Algunas integrales dobles son muchomás fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen
En la sección 10.4 se vio que las coordenadas polares de un punto están rela-cionadas con las coordenadas rectangulares (x,y) del punto, de la manera siguiente.
y y
Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en la figu-ra 14.24.
Solución
a) La región Res un cuarto del círculo de radio 2. Esta región se describe en coordenadas polares como
b) La región Rconsta de todos los puntos comprendidos entre los círculos concéntricos de radios 1 y 3. Esta región se describe en coordenadas polares como
Las regiones del ejemplo 1 son casos especiales de sectores polares
como el mostrado en la figura 14.25. Figura 14.25 a) Figura 14.24 b) Sector polar. sen
Para definir una integral doble de una función continua en coordenadas polares, considerar una región R limitada o acotada por las gráficas de y y las rectas y En lugar de hacer una partición de Ren rectángulos pequeños, se utiliza una partición en sectores polares pequeños. A Rse le superpone una red o cuadrícula polar formada por rayos o semirrectas radiales y arcos circulares, como se muestra en la figura 14.26. Los sectores polares Rique se encuentran completamente dentro de Rforman una partición polar interna cuya norma es la longitud de la diagonal más larga en los nsectores polares.
Considerar un sector polar específico como se muestra en la figura 14.27. Se puede mostrar (ver ejercicio 75) que el área de es
Área de .
donde y Esto implica que el volumen del sólido de altura sobre es aproximadamente
y se tiene
La suma de la derecha se puede interpretar como una suma de Riemann para f(rcos , rsen )r. La región Rcorresponde a una región S horizontalmente simpleen el plano r , como se muestra en la figura 14.28. Los sectores polares corresponden a los rectángu-los y el área de es Por tanto, el lado derecho de la ecuación correspon-de a la integral doble
A partir de esto, se puede aplicar el teorema 14.2 para escribir
Esto sugiere el teorema siguiente, cuya demostración se verá en la sección 14.8. Figura 14.26 Figura 14.27 Figura 14.28 sen sen sen sen sen sen
Si es no negativa en R, entonces la integral del teorema 14.3 puede interpretar-se como el volumen de la región sólida entre la gráfica de ƒy la región R. Cuando se usa la integral en el teorema 14.3, asegurarse de no omitir el factor extra de ren el integrando.
La región Rpuede ser de dos tipos básicos, regiones r-simplesy regiones -simples, como se muestra en la figura 14.29.
Sea Rla región anular comprendida entre los dos círculos y Evaluar la integral
Solución Los límites o cotas polares son y como se muestra
en la figura 14.30. Además, y Por tanto, se tiene
Figura 14.30
g1 g2 =
=
Límites o cotas variables parar: 0 g1( ) r g2( )
Límites o cotas fijas para :
0 2 Figura 14.29 r=r1 h1 r=r2 h2 r
Límites o cotas fijas parar: r1 r r2
0 h1(r) h2(r)
Límites o cotas variables para :
0 2
TEOREMA 14.3 CAMBIO DE VARIABLES A LA FORMA POLAR
Sea Runa región plana que consta de todos los puntos (x,y) (rcos ,rsen ) que satis-facen las condiciones 0 g1( ) r g2( ), , donde 0 ( ) 2 . Si g1yg2son continuas en [ , ] yfes continua en R, entonces
Volumen de un sector paraboloide En la exploración de la página 997 se pidió resumir los diferentes métodos hasta ahora estudiados para calcular el volumen del sólido limitado o acotado por el parabo-loide
y el plano xy. Ahora se conoce un método más. Utilizarlo para encon-trar el volumen del sólido.
sen sen sen sen sen sen sen sen
En el ejemplo 2, notar el factor extra de ren el integrando. Esto proviene de la fór-mula para el área de un sector polar. En notación diferencial, se puede escribir
lo que indica que el área de un sector polar aumenta al alejarse del origen.
Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada supe-riormente por el hemisferio
Hemisferio que forma la superficie superior. e inferiormente por la región circular Rdada por
Región circular que forma la superficie inferior. como se muestra en la figura 14.31.
Solución En la figura 14.31 se puede ver que Rtiene como límites o cotas
y que En coordenadas polares, las cotas son
y
con altura Por consiguiente, el volumen Vestá dado por
y x z R:x2+y2 4 Superficie:z= 16 x2 y2 4 4 4 Figura 14.31
Todo sistema algebraico por computadora que calcula integrales dobles en coordenadas rectangulares también calcula integrales dobles en coordenadas polares. La razón es que una vez que se ha formado la integral iterada, su valor no cambia al usar variables diferentes. En otras palabras, si se usa un sistema algebraico por compu-tadora para evaluar
se deberá obtener el mismo valor que se obtuvo en el ejemplo 3. Así como ocurre con coordenadas rectangulares, la integral doble
puede usarse para calcular el área de una región en el plano. Para ver la ventaja de las
coordenadas polares en el ejemplo 3, hay que tratar de evaluar la integral ite-rada rectangular correspondiente
Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de
Solución Sea R un pétalo de la curva mostrada en la figura 14.32. Esta región es r-simple y los límites son los siguientes.
Límites o cotas fijas para . Límites o cotas variables para r. Por tanto, el área de un pétalo es
Así, el área total es
Como se ilustra en el ejemplo 4, el área de una región en el plano puede representarse mediante
Si se obtiene
lo cual concuerda con el teorema 10.13.
Hasta ahora en esta sección, todos los ejemplos de integrales iteradas en forma polar han sido de la forma
en donde el orden de integración es primero con respecto a r.Algunas veces se puede sim-plificar el problema de integración cambiando el orden de integración, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Hallar el área de la región acotada superiormente por la espiral e inferior-mente por el eje polar, entre y
Solución La región se muestra en la figura 14.33. Las cotas o límites polares de la región son y
Por tanto, el área de la región puede evaluarse como sigue.
r 3 0 r 3 cos 3 6 6 Figura 14.32 sen Figura 14.33 9 4 6 6 1 cos 6 d 9 4 1 6sen 6 6 6 3 4 . 9 2 6 6 cos23 d 6 6 r2 2 3 cos 3 0 d 1 3A R dA 6 6 3 cos 3 0 r dr d
En los ejercicios 1 a 4 se muestra la región R para la integral . Decir si serían más convenientes coordenadas rec-tangulares o polares para evaluar la integral.
1. 2.
3. 4.
En los ejercicios 5 a 8, utilizar las coordenadas polares para describir la región mostrada.
5. 6.
7. 8.
En los ejercicios 9 a 16, evaluar la integral doble y dibujar la región R.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
En los ejercicios 17 a 26, evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares.
17. 18.
21. 22.
23. 24.
En los ejercicios 27 y 28, combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante.
27. 28.
En los ejercicios 29 a 32, utilizar coordenadas polares para es-cribir y evaluar la integral doble
29. 30. 31. 32.
Volumen En los ejercicios 33 a 38, utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado o acotado por las gráficas de las ecuaciones.
33. 34. 35. 36.
37. Interior al hemisferio e interior al cilindro 38. Interior al hemisferio y exterior al cilindro
9. 10. 0 sen 0 r2dr d 0 cos 0 r dr d 19. 20. 1 0 x x2 x x2 x2 y2 dydx 2 2 4 x2 0 x2 y2 dydx sen sen 25. 26. 2 0 4 x2 0 sen x2 y2dydx 1 1 1 x2 0 cosx2 y2 dydx primer octante sen sen
