II.- Dadas las condiciones de un movimiento, hallar la ecuación que relaciona espacio y tiempo.

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7.1 Introducción

La Cinemática estudia los movimientos independientemente de sus causas. Es el estudio geométrico de los movimientos relacionando el espacio y el tiempo. Los problemas generales que trata de resolver la Cinemática son:

I.- Conocida la ecuación que relaciona el espacio y el tiempo, determinar el movimiento que represen-ta.

II.- Dadas las condiciones de un movimiento, hallar la ecuación que relaciona espacio y tiempo.

Punto material o partícula

Cualquier cuerpo cuyas dimensiones son muy pequeñas o despreciables comparadas con las restantes dimensiones que intervienen en el movimiento.

Movimiento

Una partícula se mueve cuando su posición varía respecto de un sistema de referencia. Si el sistema de referencia es fijo el movimiento es absoluto.

Si no lo es, el movimiento es relativo.

Puesto que no existen puntos fijos en el universo, todo movimiento es relativo. Sin embargo, mientras no se indique lo contrario, se considerará que el sistema de referencia es fijo.

Trayectoria

Es la línea descrita por la partícula en su movimiento.

Puede ser una línea recta o curva. En consecuencia, el movimiento será rectilíneo o curvilíneo. Vector desplazamiento

7.2 Definiciones

La posición queda determinada por su vector de posición r, por su vector desplazamiento, s, o por tres escalares que pueden ser, o bien sus coordenadas cartesianas (x, y, z), o sus coordenadas polares (r,θ,ϕ).

Es un vector con origen en el punto en que se inicia el movimiento y cuyo extre-mo es la posición de la partícula en un cierto instante.

Si la trayectoria es rectilínea y no hay cambio en el sentido del movimiento, el módulo del vector desplazamiento y el espacio recorrido por la partícula son igua-les.[fig. 7-1.a].

Si la trayectoria es curvilínea el módulo del vector desplazamiento y el espacio recorrido por la partícula son distintos. [fig. 7-1.2].

Vector de posición o radio vector

Es un vector que tiene su origen en el origen de coordenadas y su extremo es la posición de la partícula en cada instante.

O O s sP P (a) (b) FIG. 7-1 x y z O P P’ θ ϕ r+ Δr r Δr  [7.2]

Las coordenadas cartesianas son las componentes del vector de posición r: r= xi+ y j+ zk  [7.1]

Si la partícula se mueve, el vector de posición es función del tiem-po, y si en el instante t es r, en el instante t +Δt, es r + Δr de tal forma que: Δr= r(t + Δt)−r(t) Δr= Δxi+ Δy j+ Δzk  de donde se deduce que,

Δr= Δs= PP '   [7.2]

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Es un vector definido por: [7.6] v=drdt = dx dti  +dy dt j  +dz dtk  [7.4] y llamando dx dt = vx, dydt = vy, dzdt= vz

queda el vector velocidad expresado por

v= vxi+ vyj+ vzk  y su módulo, v = vx 2 + vy2+ vz2

Es un vector definido por:

y teniendo en cuenta las relaciones anteriores se puede escribir en la forma, a= lim Δt→0 ΔvΔt = dvdt a= lim Δt →0 ΔvΔt = dvdt = dvx dt i  +dvy dt j  +dvz dt k  =d 2x dt2i  +d 2y dt2 j  +d 2z dt2 k  =d 2rdt2 v= lim Δt→0 ΔrΔt = drdt [7.3]

y teniendo en cuenta las componentes del vector desplazamiento,

[7.5]

[7.8]

y su módulo queda expresado por y llamando dvx dt = d2x dt2 = ax, dvy dt = d2y dt2 = ay, dvz dt = d2z dt2 = az

queda el vector velocidad expresado por

a= axi+ayj+azk  [7.9] a = ax 2 +ay2+az2 [7.10] [7.7] 7.3 Vector velocidad 7.4 Vector aceleración

Si la partícula P describe una trayectoria cualquiera, no necesariamente plana, podemos elegir en cada uno de sus puntos un triedro ortogonal formado por las siguientes direcciones a partir del punto P como origen:

7.5 Triedro intrínseco FIG. 7-3 τ  b n rO

1ª.- Tangente a la trayectoria en el sentido del movimiento.

2ª.- Normal a la trayectoria en el plano que contiene a dos tangentes consecuti-vas (plano osculador) y dirigida hacia el centro de curvatura. Se denomina normal

principal.

3ª.- Perpendicular a las dos anteriores y dirigida en el sentido de la traslación que corresponde a la rotación que lleva a coincidir la primera con la segunda por el camino más corto. Esta dirección se denomina binormal.

Representaremos por τ

, n y b los vectores unitarios correspondientes a estas tres direcciones que forman un triedro positivo.

Las componentes de los vectores velocidad y aceleración según estos tres ejes se denominan componentes

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7.6 Componentes intrínsecas del vector velocidad

[7.13] [7.12] Teniendo en cuenta la relación [7.2], el vector velocidad se puede expresar, o bien en función del vector de posición, v= lim Δt→0 ΔsΔt = dsdt = ds dtτ 

ya que en el límite, la longitud de la cuerda y la longitud del arco son iguales y la tangente es la posición lími-te de la secanlími-te.

El vector velocidad es, pues, tangente a la trayectoria. No tiene más que esta componente, y su módulo es

v = ds dt

7.7 Componentes intrínsecas del vector aceleración

Teniendo en cuenta las relaciones [7.7] y la [7.11], el vector aceleración se puede expresar en la forma

a=dvdt = d dt ds dtτ        =d 2s dt2τ  +ds dt dt = dv dtτ  + vdτdt pero, dt = dt ds ds= ds dt ds = ds dtlimx→∞ Δτ  Δs

Ahora bien, la dirección de Δτ

en el límite, cuando Δs tiende a cero, es la de la normal a la trayectoria y su sentido es hacia el centro de curvatura.

[7.14] v= lim Δt→0 ΔrΔt = drdt = dr dtτ 

o bien en función del vector desplazamiento:

[7.11]

Es importante no olvidar que el desplazamiento y el espacio recorrido por la partícula, en general, no son iguales. O Δϕ Δϕ Δs ρ ρ P τ  τ '  τ'  Δτ  FIG. 7-4

Para calcular el módulo de Δτ, basta considerar que si

traza-mos una arco de circunferencia con centro en el punto P y radio

τ, (no representado en la figura 7.4), en el límite cuando Δs

tien-de a cero la longitud tien-de la cuerda Δτy la longitud del arco

coin-ciden, y como la longitud de un arco es igual a la longitud del radio con que está trazado, multiplicada por el ángulo que sub-tiende, medido en radianes, y puesto que el radio es el módulo del vector unitario τ,

Δτ= 1.Δϕ=Δs

ρ

siendoρ el radio de curvatura. Por tanto,

lim Δs→0 Δτ  Δs = limΔs→0 Δτ Δsn  = lim Δs→0 Δϕ Δsn  = 1 ρn  y sustituyendo en [7.13] dt = ds dt 1 ρn

con lo que la expresión de la aceleración adopta la forma

[7.15] a=dvdt = dv dtτ  + vdτdt = dv dtτ  + v.v1 ρn  =dv dtτ  +v 2 ρn

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at =dv

dt

El vector aceleración tiene, pues, dos componentes, una tangencial, y una normal, llamada también cen

-trípeta por estar dirigida hacia el centro de curvatura, que son respectivamente:

No existe componente binormal.

Se puede dar una interpretación más simple de las componentes intrínsecas del vector aceleración: Una derivada es la forma matemática de expresar cómo varía una magnitud conforme varía otra de la cual depende. Por tanto, el vector aceleración representa la forma en que varía el vector velocidad conforme trans-curre el tiempo.

El vector velocidad se caracteriza, como todo vector, por su módulo, su dirección y su sentido.

La variación del módulo o del sentido queda reflejada por la componente tangencial del vector aceleración, mientras que la variación de la dirección queda expresada por la componente normal o centrípeta.

Es frecuente entre los estudiantes de un primer curso de Física cometer algunosos errores en cinemática, interpretando, por ejemplo, que la aceleración es, simplemente, la velocidad dividida por el tiempo, o que la aceleración es la derivada respecto al tiempo de “la velocidad” , y no del “vector velocidad”, con lo cual sue-len poner atención solamente en la componente tangencial del vector aceleración olvidando por completo la existencia de la componete normal o centrípeta.

Este olvido origina posteriormente una gran confusión al estudiar en dinámica la fuerza centrípeta. Debería quedar claro en la mente del estudiante que:

a=dv dtτ  +v 2 ρ n  [7.16] [7.17] an =v 2 ρ [7.18]

Todo cambio en el módulo, o en el sentido, del vector velocidad origina la componente tangencial del vector aceleración.

Todo cambio en la dirección del vector velocidad origina la componente normal o centrípeta del vector aceleración.

Ambas componentes son totalmente independientes una de otra.

El módulo de la aceleración lineal se puede calcular, o bien a partir de sus componentes cartesianas, o bien a partir de sus componentes intrínsecas:

a = ax

2

+ay2+az2 = at2+an2 [7.19]

Si se conoce la función s = s (t )

por derivación se obtiene la función v = v(t), y mediante una nueva derivación se obtiene a=a(t). Si se conoce la función v = v (t )

por integración se obtiene la función s = s(t):

[7.20] dss0 s

= v  dt v0 v

, s= v  dt v0 v

+ s0  [7.21] y por derivación de v = v(t) se obtiene a = a(t).

Si se conoce la función a = a (t )

por integración se obtiene la función v = v(t): dvv0 v

= a  dt t0 t

, v= adt v0 v

+ v0 

La Cinemática, como se ha indicado al comienzo de este capítulo, trata de resolver, entre otros problemas, la obtención de las ecuaciones de un movimiento conociendo una de las funciones, s=s(t), v=v(t), a=a(t).

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[7.22] Una vez calculada la función v = v(t) mediante una nueva integración se obtiene s = s(t).

dss0 s

= v  dt v0 v

, s= v  dt v0 v

+ s0 

Se debe tener en cuenta que las integrales anteriores son sumas vectoriales, y por tanto, se debe integrar por separado cada una de las componentes de los vectores.

7.8 Movimiento rectilíneo

[7.23] Una trayectoria rectilínea puede considerarse como una circunferencia de radio infinito. Por consiguiente, la componente normal del vector aceleración es nula. La única componente que puede existir es la componen-te tangencial. a= at  =dv dtτ  v0dv v

= tatdt 0 t

, v = v atdt 0 v

+ v0 y despejando dv e integrando [7.25] [7.26] Si at es constante y tomamos t0=0, v = v0+a t

y, si tomamos la dirección del vector a como referencia y suponemos que a >0, es decir, que el vector acele-ración es de igual sentido que el vector velocidad:

a = at =dv

dt [7.24]

[7.28] A partir de la anterior, y teniendo en cuenta la [7.22]se obtiene,

s0ds s

= v(v0+a t)dt 0 v

y de ésta última s = s0+ v0t + 12at 2 [7.27] Si ahora se elimina el tiempo entre [7.26] y [7.27] se obtiene

v2− v0 2

= 2a(s − s0)

Si, como caso particular, se cumple que s0=0 y v0=0, las relaciones [7.26], [7.27] y [7.28] se convierten en

Las ecuaciones [7.26], [7.27], [7.28] y [7.29] son las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. Si el vector aceleración es de sentido contrario al del vector velocidad, el movimiento es uniformemente

decelerado, o retardado, y las ecuaciones [7.26], [7.27] y [7.287] y [7.29] se convierten en:

[7.29] v = at s = 12at 2 v2 = 2as [7.33] v = −at s = − 12at 2 v2 = −2as [7.30] v = v0− a t [7.32] s = s0+ v0t − 12at 2 [7.31] v2− v0 2 = −2a(s − s0)

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7.9 Movimiento circular

Una trayectoria circular es una curva cuyo radio de curvatura ρ es constante.

Por ser la trayectoria curvilínea existe siempre la componente normal del vector aceleración. La componente tangencial existirá si el módulo de la velocidad varía con el tiempo.

FIG. 7-5

De la figura 7-5, en la que se ha tomado como origen el centro O de la circunferencia se deduce:

ds = ρdθ v = ρ ω [7.38] O P ds dθ ω  vv = ds dtdθ dt

y derivando respecto al tiempo

[7.34]

[7.35] Velocidad angular

Se define el vector velocidad angular de un punto P como un vec-tor cuyo módulo es,

ω=dθ

dt

Su dirección es la de la recta normal al plano de la trayectoria circular que pasa por su centro, y su sen-tido queda determinado por la regla del sacacorchos, o de un tornillo roscado a derechas.

De la figura se deduce que,

ρ  v  =ω  ×ρ  [7.36] [7.37] siendo el módulo de v [7.39] Aceleración angular

Se define el vector aceleración angular como

v =ω.ρ.sen 90º=ω.ρ α  =  dt [7.40] Su módulo es α = dt [7.43] y la componente normal o centrípeta es

an=v 2 ρ =ρ ω 2 [7.41] at = dv dt dtd2θ dt2 =ρα [7.42] y su dirección, la de la recta normal al plano de la trayectoria circular que pasa por su centro, y su sentido es el mismo que el de ωsi el movimiento es acelerado, o contrario, si es decelerado o retardado.

Aceleración lineal

La componente tangencial de la aceleración lineal es

at =ρα

La Cinemática del movimiento circular trata de resolver, entre otros problemas, la obtención de las ecua-ciones de un movimiento conociendo una de las funecua-ciones, ϕ=ϕ(t), ω= ω(t), α =α(t).

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Si se conoce la función ϕ=ϕ(t ),

por derivación se obtiene la función ω =ω(t), y mediante una nueva derivación se obtiene α =α(t).

Si se conoce la función ω= ω(t)

por integración se obtiene la función ϕ=ϕ(t):

[7.44] ϕ0 ϕ

= ω dt ω0 ω

, ϕ = ω dt ϕ0 ϕ

0 [7.45] y por derivación de ω=ω(t) se obtiene α=α(t).

Si se conoce la función α =α(t)

por integración se obtiene la función ω =ω(t):

ω0dω ω

= t αdt 0 t

, ω= αdt ω0 ω

0

Una vez calculada la función ω =ω(t) mediante una nueva integración se obtiene ϕ=ϕ(t ).

[7.46] ϕ0dϕ ϕ

= ωdt ω0 ω

, ϕ= ωdt ϕ0 ϕ

0 [7.47] Si α es constante y tomamos t0=0, de [7.45] se obtiene

ω=ω0+αt

[7.49] A partir de la anterior, y teniendo en cuenta la [7.46 ]se obtiene,

s0 s

= v0+αt)dt 0 v

y de ésta última ϕ=ϕ0+ω0t + 1t 2 [7.48]

Si ahora se elimina el tiempo entre [7.47] y [7.48] se obtiene

ω2−ω02= 2α(ϕ−ϕ0)

Si, como caso particular, se cumple que ϕ0=0 y ω0=0, las relaciones [7.47], [7.48] y [7.49] se convierten en

Las ecuaciones [7.47], [7.48], [7.49] y [7.50] son las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. Si el vector aceleración es de sentido contrario al del vector velocidad, el movimiento es uniformemente

decelerado, o retardado, y las ecuaciones [7.47], [7.48], [7.49] y [7.50] se convierten en:

[7.50] ω=αt ϕ= 1 2αt 2 ω2 = 2α ϕ [7.54] ω= −αt ϕ= − 1 2αt 2 ω2= −2α ϕ [7.51] ω = ω0−αt [7.53] ϕ=ϕ0+ω0t − 1t 2 [7.52] ω2−ω02= −2α(ϕ−ϕ0)

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7.10 Movimiento en un plano en coordenadas polares

Para estudiar un movimiento en un plano, en coordenadas polares, se elige un punto O del plano como ori-gen de coordenadas polares, y una semirrecta OA como eje polar.

Designaremos por r0 y t0 los vectores unitarios en las direcciones radial y transversal respectivamente.

Se debe tener cuidado con no confundir la dirección transversal con la dirección tangencial. Transversal significa, en este caso, una dirección normal o perpendicular a la dirección radial.

O A P’ P dϕ ϕ dr r +dr dr r Vector velocidad De la figura se deduce, PP '1   = PP1   + PP '   P1 P’1

y teniendo en cuenta que

PP ' 1= dr PP 1= dr.r0 PP '  = rdϕ. t0 sustituyendo en [7.55] [7.55] [7.56] [7.57] FIG. 7-6 dr = dr. r 0 + rdϕ. t0 [7.58] y dividiendo todos los términos por dt,

dr dt = dr dt. r 0 + rdϕ dtt0 [7.59] v =r. r0+ rϕ•  t0

En este epígrafe y en el siguiente, para simplificar y abreviar la notación, se representarán las primeras y segundas derivadas respecto al tiempo con uno y dos puntos, respectivamente, sobre la magnitud correspon-diente.

De modo que la relación [7.58] queda en la forma:

El vector velocidad en coordenadas polares tiene, pues, dos componentes: Una radial,

vr = r

y una transversal,

vt = rϕ•

y el módulo de la velocidad es:

v = r•2+ r2ϕ•2 [7.60] [7.61] [7.62] [7.63] Vector aceleración

Para obtener las componentes radial y transversal del vector aceleración es conveniente recurrir a la expre-sión compleja de un vector:

i

ϕ

r

FIG. 7-7

Derivando respecto al tiempo: r =r.eiϕ dr dt = reiϕ+ r iϕeiϕ [7.64] dr dt =v i =e i π 2 [7.65] pero de modo que: v =reiϕ+rϕ•e i(ϕ+π 2)

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7.11 Velocidad areolar

Velocidad areolar de un punto P es, por definición, un vector cuya dirección es normal al plano de la trayectoria, su sentido es el de traslación correspondiente a un sacacorchos, situado a lo largo de la normal al plano de la trayectoria, que gira en el sentido correspondiente al movimiento de P alrededor del origen O, y cuyo módulo es igual al área barrida por el radio vector en la unidad de tiempo.

En la figura, el vector velocidad areolar es normal al plano del dibujo y dirigido hacia el lector.

O

P

ϕ

dϕ

Ahora bien:

eiϕ tiene dirección radial y módulo unidad, de forma que

eiϕ=r0

ei(ϕ+π2) tiene dirección transversal y módulo unidad, de forma que

e

i(ϕ+π

2) =t0

con lo que la ecuación [7.65] queda en la forma

v =rr0+rϕ• 

t0

que coincide con la [7.59] lo que da validez al desarrollo anterior. Derivando ahora la anterior respecto al tiempo:

dv dt = r

••eiϕ+ riϕeiϕ+ rϕei(ϕ+π2)+ rϕ••ei(ϕ+π2) + r iϕ•2ei(ϕ+π2)

y teniendo en cuenta que

dv

dt =a, i =e i π

2

la expresión de la aceleración es:

a =r••eiϕ+ r•ϕ•e

i(ϕ+π

2)+ r

ϕ•ei(ϕ+π2)+ rϕ••ei(ϕ+π2)+ rϕ•2ei(ϕ+π)

Sustituyendo en la anterior

ei(ϕ+π ) = e−iϕ

se obtiene para la aceleración,

a =(r••− rϕ•2)eiϕ+(2r•ϕ•+ rϕ••)e

i(ϕ+π

2)

que, según las expresiones de los vectores unitarios [7.66] y [7.67], queda, finalmente, en la forma,

[7.66]

[7.67]

a =(r••− rϕ•2) r0+(2r•ϕ•+ rϕ••) 

t0 [7.68]

El vector aceleración tiene, en coordenadas polares, una componente radial y una componente transversal que son, respectivamente,

ar = r••− rϕ•2 at= 2rϕ+ rϕ••  Α =dA dt FIG. 7-8 pero dA = 1 2r ×(r +dr)= 12r ×dr [7.70] [7.71] Sustituyendo en [7.70]  Α =1 2r × d r dt = 1 2r × v = 12r ×(vr+vt) = 1 2r × vt Α = 1 2r.vtsen 90º= 1 2r.vt= 1 2r.rϕ • =1 2r 2 ϕ• [7.72] [7.73] [7.69]

Figure

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