Lord Livin Barrera Bocanegra
M
ATEMÁTICA
I
Un libro de aplicaciones orientado a las áreas de:
CIENCIAS
INGENIERÍA
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CONOMÍAA
DMINISTRACIÓNN
EGOCIOSMEDICINA
LIMA - PERU 2012Lord Livin Barrera Bocanegra llbb77@hotmail.com
Universidad Cesar Vallejo Los Olivos
Lima - Perú
Matemática I
c
Lord Livin Barrera Bocanegra Edición a cargo: Fondo Editorial Lima, Marzo de 2012
Primera edición Tiraje: 000 ejemplares ISBN: 000-0000-00-000-0
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú: 2012-00000 Impreso en Perú
Printed in Perú
Tipeado por el autor en LATEX
Este libro está sujeto a copyright y no puede ser reproducido parcial o totalmente sin el consentimiento por escrito del autor. El autor se reserva todos los derechos de publica-ción y elogia el buen uso de este material que ha sido sometido oficialmente.
Índice general
Prefacio IX
Introducción XV
1. Funciones, Gráficas y sus Aplicaciones 1
1.1. El Concepto de Función y sus Operaciones . . . 2
1.1.1. ¿Qué es una Función? . . . 2
1.1.2. Gráficando Funciones . . . 14
1.1.3. Operaciones Aritméticas de Funciones . . . 27
1.1.4. Composición de Funciones . . . 32
1.1.5. Funciones Inyectivas y sus Inversas . . . 40
1.1.6. Funciones Crecientes y Decrecientes . . . 51
1.2. Funciones Elementales y sus Aplicaciones . . . 55
1.2.1. Función Constante . . . 55
1.2.2. Función Lineal . . . 58
1.2.3. Función Cuadrática . . . 66
1.2.4. Funciones Polinómicas . . . 74
1.2.5. Funciones Racionales . . . 80
1.3. Funciones Exponenciales y Logarítmicas . . . 85
1.3.1. ¿Qué es una Función Exponencial? . . . 85
1.3.2. La Función Logaritmo . . . 94
1.3.3. Modelos de Crecimiento y de Decaimiento . . . 99
1.4. Funciones Trigonométricas y sus Inversas . . . 104
1.4.1. Funciones Trigonométricas y sus Inversas . . . 104
VI ÍNDICE GENERAL
2. Límite de Funciones 129
2.1. Comprendiendo el Concepto de Límite . . . 129
2.2. Propiedades de los Límites . . . 136
2.3. Límite de Funciones Trigonométricas . . . 145
2.4. Técnicas para Evaluar Límites . . . 150
2.5. Límites Laterales . . . 154
2.6. Definición Rigurosa de Límite . . . 160
3. Continuidad 165 3.1. Continuidad . . . 165
3.2. Teorema del Valor Intermedio (TVI) . . . 176
3.3. Límites que Involucran Infinitos . . . 182
4. La Derivada 193 4.1. Introducción y Motivación . . . 194 4.2. El Concepto de Derivada . . . 204 4.3. Propiedades de la Derivada . . . 210 4.4. Regla de la Cadena . . . 229 4.4.1. Motivación y Definición . . . 230
4.4.2. Regla General de Potencias . . . 237
4.4.3. Combinando Funciones Trigonométricas . . . 243
4.4.4. Combinando Funciones Exponenciales . . . 247
4.5. Derivación Implícita . . . 253
4.5.1. Diferenciación de Ecuaciones Implícitas . . . 253
4.5.2. Calculando Recta Tangente . . . 257
4.5.3. Aplicaciones en Economía . . . 262
4.5.4. Relacionando Razones de Cambio . . . 264
5. Aplicaciones de la Derivada 271 5.1. Aproximación Lineal y Aplicaciones . . . 272
5.2. Criterio de Crecimiento y Decrecimiento . . . 279
5.3. Extremos Relativos . . . 284
5.4. Extremos Absolutos . . . 292
5.6. Elasticidad de Demanda . . . 305
6. Integración 313 6.1. Antiderivada . . . 313
6.2. Técnicas de Integración . . . 330
6.2.1. Técnica General de Potencia . . . 330
6.2.2. Técnica de Sustitución . . . 334
6.2.3. Técnica de Integración por Partes . . . 338
6.3. La Integral Definida . . . 344
6.3.1. Tasas Acumuladas . . . 345
6.3.2. Definición de Integral Definida . . . 348
6.4. Evaluando Integrales . . . 353
6.4.1. Teorema Fundamental del Cálculo . . . 353
6.4.2. Reglas de Integración . . . 356
7. Aplicaciones de Integración 361 7.1. Valor Promedio y Área entre Curvas . . . 362
7.1.1. Valor Promedio . . . 362
7.1.2. Área Entre Curvas . . . 366
7.2. Demanda y Consumo . . . 372
7.2.1. Gastos de Consumo . . . 372
7.2.2. Disposición para Gastar . . . 375
7.2.3. Exceso de Consumo . . . 380
7.3. Oferta y Equilibrio . . . 385
7.3.1. Ingreso de Producción . . . 386
7.3.2. Disposición y Capacidad de Producción . . . 388
7.3.3. Exceso de Producción . . . 392
7.3.4. Equilibrio y Beneficio Social . . . 396
8. Proyectos de Matemática 403 8.1. Aplicaciones en Robótica . . . 403
8.2. Colisión de Cometas . . . 411
Prefacio
EL CÁLCULOes una de las mayores conquistas del intelecto humano.
Inspirados por problemas en astronomía, Newton y Leibniz desarrolla-ron las ideas del cálculo hace 300 años. Desde entonces, el cálculo ha sido una herramienta fundamental para resolver problemas en matemática, ciencias físicas, ingeniería y las ciencias sociales y biológicas.
Origen del texto: Un pedido urgente
Mi interés en escribir este libro fue motivado por la necesidad de alcanzar al estudiante y al docente lo que se pide hoy en las universida-des: me refiero al cálculo aplicado a los negocios, economía, administra-ción, ciencias e ingeniería. Seguramente hay buenos libros de cálculo en una variable pero que pueden resultar formales, también estoy seguro que existen excelentes aplicaciones matemáticas dispersas en interesan-tes textos cuyas explicaciones pueden cansar al lector.
Presentación: Intuitiva y simple
Aunque la palabra “intuitiva” tiene muchas interpretaciones, su uso aquí significa “basado en la experiencia y sin demostraciones”. Lo que hago aquí es presentar el cálculo con un enfoque atractivo y amigable, manteniendo un lenguaje bastante comprensible para que el estudiante no demore en su aprendizaje. En mi experiencia docente he notado que una buena forma de despertar el interés matemático en el estudiante es haciendo que la matemática tenga significado en su vida práctica y es-pecíficamente en su carrera profesional. Por esas razones decidí escribir un libro con una lectura amena y con bastantes ejemplos cuyas expli-caciones son detalladas; también se presentan ilustraciones visuales que ayudarán a comprender mejor el desarrollo de cada aplicación.
X Prefacio
Orientación: Ciencias, ingeniería y negocios
Los temas contenidos en este libro forman parte de un curso tradicio-nal de cálculo de una variable, y está dirigido a estudiantes que cursan ciencias e ingeniería y especialmente para aquellos estudiantes involu-crados en las carreras profesionales de negocios, administración y eco-nomía. Yo como matemático les digo que hay una necesidad urgente de apreender la matemática mediante este tratamiento moderno que inter-actúa con la vida cotidiana.
Contribución: Adaptación e imitación
No soy un creador de todos los ejemplos que el lector podrá leer, lo que hice simplemente es imitar el estilo impuesto por matemáticos ex-trangeros, varios de ellos citados en la bibliografía. Debo destacar aquí mi especial predilección por las obras de Latorre [La], Harshbarger y Reynolds [Ha], Ron Larson [Lar], Soo Tan [Ta], Anton [An] y Hunger-ford [Hu]. Estos autores como los demás enfatizan la matemática con buen nivel y muchas aplicaciones en las ciencias sociales y la vida, trans-mitiendo con gran didáctica lo que el estudiante espera de este curso.
Contenidos
El contenido de los temas representa una visión moderna del cálculo. Su flexibilidad y suficiencia se acomoda a los requerimientos de un curso de matemática I.
Capítulo 1: Funciones, gráficas y sus aplicaciones. En este
capítu-lo se introduce el concepto de fun-ción, su gráfica y sus operaciones. Para entender funciones de mane-ra rápida no había modo de evitar comenzar con funciones elementa-les taelementa-les como: funciones lineaelementa-les, polinómicas y racionales, con las
Prefacio XI
que estamos familiarizados desde la escuela. A continuación se estudian funciones exponenciales y logarítmicas siendo una inversa de la otra; en-tre algunas de sus aplicaciones aparecen los pronósticos de crecimiento y decrecimiento poblacional así como el cálculo de intereses compuestos. En la última sección de este capítulo pasamos ligeramente por el estu-dio de funciones trigonométricas con la finalidad de aplicar en algunos modelos relacionados a ingeniería.
Capítulo 2: Límite de Funciones.
Matemática superior se basa en el concepto de límite y en este capí-tulo vemos su desarrollo. Aunque éste es uno de los conceptos más difíciles de la matemática, nuestra presentación deja de ser misterio-sa. Desarrollamos propiedades de límites y algunas técnicas para
evaluarlas. Varios modelos en física son tratados usando límites laterales y algunos modelos en negocios y economía se resuelven usando límites involucrando infinitos. Para no perder el rigor del concepto de límite, la última sección está dedicada a explicar su definición en términos de deltas y épsilon.
Capítulo 3: Continuidad. Aquí
vemos el concepto de continui-dad como una consecuencia del concepto de límite. Su relevancia es fundamental en los problemas cotidianos y en este capítulo se modelan problemas de negocios, administración e ingeniería. Para ayudar a comprender mejor este
concepto se hacen ilustraciones gráficas y nos apoyamos en propiedades vistas en el capítulo 2.
XII Prefacio
Capítulo 4: la Derivada. En
es-te capítulo, nuestro desarrollo de los temas se enriquece exponen-cialmente. Cada vez que hablamos de derivadas queremos decir “ra-zón de cambio”, y las razones de cambio aparecen en todas partes, incluso cuando el lector lee esta lí-nea ¿cómo? La razón de cambio
motivó a Newton y Leibniz a fundamentar el cálculo, y este es el eje central en toda la matemática. En este capítulo se estudia con detalle to-das las propiedades de derivato-das, haciendo gran énfasis en la regla de la cadena y en derivación implícita. Muchas aplicaciones relacionadas a los negocios, economía e ingeniería son vistas con base en datos reales, explicando línea por línea; además se plantea una gran variedad de ejer-cicios que en su mayoría el lector no tendrá dificultad para resolverlos, aunque algunos de ellos pueden reducirse a cálculos formales simples.
Capítulo 5: Aplicaciones de la De-rivada. Ya habíamos dicho en el
ca-pítulo anterior que las derivadas proveen gran cantidad de mate-rial, y aquí lo que hacemos es con-tinuarlo. En este capítulo se hace especial énfasis en aproximaciones lineales y optimización. En
situa-ciones relacionadas ha empresas, el problema de maximizar o minimi-zar recursos es indispensable y aquí se resuelven tales problemas. Aquí también se describe de manera ligera el comportamiento geométrico de curvas mediante el uso de la primera y la segunda derivada, y los con-ceptos comunes en esta parte son la concavidad, punto crítico y punto de inflexión. Esto último proporciona al estudiante algunas técnicas de optimización que podrá revisarlo con más amplitud en un curso de ma-temática II.
Prefacio XIII
Capítulo 6: Integración. Aunque
la idea de integral es más antigua que la idea de derivada, tradicio-nalmente es estudiado en el orden de este libro. Integrar es el proce-so inverproce-so a derivar, o sea, hallar la función que originó la derivada, y nuestro entrenamiento en deriva-das nos facilita este trabajo.
Aquí también se desarrollan técnicas de integración, que son procedi-mientos similares a los que aparecen en el capítulo de derivadas. Inicial-mente se presenta a la integral indefinidas y se estudian algunas de sus propiedades, luego se usan aproximaciones del cálculo de área para con-seguir definir integral definida. Finalmente, haciendo uso del teorema fundamental del cálculo se estudian integrales definidas aplicándolos a modelos matemáticos concretos.
Capítulo 7: Aplicaciones de Inte-gración. Aquí nos dedicamos a las
aplicaciones en economía y nego-cios. Se estudian algunas aplica-ciones de oferta y demanda como: gasto de consumo, capacidad para gastar, exceso de consumo, equi-librio, producción, exceso de pro-ducción y beneficio social total.
Para facilitar nuestra comprensión nos apoyamos en los conceptos vistos en el capítulo 1 y en las propiedades de derivadas. Una gran variedad de ejemplos pueden verse con soluciones simples. También se desarrollan valores promedios de funciones de producción y costos, interpretándo-los en términos de áreas de regiones planas.
XIV Prefacio
Capítulo 8: Aplicaciones de Integra-ción. Finalizamos el libro con lo que se
llama “horizonte matemático”. Se pre-sentan algunos proyectos interesantes de matemática: Aplicaciones a la Ro-bótica y Colisión de Cometas. En estos tópicos volcamos nuestra experiencia en matemática I. Cada material está
diseñado de modo que el alumno debe resolver los ejercicios sugeridos para completar la solución del proyecto. Una visión para estos proyectos es presentarlo computacionalmente. Debo reconocer que en este capítu-lo he sido influenciado por la obra de Anton [An] que con magnífica pedagogía explica cada proyecto.
Agradecimientos
Bueno, sin pretender cansarlos debo agradecer a las personas que colaboraron por ayudarme a sacar adelante esta obra. Fueron muchos los que participaron directa e indirectamente en este trabajo, a todos ellos mi más rendido agradecimiento.
LORDLIVINBARRERABOCANEGRA
Universidad Cesar Vallejo Lima - Perú Marzo, 2012
