Dada la matriz A, una operación elemental sería sumar a la fila 3 la fila 1 multiplicada por 3 ( F 3 +3F 1 )

Conferencia 3 Transformaciones elementales. Rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales (SEL). Método de Gauss. Interpretación geométrica mediante intersección de planos.

Sumario:

 Transformaciones elementales. Matrices elementales. Rango de una matriz.

 Sistemas de ecuaciones lineales (SEL). Método de Gauss.  Interpretación geométrica mediante intersección de planos.  Cálculo del conjunto solución de un SEL. Sistema homogéneo.  Método de Cramer

Bibliografía: Texto básico, Álgebra Lineal Colectivo de autores: María Virginia Varela y coautores.

Complementaria

Lipschutz S, “Álgebra Lineal”, Editorial McGraw-Hill Book, México, 1988, 334 páginas.

Noriega T. y De Arazoza H. “Álgebra” (Tomo I), Editorial Pueblo y Educación, 1986.

Materiales digitalizados en la red del centro. Guías de Estudio de UniversiMat versión 1.5 Objetivos:

 Interpretar el concepto de rango de una matriz. Calcular el rango de una matriz.

 Resolver sistemas de ecuaciones lineales empleando, fundamentalmente el método de eliminación de Gauss, interpretar su solución, así como utilizarlos en la modelación de problemas.

 Resolver sistemas de ecuaciones lineales empleando Cramer. Desarrollo:

Matrices elementales

Existe una relación importante entre las matrices invertibles y las operaciones elementales por filas de una matriz, de ahí el sentido de este aspecto

DEFINICIÓN Operaciones elementales de filas

Hay tres tipos de operaciones elementales que se pueden efectuar en una matriz que son:

 Intercambiar dos filas entre sí.

 Multiplicar una fila por un escalar 0.

 Reemplazar una fila por la suma de sí misma con un múltiplo de otra.

Dada la matriz A, una operación elemental sería sumar a la fila 3 la fila 1 multiplicada por 3 ( F3+3F1)                            9 4 1 0 0 2 1 1 2 1 0 1 3 1 1 3 0 2 1 1 2 1 0 1 A

DEFINICIÓN Dos matrices son equivalentes por filas si existe una sucesión de operaciones elementales de filas que transforman una matriz en la otra.

Se utilizará la notación A ~ B para indicar que las matrices son equivalentes. EJEMPLO 2.2 Las siguientes matrices son equivalentes

                              2 2 1 0 4 1 0 2 3 2 B y 7 8 5 4 1 0 2 3 2 A

Pues la matriz B se puede obtener reemplazando la tercera fila de A por la suma de la tercera fila con la primera multiplicada por –5/2.

DEFINICIÓN Una Matriz es escalonada si

1 Las filas nulas, si existen, están en la parte inferior de la matriz.

2 El primer elemento no nulo de una fila (pivote), a partir de la 2ª fila, se encuentra a la derecha del primer elemento no nulo de la fila anterior.

3 Toda columna que contenga al primer elemento no nulo de una fila, posee ceros por debajo de ella

Escalonada principal de una matriz: es la forma escalonada y además los con pivotes 1 (unos principales).

Y escalonada reducida, cuando se tiene ceros por encima de los unos principales de una matriz escalonada principal.

EJEMPLO Las siguientes matrices son formas escalonadas

                                            3 4 9 1 0 0 0 1 4 0 1 0 6 2 3 0 0 1 C 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 5 1 4 2 F 0 0 0 0 1 0 0 0 5 3 0 0 2 1 0 3 E

Solo la matriz C está en forma escalonada principal y además en forma escalonada reducida.

Una matriz escalonada B es la forma escalonada de una matriz A, si son equivalentes, es decir, si podemos obtener la B mediante operaciones elementales de filas sobre la matriz A.

Obtener la forma escalonada reducida de la matriz A              1 0 2 3 1 1 2 3 0 A

El proceso de transformación de la matriz mediante la aplicación de las operaciones elementales por filas se irá indicando en cada caso:

Como el elemento a11 es igual a cero, el primer paso es intercambiar filas.

            1 0 2 3 1 1 2 3 0  1 2 F F 1 0 2 2 3 0 3 1 1             

A continuación, logremos ceros por debajo del a11 y del a22

 3 1 3 2F F F 5 2 0 2 3 0 3 1 1                 3 2 3 2F F F 3 11 0 0 2 3 0 3 1 1               

Se ha encontrado la matriz escalonada por filas equivalente a la matriz A. Para encontrar la matriz escalonada principal solo basta con realizar las dos operaciones elementales siguientes:

y se obtiene como resultado la matriz,

            1 0 0 3 2 1 0 3 1 1

Finalmente calculemos la matriz escalonada reducida de la matriz A, realizando

las operaciones elementales siguientes:

           1 0 0 0 1 0 0 1 1  1 1 2 F F F 1 0 0 0 1 0 0 0 1            

Una matriz se puede reducir por filas mediante las operaciones elementales a más de una matriz escalonada, si se usan diferentes operaciones por fila, sin embargo, la forma escalonada reducida que se obtiene para una matriz es única.

EJEMPLO Obtener la forma escalonada reducida de la matriz

3 3 2 2 F F 11 1 y F F 3 1 _{ } 1 3 1 3 2 F F y F 3F F 3 2 F    

               8 1 6 4 2 3 4 5 3 B Solución               8 1 6 4 2 3 4 5 3              0 9 0 0 3 0 4 5 3             0 0 0 0 3 0 4 5 3                _ 0 0 0 0 1 0 3 4 0 1

DEFINICIÓN El rango de una matriz es el número de filas no nulas de su forma escalonada

Aunque la forma escalonada de una matriz no es única, la cantidad de filas no nulas si es la misma. EJEMPLO 1) ₃ 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 5 1 4 2                RANG

2) RANG B = 2, ver ejemplo anterior

Sistemas de ecuaciones lineales

Una de las relaciones más sencilla que se da con puntos P(x, y) del plano es la denominada relación lineal o recta, cuya ecuación algebraica viene dada de la forma ax +by= c

La generalización de la relación lineal en el plano a varias variables es lo conduce a la denominada ecuación lineal.

Definición Dada las incógnitas x x1, 2,...,xn _{y los números reales} a a1, 2,...,an _y

b se define ecuación lineal a la expresión a x1 1 a x2 2 ... a xn nb Ejemplo Las siguientes son ecuaciones lineales

10 z 12 y ) 2 / 1 ( x ; 8 x 19 x 2 x ; 17 y 3 x 2   ₁ ₂ ₃    

En cambio estas otras no son lineales 4 z 3 y 3 x ; 23 z 3 xy ; 24 x y 3 x2   2    

Las características comunes a todas las ecuaciones lineales que podemos observar son: que no aparecen las incógnitas multiplicadas entre sí, los exponentes de las incógnitas son siempre 1 y no aparecen como argumento de funciones logarítmicas, trigonométricas o exponenciales.

Definición Se llama sistema lineal de m ecuaciones y n incógnitas al

S b x a ... x a x a ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... b x a ... x a x a b x a ... x a x a m n mn 2 2 m 1 1 m 2 n n 2 2 22 1 21 1 n n 1 2 12 1 11                    

donde los números aij _{son los coeficientes del sistema;} b_{i son los términos}

independientes del sistema y xj _{son las incógnitas o variables del} sistema para i = 1,2,...,m y j = 1,2,...n.

Todo sistema lo podemos expresar en forma matricial, que nos permite un manejo más sencillo del mismo y aplicar técnicas del cálculo matricial, que habíamos visto en el tema de matrices.

Definición Dado un sistema lineal S diremos que esta expresado en su forma

matricial si es dado como AX= b

1 mx m 2 1 1 nx n 2 1 mxn mn 2 m 1 m n 2 22 21 n 1 12 11 b b b x x x a a a a a a a a a                                               .

La matriz A es la de los coeficientes, de orden m x n, donde en cada fila ponemos los coeficientes de su correspondiente ecuación. La matriz X o matriz de las incógnitas, n x 1, y la matriz b, la de los términos independientes, de orden m x 1.

Una matriz que se usa con cierta frecuencia en la teoría de sistemas es la

matriz ampliada del sistema, que se construye añadiéndole a la matriz de

coeficientes una columna más, la de los términos independientes, tal y como vemos a continuación:                 m mn 2 m 1 m 3 n 3 32 31 2 n 2 22 21 1 n 1 12 11 b a ... a a . . . . . b a ... a a b a ... a a b a ... a a

Ejemplo La forma matricial del siguiente sistema

               10 x 7 x 6 x 3 1 x 3 x 4 x 2 9 x 2 x x S 3 2 1 3 2 1 3 2 1                                  10 1 9 x x x 7 6 3 3 4 2 2 1 1 3 2 1

           10 7 6 3 1 3 4 2 9 2 1 1

Nota.- Para construir la forma matricial de un sistema, es necesario escribir las incógnitas en el mismo orden en cada ecuación del sistema.

Definición Una solución de un sistema S es un conjunto de números n

2 1,s ,...,s

s _{, tales que todas las ecuaciones del sistema se satisfacen, es decir,} se verifican las igualdades cuando hacemos la sustitución x1s x1, 2 s2,...,xn sn Ejemplo El siguiente sistema

          4 x 9 x x 3 1 x 3 x x 4 3 2 1 3 2 1

tiene a x1 1, x2 2, x3  1 como solución puesto que satisfacen las dos

ecuaciones del sistema 

     29( 1) 4 1 · 3 1 ) 1 ·( 3 2 1 · 4

Sin embargo, x1 6, x2  1, x3  1 no es una solución pues solamente satisface la segunda ecuación y no la primera.

No todos los sistemas de ecuaciones lineales van a tener solución. Por ejemplo el siguiente sistema        11 y x 10 y x

Claramente no tiene solución, ya que las dos ecuaciones del sistema se contradicen entre sí. Cuando un sistema no tiene solución se dice que es

incompatible (inconsistente), en cambio si tiene alguna solución se denomina compatible (consistente).

Una forma de ver las posibilidades que se pueden presentar al resolver sistemas de ecuaciones lineales, es verlo desde una óptica geométrica. Consideremos un sistema general de dos ecuaciones lineales con incógnitas

x e y_:

a x

b y

c

a x

b y

c

1 1 1 2 2 2









Geométricamente las dos ecuaciones lineales que definen el sistema son las ecuaciones de dos rectas en el plano, nos referiremos a ellas como l1 y l2.

Como sabemos que un punto (x y, ) está en la recta si y sólo si satisface la ecuación de dicha recta, entonces la soluciones del sistema anterior van a ser los punto de intersección de l1 y l2. Por lo tanto se tienen tres posibilidades:

1. Las rectas l1 y l2 pueden ser paralelas, por lo tanto no van a tener ningún

punto en común, es decir, no existe intersección alguna y, como consecuencia, el sistema no tiene solución.

2. Las rectas l1 y l2 pueden cortarse en un sólo punto, en cuyo caso el

sistema tiene una única solución

3. Las rectas l1 y l2 _{pueden coincidir, en cuyo caso existen una infinidad de}

puntos en donde las rectas intersectan y, por tanto el sistema tendrá una infinidad de soluciones.

Aunque sólo hemos considerado dos ecuaciones con dos incógnitas se puede demostrar que estos resultados se pueden extender a un sistema arbitrario. Es decir todo sistema de ecuaciones lineales no tiene solución alguna, tiene

únicamente una solución, o bien, tiene una infinidad de soluciones.

Definición Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el

mismo conjunto de soluciones

Definición Operaciones elementales en un sistema

 Intercambiar dos ecuaciones.

 Mutiplicar una ecuación por un número distinto del cero.  Sumar a una ecuación un multiplo de otra.

Proposición 2.1 Dado un sistema de ecuaciones lineales, si realizamos una

operación elemental sobre él entonces el nuevo sistema que se obtiene es equivalente al primero.

El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales es reemplazar el sistema dado por uno equivalente, pero que sea más sencillo de resolver. A continuación veremos un procedimiento sistemático para resolver sistemas aplicando las operaciones elementales que hemos definido anteriormente y que va a ir reduciendo el número de incógnitas en cada ecuación del sistema (eliminación Gaussina).

Ejemplo 4 Resolvamos el siguiente sistema

0 z 5 y 6 x 3 1 z 3 y 4 x 2 9 z 2 y x         

Vamos a trabajar para mayor comodidad. con su matriz ampliada, y designaremos cada fila de la matriz con la letra ei

            0 5 6 3 1 3 4 2 9 2 1 1 e e e 3 2 1

Para hallar las soluciones basta determinar la forma escalonada de la matriz ampliada

Paso 1. Dado que a11 0, consigamos ceros por debajo (pivotar)

                   27 11 3 0 17 7 2 0 9 2 1 1 e 3 e e e 2 e e e e 1 3 ' 3 1 2 ' 2 1 ' 1

Paso 2. El primer elemento no nulo de la segunda fila es a22,(pivote)

consigamos en esa posición un 1

                       27 11 3 0 2 / 17 2 / 7 1 0 9 2 1 1 e e e 2 1 e e e ' 3 '' 3 ' 2 '' 2 ' 1 '' 1

Paso 3. Conseguir ceros por debajo del elemento pivote a22 .

                  2 / 3 2 / 1 0 0 2 / 17 2 / 7 1 0 9 2 1 1 e 3 e e e e e e '' 2 '' 3 '' ' 3 '' 2 '' ' 2 '' 1 '' ' 1

Se ha obtenido el siguiente sistema equivalente

                                                  3 z 2 y 1 x 3 z 2 y 9 6 2 x 3 z 2 17 2 21 y 9 6 y x 2 3 z 2 1 2 17 z 2 7 y 9 z 2 y x

Este método, conocido como método de Gauss se puede aplicar a cualquier matriz para transformarla en una en forma escalonada principal. Si se obtiene la forma reducida de la matriz ampliada aparecerán las soluciones en la última columna, en ese caso estamos desarrollando el método de Gauss-Jordan. A menudo no es preciso llegar a una matriz escalonada reducida, sino con conseguir la matriz escalonada principal es suficiente. Cuando se hace esto, se puede resolver el sistema de ecuaciones que corresponde por medio de la técnica llamada sustitución regresiva.

Paso 5. A partir de la última fila no nula y yendo hacia arriba, se suman múltiplos adecuados de la fila, para introducir ceros por encima de los unos pivotes.

                3 1 0 0 2 / 17 2 / 7 1 0 9 2 1 1 e 2 e e e e e ' ' ' 3 iv 3 ' ' `' 2 iv 2 ' ' ' 1 iv 1                3 1 0 0 2 0 1 0 3 0 1 1 e e e 2 7 e e e 2 e e iv 3 iv 3 v 3 iv ` 2 v 2 iv 3 iv 1 v 1               3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 e e e e e e e v 3 vi 3 v ` 2 vi 2 v 3 v 1 vi 1

Ejemplo Resolvamos el siguiente sistema

1 z x 3 1 z y x 2 2 z 2 y x        

Trabajemos con su matriz ampliada

             1 1 0 3 1 1 1 2 2 2 1 1 e e e 3 2 1

Paso 1. Pivotemos sobre a11 0

                   1 5 3 0 3 5 3 0 2 2 1 1 e 3 e e e 2 e e e e 1 3 ' 3 1 2 ' 2 1 ' 1

Paso 2. Pivotemos sobre a22  0

                 4 0 0 0 3 5 3 0 2 2 1 1 e e e e e e e ' 2 ' 3 ' ' 3 ' 2 '' 2 ' 1 '' 1

la última fila nos está indicando un absurdo, es decir, estamos ante un sistema incompatible.

Ejemplo Resolvamos el siguiente sistema

1 x 5 x 6 x 5 x 4 x 2 28 x 12 x 6 x 10 x 4 x 2 12 x 7 x 2 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 3             

Trabajaremos por comodidad sin los corchetes de la matriz ampliada y designando a cada fila de la matriz con la letra ei. Así nos queda

1 5 6 5 4 2 e 28 12 6 10 4 2 e 12 7 0 2 0 0 e 3 2 1     

Paso 1. Se intercambia la primera fila con otra, si es necesario, con el fin de llevar un elemento distinto de cero al extremo izquierdo de la primera fila

1 5 6 5 4 2 e 12 7 0 2 0 0 e e 28 12 6 10 4 2 e e 3 1 2 2 1         

Paso 2. Si el elemento que está ahora en el extremo izquierdo de la fila primera, encontrada en el paso 1, es a, se multiplica la primera fila por 1/a, con el fin de obtener el 1 pivote

1 5 6 5 4 2 e 12 7 0 2 0 0 e 14 6 3 5 2 1 e ) 2 / 1 ( e 3 2 1 1         

Paso 3. Conseguir ceros por debajo del elemento pivote. Para ello sumaremos a las filas inferiores la fila pivote multiplicada por el número adecuado.

29 17 0 5 0 0 e 2 e e 12 7 0 2 0 0 e 14 6 3 5 2 1 e 1 3 3 2 1          

Paso 4. Empezamos ahora aplicando el paso 1 a la segunda fila. Se continúa de esta manera hasta que la matriz quede en forma escalonada.

29 17 0 5 0 0 e 2 e e 6 2 / 7 0 1 0 0 e ) 2 / 1 ( e 14 6 3 5 2 1 e 1 3 3 2 2 1               1 2 / 1 0 0 0 0 e 5 e e 6 2 / 7 0 1 0 0 e 14 6 3 5 2 1 e 2 3 3 2 1          

Ahora lo terminamos trabajando con la tercera fila

2 1 0 0 0 0 e 2 e 6 2 / 7 0 1 0 0 e 14 6 3 5 2 1 e 3 3 2 1        

La matriz completa está ahora en forma escalonada, para poderla tener en forma escalonada reducida se necesitan los siguientes pasos adicionales. Paso 5. Introducir ceros por encima de los unos pivotes.

2 1 0 0 0 0 e 1 0 0 1 0 0 e ) 2 / 7 ( e e 14 6 3 5 2 1 e 3 3 2 2 1        

2 1 0 0 0 0 e 1 0 0 1 0 0 e 2 0 3 5 2 1 e 6 e e 3 2 3 1 1         2 1 0 0 0 0 e 1 0 0 1 0 0 e 2 0 3 5 2 1 e 5 e e 3 2 2 1 1 iv       

Observemos que el resultado final, puesto en forma de matriz está en forma escalonada reducida           2 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 7 0 3 0 2 1

Que poniéndolo en notación de sistema de ecuaciones

                      2 x 1 x 7 x 3 x 2 x 2 x 1 x 7 x 3 x 2 x 5 3 4 2 1 5 3 4 2 1

y dando valores arbitrarios a x2= y x4 =, obtendríamos las soluciones del

sistema

x1=-2-3+7, x2= , x3= 1, x4=, x5=2, Este sistema tiene infinitas soluciones.

Discusión de sistemas de ecuaciones lineales

Discutir un sistema es clasificar un sistema, de ahí que pasemos a dar algunos criterios para la clasificación de sistemas

Definición Clasificación de los sistemas 1) según los términos independientes:

 homogéneos: todos los términos independientes son cero.

 no homogéneos: alguno de los términos independientes no es cero.

2) según el número de las soluciones:

 compatible determinado: una única solución.  compatible indeterminado: infinitas soluciones.  incompatible: no tiene solución.

Teorema de Rouche Frobenius, sea S un sistema de ecuaciones lineales

con n incógnitas, sea A la matriz de coeficientes y (A|b) la matriz ampliada es

 Incompatible (S.I), sí y solo sí, el rango(A) < rango(A|b).

 Compatible determinado (S.C.D), sí y solo sí, rango(A)= rango(A|b)= n.

 Compatible indeterminado (S.C.I), sí y solo sí, rango(A)= rango(A|b)<n. Además, en los sistemas S.C.I se dice que tienen n-rango(A) grados de libertad, es decir, el número de parámetros que tendrán las soluciones del sistema.

       55 = z 5 y 5 + x 2 20 = z y 3 x 25 = z 2 + y 2 + x cumple:                                     10 2 0 0 5 1 1 0 25 2 2 1 5 1 1 0 5 1 1 0 25 2 2 1 55 5 5 2 20 1 3 1 25 2 2 1

tenemos rang(A|b) = rang(A) =3, luego S.C.D.

Ejemplo Dado el siguiente sistema



















45

=

z

5

y

5

+

x

2

20

=

t

z

y

3

x

25

=

t

z

2

+

y

2

+

x

cumple:                                           0 0 0 0 0 5 2 1 1 0 25 1 2 2 1 5 2 1 1 0 5 2 1 1 0 25 1 2 2 1 45 0 5 5 2 20 1 1 3 1 25 1 2 2 1

tenemos rango(A|b) = rango(A) = 2, luego S.C.I.. con dos grados de libertad

Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene siempre solución, ya que siempre se va a cumplir que rang(A) = rang(A|b), por lo tanto teniendo en cuenta el Teorema de Rouché- Frobenius el sistema va a ser compatible. Además la solución trivial x1  x2 x3 ... xn 0_{es siempre una solución del} sistema.

Proposición Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con más

incógnitas que ecuaciones tiene infinitas soluciones.

Ejemplo Resolver el siguiente sistema homogéneo aplicando el método de

Gauss-Jordán 0 x x x 0 x x 2 x x 0 x x 3 x 2 x x 0 x x x 2 x 2 5 4 3 5 3 2 1 5 4 3 2 1 5 3 2 1                 

                  1 1 1 0 0 1 0 2 1 1 1 3 2 1 1 1 0 1 2 2

Aplicando el método nos queda

            0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1

El sistema es S.C.I con dos grados de libertad, pues rango(A)= rango(A|b)= 3, y cuyo sistema equivalente es

0 0 0 4 5 3 5 2 1       x x x x x x

Despejando las variables principales (aquellas que posean un pivote en su columna) llegaríamos 0 4 5 3 5 2 1       x x x x x x

y dándole valores arbitrarios a x2 y a x5, obtendríamos el conjunto de

soluciones           5 4 3 2 1 x 0 x x x x

Ejemplo Halla k para que el sistema S sea compatible indeterminado

         0 4 3 0 4 3 2 0 = kz y + x = z y x = z + y + x S

Expresemos el sistema en forma matricial

                                  5 0 0 2 1 0 1 1 1 3 1 0 2 1 0 1 1 1 4 3 4 3 2 1 1 1 k k k

Si k= 5 rango(A)= rango(A|b)= 2, el sistema será compatible indeterminado y admitirá soluciones no triviales.

Hasta ahora habíamos usado para resolver sistemas el método de Gauss o el de Gauss-Jordan, el que veremos a continuación sólo sirve para determinados sistemas, además de resultar laborioso a la hora de aplicarlo por la presencia de determinantes en su desarrollo.

Definición Llamaremos sistema Cramer: a un sistema donde el número de

ecuaciones e incógnitas coincidan y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

Para la resolución de este tipo de sistemas se puede usar la regla de Cramer que se expone a continuación

Proposición (Regla de Cramer): Sea un sistema de n ecuaciones y n

incógnitas tal que |A| 0 entonces el sistema tiene solución única siendo ; ) A det( ) A det( x ;...; ) A det( ) A det( x ; ) A det( ) A det( x₁ 1 ₂  2 _n  n

con Ai la matriz A pero cambiando la columna i por los términos independientes.

Ejemplo Resolver el siguiente sistema aplicando Cramer

2 = z + y 5 = 2z y -2x 6 = z y + 3x      Dado que 0 13 6 2 0 2 0 3 1 1 0 2 1 2 1 1 3            

podemos aplicar Cramer

; 2 13 26 13 1 1 2 2 1 5 1 1 6 x         13 1; 13 13 1 2 0 2 5 2 1 6 3 y        13 1 13 13 2 1 0 5 1 2 6 1 3 z        Conclusiones:

Resumamos los aspectos más importantes tratados en la conferencia

 Resumir el método de Gauss que nos permite de manera rápida calcular la solución de un sistema de ecuaciones lineales.

 Puntualizar el procedimiento para calcular la solución en el caso que sea homogéneo el sistema de ecuaciones lineales

 Notar que el método de Cramer solo es aplicable a los sistemas que son compatibles determinados.