son secantes y forman cuatro ´

forman cuatro ´angulos iguales, ser´angulos iguales, ser´an llamadasan llamadas  rectas perpendiculares   rectas perpendiculares ,,22 _{y los ´y los ´anganguloulos s asas´´ı ı gengene-}

e-rados son llamados

rados son llamados ´ ´ angulos rectos angulos rectos . Y como es muy conocido, un. Y como es muy conocido, un ´ ´ angulo agudoangulo agudo es aquel cuya es aquel cuya medida es

medida es menor menor a la de un ´ a la de un ´angulo recto, y unangulo recto, y un angulo obtuso´ ´ angulo obtuso es aquel cuya medida es es aquel cuya medida es mayor mayor que un ´

que un ´angulo recto; en particular, un ´angulo recto; en particular, un ´angulo obtuso ser´angulo obtuso ser´a llamadoa llamado ´ ´ angulo llanoangulo llano si su medida es si su medida es el

el doble doble que la de un ´ que la de un ´angulo recto.angulo recto.

´

´

ANGULOS ENTRE PARALELAS

ANGULOS ENTRE PARALELAS

Al intersecar un par de rectas paralelas por una recta llamada

Al intersecar un par de rectas paralelas por una recta llamada transversal  transversal oo secante  secante , se forman, se forman los siguientes tipos de ´

los siguientes tipos de ´angulo:angulo:

´  ´ 

Angulos Correspondientes 

Angulos Correspondientes : Son dos ´: Son dos ´angulos no adyacentes situados en el mismo lado deangulos no adyacentes situados en el mismo lado de la secante, uno en el interior y otro en el exterior de las paralelas.

la secante, uno en el interior y otro en el exterior de las paralelas.

´  ´ 

Angulos Alternos Internos 

Angulos Alternos Internos : Son dos ´: Son dos ´angulos no adyacentes situados en el interior de lasangulos no adyacentes situados en el interior de las paralelas, y en distintos lado de la secante.

paralelas, y en distintos lado de la secante.

1 1

Si la recta

Si la recta AB AB es paralela a la recta es paralela a la recta C C DD, se denota, se denota AB AB

 _

 _

CDCD..

2 2

Si la recta

Si la recta AB AB es perpendicular a la recta es perpendicular a la recta C C DD, se denota, se denota AB AB

 _⊥

 _⊥

CDCD..

     

´  ´ 

Angulos Alternos Externos 

Angulos Alternos Externos : Son dos ´: Son dos ´angulos no adyacentes situados en el exterior de lasangulos no adyacentes situados en el exterior de las paralelas, y en distintos lado de la secante.

paralelas, y en distintos lado de la secante.

´  ´ 

Angulos Conjugados 

Angulos Conjugados : Son los ´: Son los ´angulos no adyacentes situados uno en el interior y el otroangulos no adyacentes situados uno en el interior y el otro en el exterior de las rectas paralelas y del mismo lado de la secante.

en el exterior de las rectas paralelas y del mismo lado de la secante. Las propiedades fundamentales de los ´

Las propiedades fundamentales de los ´anguloangulos s ententre re paraleparalelas las son:son: 1. Los ´

1. Los ´anguloangulos cos corresporrespondientes ndientes son son iguales iguales entre sentre s´´ı.ı. 2. Los ´

2. Los ´angulos angulos alternos alternos internos internos son son iguales iguales entre s´entre s´ı.ı. 3. Los ´

3. Los ´angulos angulos alternos alternos externos externos son son iguales iguales entre sentre s´´ı.ı. 4. Los ´

4. Los ´angulos conjugados son suplementarios.angulos conjugados son suplementarios.

Figura 1:

Figura 1: ´´AnguloAngulos s ententre re las las rectrectas as paraleparalelaslas LL11 yy LL22..

Ejercicios

Ejercicios

1. Tres ´

1. Tres ´angulos adyacentes forman un semiplano y tienen sus medidas proporcionales a losangulos adyacentes forman un semiplano y tienen sus medidas proporcionales a los n´

n´umeros 5, 7 y 8. Hallar la medida del menor ´umeros 5, 7 y 8. Hallar la medida del menor ´angulo.angulo. 2.

2. Demostrar que Demostrar que las bisectrices las bisectrices de dos de dos ´´angulos suplementarios son angulos suplementarios son perpendiculares.perpendiculares.

3. En la figura adjunta,

3. En la figura adjunta, LL11



LL22 yy

L

4. Con ayuda de la figura 2, demuestre que: Si L1

 

L2 entonces γ = α+β .

Figura 2

5. En la figura 3, AB

 _

F G. Hallar el ´angulo x si el ∠_{AM F = 90 y el} ∠_{M AB = 110 .}

Figura 3

6. Calcular el ∠_{OP Q, si OP  es bisectriz del ´angulo O, L1}

 _

_{L2 y P Q}

_⊥

_{L1. Ver figura 4.}

Figura 4

7. En la figura 5, L1

 

L2 y L3

 

L4, calcular α.

Figura 5 8. En la figura 6, calcular x, si L1

 

L2.

Figura 6

9. Calcular la medida θ del gr´afico anexo, si las rectas L1 y L2 son paralelas.

10. En la figura 7, L1

 

L2 y L3

 

L4. Hallar el valor del ´angulo θ.

Figura 7 11. Sea ∠_{AOB = 24}

medida del ´angulo formado por las bisectrices de los ´angulos AOC y BOC . 12. Del gr´afico 8, calcular y, cuando x tome su m´aximo valor entero.

Figura 8

2. Tri´

angulos: Teoremas Fundamentales.

TEOREMAS FUNDAMENTALES EN TODO TRI ´

ANGULO.

Diremos que tres puntos que pertenecen a una misma recta son puntos colineales ; de manera an´aloga, si tres rectas pasan por un mismo punto, ser´an llamadas rectas concurrentes . Si toma-mos “al azar” tres puntos en el plano, en muy raras ocasiones estos puntos estar´an alineados,3

y diremos entonces que son los v´ertices de un tri´angulo; an´alogamente sucede con las rectas, tres rectas por lo general no concurren, y la figura geom´etrica que ´estas definen es tambi´en un tri´angulo.4 _{Una definici´on completa para nuestros intereses es la siguiente:}

Definici´on de Tri´angulo. Si A, B y C  son tres puntos cualesquiera no colineales (Ver figura 9), entonces la reuni´on se los segmentos AB, BC  y AC  se llama tri´angulo ABC  y se denota por

_

ABC . Los puntos A, B y C  se llaman v´ertices  y los segmentos AB, B C y AC  se llaman

lados . Simb´olicamente:

_

ABC = AB

_∪

BC 

_∪

AC . Todo tri´angulo ABC  determina tres ´ angulos  internos o interiores : ∠_ABC , ∠_{ACB y} ∠_{BAC , y se llamar´a ´ angulo externo o  exterior , al} ´angulo determinado por un lado y la prolongaci´on del lado adyacente, en la figura 9, α, β y θ

son ´angulos exteriores.

Figura 9: Elementos del Tri´angulo

Dado el

 _

ABC , se tiene que AB + BC  + CA = p = 2s, donde p es llamado el per´ımetro y s

el semiper´ımetro del tri´angulo. Para abreviar, suele asociarse a cada v´ertice un lado opuesto, y viceversa, por ejemplo, el lado opuesto de A es BC , y es frecuente que se denote por a; an´alogamente b = C A, c = AB.

Teorema 1:   En todo tri´angulo, la medida de un ´angulo exterior es igual a la suma de las medidas de dos ´angulos interiores del tri´angulo no adyacentes a ´el.

La demostraci´on de este teorema se basa en las relaciones de ´angulos entre paralelas; se deja al lector que haga la demostraci´on (Sugerencia: por un v´ertice, trace una recta paralela al lado

3

En teor´ıa de probabilidades, ¡la probabilidad que esto ocurra es cero!

4

El t´ermino m´as riguroso para esta figura es tril´ atero. En este caso, habr´ıa que hacer una consideraci´on: si hay un par de rectas paralelas, el tril´atero definido ya no es “normal” seg´un nuestro sentido com´un, sin embargo, ¡sigue siendo un tril´atero!

opuesto)

Corolario:  En todo tri´angulo, la suma de las medidas de sus tres ´angulos internos es igual a 180 .

Teorema 2: Desigualdad Triangular.  En todo tri´angulo, la longitud de uno de sus lados est´a comprendido entre la suma y la diferencia de los otros dos.

Sin ser muy rigurosos, suponga que dado el segmento AB se traza con centro en A una cir-cunferencia de radio r1, y con centro en B una circunferencia de radio r2; si  AB < r1 + r2,

las circunferencias se cortar´an en dos puntos, y cualquiera de ellos puede ser el v´ertice C , as´ı AB < BC  + CA; en cambio, si AB = r1 + r2 o peor a´un, si AB > r1 + r2, la construcci´on

del

 _

ABC  no es posible.

La Desigualdad Triangular es un resultado fundamental, a partir de ´esta y de su modelo de demostraci´on se generan los  Criterios de Congruencia de Tri´ angulos ; a groso modo, si dadas ciertas condiciones, la construcci´on de una figura geom´etrica (un tri´angulo en particular) queda determinada de manera ´unica, entonces dos figuras que reunen las mismas condiciones ser´an llamadas figuras congruentes .

As´ı, si se tienen tres segmentos (cuyas longitudes cumplen la desigualdad triangular), dejando uno fijo y construyendo las circunferencias con centros en los extremos de este segmento y radios las longitudes de los otros segmentos, por construcci´on, s´olo ser´a posible obtener dos tri´angulos (uno con cada punto de intersecci´on de las circunferencias), que son b´asicamente el mismo pero la orientaci´on de los ´angulos es contraria; as´ı, si se sabe que dos tri´angulos cumplen tener lados respectivamente iguales, por construcci´on, deben de ser iguales. Este es el conocido criterio LLL de congruencia de tri´angulos; m´as adelante se detallar´an el resto de criterios, pero a partir de este probaremos el siguiente resultado:

Teorema 3:  En todo tri´angulo, se cumple que a lados iguales se oponen ´angulos iguales, y viceversa.

Suponga que

 _

ABC  es tal que AB = AC , entonces, por criterio LLL,

 _

ABC  es congruente al

 _

ACB (en ese orden, porque AB = AC , BC  = CB y CA = BA), entonces, los ´angulos que se oponen a los ´angulos iguales son iguales. Para el rec´ıproco necesitamos otro criterio de congruencia, por lo que la demostraci´on se dejar´a incompleta; retome esto en la secci´on de congruencia de tri´angulos.

Teorema 4: En todo tri´angulo se cumple que a mayor lado se opone mayor ´angulo y viceversa. Este teorema se deja como ejercicio para el lector (Sugerencia: utilice el teorema anterior, tome el lado mayor y defina un punto adecuado que genere un tri´angulo con dos lados iguales.)

CLASIFICACI ´

ON DE TRI ´

ANGULOS.

1. Con relaci´on a sus lados:

a )  Escaleno: si sus tres lados no son congruentes.

b) Is´ osceles : si por lo menos dos de sus lados son congruentes.

c )  Equil´ atero: si sus tres lados son congruentes (note un tri´angulo equil´atero es tambi´en is´osceles, y que los tres ´angulos internos son iguales entre s´ı e iguales a 60)

2. Con relaci´on a sus ´angulos internos:

a )  Acut´ angulo: si su ´angulo mayor es agudo (note que entonces los tres ´angulos son agudos)

b)  Rect´ angulo: si su ´angulo mayor es ´angulo recto (note que el ´angulo en cuesti´on es ´unico y que los otros dos ´angulos son agudos; as´ı, en un tri´angulo rect´angulo, la hipotenusa es mayor a los catetos)

c ) Obtus´angulo, si el ´angulo mayor es ´angulo obtuso (note que el ´angulo en cuesti´on es ´unico y que los otros son agudos; as´ı, en un tri´angulo obtus´angulo, el lado que se opone al ´angulo obtuso es el lado mayor)

L´INEAS NOTABLES EN UN TRI ´

ANGULO.

1.  Altura: Se llama altura de un tri´angulo al segmento que parte de uno de sus v´ertices y llega en forma perpendicular al lado opuesto o a su prolongaci´on.

2.  Mediana: Se llama Mediana al segmento que une un v´ertice con el punto medio del lado opuesto.

3.  Mediatriz: Se denomina mediatriz de un lado de un tri´angulo es la recta perpendicular a dicho lado en su punto medio.

4. Una Bisectriz: La bisectriz es la recta que “divide” en dos ´angulos iguales a un ´angulo dado; en particular, es  bisectriz interna   si es la bisectriz de un ´angulo interno de un tri´angulo, y bisectriz externa  si es la bisectriz de un ´angulo externo de un tri´angulo.

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

En la figura 10, sea P  un punto exterior a una recta L, la longitud de la perpendicular P M a la recta L es la distancia del punto P   a dicha recta . Esta perpendicular tiene la propiedad de ser ´unica y su longitud es la distancia m´ınima del punto a la recta (Pru´ebelo utilizano el hecho que la hipotenusa es mayor que los catetos).

Los segmentos P A y P B no son perpendiculares a L y se llaman oblicuas.

TEOREMA DE PIT ´

AGORAS.

Abordamos el estudio de las  Relaciones M´etricas , del cual solo realizaremos el an´alisis del fa-moso Teorema de Pit´ agoras , cuyo enunciado es el siguiente:

Teorema: Pit´agoras. En un tri´angulo rect´angulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Figura 10

Una demostraci´on de este teorema es debida a Thabit ibn Qurra  (836-901), la cual consiste en diseccionar la figura que se forma al construir dos cuadrados de lados respectivamente iguales a los catetos de un tri´angulo rect´angulo, como se muestra en el gr´afico 11.

Figura 11

Rec´ıproco del teorema de Pit´agoras: Si en un tri´angulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, el tri´angulo es rect´angulo.5

Ejercicios.

1. En la figura adjunta ambos tri´angulos son equil´ateros. Encuentre el valor de ϕ.

5

2. En la figura 12, calcular el ∠_{x si el} ∠_{AOB = 100 y L1}

 _

_L2.

Figura 12

3. (*) En la figura 13, ABDE  es un cuadrado y BC D es un tri´angulo is´osceles con BD =

DC . Si ∠_{ABC  = 160} ∠_AEC .

Figura 13

4. (*) (XV Competencia de Clubes Cabri Primera Ronda) En la figura adjunta, ABCD es un rect´angulo tal que AB = 2BC . M  es el punto medio de AB y los tri´angulos AME y M BF  son equil´ateros. Si P 

es la intersecci´on de las rectas DE y C F , encuentre los ´angulos del



CDP .

5. Si AB y F G son rectas paralelas, el ∠_ABC = ∠_{CDE  = θ, el} ∠_DEF = θ

2 y el ∠GF H =

150 . Calcule θ. Figura 14

6. Probar que una bisectriz exterior de un tri´angulo es paralela al lado opuesto si y s´olo si el tri´angulo es is´osceles.

 

  , determinar la medida de

Figura 14

7. (*) Hallar la suma de los ´angulos α++θ + φ en la figura 15.

Figura 15

8. Determine el valor de la suma ∠_{A +}∠_B + ∠_I  + ∠_H  + ∠_F +∠_{G. Figura 16.}

9. En el

 _

ABC  el ∠_{BAC  = 36 y AC = AB. Probar que la bisectriz interior BD, D en}

AC , es congruente con el lado B C .

10. Sea ABC   un tri´angulo rect´angulo en B con AB = BC , se construye exteriormente el tri´angulo equil´atero B CD. Encuentre el ´angulo ∠_DAB.

11. En el

 _

ABC , AB = AC  y D un punto sobre la recta AC , tal que BC  = BD = DA. Determine la medida del ´angulo ∠_{ABD, si:}

a ) D est´a entre A y C .

b) A est´a entre D y C .

12. En un

_

ABC , D es un punto sobre el lado AC  tal que AB = AD. Si ∠_ABC 

₋

∠_{ACB =} 90 ∠_CBD.

13. En la figura 17, el ∠_ABC = ∠_{ACE , DC = EC , ¿Qu´e l´ınea notable es AD del}

 _

_{BC A?}

Figura 17

14. Se tiene un tri´angulo is´osceles ABC , AB = BC  en el cual se traza al altura AF  tal que

BF  = 6 y F C  = 2. Hallar AC .

15. ¿Cu´al es el valor de b

₋

a en la figura 18?

Figura 18

 

16. La hipotenusa BC  de un tri´angulo rect´angulo ABC  se divide en 4 segmentos congruentes por los puntosG,E  yH . Si BC  = 20, encuentra la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos AG, AE  y AH . Figura 19.

Figura 19

17. (*) Dado un cuadrado  ABCD, se construyen los tri´angulos equil´ateros ABP   (exterior-mente) y ADQ (interiormente). Probar que C , P  y Q est´an alineados.

18. (*) Sea ABC  un tri´angulo rect´angulo con ∠_{CAB = 90 . D es un punto sobre la} prolon-gaci´on de BC  tal que BD = B A. E  es un punto en el mismo semiplano que A respecto de B C , tal que CE 

 _⊥

BC  y adem´as CE  = C A. Mostrar que A, D y E  est´an alineados. 19. El cuadril´atero  ABCD mostrado en la figura 20 cumple que AB

 _

CD y BC 

_

DA.6

Sobre las prolongaciones de AB y AD se construyen puntos E y F  tales que BC = B E 

y DC = DF . Demuestre que C , E y F   est´an alinedos.

Figura 20

20. (*) En la figura adjunta, AB = BC  = CD =

DE = E F  = F G = GA. Calcule la medida del ∠_DAE .

6

El cuadril´atero ABCD es un paralelogramo.

21. (*) (XXVIII Olimpiada Brasile˜na de Matem´atica) En la figura 21, AB = AC , AM = AN 

y ∠_{CAM = 30} ∠_{BM N .}

Figura 21

22. Los lados de un tri´angulo is´osceles son 12 y 5 metros, ¿cu´al es su per´ımetro? 23. Muestre que los lados de un tri´angulo cumplen que

 _|

a

₋

b

_|

< c y que c < a+b+c

2 .

24. Muestre que es posible construir un tri´angulo con segmentos de longitudes a, b, c si y s´olo existen n´umeros positivos x, y, z  tales que: a = x +y, b = y + z , c = z  +x.

Problemas de Refuerzo.

25. (*) (Etapa semifinal Estatal de XXII Olimpiada Mexicana de Matem´aticas) En la figura 22 se muestra un hex´agono regular ABCDEF  de lado 1. Los arcos del c´ırculo que est´an dibujados tienen centro en cada v´ertice del hex´agono y radio igual a la distancia al v´ertice opuesto. P , Q, R, S , T  y U  son los puntos de corte de estos arcos. ¿Cu´anto mide cada lado del hex´agono P QRSTU ?

Figura 22

3. Congruencia de Tri´

angulos.

CRITERIOS DE CONGRUENCIA.

Definici´on de Congruencia de tri´angulos. El

 _

ABC  es congruente al

 _

A_B_C  _{si: AB =}

A_B_{, AC = A}_C _{, BC = B}_C _, ∠_{ABC  =} ∠_A_B_C _, ∠_{ACB =} ∠_A_C _B _y ∠_BAC = ∠_B_A_C _. Simb´olicamente:

 _

ABC =

_

A_B_C _{. V´ease figura 23.}

Figura 23: Definici´on de Igualdad de Tri´angulos.

La definici´on anterior establece que dos tri´angulos son congruentes si tanto los lados como los ´angulos se presentan en pares respectivos congruentes. Esto, seg´un la visi´on de Euclides, significa que un tri´angulo es posible superponerlo sobre el otro (se puede desplazar, girar o reflejar) y coincidir´a de manera perfecta. Sin embargo, es importante mencionar que en muy raras ocasiones se tendr´a a disposici´on tanta informaci´on, de all´ı la importancia de los criterios de congruencia, que establecen los requisitos m´ınimos para garantizar que dos tri´angulos son congruentes.

El siguiente es el primero de los tres criterios de congruencia de tri´angulos, y se denomina criterio de LADO- ´ANGULO-LADO, en s´ımbolos: L-A-L.

Criterio L-A-L.   Si los tri´angulos ABC  y A_B_C  _{presentan las congruencias: AB = A}_B_,

AC = A_C  _y ∠_BAC = ∠_B_A_C _{, entonces}

 _

_ABC =

_

_A_B_C _.

Figura 24: Criterio LAL

Seg´un el criterio L-A-L, dos tri´angulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados y el ´angulo (comprendido entre dichos lados), respectivamente congruentes a dos lados y el ´angulo (comprendido entre dichos lados), en el otro tri´angulo.

Criterio A-L-A. Sean ABC  y A_B_C  _{dos tri´angulos tales que: AC = A}_C _,∠_{BC A =} ∠_B_C _A y ∠_BAC = ∠_B_A_C _{, entonces}

 _

_ABC =

_

_A_B_C _.

Figura 25: Criterio ALA.

Criterio L-L-L.  Si un tri´angulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los tres lados de otro tri´angulo, entonces estos dos tri´angulos son congruentes.

Figura 26: Criterio LLL. Ahora demostraremos el Rec´ıproco del Teorema de Pit´ agoras . Demostraci´on: Sea ABC  un tri´angulo talque BC 2

= AB2

+ AC 2

, por construcci´on sea el



A_B_C   _{rect´angulo en A}  _{tal que A}_B _{= AB y A}_C  _{= AC , entonces por el teorema de} Pit´agoras B_C 2

= A_B2

+A_C 2

, as´ı que B_C 2

= BC 2

, de donde B_C  _{= BC  y por el criterio} LLL, se deduce que el

 _

A_B_C  ₌

_

_{ABC , por lo tanto el} ∠_BAC = ∠_B_A_C  _{= 90 .}

TEOREMA DE LA BASE MEDIA

En todo tri´angulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

En la figura 27, M N  es el segmento que une los puntos medios de los lados AB y BC  del

_

ABC , a este segmento se le llama BASE MEDIA DEL TRI ´ ANGULO . Se verifica que MN  = AC 

2 y que M N 

 _

AC .

Demostraci´on:

1. Prolongar el segmento M N  hasta el punto P  tal que M N = N P .

2. Los tri´angulos M N B y P N C   son congruentes, ya que BN  = N C , MN  = N P  y el ∠_{P N C =} ∠_{BN M , por consiguiente, el} ∠_{N CP =} ∠_{M BN , por lo tanto, C P} 

 _

_{M B (Por} ´angulos alternos internos iguales). Adem´as, P C = M B = M A; con lo cual se tiene que:

M A = P C .

Figura 27: Teorema de La Base Media.

Figura 28: Menor Media en un Tri´angulo Rect´angulo.

3. Uniendo el punto A con el punto P  se forman los tri´angulos congruentes AM P  y ACP 

(por L A L) ya que M A = P C , AP  = AP , ∠_{MAP  =} ∠_{AP C   (por ´angulos alternos} internos entre las paralelas M A y P C ). Luego, M P = AC , entonces N P  = 1

2M P = 1 2AC .

Adem´as, ∠_{P AC =} ∠_{MP A, de donde M P} 

 _

_{AC  o que M N} 

 _

_AC .

Corolario: Menor mediana de un tri´angulo rect´angulo. En todo tri´angulo rect´angulo, la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la longitud de la hipotenusa y es la menor de las tres medianas del tri´angulo.

Demostraci´on: En la figura 28, BM  es la mediana relativa a la hipotenusa AC del

 _

ABC , probaremos que BM  = AC 

2 ; (con lo cual se tendr´a que BM  = AM  = M C ). Si por M  se traza

una paralela al lado AB, que corte al lado BC  en N , entonces N  es el punto medio de BC  y el ∠_{M N C  = 90 , los tri´angulos BN M  y CN M  son congruentes por el criterio L-A-L, luego}

MB = M C = AM .

Probar que BM  es la menor mediana (Ejercicio).

Ejercicios.

1. (*) En la figura adjunta, ABC  es un tri´angulo equil´atero y CDEF  es un cuadrado. Se construye un punto G tal que CF  = CG  y adem´as ∠_{CF G = 15 . Probar que} ∠_AGC = ∠_BDC .

2. Dado un tri´angulo equil´atero ABC , se construye un tri´angulo equil´atero DEF   cuyos v´ertices est´an sobre los lados del

 _

ABC , tal como muestra la figura 29. Demuestre que los tri´angulos ADF , B ED, C F E  son todos congruentes entre si.

Figura 29

3.  ABCD es un cuadrado, E , F , G y H  son puntos sobre los lados AB, B C , C D, DA, res-pectivamente, tal que EF GH  tambi´en es cuadrado. Demuestre que los tri´angulos AEH ,

BF E , CGF , DHG son todos congruentes entre si. Figura 30.

Figura 30

4.  ABCDE  y  FGHIJ   son pent´agonos regulares (Vease figura 31). Demuestre que los tri´angulos AF J , B GF , CHG, DI H , EJ I  son todos congruentes entre si.

Figura 31

5. Si AB

 _

CD y AB = C D entonces, AD = BC y AD

_

BC 7_.

6. Demuestre que dos tri´angulos desplazados son congruentes. Sugencia:   Utilice el pro-blema anterior.

7. Demuestre que dos tri´angulos rotados son congruen-tes.

7

8. Demuestre que dos tri´angulos reflejados con respecto a un punto 8 _{son congruentes.}

9. Demuestre que dos tri´angulos reflejados con respecto a una recta son congruentes.

Importante: Las traslaciones, rotaciones y reflexiones no cambian el tama˜no ni la forma de un tri´angulo.

10. (*) En la figura adjunta, ABCD un cuadrado y EF 

_⊥

GH . Demuestre que que EF  = GH .

11. Dos cuadrados  ABCD y  EHGF , ambos de lado l, est´an colocados en manera tal que un v´ertice de uno est´a en el centro del otro (como en la figura anexa). Demuestre que el ´area del cuadril´atero EJBK es l

2

4 y por ende no depende de la posici´on de J (o K ).

8

12. En un

 _

ABC  el ∠_{B = 2}∠_{C , la mediatriz del lado AC  corta en F  al lado BC . Hallar}

AB, si F C = 9.

13. (*) (Examen final de XVI Olimpiada mexicana de Matem´atica) Los ´angulos de un tri´angu-lo ABC  est´an en progresi´on aritm´etica (∠_B

₋

∠_A = ∠_C 

₋

∠_{B = θ), D, E , y F  son los} puntos medios de los lados BC , CA y AB, respectivamente. Llamamos H  al pie de la altura trazada desde C   (que cae entre B y F ) y G a la intersecci´on entre DH  y EF . ¿Cu´anto vale ∠_{F GH ?}

14. En la figura 32, AC = 12 AF = 4 y ∠_{BAF  = 30. Hallar BF  si AG = GC .}

Figura 32

15. En la figura 33, AG = GC , el ∠_{AF G = 20 . Hallar el} ∠_{F AC , si AC = 2BF .}

Figura 33

16. (*) Sea ABCD un cuadrado. Se construyen tri´angulos equil´ateros ADP y AB Q como se muestra en la figura 34. Sea M  la intersecci´on de C Q con AD y N  la intersecci´on de C P 

con AB. Demuestre que CMN  es un tri´angulo equil´atero.

Figura 34

Problemas de Refuerzo.

17. En la figura 35, ABC , CDE y EF A son tri´angulos is´osceles, con el ∠_ABC = ∠_CDE = ∠_{EF A = 120 . Probar que el}

 _

_{BDF   es equil´atero.}

Figura 35

18. (*)

 _

ABC  es un tri´angulo is´osceles con ∠_{ABC  =} ∠_{ACB = 80 D es un punto en AC}  tal que ∠_{ABD = 10 AD = BC .}

 

  .   . Demuestre que

4. Cuadril´

ateros: Clasificaci´

on y Propiedades.

CLASIFICACI ´

ON.

Los cuadril´ateros pueden clasificarse de acuerdo a sus diagonales de la siguiente forma: Cuadril´atero Convexo: Es un cuadril´atero con las dos diagonales en su interior.

Cuadril´atero Entrante: Es un cuadril´atero con una diagonal en el interior y otra en el exte-rior.

Cuadril´atero Cruzado Es un cuadril´atero con las diagonales en su exterior.9

Es muy frecuente que se considere que un cuadril´atero es convexo, a menos que se especifique lo contrario. Esto es as´ı porque muchos resultados son m´as claros en un cuadril´atero convexo, sin embargo, es importante darse cuenta que existen teoremas que no se cumplen para cualquier tipo de cuadril´ateros, por ejemplo:

Teorema: La suma de los ´angulos internos de un cuadril´atero no cruzado es 360.

La demostraci´on de este resultado se basa en la disecci´on del cuadril´atero en dos tri´angu-los cuyos ´angutri´angu-los internos conforman tri´angu-los ´angutri´angu-los internos del cuadril´atero, sin embargo, estas condiciones no pueden lograrse en un cuadril´atero cruzado; de hecho, la suma de los ´angulos internos puede hacerse arbitrariamente peque˜na cuando el cuadril´atero es cruzado.

Tambi´en hay otras clasificaciones de cuadril´ateros de acuerdo a sus lados y ´angulos.

Cuadril´atero Equi´angulo: un cuadril´atero (convexo) es equi´angulo si todos sus ´angulos inter-nos son iguales; dado el teorema anterior, los ´angulos son iguales a 90, por ello este cuadril´atero es llamado rect´ angulo.

Cuadril´atero Equil´atero:  un cuadril´atero (convexo) es equil´atero si todos sus lados son igua-les. A este cuadir´atero tambi´en se le conoce como rombo.

Cuadrado: es un cuadril´atero que es equi´angulo y equil´atero.

Paralelogramo:  es un cuadril´atero con los lados opuestos paralelos. Trapecio: es un cuadril´atero con un par de lados opuestos paralelos.10

9

Tanto los cuadril´ateros convexos como los entrantes son cuadril´ateros simples , que son los cuadril´ateros cuyos lados no se cortan salvo en los extrenos; en contraposici´on, los cuadril´ateros cruzados no son simples.

10

PARALELOGRAMOS

Dado el paralogramo ABCD, por propiedades de ´angulos entre paralelas es posible probar el siguiente resultado:

Teorema:   Los ´angulos opuestos son iguales y los ´angulos consecutivos son suplementarios: ∠_ABC = ∠_{CDA = θ y} ∠_{BC D =} ∠_{DAB = 180}

₋

_θ.

Por otra parte, por criterio ALA,

_

ABC 

 _{≡ }

CDA; esto implica que AB = C D y B C = DA, i.e.

Teorema: Los lados opuestos de un paralogramos son iguales.

A partir de esto, si M  es la intersecci´on de AC con BD, por criterio ALA,

_

ABM 

 _{≡ }

CDM , por lo que AM = C M y BM  = DM , i.e.

Teorema: Las diagonales de un paralelogramo se bisecan. Adem´as, se cumple un resultado sofisticado y muy importante:

Teorema: Ley del Paralelogramo. Si ABCD es un paralelogramo entonces el doble de la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales, es decir

2



AB2 +BC 2



= AC 2 +BD2

Demostraci´on: Aplicando la Ley del Coseno a

 _

ABC  y

 _

ABD se tiene

AC 2 = AB2+BC 2

₋

AB

_·

BC  cosθ

DB2 = AB2+AD2

₋

AB

_·

ADcos(180

₋

θ)

⇒

AC 2+DB2 = 2

_

AB2 +BC 2

_

₋

AB

_·

BC  (cosθ + cos(180

₋

θ)) y dado que cosθ =

₋

cos(180

₋

θ) el resultado se sigue inmediatamente.

RECT ´

ANGULOS

En primer lugar, es importante notar que todo rect´angulo es paralelogramo (por ´angulos en-tre paralelas), por lo que todos los resultados probados anteriormente son heredados a todo rect´angulo; pero los rect´angulos tienen propiedades adicionales:

Observe que por criterio LAL,

 _

ABC 

 _{≡ }

ABD, por lo que AC = BD y entonces

Teorema:  Las diagonales de un paralelogramo son iguales; adem´as, el punto de intersecci´on de estas equidista de los cuatro v´ertices y por tanto es el centro de una circunferencia que pasa por todos los v´ertices.

Por otra parte, observe que si se aplica la ley del paralelogramo a un rect´angulo se obtiene el

ROMBOS

Dado un rombo ABCD, por criterio LLL,

 _

ABC 

 _{≡ }

CDA, y por lo tanto ∠_BAC =∠_DAC  y ∠_{BC A =} ∠_{DAC , lo cual implica BC} 

_

_{AD y AB}

_

_{CD, i.e., todo rombo  ABCD es un} paralelogramo. Adem´as, por las mismas congruencias se tiene

Teorema: Las diagonales de un rombo cumplen ser una mediatriz de la otra.

Teorema: Las diagonales de un rombo bisecan a los ´angulos interiores del rombo; esto implica que el punto de corte de las diagonales equidista de los cuatro lados del rombo y es el centro de una circunferencia tangente a estos.

TRAPECIOS

Dado el trapecio ABCD (con AB

 _

CD), se construyen los puntos medios de BC y DA, M  y

N , respectivamente. Si el cuadril´atero MN AB se rota con centro en M  y ´angulo 180 se genera un cuadril´atero MN _A_{C ; observe que N D = N} _A _{y N D}

 _

_N _A_{, por lo que DN N} _A _{es un} paralelogramo y N N  _{= DA} 2M N  = DC  + CA 2M N  = DC  + AB

⇒

M N  = AB + CD 2

El segmento MN  es llamado base media  del trapecio, y por lo reci´en demostrado se tiene Teorema: La base media de un trapecio es igual a la semisuma de las bases.

Por otra parte, hay ciertos trapecios que reciben nombres particulares; el trapecio rect´ angulo es aquel que las bases son perpendiculares a alguno de los otros lados; y por otra parte, el trapecio is´ osceles  es aquel que los lados (distintos de las bases) tienen igual longitud. 11

Ejercicios

1. Dado el trapecio  ABCD con AB

_

CD, demuestre que la bisectriz interior del ∠_{A es} paralela a la bisectriz exterior del ∠_D.

2. A un rombo  ABCD  se le construyen exteriormente los cuadrados  ABEF  y  BCGH . Demuestre que

 _

ABD =

_

EB H .

3. (*) Sea ABCD un paralelogramo. Se construyen tri´angulos equil´ateros exteriores

_

CDP 

y

 _

ADQ. Demuestre que el

 _

BP Q es equil´atero.

4. Demuestre que las bisectrices interiores de un paralelogramo forman un rect´angulo (¿qu´e su-cede si el paralelogramo es adem´as rombo?).

11

Los trapecios is´osceles son muy importantes cuando se estudian los ´angulos en la circunferencia; resulta que un trapecio es is´osceles si y s´olo si los cuatro v´ertices se ubican sobre una misma circunferencia.

5.

5. DemDemuestruestre e que las que las bisecbisectricetrices s exteexterioreriores s de un de un paralparalelograelogramo forman un mo forman un rectrect´´angulo.angulo. 6. Sea

6. Sea  ABCD  ABCD un paralelogramo. La bisectriz interna del un paralelogramo. La bisectriz interna del ∠∠_{CCDADA corta a corta a BABA enen M M , y la, y la} bisectriz interna del

bisectriz interna del ∠∠_{BADBAD corta a corta a C C DD enen N N . Demuestre que. Demuestre que ADNM  ADNM  es un rombo. es un rombo.} 7. Demuestre que si por el punto de intersecci´

7. Demuestre que si por el punto de intersecci´on de las diagonales de un rombo se tra-on de las diagonales de un rombo se tra-zan perpendiculares a los lados del rombo, entonces los puntos de intersecci´

zan perpendiculares a los lados del rombo, entonces los puntos de intersecci´on de dichason de dichas perpendiculares con los lados del rombo forman un rect´

perpendiculares con los lados del rombo forman un rect´angulo.angulo. 8.

8. DemDemuesuestre que las tre que las bisbisectectricrices de es de los ´los ´angulos definidos por las diagonales de un rombo,angulos definidos por las diagonales de un rombo, cortan a los lados del rombo en cuatro puntos que forman un cuadrado.

cortan a los lados del rombo en cuatro puntos que forman un cuadrado. 9. En un

9. En un

_

_

ABC ABC  sea sea GGla la interseccintersecci´i´on de las medianason de las medianasBBBB _y yCCC C _{. Sean. SeanBB}_,,C C  _{las reflexiones las reflexiones} de

de G G respectivas a los puntos respectivas a los puntos BB _yy C  C _.. a)

a) DemDemuestruestre quee que AGCB AGCB _{yy AGBC  AGBC}  _{son paralelogramos. son paralelogramos.} b)

b) A partir de lo A partir de lo antanteriorerior, demues, demuestre quetre que BCBC BB_C C  _{tambi´en  tambi´en es es parparalelalelogrogramoamo..} c)

c) DemDemuestruestre quee que AA _{pertenece a la recta pertenece a la recta AGAG, y concluya que las tres medianas de un, y concluya que las tres medianas de un} tri´

tri´angulo concurren en el puntoangulo concurren en el punto GG, llamado el, llamado el centroide  centroide deldel

 _

 _

ABC ABC .. d)

d) DemDemuestuestre quere que C C GG =  = 22GC GC _{; relaciones similares se cumplen para las otras dos media-; relaciones similares se cumplen para las otras dos} media-nas.

nas. 10.

10. Teorema de Varignon: Teorema de Varignon: Dado un cuadril´ Dado un cuadril´ateroatero ABCD ABCD (no necesariamente convexo), se (no necesariamente convexo), se construyen los puntos medios

construyen los puntos medios L L,, M  M ,, N  N ,, O O,, P  P ,, Q Q, de los segmentos de recta, de los segmentos de recta AB AB,, B BC C ,, C C DD,,

DA

DA,, BDBD,, AC  AC , respectivamente. Figura 36., respectivamente. Figura 36. a)

a) DemDemuestruestre quee que LMNO LMNO,, L LPNPN QQ,, OPMQ OPMQ, , son son paralparalelogrelogramos.amos. b)

b) DemDemuestuestre quere que LN LN ,, OM OM ,, PP QQ concurren en un punto, llamado el concurren en un punto, llamado el centroide  centroide  del cua- del cua-dril´

dril´ateroatero ABCD ABCD.. c)

c) Demuestre que Demuestre que el el perper´´ımetro ımetro dede LMNO LMNO es igual a es igual a AC AC  + + B BDD; resultados similares se; resultados similares se cumpl

cumplen en para para los los otros paralelogotros paralelogramos.ramos.

Figura 36: Teorema de Varignon Figura 36: Teorema de Varignon

11. Sea

11. Sea  ABCD  ABCD un paralelogramo tal que existe un punto un paralelogramo tal que existe un punto E E  sobre el lado sobre el lado ABAB que cumple que cumple ∠

∠_{CCEDED = 90. Sean = 90. Sean M M  yy N N  los pies de las perpendiculares trazadas desde los pies de las perpendiculares trazadas desde AA yy BB hacia hacia}

DE 

DE yy C C E E , respectivamente. Demuestre que, respectivamente. Demuestre que AC AC ,, BDBD yy MM N N  concurren. concurren. 12.

12. (*) (*) (H´(H´ector ector Alberti) Alberti) SeaSea  ABCD  ABCD  un cuadrado. Se construyen los tri´  un cuadrado. Se construyen los tri´angulos equil´angulos equil´aterosateros

BD

BDAA_{,, AC AC BB}_{,, B B DC DC}  _{yy ACACDD}_{. Demuestre que el. Demuestre que el AA}_BB_C C _DD _{es  es tambi´tambi´en en un un cuacuadraddrado.o.} 13.

13. (*) (II Olimp(*) (II Olimpiada Mateiada Matem´m´atica del Cono Sur) En la figura 37atica del Cono Sur) En la figura 37 ABCD ABCD yy AECF  AECF  son para- son para-lelogramos. Demuestre que

lelogramos. Demuestre que BEDF  BEDF   es paralelogramo.  es paralelogramo.

Figura 37 Figura 37

Pr

Problemaoblemas s de de RRefuerzefuerzo.o.

14. (*)

14. (*) ABCD ABCD es un cuadril´ es un cuadril´atero convexo yatero convexo y OO es un punto en su interior. Sean es un punto en su interior. Sean P P ,, QQ,, RR,, S S ,, los puntos medios de los lados

los puntos medios de los lados ABAB,, BC BC ,, CCDD,, DADA, respectivamente. Por, respectivamente. Por P P  se traza una se traza una paralela a

paralela a OROR, por, por QQ se traza una paralela a se traza una paralela a OS OS , por, por RR se traza una paralela a se traza una paralela a OP OP , , yy por

por S S  se traza una paralela a se traza una paralela a OQOQ. Demuestre que estas cuatro rectas concurren.. Demuestre que estas cuatro rectas concurren. 15.

15. (*) Un t(*) Un trapecio rapecio is´is´oscelosceles tiene diagonales perpendicues tiene diagonales perpendiculares y lares y su su ´´area es 2010, determine suarea es 2010, determine su altura.

altura.

16. (*) (IX Competencia de Clubes Cabri, Segunda Ronda) Sea

16. (*) (IX Competencia de Clubes Cabri, Segunda Ronda) Sea  ABCDEF   ABCDEF   un hex´agono  un hex´agono regular cuyo centro es

regular cuyo centro es OO. Se construyen los cuadrados. Se construyen los cuadrados FSOP  FSOP yy ORCQ ORCQ. Demuestre que. Demuestre que

APQB

APQB yy SEDR SEDR son rect´ son rect´angulos. Figura 38.angulos. Figura 38. 17. (*) Sobre los lados del

17. (*) Sobre los lados del

 _

 _

ABC ABC  se trazan exteriormente los cuadrados se trazan exteriormente los cuadrados ABPQ ABPQ,, CARS  CARS yy

BCTU 

BCTU . Luego se trazan los paralelogramos. Luego se trazan los paralelogramos AQAAQA_{RR,, CCSC SC} _{T T  yy B B UU BB}_P P ..

a 

a ) Sean) Sean AA_{,, BB}_{,, C C}  _{los centros de los cuadrados los centros de los cuadrados BCTU  BCTU ,, CARS  CARS ,, ABPQ ABPQ, respectiva-,} respectiva-mente. Demuestre que estos centros est´

mente. Demuestre que estos centros est´an sobre los lados delan sobre los lados del

 _

 _

AA_BB_C C _..

Figura 38 Figura 38 18.

18. (*) Se dibujan cuadrado(*) Se dibujan cuadrados exteriors exteriores a es a los lados de los lados de un paralelogun paralelogramo, demramo, demuestruestre que:e que:

a 

a ) ) El cuaEl cuadridril´l´atero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.atero determinado por los centros de esos cuadrados es un cuadrado.

bb) ) Las diagonaleLas diagonales de s de ese cuadradese cuadrado son o son concuconcurrenrrentes con las tes con las del paraleldel paralelogramoogramo.. 19. (*) Dado un

19. (*) Dado un

_

_

ABC ABC , , se se conconstrstruyuyen en extexterieriormormenente te los los tritri´´angulos angulos rectrect´´angulo is´angulo is´oscelesosceles





ACP ACP  yy

 _

 _

BCBC QQ, con, con AC AC  yy BC BC   como hipotenusas. Si  como hipotenusas. Si M M   es el punto medio de  es el punto medio de ABAB,, demuestre que el

5.

Angulos en la Circunferencia.

´

LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS

Una  circunferencia  es el lugar geom´etrico de puntos que equidistan de un punto dado, llamado el centro de la circunferencia; la distancia de cada punto de la circunferencia al centro es el radio. Por otra parte, todos los puntos que est´an a una distancia del centro menor o igual al radio forman el c´ırculo; estos puntos quedan “al interior” o sobre la circunferencia.

Si A y B son dos puntos de una circunferencia, el segmento de recta AB define una cuerda ; en particular, si el centro de la circunferencia pertenece a la cuerda, ´esta es llamada di´ ametro. Es importante mencionar que para cada punto de la circunferencia existe exactamente un punto

diametralmente opuesto.

En la figura 39, se tiene una circunferencia de centro O y radio r = OA = OB = OA_{; AB} y AA  _{son cuerdas, pero AA} _{es tambi´en di´ametro, i.e, A} _{es diametralmente opuesto a A y} viceversa. Observe que por la desigualdad triangular aplicada al tri´angulo is´osceles

 _

AOB

Figura 39

AB < AO + BO

= r +r

= AA

Si A es un punto fijo, esta desigualdad es v´alida para cualquier punto B sobre la circunferencia (excepto cuando B = A _{lo cual implica AB = AA}_{). Esto quiere decir que el di´ametro es la} mayor de todas las cuerdas.

A las porciones de circunferencia que quedan entre dos puntos ubicados en la circunferencia, se les llama arcos de circunferencia ; note que dos puntos sobre una circunferencia definen dos arcos de circunferencia. Tambi´en, si un ´angulo tiene v´ertice sobre el centro de la circunferencia y est´a formado por dos radios, ser´a llamado ´ angulo central ; de nuevo, ∠_{AOB hace referencia a dos} ´angulos, cuya suma es 360, y subtienden  respectivamente a uno de los arcos AB. Finalmente, si un ´angulo tiene el v´ertice sobre la circunferencia y est´a formado por dos cuerdas, ser´a llama-do ´ angulo inscrito; en la figura anterior,∠_AA_{B es un ´angulo inscrito que subtiende al arco AB.}

Teorema: El ´angulo central es el doble del ´angulo inscrito que subtiende el mismo arco.

Demostraci´on: Considere la figura 40, se demostrar´a que ∠_{AOB = 2}∠_{AP B en los tres casos} mostrados. En la circunferencia de la izquierda, sea P  _{el punto diametralmente opuesto a P ;} observe que

 _

AP O y

 _

BP O son tri´angulos is´osceles, y por el teorema del ´angulo externo se tiene

∠_{AOB =} ∠_AOP  + ∠_BOP 

= (∠_{AP O +}∠_{OAP ) + (}∠_{BP O +}∠_OBP ) = 2∠_{AP O + 2}∠_{BP O}

= 2 (∠_{AP O +} ∠_{BP O)} = 2∠_{AP B}

Figura 40

El caso de la circunferencia del medio es m´as sencillo y se deja como ejercicio para el lector. Para la circunferencia de la derecha, el trabajo es an´alogo y s´olo cambia en un peque˜no arreglo algebraico

∠_{AOB =} ∠_BOP 

₋

∠_AOP 

= (∠_{BP O +} ∠_OBP )

₋

₍∠_{AP O +} ∠_OAP ) = 2∠_{BP O}

₋

₂∠_{AP O}

= 2 (∠_{BP O}

₋

∠_{AP O)} = 2∠_{AP B}

Corolario:  Todos los ´angulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales (Ver figura 41). En particular, los ´angulos internos son iguales a 90 si subtienden a una semicircunferencia. Demostraci´on: Todos los ´angulos mostrados en la figura 41 son iguales a la mitad del∠_AOB, y por tanto, son iguales entre s´ı. En particular, si AB fuera un di´ametro, ∠_{AOB = 180   y por} tanto ∠_{AP B = 90  .} 12

Hay un par de ´angulos m´as que son importantes: Si un punto P  es interno a la circunferencia, el ´angulo de v´ertice P  formado por dos cuerdas que pasan por P  se llama ´angulo interior . De

12

Observe que en cualquier tri´angulo rect´angulo, el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres v´ertices.

 

   

Figura 41

forma similar, si P  es exterior y dos cuerdas de la circunferencia (al prolongarse) pasan por P , el ´angulo con v´ertice P  es llamado ´angulo exterior .

Dejamos como ejercicio demostrar el siguiente teorema:

Teorema:   Los ´angulos interior y exterior mostrados en la figura 42 cumplen las f´ormulas siguientes:

∠_{AQC  =} ∠BOD +∠AOC  2

∠_{AP C  =} ∠BOD

−

∠AOC  2

Figura 42

CUADRIL ´

ATEROS C´ICLICOS

Ahora suponga que sobre una circunferencia se ubican cuatro puntos A, B, C , D, como se muestra en la figura 43. Al cuadril´atero  ABCD se le llama  cuadril´ atero c´ıclico o conc´ıclico. Observe que

∠_ABC  + ∠_CDA = α 2 +

 β 

Figura 43

Y an´alogamente∠_DAB+∠_{BC D = 180  es un cuadril´atero c´ıclico} y convexo, entonces los ´angulos opuestos son suplementarios. Tambi´en, es posible demostrar por contradicci´on el rec´ıproco de este resultado: si suponemos que ABCD es tal que ∠_B+∠_{D = 180} pero no es c´ıclico, se define el punto D _{como la otra intersecci´on de AD con el circunc´ırculo} del

 _

ABC , y como  ABCD  _{es c´ıclico (por construcci´on) entonces} ∠_B + ∠_D _{= 180, luego,} ∠_{D =} ∠_D_{, lo cual implica la contradicci´on CD}

 _

 _{C D} _{(rectas paralelas que se cortan en C ).} As´ı, se ha demostrado el siguiente teorema:

Teorema: El cuadril´atero convexo ABCD es un cuadril´atero c´ıclico si y s´olo si ∠_A+∠_{C  = 180◦ =} ∠_B + ∠_D

Tambi´en, otro criterio muy ´util y cuya demostraci´on tambi´en se basa en el corolario anterior es Teorema:   El cuadril´atero convexo  ABCD  es un cuadril´atero c´ıclico si y s´olo si se cumple alguna de las siguientes igualdades

∠_{ABD =} ∠_ACD ∠_{BC A =} ∠_BDA ∠_{BAC  =} ∠_BDC  ∠_{CAD =} ∠_CBD

Es importante recalcar que NO todo cuadril´atero puede ser inscrito en una circunferencia; por ejemplo, un paralelogramo no ser´a c´ıclico a menos que sea rect´angulo.

RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA

CIRCUN-FERENCIA

Dada una circunferencia, una recta puede ser tangente  o  secante   a la circunferencia, depen-diendo si la corta en uno o  dos puntos, respectivamente; en cualquier otro caso, se dice que la

recta no corta a la circunferencia.13

Sea l una recta secante a la circunferencia que corta a la circunferencia en A y B (A

 _

= B); como el

 _

AOB es is´osceles, ∠_{OAB < 90. Rec´ıprocamente, si por A se traza una recta l tal} que uno de los ´angulos que forma con OA es menor que 90, se puede construir un punto B

sobre l tal que ∠_{OAB =} ∠_{ABO < 90 y A}

 _

_{= B (basta proyectar O sobre l y luego reflejar A} con respecto a este punto, el resultante es el punto B); entonces el

 _

AOB es is´osceles, por lo que OA = r = OB, i.e. B pertenece a la circunferencia y por tanto l corta a la circunferencia en dos puntos distintos. As´ı

Teorema: Una recta l corta a una circunferencia de centro O en dos puntos distintos A y B si y s´olo si un ´angulo entre l y OA es agudo.

Corolario: Si l es una recta tangente en A a una circunferencia de centro O, ninguno de los ´angulos entre l y OA puede ser agudo, y por tanto l

_⊥

OA.

A partir de este resultado se prueban otros resultados muy conocidos y ´utiles, que dejamos de ejercicios para el lector.

Teorema: Dado un punto P  externo a una circunferencia de centro O, si P A y P B son segmen-tos tangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente, entonces el cuadril´atero P AOB es c´ıclico y bis´osceles.

Corolario:  Dado un punto P  externo a una circunferencia de centro O, la circunferencia de di´ametro P O corta a la circunferencia dada en dos puntos A y B tales que P A y P B son rectas tangentes.

Definici´on: El ´angulo semi-inscrito en una circunferencia es aquel que se forma con una cuerda y la recta tangente en alguno de los extremos de la cuerda.

Teorema:  La media del ´angulo semi-inscrito definido por la cuerda AB es igual a la medida de un ´angulo inscrito que subtiende al arco AB.

Demostraci´on: Considere la figura 44. Como APBO es c´ıclico, entonces ∠_{P AB =} ∠_{P OB;} adem´as, como P O es la mediatiz de AB, ∠_{P OB =} ∠_{P OA, por lo que}

∠_{P AB =} ∠AOB

2 = ∠AQB

Por otra parte, dada una circunferencia, otra circunferencia puede ser  secante  o tangente a la primera, dependiendo si la corta en uno o dos puntos, respectivamente; en cualquier otro caso se dice que las circunferencias no se cortan.14

13

Cuando la recta es tangente a la circunferencia puede considerarse como un caso muy peculiar en el cual los “dos” puntos de corte coinciden.

14

Tambi´en ac´a puede considerarse a las circunferencias tangentes como un caso especial de circunferencias secantes en el cual los puntos de corte coinciden.

Figura 44

Adem´as, dos circunferencias pueden posicionarse una dentro de la otra, y claramente, la cir-cunferencia de radio mayor es la externa  mientras que otra es la interna ; particularmente, si las circunferencias tienen el mismo centro se llaman  conc´entricas . Finalmente, combinando estas definciones se tienen las circunferencias tangentes exteriormente  y las tangentes interiormente . Teorema: Dadas dos circunferencias de centros O1 y O2 que se cortan en dos puntos distintos

A y B, se cumple que O1O2

 ⊥

AB.

Teorema: Si dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes en A, se cumple que O1, A

y O2 est´an alineados.

Teorema:

a) Dos circunferencias, una dentro de la otra, no tienen rectas tangentes en com´un. b) Dos circunferencias tangentes interiormente tienen una recta tangente com´un.

c) Dos circunferencias secantes (en dos puntos distintos) tienen dos rectas tangentes en com´un. d) Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen tres rectas tangentes en com´un.

e) Dos circunferencias no secantes y tal que ninguna contiene a la otra, tienen cuatro rectas tangentes en com´un.

Ejercicios

1. Si el ∠_{M P Q = 20, determine el valor del} ∠_{QON  en la figura} adjunta.

2. Dado un ´angulo inscrito BAC , y su ´angulo central BOC , se sabe que ∠_BAC +∠_BOC = 180 . Calcular el ∠_OBC .

3. En la figura 45, BCDO es un rombo. Determine el valor del ´angulo θ y la medida de las diagonales de BCDO si el radio de la circunferencia mide 6.

Figura 45

4. Un cuadril´atero c´ıclico ABCD satisface ∠_{ABC = 2}∠_{CDA = θ. Calcule θ.} 5. En la figura 46, P R es una tangente com´un. Calcule el valor del ∠_{P QR.}

Figura 46

6. En la figura adjunta, el ∠_{AF E  = 100 y el} ∠_{BC D =} 150 . Calcule el ∠_AGB.

7. Dado un ´angulo ∠_{AOB, se trazan dos rectas l}

 _⊥

_{OA y m}

 _⊥

_{OB. Si P  es el punto de} corte de l y m, demuestre que A, B, O, P  se ubican sobre una misma circunferencia.

 

   

8. Las bisectrices BP  y CQ del

 _

ABC   se cortan en I . Demuestre que si ∠_{BAC  = 60} entonces

 _

P QI  es is´osceles.

9. En la figura 47 se ha tomado un punto C   sobre la circunferencia; AC y BC  cortan a la segunda circunferencia en D y E  respectivamente. Probar que OC 

 _⊥

DE .

Figura 47

10. (*) Dada la figura 48, demuestre que AB

 _

A_B_.

Figura 48

11. En la figura 49 CR es una recta tangente en C , demuestre que AB

 _

CR.

12. Dos circunferencias Γ1 y Γ2 son tangentes (interior o exteriormente) en P  (Ver figura 50).

Dos rectas que pasan por P  cortan a Γ1 y Γ2 en A y C , y en B y D, respectivamente.

Demuestre que AB

 _

CD.

Figura 50

13. (*) Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes (interna o externamente) en un

punto P ; por este punto se traza una recta que corta nuevamente a la circunferencias en

A y B, respectivamente. Demuestre que AO1

 

BO2.

14. Dos circunferencias son tangentes externamente en el punto A. Una tangente exterior com´un toca a una circunferencia en B y a la otra en C . Demostrar que ∠_{BAC = 90  .} 15. En la figura 51, DE  es tangente en D, y C  es el punto medio del arco AD. Encuentre el

valor del ´angulo seminscrito ADE .

Figura 51

16. Determine el valor del∠_{DCF , sabiendo BE  es tangente en el punto D a la circunferencia} de centro O. Ver Figura 52.

Figura 52

17. Si el ∠_{AEB = 30,} ∠_{ADE  = 20 y} ∠_{ACE  = 35, calcule el} ∠_{AF B. V´ease figura 53.}

Figura 53

18. Dada una circunferencia de di´ametro BC , se toma un punto P  en la prolongaci´on de BC , y se traza la tangente AP . Si AP  = AB y O es el centro de la circunferencia, demuestre que el

 _

AOC  es equil´atero.

19. (*) Dadas dos circunferencias una fuera de la otra, demuestre que las tangentes comunes externas forman segmentos iguales; an´alogamente, las tangentes comunes internas forman segmentos iguales.

20. (*) Teorema de Pithot.   Demuestre que en todo cuadril´atero inscribible, la suma de lados opuestos es igual.

21. (*) Teorema de Steiner.  En todo cuadril´atero exinscrito a una circunferencia, la dife-rencia de las longitudes de lados opuestos es igual.

22. Demuestre que las mediatrices de un cuadril´atero son concurrentes si y s´olo si es c´ıclico. 23. Demuestre que el cuadril´atero convexo  ABCD  es inscribible si y s´olo si los inc´ırculos

respectivos del

 _

ABC  y

 _

CDA son tangentes.

24. Demuestre que las bisectrices internas de un cuadril´atero son concurrentes si y s´olo si es inscribible.

25. Demuestre que todo rombo es inscribible.

26. En la figura 54, AB es una cuerda y por D se traza una recta tangente a la circunferencia paralela a AB. Demuestre que C D es bisectriz del ∠_ACB.

Figura 54

27. Determine las medidas de ∠_{ACB y} ∠_{ACO de la figura 55.}

Figura 55

28. Cuatro cilindros de di´ametro 1 est´an pegados apretadamente por una cuerda muy fina, como en la figura adjunta. Demostrar que la cuerda tine longitud 4 + π. Demostrar tambi´en que el ´area som-breada entre los cilindros es 1

₋

π

4.

29. En la figura 56, ABCD es un trapecio is´osceles con AB

 _

CD y DA = BC  = 2; tomando

DA y BC  como di´ametros, se construyen dos circunferencias tangentes. Si DC = 3AB, calcule el ´area del trapecio.