Método de Rigidez

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TEMA

TEMA

MÉTODO DE RIGIDEZ SEGÚN GERE EN VIGAS

MÉTODO DE RIGIDEZ SEGÚN GERE EN VIGAS

PLANAS

PLANAS

(2)
(3)

ACCIONES Y DESPL

ACCIONES Y DESPLAZAMIENTOAZAMIENTOSS Las

Las accionesacciones son aquellas fuerzas o pares de tal manera que combinados son aquellas fuerzas o pares de tal manera que combinados

deben guardar relación. Si la

deben guardar relación. Si la carga en una viga simplemente apoyadacarga en una viga simplemente apoyada ABAB,,

es posible pensar en la combinación de las

es posible pensar en la combinación de las dos cargas mas las reaccionesdos cargas mas las reacciones

R AA y y R R BB en los apoyos como una sola  en los apoyos como una sola acción, puesto que las cuatro guardanacción, puesto que las cuatro guardan

una relación única la una con la otra.

una relación única la una con la otra.

Los desplazamientos generalmente son la traslación o rotación en

Los desplazamientos generalmente son la traslación o rotación en unun

punto. Una traslación se refiere a una

punto. Una traslación se refiere a una distancia recorrida y la rotacióndistancia recorrida y la rotación

significa un ángulo de rotación.

significa un ángulo de rotación.

B B  A  A P  P  R  R  A A (b)(b) R R BB P  P  O O B B  A  A P  P  R 

R  A A (a)(a) R R BB

P  P 

(4)

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Es uno de los principios mas im

Es uno de los principios mas importantes en el análisis estructural,portantes en el análisis estructural,

siempre en cuando eista una relación l

siempre en cuando eista una relación lineal entre las acciones yineal entre las acciones y

desplazamientos !causa y efecto". En general, el principio dice

desplazamientos !causa y efecto". En general, el principio dice que losque los

efectos producidos por varias causas pueden obtenerse combinando los

efectos producidos por varias causas pueden obtenerse combinando los

efectos debidos a las

efectos debidos a las causas individuales.causas individuales.

#a

#ara ilustrar este principio, las ra ilustrar este principio, las acciones y los desplazamientos causadosacciones y los desplazamientos causados

por

por AA11 y y AA22 actuando separadamente pueden combinarse para obtener los actuando separadamente pueden combinarse para obtener los

efectos por

efectos por AA11 y y AA22 y as$ formar las ecuaciones de superposicióny as$ formar las ecuaciones de superposición

B B  A  A  A  A11 M  M BB  A  A2 2  D D R  R  A A B B (a) (a) B B  A  A  A  A11 M` M`BB D'  D'  R'  R'  A A R' R'  B B (b) (b) B B  A  A M''  M'' BB  A  A2 2  D''  D''  R''  R''  (c)(c)

(5)

 A

 A

B

B

Q1

Q1

Q2 

Q2 

Q3

Q3

D2  D2  D1 D1 D3D3

La %igidez es la carga que se

La %igidez es la carga que se requiere aplicar en un #unto

requiere aplicar en un #unto

para ocasionar un desplazamiento unitario

(6)

1 1  A  A BB

D1X 

D1X 

 A

 A

B

B

D2

D2X 

1

1

(7)

 A B D3X  1

&' ( )'' *' + )' * + )'-

&( )' *' + ) * + )-

&-( )-' *' + )- * + )--

*-& (

'

-& 

'

 (

-)''

)'

)'-)'

)

)-)-'

)-

)--El #rincipio de Superposición de *esplazamientos/atriz de

%igidez.

El orden de aplicación a los desplazamientos no influye en la

deformación final de la estructura.

(8)

ANÁLISISDEVIGAS PLANOS CONELUSODELMÉTODO DERIGIDEZ

OBSERVACIONES PRELIMINARES

  IDENTIFICACIÓN DE MIEMBROS Y NODOS

#ara aplicar el m0todo de la rigidez a vigas, debemos primero identificar como subdividir la estructura en sus componentes de elemento finitos. En general, los nodos de cada elemento se localizan en un soporte, en una esquina o un nodo, en los que se aplica una fuerza eterna o donde va a determinar el desplazamiento lineal o rotacional en un punto !nodo".

(9)

 GRADO DE LIBERTAD

Los grados de libertad no restringidos de una estructura representan las incógnitas principales en el m0todo de la rigidez y por tanto, deben ser identificados los miembros de nodos y que se 1a establecido el sistema global de coordenadas, pueden determinarse los grados de libertad de la estructura

EJEMPLO:

DETERMINAR EL GRADO DE LIBERTAD DE LA

ESTRUCTURA

 A D B

EI  EI  EIA

1 2  3

5  4

La viga tiene tres elementos y cuatro nudos, que están identificados en la figura, los números que se 1an asignado, representa el grado de libertad no restringido o tambi0n conocido como el Sistema 2lobal de 3oordenadas.

(10)

 ANÁLISIS DE UNA VIGA CINEMATICAMENTE INDETERMINADA

Si una estructura es cinemáticamente indeterminada de mayor grado al primero, se debe introducir un acercamiento más organizado para la solución, as$ como una notación mas generalizada.

Entonces si se tiene una viga, con una rigidez a la fleión constante E4, se analiza de la siguiente manera5

 A B C 

L/2  L/2 L/2   L/2 

EI=CTE 

(11)

 SECUENCIA PARA EL ANÁLISIS:

PASO Nº1

SE DETERMINA EL GRADO DE INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA,

DESPRECIANDO LAS DEFORMACIONES AXIALES, DONDE “D1” Y “D2” (SEGUNDO GRADO) SON LAS ROTACIONES TOMANDO POSITIVO LAS MANECILLAS DEL RELOJ.

 A B C 

L/2  L/2 L/2   L/2 

EI=CTE 

(12)

PASO Nº2

 AORA LO !UE SE "USCA ES IMPEDIR !UE LOS NUDOS DE LA ESTRUCTURA SE DESPLACEN Y ESTO SE LOGRA EMPOTRANDO CADA TRAMO DE LA VIGA

 A B C 

L/2  L/2 L/2   L/2 

P1 P2 

(13)

PASO Nº3

SE 2E6E%76 L8S /8/E698S “ADL1 Y “ADL2 &UE S86 L7S 733486ES *E

L7S %ES9%433486ES !3869%7 L7 ES9%U39U%7 E/#89%7*7",

38%%ES#86*4E69ES 7 D1 Y D2,%ES#E394:7/E69E 37US7*7S #8% L7S

37%27S &UE 739;7 S8<%E L7 ES9%U39U%7. E69863ES5

ADL1: ES L7 SU/7 *EL /8/E698 %E7394:8 E6 B *E<4*8 7 L7 37%27 P1

&UE 739;7 E6 EL 9%7/8 AB = EL /8/E698 %E7394:8 E6 B *E<4*8 7 L7 37%27 P2 &UE 739;7 E6 EL /4E/<%8 BC.

ADL2: ES EL /8/E698 %E7394:8 E6 C *E<4*8 7 L7 37%27P2 &UE 739U7

E6 EL 9%7/8 BC!

 A B C 

P1 P2 

(14)

ES97S 733486ES ADL1=ADL2SE #UE*E6 37L3UL7% 386 L7 7=U*7 *E U67 97<L7 #7%7 /8/E698S *E E/#89%7/4E698 E6 :427S. S45 SE2;6 L7 97<L7  A B C  P2   ADL2  L/2  L/2 L/2   L/2   A B P  a b M  A=Pab L 2  2  M B= -Pab L 2  2   A B C  P1 P2   ADL1 L/2  L/2 L/2   L/2 

(15)

PASO Nº"

7>8%7 SE 94E6E &UE 37L3UL7% L8S 38E?434E69ES *E %424*E@ S E6 L8S 6U*8S A<B = A3B, ES98 SE L82%7 *76*8 *ES#L7@7/4E698S U6497%48S 7 *'= *SE2;6 38/8 SE /UES9%7 E6 L7 ?42U%7.

S45 C E69863ES  A B C  S11 S21 1  A B C  S  12  S 22  1 ; ENTONCES

(16)

#7%7 EL 37L3UL8 *E S'', S', S' = S SE >73E US8 *E 97<L7S 386 /8/E698S

SUDE97S 7 %8973486ES

PARA EL TRAMO BA Y BC SE TIENE SEGÚN LA TABLA #7%7 EL 7#8=8 < 9ramo <7C 9ramo <3C SU/76*8 !'" = !"  A 1 B B C  4EI  L 4EI  L 2EI  L 2EI  L B  A O M   A= 2EIO L M  B= 4EIO L L

(17)

PARA EL APOYO C  cuando θ('

SEGÚN TABLA

9ramo 3<C

PARA EL TRAMO CB SE TIENE

SEGÚN LA TABLA #7%7 EL 7#8=8 3 cuandoθ (' 9ramo 3<C 9ramo <3C E69863ES   ENTONCES ; C  B 4EI  L 2EI L 1 O B  A O M   A= 2EIO L M  B= 4EIO L L C  B 2EI  L 4EI L 1 O

(18)

PASO Nº#

U67 :E@ 37L3UL7*8 L7S 386*43486769ES #E%9E6E34E69ES 7 L8S /8/E698S E6 L8S 6U*8S < = 3, #%83E*E/8S 7 ?8%/UL7% 6UES9%7 E3U7346, SU#E%#864E6*8, E6 *86*E L7S 733486ES !?UE%@7S"

38%%ES#86*4E69ES 7 D1 = D2 LL7/7*7S AD1 = AD2, %ES#E394:7/E69E.

E69863ES /E*4769E L7 SU#E%#8S4346 *E L7S 733486ES *E L7 ES9%U39U%7 8%42467L !#7S8 6F" ES 42U7L 7 L7S 733486ES

38%%ES#86*4E69ES *E L7 ES9%U39U%7 E/#89%7*7 !#7S8 6F-" /7S L7S 733486ES E6 L7S ES9%U39U%7 *E<4*8 7 L8S *ES#L7@7/4E698S U6497%48S !#7S8 6F", *43>8 *E 89%7 /76E%7C L7 E3U7346 *E SU#E%#8S4346 ES5

(19)

E69863ES 2E6E%7L4@76*8 L7S E3U73486ES !'" =!" SE #UE*E6 EG#%ES7% E6 ?8%/7 /79%4347L &UE*76*8 38/85

*86*E5

AD$ %E#%ESE697 L7S 733486ES *E L7 :427 8%42467L !?UE%@7S"

ADL$ %E#%ESE697 L7S 733486ES E6 L7 ES9%U39U%7 E/#89%7*7.

S $ ES L7 /79%4@ *E %424*E@ 38%%ES#86*4E69E 7 L8S *ES#L7@7/4E698S

*ES386834*8S

D$ *ES#L7@7/4E698S *ES386834*8S

PASO Nº%

*ES#ED76*8 D L7 E3U7346 2E6E%7L SE 37L3UL7 L8S *ES#L7@7/4E698S *E L7

(20)

E69863ES E6 ?8%/7 /79%4347L SE 94E6E

%EE/#L7@76*8 L8 37L3UL7*8 E6 !a", !b", !c" = !d"

U67 :E@ *E9E%/467*8 L7S /79%43ES AD& S'1 = ADL#8*E/8S E63869%7% L7

/79%4@ *ES#L7@7/4E6985

#8% L8 97698 L7S %8973486ES

; ;;

(21)

7#L437346

E6 L7 :427 386946U7 *E 9%ES 3L7%8S 94E6E L8S 7#8=8S E/#89%7*8S E6 7 = *, *86*E L7S ?UE%@7S 3863E69%7*7S &UE 739;76 E6 L7S

#8S43486ES /8S9%7*7S. SE #4*E E63869%7% L8S *ES#L7@7/4E698S E6 L8S 6U*8S *ES386834*8S = SE SU#86*%H L7S 733486ES E6 EG9%E/8 4@&U4E%*8 7<. 98*8S L8S /4E/<%8S *E L7 :427 94E6E6 L7 /4S/7 %424*E@ 7 L7 ?LEG46 E4.  A B C  EI=CTE  32   D 1! "#  3!"#  $ "# $ "#   32   %=2 /"#  2& '-"# 

(22)

PASO Nº 1

SE 4*E694?437 L8S *ES#L7@7/4E698S *ES386834*8S E6 L8S 7#8=8S < = 3 !2%7*8 *E 46*E9E%/467346 346E/H9437" E6 *86*E SE *E68/4676 #8%

D1 = D2. 38/8 /UES9%7 E6 L7 ?42U%7

D1

D2

(23)

PASO Nº2

7>8%7 SE 94E6E &UE E/#89%7% L7 :427 #8% 9%7/8S #7%7

4/#E*4% &UE L8S 6U*8S *E L7 ES9%U39U%7 SE *ES#L73E6

 A

B

32  

D

1! "# 

24"# 

$ "# $ "# 

32  

%=2 /"# 

(24)

PASO Nº3

3U76*8 SE E/#89%7 L8S 9%7/8S SE 2E6E%76 L8S /8/E698S “ADL1 Y “ADL2

&UE S86 L7S 733486ES *E L7S %ES9%433486ES !3869%7 L7 ES9%U39U%7

E/#89%7*7", 38%%ES#86*4E69ES 7 D1 Y D2,%ES#E394:7/E69E 37US7*7S #8%

L7S 37%27S &UE 739;7 S8<%E L7 ES9%U39U%7. E69863ES SE2;6 L7S 97<L7S *E /8/E698S *E E/#89%7/4E698 SE 94E6E5

>734E6*8 L8S 3HL3UL8S  A B P  a b M   A= Pab L 2  2  M B= -Pab L 2  2   A B a b M B=-L 12 2 M  A= L 12 2  A B C  32   D 1! "#  24"#  $ "# $ "#   %=2 /"#  -!4 )!  -)!    42*!+ 

(25)

PARA EL NUDO B

PARA EL NUDO C ENTONCES:

 A B C  32   D 1! "#  24"#  $ "# $ "#   %=2 /"#   ADL1  ADL2  -!4 !  -!  42*!+   A B P  a b M  A=Pab L 2 2 M B=-Pab L 2 2  A B a b M B=-L 12 2 M  A= L 12 2

(26)

PASO Nº"

7>8%7 SE 94E6E &UE 37L3UL7% L8S 38E?434E69ES *E %424*E@ S E6 L8S 6U*8S A<B = A3B, ES98 SE L82%7 *76*8 *ES#L7@7/4E698S U6497%48S 7 *'= *SE2;6 38/8 SE /UES9%7 E6 L7 ?42U%7.

S45 E6 EL 6U*8 < E6 EL 6U*8 3 B  A O M  A=2EIO L M B= 4EIO L L  A B C  D D1=1 1 O S11 S21 EI  4 EI  !  EI  12 

(27)

E69863ES E6 EL 6U*8 3 ENTONCES LA MATRIZ DE RIGIDEZ E6 EL 6U*8 3 B  A O M   A= 2EIO L M  B= 4EIO L L  A B C  D D2=1 1 O S 12 22  EI  !  EI  4 5EI  12 

(28)

PASO Nº#

7%/7/8S L7 /79%4@ *E 37%27S ADSE2;6 L7 386:E6346 *E S4268S

PASO Nº%

%EE/#L7@7/8S L7S E3U73486ES !4",!44" =!44" E6 L7 E3U7346 2E6E%7L

%ES8L:4E6*8 SE 94E6E5

(29)

PASO Nº(

7>8%7 >7LL7/8S L7S %E733486ES ARL *E L7 :427 ?4D7 8 E/#89%7*7 E6 L8S 7#8=8S < = 3. 386 L7 7=U*7 *E 97<L7S SE 94E6E5 #7%7 7#8=8 < #7%7 7#8=8 3  A B C  D 1! "#  24"#  $ "# $ "#   32   %=2 /"#  R RL1 1!  24 P  3  (3a,b) R B= Pa L 2  3  (a,3b)  A B a b R  A= Pb L 2   A B L R B=L 2  R  A=L 2 

(30)

PASO Nº)

7 386946U7346 *E L7 /4S/7 /76E%7, #8*E/8S E63869%7% 98*7S L7S 733486ES 6E3ES7%47S E6 L7 ES9%U39U%7 ?4D7, 386 L7 7=U*7 *E L7S 97<L7S  A B C  D  A ML2   AML1  AML4  A ML3 P  3  (3a,b) R B= Pa L 2  3  (a,3b)  A B a b R  A= Pb L 2   A B L R B=L 2  R  A=L 2 

(31)

PASO Nº*

7>8%7 SE >7LL7 L7S 733486ES &UE SE #%8*U3E *76*8

*ES#L7@7/4E698S U6497%48S E6 L8S 7#8=8S < = 3 %ES#E394:7/E69E. SE2;6 97<L7  A B C  D &*&1&EI  &*&23EI  &*&125EI  &*1!+EI  D1=1 P  3  (3a,b) R B= Pa L 2  3  (a,3b)  A B a b R  A= Pb L 2   A B L R B= L 2  R  A=L 2 

(32)

 A B C  D &*&$3EI  &  &  &*&23EI  D2=1

(33)

?467L/E69E SE %E/#L7@7 L7 /79%43ES E6 L7S E3U73486ES 2E6E%7L4@7*7S

(34)

*eformada de la viga

D

(35)

 71ora se va analizar con efecto se cambios de temperatura en el tramo

<3, con una temperatura 9' en la parte inferior y 9 en la parte superior y un desplazamiento de en apoyo 3

T 2 

1

 

(36)

Se evalúa a partir de las epresiones para acciones de empotramiento debidas a los cambios de temperatura.

según tabla5  A B C  D T 2  T 1  ADT1  ADT2   ADT1  ADT2  = aEI(T -T )   1 2  = -aEI(T -T )   1 2   A B L M  AB = aEI(T -T )   1 2  = -aEI(T -T )   1 2 

(37)

 A B C  D  A  A DR1 DR2    M B= 2  M  A=!EI  L 2  !EI  L 2  !EI  L -M B= &     A B L M B= 2  M  A=!EI  L 2  !EI  L

71ora se evalúa a partir de las epresiones para

acciones de empotramiento debidas a al

desplazamiento vertical.

según tabla5

(38)

Entonces por el principio de superposición se tiene5

(39)
(40)

 A

B

a

b

 A

=

Pab

L

2 2

B

=

-Pab

L

2 2

(41)

B

 A

O

 A

=

2EIO

L

B

=

4EIO

L

L

(42)

B

 A

O

 A

=

2EIO

L

B

=

4EIO

L

L

(43)

 A

B

a

b

B

=

-L

12

2

 A

=

L

12

2

(44)

 A

B

a

b

 A

=

Pab

L

2 2

B

=

-Pab

L

2 2

(45)

 A

B

a

b

 A

=

Pab

L

2 2

B

=

-Pab

L

2 2

(46)

 A

B

a

b

B

=

-(L

12

2

 A

=

 (L

12

2

(47)

B

 A

O

 A

=

2EIO

L

B

=

4EIO

L

L

(48)

B

 A

O

 A

=

2EIO

L

B

=

4EIO

L

L

(49)

3

 (3a,b)

B

=

Pa

L

2

3

 (a,3b)

 A

B

a

b

 A

=

Pb

L

2

(50)

 A

B

L

B

=

 L

2

 A

=

 L

2

(51)

3

 (3a,b)

B

=

Pa

L

2

3

 (a,3b)

 A

B

a

b

 A

=

Pb

L

2

(52)

 A

B

L

B

=

L

2

 A

=

L

2

(53)

3

 (3a,b)

B

=

Pa

L

2 3

 (a,3b)

 A

B

a

b

 A

=

Pb

L

2

(54)

 A

B

L

B

=

 (L

2

 A

=

 (L

2

(55)

 A

B

L

 A

B

= aEI(T -T )

 

1 2 

= -aEI(T -T )

 

1 2 

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

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