Tema 3-1. Repaso de potencias

Tema 3 - 1. Repaso de potencias

∗ Potencias de exponente natural:

1. an · am = an+m 2. (an)m = an·m 3. an/am = an−m ∗ Las propiedades anteriores se generalizan a exponentes

enteros. Por ello,

1. a0 = 1 2. a−n = 1 an ∗ Y a exponentes racionales.

Ejercicios

1. Si 23 · 8 = 2m, ¿cu´anto vale m? 2. Si 315 ÷ 9 = 3r, ¿cu´anto vale r? 3. Si y−3 = 27, ¿cu´anto vale y?

4. Si 9r = √243, ¿cu´anto vale r? 5. Si 27s = 1₉, ¿cu´anto vale s?

6. Si x−1/3 = 2, ¿cu´anto vale x? 7. Simplifica 2 2 _{+ 2}5 24 − 23 . 8. Calcula 2 4 _{· 8}2 45 + 26

2. Repaso de ´

algebra

∗ El ´algebra permite razonar sobre cantidades desconocidas, estableciendo relaciones entre ellas:

Juan se ha presentado a un concurso en el que le hicieron 40 preguntas. Le daban 150 euros de premio por cada

respuesta acertada, y le restaban 60 euros por cada fallo. Si no pod´ıa dejar preguntas en blanco y se llevo 4530 euros de premio, ¿cu´antas respuestas acert´o?

Ecuaciones lineales

∗ Resolver una ecuaci´on como

150x − 60 · (40 − x) = 4530

es encontrar el valor de x para el que se cumple la igualdad.

∗ La x se encuentra (“despeja”) utilizando estas dos propiedades de las igualdades:

1. Si a los dos t´erminos de una igualdad se le suma un mismo n´umero, la igualdad sigue siendo cierta.

2. Si los dos t´erminos de una igualdad se multiplican por un mismo n´umero, la igualdad sigue siendo cierta.

∗ Ejercicio: El volumen de una esfera es 1 dm3. Calcula su radio. (El volumen de una esfera de radio r es V = 4

3πr

3

Problemas

∗ Un padre tiene 47 a˜nos y su hijo 11. ¿Cu´antos a˜nos tienen que pasar para que la edad del padre sea el triple que la del hijo?

∗ De un n´umero de dos cifras sabemos que al invertir el

orden se obtiene un n´umero 36 unidades mayor. Encuentra el n´umero sabiendo que la suma de las cifras es 10.

∗ En un garaje hay 110 veh´ıculos, entre coches y motos. Si hay en total 360 ruedas, ¿cu´antos coches hay?

∗ Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, con la mala fortuna de que se tropieza y se le rompen 2/5 de los

Cuadrado de una suma

¿Para qu´

e sirve el cuadrado del binomio?

∗ 472 =

∗ 982 =

(1) C´alculo mental

(2) Dibujo de par´abolas

∗ Una ecuaci´on de segundo grado es una expresi´on de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son n´umeros conocidos.

∗ Ejemplo:

encuentra las soluciones de la ecuaci´on x2 + 4x − 12 = 0.

∗ Agrupando cuadrados en la expresi´on ax2 + bx + c = 0 se obtiene la conocida f´ormula para las soluciones:

x = −b ± √

b2 − 4ac 2a

L´

ogica

∗ Una proposici´on es una oraci´on declarativa que es cierta o falsa, pero no ambas cosas a la vez.

∗ Ejemplos de proposiciones:

a) Madrid es la capital de Espa˜na. b) 2 + 2 = 7.

c) Existen infinitos n´umeros primos.

∗ No son proposiciones a) ¿Hace fr´ıo?

b) Pr´estame el libro, por favor.

Operaciones con proposiciones

∗ La negaci´on de la proposici´on p se denota ¬p, p0 ´o p¯.

∗ La conjunci´on de p y q, denotada p ∧ q, es la proposici´on que es cierta cuando tanto p como q son ciertas (y falsa en cualquier otro caso).

∗ La disyunci´on de p y q, denotada p ∨ q, es la proposici´on que es cierta cuando al menos una de las proposiciones p y q son ciertas (y falsa, por tanto, cuando p y q son falsas).

∗ Ejemplo: considera las proposiciones:

p ≡ “Esta tarde har´e deporte” q ≡ “Esta noche ir´e al cine”

La implicaci´

on

∗ La implicaci´on es la base del razonamiento (no s´olo del razonamiento matem´atico).

∗ La expresi´on p → q se lee “si p, entonces q” o “p implica q” p → q dice que si p es cierta, entonces q tambi´en es cierta (y no dice nada si p es falsa).

∗ Consideremos las proposiciones:

p ≡ “Toby es un perro sano” q ≡ “Toby tiene cuatro patas”

La implicaci´

on

∗ El error m´as frecuente en l´ogica es confundir la implicaci´on

“p → q” con “¬p → ¬q” o con “q → p”.

∗ Ojo: si sabemos que p → q es cierta,

- si p es falsa, no podemos asegurar que q sea falsa. - si q es cierta, no podemos asegurar que p sea cierta.

∗ Considera las proposiciones:

p: “a y b son n´umeros pares” q: “a + b es par”

∗ Estudia si son ciertas las implicaciones

a) p → q b) q → p c) ¬p → ¬q d) ¬q → ¬p ∗ Obs: Si p → q es cierta, entonces ¬q → ¬p tambi´en es

cierta. (Las dos proposiciones son equivalentes).

Ejercicio

∗ Considera la proposici´on

p ≡ “Si n es primo, entonces r(n, 6) = 1 ´o r(n, 6) = 5”

(Recuerda: sabemos que esta proposici´on es cierta). 1. Si te dicen que r(14093, 6) = 5, ¿puedes decidir si

14093 es o no primo?

2. Si te dicen que r(52461, 6) = 3, ¿puedes decidir si 52461 es o no primo?

Condici´

on necesaria y condici´

on suficiente

∗ Si p → q, decimos que:

? p es suficiente para q

(que suceda p es suficiente para asegurar que sucede q)

? q es necesaria para p

(para que suceda p es necesario que suceda q)

∗ A partir de las implicaciones

? (n es m´ultiplo de 6) → (n es m´ultiplo de 3).

? (a y b son n´umeros pares) → (a + b es un n´umero par). construye frases del tipo necesario-suficiente.

Juegos de l´

ogica

∗ De caballeros y escuderos: En una isla hay dos tipos de habitantes: los caballeros, que siempre dicen la verdad, y los escuderos, que siempre mienten. Supongamos que nos encontramos a dos habitantes. A nos dice “B es un

caballero” y B nos dice “Los dos somos de tipos opuestos”. ¿Qu´e son A y B?

∗ El acertijo del prisionero: Un prisionero est´a encerrado en una celda con dos puertas. Una de ellas conduce a la

libertad; la otra, a otra celda sin salida. En cada puerta hay un guardi´an. El prisionero sabe que un guardi´an siempre

Ejemplos de razonamiento l´

ogico

∗ ¿Puedes extraer alguna conclusi´on de las siguientes afirmaciones?

- “Si juego al f´utbol, estoy dolorido al d´ıa siguiente” - “Uso la ba˜nera de hidromasaje si estoy dolorido” - “Ayer no utilic´e la ba˜nera de hidromasaje”.

∗ Estudia si el siguiente razonamiento es o no correcto, y explica por qu´e.

Todos los estudiantes de Ingenier´ıa estudian C´alculo diferencial. Julia estudia C´alculo diferencial. Por tanto, Julia es estudiante de Ingenier´ıa.

Un juego de l´

ogica

∗ Jugamos con una baraja de cartas que tienen un n´umero en una cara y un color en la otra.

3

8

∗ Averigua a qu´e carta (o cartas) debo dar la vuelta para comprobar si la siguiente proposici´on es cierta o no:

Tipos de argumentos matem´

aticos: demostraciones

∗ Supongamos que queremos comprobar que la proposici´on

p → q es cierta.

a) Demostraci´on directa.

Comprobamos que si p es verdadera, entonces q es verdadera.

Ejemplo: da una demostraci´on directa del resultado

“Si n es impar, entonces n2 + 4 es impar”

b) Demostraci´on indirecta.

Utilizando el hecho de que p → q y ¬q → ¬p son equivalentes.

Ejemplo: da una demostraci´on indirecta del resultado

Tipos de demostraciones

c) Demostraci´on por “reducci´on al absurdo”.

Con el fin de demostrar que p es cierta, demostramos que

¬p implica una contradicci´on.

Ejemplo: demuestra (por reducci´on al absurdo) que

“ √2 no es racional”

d) Demostraci´on por casos.

Demuestra, considerando casos, el siguiente resultado:

Gr´

aficas. Interpretaci´

on.

∗ Supongamos que ponemos un cubo vac´ıo en el jard´ın, y

que medimos la altura que alcanza el agua de la lluvia una tarde de tormenta. Representamos los datos y obtenemos la gr´afica de la figura. ¿Qu´e podemos decir del tiempo esa

tarde?

4h10’ 4h20’ 4h30’ 4h40’ 4h50’ 5h00’ 5h10’ 5h20’ 5h30’ 5h40’

altura

Gr´

aficas. Interpretaci´

on.

altura

∗ Ahora la gr´afica representa la altura del agua en la ba˜nera mientras Felipe se da un ba˜no. ¿Qu´e se puede decir de

Gr´

aficas. Representaci´

on.

∗ Veamos ahora el problema inverso. Tenemos recipientes como los de la figura, y nos ponemos a llenarlos con un

grifo de caudal constante. Medimos la altura alcanzada por el agua en distintos momentos. ¿Qu´e aspecto tendr´ıa la

gr´afica en cada caso?

Ejercicio

∗ Luis sali´o de su casa a las 8:40, andando hacia el colegio. Iba andando, a velocidad constante, hasta que a las 8:45, cuando pasaba por delante de la tienda de caramelos, se dio cuenta de que se hab´ıa olvidado el bocadillo.

Volvi´o corriendo a su casa, recogi´o el bocadillo, y a las 8:50 volv´ıa a pasar por delante de la tienda de caramelos.

Dej´o de correr, y sigui´o andando hasta las 8:55, cuando se dio cuenta de que iba a llegar tarde, de manera que hizo un ´

ultimo esfuerzo y volvi´o a echar a correr, para conseguir

llegar a las 9 a su colegio. Dibuja una gr´afica que represente la distancia de Luis hasta el colegio, en funci´on de la hora.

Un problema de PISA (2000)

1. ¿Cu´al es la distancia aproximada desde la l´ınea de salida hasta el comienzo del tramo recto m´as largo que hay en la pista?

Un problema de PISA (2000)

3. ¿Qu´e se puede decir sobre la velocidad del coche entre el km. 2,6 y el 2,8?

4. En la figura aparecen 5 circuitos. ¿Sabr´ıas decir en qu´e circuito corri´o el coche de la gr´afica anterior?