Ejercicios Resueltod de Prueba de Hipótesis

(1)

EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPOTESIS

1. Se necesita obreros calificados para trabajar en una línea de montaje que 1. Se necesita obreros calificados para trabajar en una línea de montaje que requiere en promedio 42 segundos para terminar la operación. Un obrero que requiere en promedio 42 segundos para terminar la operación. Un obrero que aspira al trabajo se pone a prueba durante 25 ciclos de esta operación y los aspira al trabajo se pone a prueba durante 25 ciclos de esta operación y los resultados son: tiempo total, 1300 segundos con una desviación estándar de 6 resultados son: tiempo total, 1300 segundos con una desviación estándar de 6 segundos. De acuerdo con esta prueba, ¿darías el empleo a este obrero, segundos. De acuerdo con esta prueba, ¿darías el empleo a este obrero, asumiendo un error alfa de 0.01?

asumiendo un error alfa de 0.01? Datos:

Datos:

 = 42

 = 25

Se Se aplica aplica t t student student porque porque n n < < 3030



̅̅ =

=

1300

25

25 = 52

= 52

 =

 = 66

PASO 1 PASO 1 Ho: Ho:

 = 42

Ha:

 > 42

Prueba Prueba cola cola derechaderecha PASO 2 PASO 2

 = 0,01



_{}_{}

= 25

= 25 − 1 =

− 1 = 24

24 

__

= 2,49

PASO 3 PASO 3



 =

=



̅̅ −

− 

_

√

√ 



 =

=

5 522 −

− 4422

₆₆

√

√ 25

25  = 8,33

 = 8,33

PASO 4 PASO 4



__

>

> 

_ PASO 5 PASO 5

(2)

Dado que tcal > tc se rechaza la Hipótesis Nula y se acepta la Hipótesis Alternativa, es decir, que el tiempo promedio del obrero es mayor al requerido que son 42 segundos en la línea de montaje. En conclusión no se debe dar el empleo al obrero.

2. La Profeco investiga acusaciones contra una embotelladora porque no llena los refrescos adecuadamente; ha muestreado 40 botellas y h a descubierto que el contenido promedio es de 1.98 litros de líquido. En la propaganda se anuncia que las botellas contienen 2.0 litros de líquido. Se sabe que la desviación estándar del proceso de producción es de 40 ml de líquido. ¿Debe la Profeco llegar a la conclusión de que las botellas no están siendo llenadas

correctamente? Usa α = 1%.

Datos:

 = 40

Se aplica z normal porque n > 30

̅ = 1,98

 = 2

 = 40 = 0,04

PASO 1

Ho:

 = 2

Ha:

 < 2

Prueba cola izquierda PASO 2

 = 0,01



_

= 2,33

PASO 3

 =

̅ − 

_

√ 

 =

1,98 − 2

_0,04

√ 40

 = −3,16

PASO 4



_

< −

_ PASO 5

(3)

Dado que tcal < -tc se rechaza la Hipótesis Nula y se acepta la Hipótesis Alternativa, es decir, que la embotelladora no está llenando adecuadamente los refrescos poniendo menos de 2 litros. En conclusión Profeco puede concluir que las botellas no están siendo llenadas correctamente.

3. Se realiza un estudio en el que se analizan dos tipos de barras de polímero, cuya tensión se refuerza con fibra de vidrio (FRP). Estas barras, en sustitución de las vigas de acero, son utilizadas para reforzar concreto, por lo que su caracterización es importante para fines de diseño, control y optimización para los ingenieros estructurales. Las barras se sometieron a tensión hasta registrarse su ruptura (en Mpa). Los datos para dos tipos de barras se muestran en la tabla. Pruebe la hipótesis a un nivel de significancia de 5%

BARRA 1 BARRA 2 939 1025 976 938 1025 1015 1034 983 1015 843 1015 1053 1022 1038 815 938 Datos:

 = 0,05

PASO 1 Ho:



_

= 

_

Ha:



_

≠ 

_ Prueba 2 colas PASO 2

 = 0,05



_{}

= 8 + 8 − 2 = 14



_/

= 2,14

PASO 3

Se va a realizar una prueba t para varianzas iguales, porque la desviación estándar 1 no supera en más de 3 veces a la desviación estándar 2

BARRA 1 BARRA 2

Media 980,125 Media 979,125

Error típico 26,07573961 Error típico 24,7281198

Mediana 1015 Mediana 999

Moda 1015 Moda 938

Desviación estándar 73,75332922 Desviación estándar 69,9416849 Varianza de la muestra 5439,553571 Varianza de la muestra 4891,83929

Curtosis 3,962326117 Curtosis 0,78752882

(4)

Rango 219 Rango 210

Mínimo 815 Mínimo 843

Máximo 1034 Máximo 1053

Suma 7841 Suma 7833

Cuenta 8 Cuenta 8

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales.

BARRA 1 BARRA 2

Media 980,125 979,125

Varianza 5439,553571 4891,839286

Observaciones 8 8

Varianza agrupada 5165,696429 Diferencia hipotética de las medias 0

Grados de libertad 14

Estadístico t 0,027826947

P(T<=t) una cola 0,489096476 Valor crítico de t (una cola) 1,761310136 P(T<=t) dos colas 0,978192953 Valor crítico de t (dos colas) 2,144786688

PASO 4



_

< 

_ PASO 5

Dado que tcal < tc se acepta la Hipótesis Nula, es decir, no existe diferencia significativa entre la barra 1 y la barra 2.

La probabilidad 0,978 es mucho mayor que el nivel de significancia, esto respalda la decisión tomada.

Se concluye que los resultados obtenidos son altamente significativos estadísticamente.

4. Se conduce un experimento para determinar si el uso de un aditivo químico y un fertilizante estándar aceleran el crecimiento de las plantas. En cada una de 10

(5)

localidades se estudiaron dos plantas sembradas en condiciones similares. A una planta de cada localidad se le aplicó el fertilizante puro y a la otra el fertilizante más el aditivo. Después de cuatro semanas el crecimiento en centímetros fue el siguiente, ver tabla. ¿Los datos obtenidos apoyan la afirmación de que el aditivo químico acelera el crecimiento de las plantas? Realice la prueba con un alfa de 5%.

SIN ADITIVO CON ADITIVO

20 23 31 34 16 15 22 21 19 22 32 31 25 29 18 20 20 24 19 23 Datos:

 = 10

 = 0,05

PASO 1 Ho:



_

= 0

Ha:



_

≠ 0

Prueba 2 colas PASO 2

 = 0,05



_{}

= 10 − 1 = 9



_/

=

PASO 3

Prueba t para medias de dos muestras emparejadas.

SIN ADITIVO CON ADITIVO

Media 22,2 24,2

Varianza 29,73333333 31,73333333

Observaciones 10 10

Coeficiente de correlación de Pearson 0,924567649 Diferencia hipotética de las medias 0

Estadístico t -2,927700219

(6)



_

< −

_ PASO 5

Dado que tcal < -tc se rechaza la Hipótesis Nula y se acepta la Hipótesis Alternativa, es decir, que existe una diferencia en el crecimiento de las plantas cuando se les aplica un aditivo, de cuando no se aplica dicho aditivo.

La probabilidad 0,01681 es menor que el nivel de significancia, esto respalda la decisión tomada.

5. El administrador de una empresa de taxis está tratando de decidir si el uso de neumáticos radiales en lugar de neumáticos regulares cinturados mejora el rendimiento de combustible. Se equipan 12 autos con neumáticos radiales y se conducen en un recorrido de prueba preestablecido. Sin cambiar a los conductores, los mismos autos se equipan con neumáticos regulares cinturados y se conducen nuevamente en el recorrido de prueba. Se registraron los siguientes datos sobre el consumo de gasolina, en kilómetros por litro, ver tabla. ¿Podemos concluir que los autos equipados con neumáticos radiales ahorran más combustible que aquellos equipados con neumáticos cinturados? Suponga que las poblaciones se distribuyen normalmente. Utilice un alfa de 5%.

RADIALES CINTURADAS 4,2 4,1 4,7 4,9 6,6 6,2 7 6,9 6,7 6,8 4,5 4,4 5,7 5,7 6 5,8 7,4 6,9 4,9 4,7 6,1 6 5,2 4,9

(7)

Datos:

 = 12

 = 0,05

PASO 1 Ho:



_

= 0

Ha:



_

≠ 0

Prueba 2 colas PASO 2

 = 0,05



_{}

= 12 − 1 = 11



_/

= 2,2

PASO 3

Prueba t para medias de dos muestras emparejadas.

RADIALES CINTURADAS

Media 5,75 5,608333333

Varianza 1,108181818 0,988106061

Observaciones 12 12

Coeficiente de correlación de Pearson 0,983002407 Diferencia hipotética de las medias 0

PASO 4



_

> 

_ PASO 5

Dado que tcal > tc se rechaza la Hipótesis Nula y se acepta la Hipótesis Alternativa, es decir, que existe una diferencia en el ahorro de combustible en autos equipados con neumáticos radiales que los autos equipados con neumáticos cinturadas.

(8)

La probabilidad 0,0303 es menor que el nivel de significancia, esto respalda la decisión tomada.

6. Un geólogo recolectó 18 muestras diferentes de mineral, todas del mismo peso y al azar las dividió en dos grupos. Los contenidos de titanio de las muestras, que encontró usando dos métodos diferentes, se detallan a continuación: METODO 1 METODO 2 13 10 13 13 15 11 14 12 11 12 16 17 13 13 12 14 15 16

Use 0.05 y un método apropiado con el fin de probar para una diferencia significativa en los contenidos promedio de titanio usando los dos métodos diferentes. Datos:

 = 9

 = 0,05

PASO 1 Ho:



_

= 

_

Ha:



_

≠ 

_ Prueba 2 colas PASO 2

 = 0,05



_{}

= 9 + 9 − 2 = 16



_/

=

PASO 3

Se va a realizar una prueba t para varianzas iguales, porque la desviación estándar 1 no supera en más de 3 veces a la desviación estándar 2

METODO 1 METODO 2

Media 13,5555556 Media 13,1111111

Error típico 0,52996622 Error típico 0,75359222

Mediana 13 Mediana 13

Moda 13 Moda 13

(9)

Varianza de la muestra 2,52777778 Varianza de la muestra 5,11111111 Curtosis -0,66265289 Curtosis -0,31018769 Coeficiente de asimetría -0,00987395 Coeficiente de asimetría 0,57522968

Rango 5 Rango 7

Mínimo 11 Mínimo 10

Máximo 16 Máximo 17

Suma 122 Suma 118

Cuenta 9 Cuenta 9

Prueba t para dos muestras suponiendo varianzas iguales.

METODO 1 METODO 2

Media 13,5555556 13,1111111

Varianza 2,52777778 5,11111111

Observaciones 9 9

Varianza agrupada 3,81944444 Diferencia hipotética de las medias 0

PASO 4



_

< 

_ PASO 5

Dado que tcal < tc se acepta la Hipótesis Nula, es decir, no existe diferencia significativa entre el método 1 y el método 2.

La probabilidad 0,636 es mucho mayor que el nivel de significancia, esto respalda la decisión tomada.

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