PROBABILIDAD
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1 La probabilidad es la rama de la matemática que mide la incertidumbre. Debido a eso, es muy utilizad para analizar las posibilidades de ganar en juegos de azar. Sin embargo, sus
aplicaciones se diversifican en numerosas disciplinas, como física, genética, astronomía, medicina, economía y sociología, entre otras.
Actividad 1: Supongamos que se lanza una moneda al aire a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga seca?
Actividad 2: Supongamos que se lanza un dado a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga el seis?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par? c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar?
Actividad 3: En el colegio se organizado una rifa. Se venden 100 números.
Para el sorteo se procede de la siguiente manera, se colocan 100 bolillas en un bolillero y se extrae una de ellas. Si compramos un solo número ¿cuál es la probabilidad de ganar? ¿Y si compramos 10?
Espacio muestral y evento de una experiencia.
Llamamos espacio muestral de una experiencia al conjunto formado por todos los resultados posibles que tiene dicha experiencia.
Generalmente se lo simboliza con la letra M (o bien, Ω). Para las actividades anteriores tenemos:
En una experiencia, un evento (o suceso) es un subconjunto cualquiera del espacio muestral.
Ejemplos:
La cantidad de elementos que tiene un conjunto A se llama cardinal del conjunto A y se lo denota #A.
Un espacio muestral M es equiprobable si todos sus elementos tienen la misma posibilidad de ocurrir.
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Probabilidad de un evento. Definición de Laplace.
La probabilidad del evento , en un espacio muestral M equiprobable, es el cociente entre el cardinal de y el cardinal de M. Es decir:
Habitualmente dicha definición suele enunciarse de la siguiente manera
Contribuciones a la teoría de las probabilidades:
Blas Pascal y Pierre de Fermat: https://www.youtube.com/watch?v=zcdAbvGskJU
Pierre Simón Laplace: nació en Francia en marzo de 1749. Produjo numerosas obras científicas de gran nivel académico. Trabajo sobre una rama de la matemática denominada análisis matemático, en la cual construyo muchas aplicaciones a la mecánica, la astronomía y la teoría de las probabilidades. Publicó la primer edición de su importante obra Théorie Analyteque des Probabilités en 1812. En este libro, incluyó la definición del concepto de probabilidad que lleva su nombre. Utilizó sus
conocimientos de probabilidad en el cálculo de la mortalidad, la esperanza de vida, entre otros. Falleció en Francia en marzo de 1827. Para leer “algo más” acerca de Pierre Simón Laplace : http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_Laplace
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3 Actividad 4: Definan en cada caso, el espacio muestral de la experiencia que se indica y
calculen el cardinal de dicho espacio. a) Tirar una moneda dos veces. b) Lanzar un dado.
c) Arrojar una moneda y un dado.
d) Sacar al azar una carta de un mazo de 52 cartas de póker.
e) Tirar un dado y extraer al azar una carta de un mazo de 48 cartas españolas
f) Sacar una bolita de una caja que contiene 5 bolitas verdes, 2 bolitas rojas y 3 bolitas azules, todas de igual tamaño.
g) Extraer al azar 3 tarjetas de una urna en la que hay 10 tarjetas del mismo tamaño numeradas con los dígitos del 0 al 9.
Actividad 5: Hallen la probabilidad de los siguientes sucesos que corresponden, respectivamente, a cada una de las experiencias indicadas en la actividad anterior.
a) Qué salga cara en la primera tirada. b) Que el número obtenido sea menor que 4.
c) Que salga cara en la moneda y un número primo en el dado. d) Que la carta sacada sea una figura.
e) Que en el dado se obtenga un número mayor que 5 y la carta extraída sea de oro. f) Que la bolita sacada sea azul.
g) Que el número resultante termine en 3 o en 5.
Actividad 6: Calculen la probabilidad de que al tirar una moneda tres veces se obtenga lo siguiente:
a) Por lo menos una cara. b) Exactamente una cara. c) Las tres monedas iguales.
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Propiedades de la probabilidad de un evento.
1) Para un evento cualquiera se verifica que [ ]
2) Si un evento es el conjunto vacio , entonces, (probabilidad del evento imposible)
3) Si un evento y su espacio muestral tienen los mismos elementos , entonces, (probabilidad del evento seguro)
4) Si es un evento, designamos por ̅ al complemento del evento , entonces
̅
Actividad 7:
En el casino de una ciudad, hay un juego que consiste en extraer, de a una, dos cartas de un mazo de 48 cartas españolas. Para apostar en dicho juego, se puede elegir entre las siguientes posibilidades:
I. Las dos cartas extraídas son del mismo palo. II. Sólo una de las cartas extraídas es de oro.
a) Si en ambos casos se gana la misma proporción de dinero sobre lo apostado, ¿a cuál de las dos opciones es más conveniente apostar?
b) Si un apostador comienza a jugar cuando ya se extrajo la primera carta y ésta no era de oro, ¿a qué opción le conviene apostar?
Recordemos las siguientes definiciones de la teoría de conjuntos:
Si y son dos conjuntos, llamamos intersección entre y , y lo denotamos , al conjunto formado por los elementos que simultáneamente se encuentran en y
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Probabilidad condicional:
La probabilidad condicional de un suceso sabiendo que otro ya ocurrió
es el cociente entre el cardinal de y el cardinal de . Es decir:
Propiedades de la probabilidad condicional
1)
2)
3) Si los eventos y son independientes, entonces,
Actividad 8: (Probabilidad de eventos en experimentos compuestos)
De una urna que contiene 4 bolitas rojas, 2 azules y 5 verdes, todas de igual tamaño, se extraen sucesivamente dos bolitas al azar. Determinar si los siguientes eventos C y D son independientes.
C: Que la primera bolita extraída sea azul. D: Que la segunda bolita sacada sea roja.
Actividad 9: Se extraen consecutivamente y sin devolución dos cartas de un mazo de cartas españolas. Determinen la probabilidad de que ambas sean reyes.
Actividad 10: Extraemos de una baraja tres cartas. Hallen la probabilidad de que sean tres ases en los siguientes casos:
a) Con devolución después de cada extracción b) Sin devolución.
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6 Actividad 11:
Dos chicos juegan un juego en el que cada participante de lanzar dos dados, uno rojo y uno azul. Si el juego se gana cuando los números obtenidos en cada dado suman 7 o cuando en uno de los dados sale un 6. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego?
Recordamos otra definición de la teoría de conjuntos:
Si y son dos conjuntos, llamamos unión entre y , y lo denotamos , al conjunto formado por los elementos que se encuentran en o en .
Conclusiones:
Si los eventos y no tienen elementos en común ( ), entonces,
Dos eventos y son incompatibles(o mutuamente excluyentes) si no pueden suceder a la vez, es decir, si
Actividad 12:
En uno de los puestos de una kermés hay dos ruletas cuyos dibujos son los siguientes:
Si los discos de las ruletas se hacen girar simultáneamente y las agujas permanecen fijas, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Salga rojo en la primera ruleta?
b) Se obtenga verde en la primera ruleta y 3 en la segunda? c) Salga rojo en la primera ruleta o 2 en la segunda?
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7 Actividad 13:
En un colegio, los alumnos dos cursos del mismo año se tienen que reunir con el director para organizar las condiciones de un viaje. Para no reunirse con todos los alumnos juntos, el director decidió hacerlo con una comisión formada por 5 de esos alumnos. Si el curso A tiene 20 alumnos y el B tiene 30, ¿Cuál es la probabilidad de que, eligiendo al azar entre todos los alumnos de dichos cursos, la comisión esté integrada por más alumnos del curso B que del A?
Actividad 14:
En una empresa, hay dos máquinas, A y B, que fabrican latas. La máquina A, que produce el triple de latas que la B, realiza un 10% de latas defectuosas y la maquina B, un 5% de latas defectuosas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una lata al azar ésta sea defectuosa?
b) ¿Cuántas latas deben producirse para obtener 7300 latas que estén en buen estado?
Conclusión:
Teorema de la probabilidad total
Si es un evento cualquiera correspondiente a un espacio muestral y , donde los sucesos y son incompatibles (o mutuamente excluyentes), se verifica que:
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8 Actividad 15:
En una fábrica de golosinas se producen cajas de caramelos masticables y cajas de caramelos duros. Las cajas de caramelos masticables contienen un 50% de caramelos de frutilla y un 50% de caramelos de naranja. Las cajas de caramelos duros están compuestas por un 65% de caramelos de frutilla y un 35% de caramelos de naranja.
Un empleado coloca en un cajón el contenido de algunas cajas de caramelos masticables y duros. En el cajón, el 45% de los caramelos son masticables y el resto son duros. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar del cajón un caramelo de naranja éste sea masticable?
Conclusión: Teorema de Bayes
Si los sucesos y son comlementarios y el suceso tiene probabilidad positiva, se verifica que:
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