Ejercicios Resueltos Del Metodo de La Corteza Cilindrica

(1)

Ejercicios resueltos de volumen…

METODO DE LOS DISCOS

1)

H

allar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la región bajo

la

curva:

y = √x, de 0 a 1.

-solución:

el solido está entre x=0 y x=1, graficamos y sacamos un disco (disco rosado).

El volumen de este disco será:

V= π (√x)² = πx

V= A(X) dx = πx dx = π calculado entre 0 y 1 = =

2)

Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la región limitada por

,

y

,

alrededor

del

eje

y.

-solución:

Tenemos que despejar a

en términos de y así:

Graficamos y sacamos el disco (disco rosado):

(2)

el volumen de este disco será:

calculado entre 0 y 8

METODO

DE

LOS

ANILLOS:

3)

Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas

y=

x

y

y=

x²

en

torno

al

eje

x.

-solución:

Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersección:

x=x²

x−x²=0

X

(x−1)=0

x=0 y x=1

ya con los puntos de intersección graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos

resulta (anillo rosado)

(3)

En este punto tenemos que mirar cual es el radio externo y cual el interno

El radio interno es y= x² y el radio externo es y= x.

Ahora hallamos el volumen:

V=π

(R²−r²) dx

V=π

=

calculado

entre

0 y

1 =

METODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS:

4)

la región acotada por la grafica de y= 2x−x ² alrededor del eje y¸ calcule el volumen

del solido resultante.

-solución:

(4)

Donde wi es el radio de él cascaron y el grueso es Axi, y la altura es y= 2x−x ² tenemos

que el volumen del cascaron es:

2πWi(2Wi − Wi²) ∆Xi

V= 2π x(2x − x²) dx

V= 2π

Calculado entre 0 y 8

Acerca de estos anuncios

Por medio del método de arandelas

Volumen Mediante Metodo de Arandelas

Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el solido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el solido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes pero siempre el ancho

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1. Se dibuja, en un diagrama, el area generatriz, una franja representativa paralela al eje de rotacion, y su rectangulo correspondiente.

2. Se halla el volumen (= circunferencia media X altura X espesor) del anillo cilindrico producido en la rotacion del rectangulo generico con respecto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a los n rectangulos.

3. Se aplica el teorema fundamental, o regla de Barrow, suponiendo que el numero de rectangulos crece indefinidamente.

Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada por la parabola y la ordenada correspondiente a con respecto a esta recta. Aplicar el metodo del anillo

Volúmenes por método de arandelas.

Dividimos el area mediante franjas verticales y elegimos, para mayor sencillez, el punto P de forma que sea el punto medio del segmento AB. La altura del rectangulo generado es

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su base:

y su distancia al eje de giro, es:

Cuando este rectangulo gire alrededor de este eje se produce un anillo cilindrico de volumen:

.

El volumen pedido sera:

Ejemplos

Ejemplo # 1

 Hallar el volumen del sólido resultante al hacer girar en el eje la figura encerrada por las curvas:

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para encontrar el área de un anillo: tenemos que:

Encontramos el volúmen

calculamos para n-anillos y optimisamos.

Reescribimos como la integral variando de 0 a 1

resolvemos.

Ejemplo # 2

 Encontrar el volúmen del sólido obtenido al girar la región limitada por las

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-las curvas quedarían graficadas de la siguiente manera:

siendo la curva roja y la azul .

lo primero que debemos darnos cuenta es que, al girar la region sobre el eje , necesitamos tener las funciones respecto al eje y, para asi encontrar los intervalos entre los puntos de intersección sobre el eje . En este ejemplo las funciones ya están despejadas para , ya que necesitamos una función que por cada valor de nos devuelva el valor correspondiente en , puesto que éste será nuestro radio para cada circunferencia que sumaremos.

para encontrar los puntos de intersección realizamos lo siguente: igualamos:

despejamos:

obtenemos el punto de interseccion de las 2 curvas sobre el eje y: .

con esto sabemos que el integral correria desde hasta .

ahora construyamos el integral:

sabemos que hay dos curvas una sobre la otra, con la grafica podemos

darnos cuenta que está sobre , esto quiere decir que el

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Entonces, el volúmen total del sólido sería:

Y expresado en una integral definida sería:

resolviendo la integral:

la respuesta final:

Wizzard12:12 31 oct 2009 (CST)

Ejemplo # 3

 Calcular el volúmen del sólido:

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Solución

Como se observa en la gráfica anterior, al girar el sólido en torno al eje , el sólido que se forma mediante el método de discos es un anillo, entonces se procede a calcular el volúmen total del anillo, sabiendo que éste es:

Y tomamos en cuenta los valores para cada radio del

anillo y

Buscamos los intervalos; igualamos

Intervalos [0,2]

Ahora encontramos el :

(11)

Ahora encontramos el :

Ahora aplicamos límites :

Ahora por medio del teorema fundamental del cálculo, integramos:

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Método de Arandelas

Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este

caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por la tanto se le da el

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