Logaritmos y exponenciales de otras bases La función y=ax
Leer con cuidado el [S1, 8.3] o bien [S3, 4.10].
Para a>0, a=elna . Definición: (Tp474) Para x∈R y a>0 se define ax =exlna.
AL1.- Deducir la fórmula de
( )
axdx d
.
AL2.- Si u y v son funciones diferenciables en x y u > 0, deducir la fórmula de
( )
uvdx d
. AL3.- Si Tipo I: Si u es una función diferenciable positiva de x y n∈R entonces
dx du nu u dx d n = n−1
Tipo II: Si u es una función diferenciable de x y a>0 entonces
dx du a a a dx d u = u ln
Tipo III: Si u y v son funciones diferenciables en x y u > 0, u v v e dx d u dx d = ln .
Indicar cuál es la diferencia entre las funciones de los tres "tipos" presentados y proporcionar un ejemplo de cada uno.
AL4.- En cada inciso indicar de qué tipo es y derivar y con respecto a la otra variable que aparece en la definición.
a) (T14) y=2S2 b) y=t1−eln3 c) (T18) y=(lnθ)π d) (T40) y= xx+1 e) (T42) y =x x f) (T22) y =5−cos2t g) (S18.2,22)
( )
α ν α α α α α / + = bK N K N cF donde b, c, N, K y v son constantes positivas.
La función y =loga x.
Def. (Tp478) (Logaritmos base a) Para toda a>0, a≠1, loga x = inversa de ax. AL5.- ¿Por qué hay restricciones diferentes para x en las propiedades:
alogax =x, para x > 0; ax x
a =
log , para toda x en R ? AL6.- Simplificar: (T2) a) 2log23 b) πlogπ7 c) log 121
11 d) log12111 e) 9 1 log3 .
AL7.- Leer con cuidado la demostración de la fórmula para calcular loga x. alogax = x ⇒ lnalogax =lnx ⇒ x a x a )(ln ) ln (log = ⇒ a x x a ln ln log =
AL8.- (T87) Plantear como un cociente de logaritmos naturales o de logaritmos comunes y usar la calculadora para determinar:
a) log38 b) log70.5 c) log0.57 AL9.- (T87) En cada caso determinar lnx si se sabe que:
a) log10 x=10.3 b) log2 x=−1.5 AL10.- (T6) Expresar como cocientes de logaritmo natural y simplificar:
a) x x 3 9 log log b) x x 2 10 log log c) a b b a log log
AL11.- Simplificar: (T4) a) log (3 2)
5 25 x b) log ( x) e e c) log (2 ) sin 4 x ex
AL12.- (T88b) Factores de conversión Demostrar que la ecuación para convertir logaritmos base a a logaritmos base b es: x
b a x a b ln log ln log = .
AL13.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) (T8) 8log83 −eln5 =x2 −7log7(3x) b) (T10) ln 4 1log 100 10 log 2 4 x e+ − x = Derivadas
AL14.- Demostrar que
dx du a u dx u d a ln 1 1 log = .
AL15.- Encontrar la derivada de y respecto a la variable independiente dada:
a) (T26) y ex x
5
25 log
log −
= b) (T28) y=(log3r)(log9r) c) (T32) (T36) y =3log8(log2t) d) (T38) log ( (sin )(ln3))
3 t
e t
y=
TAREA De la tarea de Cálculo I 10 Exponenciales y logaritmos en otras bases hacer los problemas 1 a 6. Del S1 Sec. 8.3 hacer del 1 al 5 y de Sec. 8.2 del 18 al
APLICACIONES DE EXPONENCIALES Y LOGARITMOS MODELOS EXPONENCIALES
Leer con cuidado el [S1, 3.5], [S1, 8.4] y [S1, 8.5] o bien [S3, 3.5], [S3, 8.4] y [S3, 8.5]
I. Interés compuesto continuo
Al invertir la cantidadA0 a una tasa de interés r (expresada como decimales) y se suman los intereses a la cuenta k veces al año, el monto total al final de los t años es:
kt t k r A A +
= 0 1 . Para un interés compuesto continuo la fórmula es At A ert 0 )
( = .
APL1.- (P7.5.17) Si se ponen hoy $375 en el banco cuánto se tendrá al cabo de 2 años si el interés es de 9.5% y si se capitaliza en la forma específica que se indica:
a) al año b) mensual c) diario d) continuo
APL2.-(P7.5.19 )¿Cuánto tardará el dinero en duplicar su valor con los intereses especificados?
a) 12% capitalizable cada mes, b) 12% capitalizable continuamente APL3.- ¿Qué tasa de interés compuesto capitalizable mensualmente duplica el valor de
la inversión en 10 años?
APL4.- El plan de inversión A de un banco da un interés del 10% anual con capitalización continua, el plan B da el 12% con capitalización mensual y el plan B da el 17% con capitalización trimestral.
a) ¿Qué plan inversión es el más conveniente? Justifique su respuesta.
b) ¿A qué tasa de interés anual compuesto anualmente corresponde cada uno de ellos?
II.- Crecimiento exponencial. Q t Q ekt 0 ) ( =
Donde k es una constante positiva y Q0un valor inicial.
Las cantidades que crecen en forma exponencial se caracterizan porque su crecimiento es proporcional a su tamaño y su razón porcentual de cambio es constante, 0 kQ0
dt dQ
= . APL6.- (T7) Una colonia de bacterias del cólera empieza con 1 bacteria y se duplica
cada media hora. ¿Cuántas bacterias habrá en 24 horas?
APL7.- (T8) Al cabo de 3 horas hay 10,000 bacterias, al cabo de 5 horas hay 40,000. ¿Cuántas bacterias había inicialmente?
III.- Decrecimiento exponencial. Q t =Q e−kt 0 ) (
Donde k es una constante positiva y Q0un valor inicial.
Las cantidades que decrecen en forma exponencial se caracterizan porque su decrecimiento es proporcional a su tamaño.
APL8.- (H4.2.2) Una determinada máquina industrial se deprecia de modo que su valor después de t años está dado por una función de la forma Q t Q e 0.04t
0 )
( = − .
Después de 20 años, la máquina tiene un valor de $8,986.58. ¿Cuál fue su valor original?
IV.- Curvas de aprendizaje. Q(t)=B−Ae−kt
Con A, B y k constantes positivas y Q0un valor inicial.
Describen la eficiencia con la que un individuo realiza una tarea y la cantidad de capacitación o experiencia que éste ha tenido.
APL9.- Calcular el límt→∞Q(t) ¿Qué representa?
APL10.- (H4.2.3) El ritmo al que un empleado postal puede clasificar el correo es una función de su experiencia. Suponga que el director de correos de una gran ciudad estima que después de t meses de trabajo, el empleado promedio puede clasificar Q(t)=700−400e−0.5t cartas por hora.
a) ¿Cuántas cartas por hora puede clasificar un empleado nuevo?
b) ¿Cuántas cartas por hora puede clasificar un empleado con seis meses de experiencia?
c) Aproximadamente ¿cuántas cartas por hora podrá llegar a clasificar el empleado medio?
V.- Curvas logísticas. Bkt Ae B t Q − + = 1 ) (
Con A, B y k constantes positivas y Q0un valor inicial.
Describen crecimiento cuando hay factores que imponen un límite superior. Describen también propagación de epidemias y rumores. La característica fundamental es que para valores pequeños de t se comporta en forma semejante a la función exponencial, mientras que al crecer t se estabiliza aproximándose asintóticamente a un valor.
APL11.- Calcular el límt→∞Q(t). ¿Qué representa? Calcular el límt→0Q(t). ¿Qué representa?
APL12.- El porcentaje de personas que conoce cierto rumor difundido en una comunidad sigue lo que se denomina un modelo logístico dado por la ecuación
kt Ae t Q − + = 1 1 )
( , donde A y k son constantes y t es el tiempo. En octubre de 1987 al tiempo t = 0 el 10% de los corredores de bolsa habían oído acerca del inminente colapso de la bolsa. Dos horas más tarde, el 25% de ellos lo habían oído, ¿cuánto tiempo transcurrió antes de que el 75% se enterara?
TAREA: De la tarea de Cálculo I 9 Funciones exponenciales y logarítmicas hacer los problemas 16 a 18. De la tarea de Cálculo I 10 Exponenciales y logaritmos en otras bases hacer los problemas 7 a 9.
Hacer del S1 Sec. 3.5 algunos de los ejercicios 1 al 4, 7, 9, 14; de la Sec. 8.5 el 1 y de la Sec. 8.4 algunos de los ejercicios 1, 3 a 6, o bien del S3 Sec. 4.9 del 1 al 3 y el 6; de la Sec. 10.1 el problema 2.
T1.- (S3, 4.9, 5) Usar la calculadora para calcular función
2 2 1 2 1 x e y = − π (función de
densidad normal) para los valores de x −2, −1, 0, 1 y 2 y después bosquejar la gráfica de la función, que es una de las funciones más importantes en estadística. (Por supuesto, sólo 5 puntos no son una base muy confiable para dibujar la gráfica).
T2.- (S3, 4.9, 9) Si la tasa de inflación de un país es 19% por año, la ecuaciónP(t)=P0
( )
1.19 t proporciona el precio P(t) dentro de t años de un artículo que actualmente cuesta P0. ¿Cuál será el precio de:a) una bolsa de 20 Kg de maíz que actualmente cuesta $16 después de 5 años? b) una taza de café de $4.40 después de 10 años?
c) una casa de 250,000 dólares después de 4 años?
T3.- (S1, 8.5, 9) Si el precio de un bien dentro de x años está dado por f(x)= Aekx, donde A y k son constantes. Encontrar A y k cuando f(0)=4 y f'(0)=1. En ese caso ¿cuál es el precio dentro de 5 años?