Introducci´
on a la interpolaci´
on y
a la integraci´
on num´
erica
1.
Introducci´
on a la interpolaci´
on
Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en ingenier´ıa es tratar de construir una funci´on (denominada “funci´on interpolante”) de la que se conoce una serie de valores en ciertos puntos (denominados “datos de interpolaci´on”). Estos datos pueden ser obtenidos, por ejemplo, a partir de ob-servaciones realizadas en un determinado experimento. El objetivo ser´a determinar una funci´on cuyos valores en los puntos considerados coincidan con los datos y que adem´as sea f´acil de construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los po-linomios se usan frecuentemente como funciones interpolantes. En ocasiones, este problema comprende tambi´en otros datos, especialmente los valores de las derivadas de la funci´on en ciertos puntos.
1.1.
Generalidades
Un problema de interpolaci´on en general puede enunciarse de la siguiente forma: Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una funci´on y/o sus de-rivadas en determinados puntos xi, i = 0,1,· · ·, n, que llamaremos nodos,
nuestro objetivo es construir otra funci´on que coincida con la funci´on dada en los datos de interpolaci´on.
Seg´un el tipo de los datos de interpolaci´on, podemos considerar los siguientes tipos de interpolaci´on:
Interpolaci´on de Lagrange: Conocemos los valores de la funci´onf(xi) en n+ 1
puntos distintos, xi, i= 0,1,· · · , n
Interpolaci´on de Taylor: Los datos son el valor de la funci´on y sus derivadas sucesivas en un punto x0 hasta el orden n.
fi)(x0), i= 0,1,· · · , n.
Interpolaci´on de Hermite: Disponemos de los valores de una funci´on y de al-gunas de sus derivadas sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f(xi)
y f0(xi) en n+ 1 puntos distintos, xi,i= 0,1,· · · , n
En general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensi´on finita, es decir son del tipo:
ψ(x) = a0ψ0(x) + a1ψ1(x) + · · · + anψn(x),
donde ψ0 (x), ψ1 (x), · · · , ψn(x), son funciones dadas que forman base del espacio
vectorial correspondiente y ai, i= 0,1,· · · , n n´umeros reales a determinar.
Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes, la interpolaci´on se llamar´a polin´omica, racional, trigonom´etrica, spline polin´ omi-co,... Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para operar, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas de in-terpolaci´on, en este caso las funciones de base son ψi(x) = xi, i= 0,1,· · · , n. Sin
embargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si la soluci´on del problema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo, si se observa un comportamiento peri´odico en los datos de interpolaci´on.
Por simplicidad, nos centraremos en este Tema en el estudio del caso particular de la interpolaci´on polin´omica de Lagrange.
1.2.
La interpolaci´
on de Lagrange
El problema de la interpolaci´on polin´omica de Lagrange consiste en lo siguiente: Conocidos los valores de una funci´on f en n + 1 puntos distintos xi, i =
0,1,· · · , n de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn de
grado no superior a n, que coincida con la funci´on f en estos n+ 1 puntos, es decir,
Pn(xi) = f(xi), para i= 0,1,· · · , n.
El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomios de grado
menor o igual que n y, por tanto, Pn(x) ser´a de la forma
Pn(x) = anxn + an−1 xn−1 + · · · + a1x + a0,
y, para determinarla, habr´a que hallar los n+ 1 coeficientes reales a0, a1, · · · , an.
En el caso que an sea no nulo, diremos que Pn(x) tiene exactamente gradon.
La existencia y unicidad del polinomio de interpolaci´on Pn (x) se prueba en el
siguiente resultado, adem´as se determina una primera forma de construirlo.
Teorema 1.1 (F´ormula de interpolaci´on de Lagrange)
Sean f : [a, b] → IR y {x0, x1, · · · , xn}, n+ 1 puntos distintos del intervalo [a, b].
Entonces, existe un ´unico polinomioPn(x)de grado menor o igual quen, que verifica
Pn(xi) = f (xi), i= 0,1,· · · , n.
A este polinomio se le denomina polinomio de interpolaci´on de f en los nodos
{x0, x1, · · · , xn}.
Adem´as, el polinomio de interpolaci´on puede ser calculado mediante la f´ormula
Pn(x) = n
X
i=0
donde, para cada i ∈ {0,1,· · · , n}, Li(x) es el polinomio de grado n definido por Li(x) = n Y j=0 j6=i x − xj xi − xj . Demostraci´
on.-1. Existencia: Observemos que para cadai ∈ {0,1,· · · , n}, Li(x) = x − x0 xi − x0 x − x1 xi − x1 · · · x − xi−1 xi − xi−1 x − xi+1 xi − xi+1 · · · x − xn xi − xn , Entonces, Li (xj) = δij para cada j ∈ {0,1,· · · , n}, siendo δij la delta de
Kronecker. En consecuencia, Pn(x) es un polinomio de grado n como m´aximo
y Pn(xj) = f(xj), para cadaj ∈ {0,1,· · · , n}.
2. Unicidad: Supongamos que existen Pn (x) y Qn(x) dos polinomios de grado
menor o igual que n, que verifican Pn (xi) = f (xi) = Qn(xi), para cada
i= 0,1,· · · , n. Entonces, el polinomioDn(x) = Pn(x) − Qn(x) es tambi´en
un polinomio de grado menor o igual que n y satisface Dn(xi) = Pn(xi) −
Qn(xi) = 0, para cada i= 0,1,· · · , n.
Es decir,Dn(x) es un polinomio de grado menor o igual quen conn+ 1 ra´ıces
distintas, por tanto, por el teorema Fundamental del ´Algebra,Dn(x) ≡ 0 de
donde se concluye que Pn(x) ≡ Qn(x).
Observaci´on 1.2
La expresi´on (1.1) se conoce como f´ormula de Lagrange del polinomio de
in-terpolaci´on. El Teorema 1.1 proporciona un m´etodo constructivo para obtener
el polinomio de interpolaci´on Pn(x) mediante la f´ormula (1.1).
Ejemplo.- Obtener el polinomio que interpola a los valores(−1,3),(2,1),(3,2),
(4,4).
Si alg´un dato es f (xj) = 0, no hace falta calcular Lj(x).
Los polinomiosLk(x)s´olo dependen de los nodos de interpolaci´on{x0, x1,· · · ,
xn}. De modo que, una vez calculado cadaLk(x)se construyen los polinomios
de interpolaci´on poniendo los f (xk) como coeficientes de una combinaci´on
lineal, lo cual es una ventaja si queremos resolver varios problemas de
interpo-laci´on con los mismos nodos xk. En este sentido, {L0(x), L1(x),· · · , Ln(x)}
es una base del espacio vectorial de los polinomios de grado n de interpolaci´on
asociados a los nodos {x0, x1,· · · , xn}.
Tomando f(x) = 1 en (1.1), se tiene,
n
X
i=0
Li(x) = 1, para todox∈IRN.
No obstante, la f´ormula de Lagrange (1.1) tiene el inconveniente de que hay
que realizar numerosos c´alculos y sobre todo que si a˜nadimos un dato m´as de
1.3.
F´
ormula de interpolaci´
on de Newton
En esta secci´on vamos a estudiar otra forma de calcular el polinomio de inter-polaci´onPn(x) que no presenta los inconvenientes de la f´ormula de Lagrange. Esta
nueva forma es la denominada f´ormula de interpolaci´on de Newton para el polinomio de interpolaci´on de Lagrange, que nos va a permitir una representaci´on del polino-mio de interpolaci´on en t´erminos de “diferencias”. Comencemos con la definici´on de esta “diferencias”
Definici´on 1.3 Sean f : [a, b] →IR y {x0, x1, · · · , xn}, n+ 1 puntos distintos del
intervalo [a, b]. Para cada i ∈ {0, . . . , n} y m∈ {1, . . . , n−i}, sean
f [xi] = f (xi), f [xi, xi+1, · · ·, xi+m] = f[xi+1, xi+2, · · · , xi+m]−f [xi, xi+1, · · · , xi+m−1] xi+m − xi . f[xi, xi+1, · · · , xi+m]se denomina diferencia dividida de orden m de f en el punto
xi.
Para expresar la f´ormula de Newton del polinomio de interpolaci´on usaremos la siguiente notaci´on:
Π0(x) = 1 y Πj (x) = j−1
Y
i=0
(x − xi) = (x − x0) (x − x1) · · · (x − xj−1).
Teorema 1.4 (F´ormula de interpolaci´on de Newton)
Sean f : [a, b] → IR y {x0, x1, · · · , xn}, n+ 1 puntos distintos del intervalo [a, b].
Entonces, el polinomio de interpolaci´on de f en los nodos {x0, x1, · · · , xn} viene
dado por Pn(x) = n X i=0 f [x0, x1, · · · , xi] Πi(x) = = f (x0) + f [x0, x1] (x − x0) + f[x0, x1, x2] (x − x0) (x − x1) + · · · + f [x0, x1, · · · , xn] (x − x0) (x − x1) · · · (x − xn−1). (1.2)
Adem´as, si x 6∈ {x0, x1,· · · , xn}, entonces
En(x) = f (x) − Pn(x) = f [x0, x1, · · ·, xn, x] Πn+1(x). (1.3)
Demostraci´on.- Lo probaremos por inducci´on sobre el n´umero de nodos (n+ 1):
1. Para n= 0, P0(x) = f (x0) es el polinomio de interpolaci´on de f en x0. 2. Suponemos cierto el resultado para n y nos planteamos probarlo para n+ 1.
Observemos que podemos expresar Pn+1 en la forma
Pn+1(x) =Pn(x) +Cn+1(x−x0)(x−x1)· · ·(x−xn)
para cierto coeficiente Cn+1. En efecto: Pn+1 es un polinomio de grado menor o igual que n+ 1, tal que
Sii= 0,1,· · · , n, Pn+1(xi) =f(xi). Si Cn+1 = f(xn+1)−Pn(xn+1) (xn+1−x0)(xn+1−x1)· · ·(xn+1−xn) , entonces Pn+1(xn+1) = f(xn+1).
Entonces, bastar´a probar quef[x0, x1,· · · , xn, xn+1] es el coeficiente l´ıder de Pn+1. Para ello, consideremos el polinomio de interpolaci´on de f en los nodos x1, x2,· · · , xn+1, que denotamos Qn. Buscamos Pn+1 en la forma
Pn+1(x) = (a1x+b1)Qn(x) + (a2x+b2)Pn(x).
siendo a1, b1, a2, b2 coeficientes a determinar. Pedimos que Pn+1(xi) = f(xi),
i= 0,1,· · · , n+ 1:
Sii= 1,2,· · · , n, tenemos
Pn+1(xi) = (a1xi+b1)f(xi) + (a2xi+b2)f(xi),
con lo que se cumplir´a Pn+1(xi) =f(xi) si
a2 =−a1 y b2 = 1−b1.
Por tanto, si ponemos θ(x) = a1x+b1, tendremosa2x+b2 = 1−θ(x), y Pn+1(x) = θ(x)Qn(x) + (1−θ(x))Pn(x). (1.4)
Sii= 0, tenemos
Pn+1(x0) =θ(x0)Qn(x0) + (1−θ(x0))Pn(x0).
Pidiendoθ(x0) = 0 tendremos Pn+1(x0) =f(x0). Por ´ultimo, si i=n+ 1, tenemos
Pn+1(xn+1) = θ(xn+1)Qn(xn+1) + (1−θ(xn+1))Pn(xn+1). Pidiendoθ(xn+1) = 1 tendremos Pn+1(xn+1) =f(xn+1).
Ahora bien, comoθ(x) es un polinomio de grado 1, lo tenemos definido un´ıvo-camente dando sus valores en x0 y xn+1:
θ(x) = x−x0 xn+1−x0
.
Identificando los coeficientes l´ıderes en (1.4) y usando la hip´otesis de recurren-cia, deducimos
Cn+1 =
f [x1, · · · , xn+1]−f [x0, · · · , xn]
xn+1−x0
Usamos ahora (1.2) para deducir la expresi´on del error (1.3). Consideramos un punto x∈[a, b] fijo distinto ax0, x1,· · · , xn, y el polinomioQn+1 que interpola a f en los nodos x0, x1,· · · , xn, x. Este polinomio viene dado por
Qn+1(y) =Pn(y) +f [x0, x1 · · · , xn, x] (y−x0)(y−x1)· · ·(y−xn).
Tomando y=xdeducimos
f(x)−Pn(x) =f [x0, x1 · · · , xn, x] (x−x0)(x−x1)· · ·(x−xn).
que es precisamente (1.3).
Observaci´on 1.5
Si en particular los puntos {x0, x1, · · · , xn} est´an uniformemente espaciados
en el intervalo [a, b] con paso h > 0, entonces el polinomio de interpolaci´on
de f en {x0, x1, · · · , xn}, viene dado por:
Pn(x) = n X i=0 ∆if (x0) i!hi Πi(x) = f(x0) + (x − x0)∆f(x0) h + (x − x0) (x − x1) ∆2f (x 0) 2h2 + · · · + (x − x0) (x − x1) · · · (x − xn−1) ∆nf (x 0) n!hn , donde∆if(x
0)son las diferencias finitas def enx0, dadas de forma recursiva
por
∆0f(x0) =f(x0), ∆i+1f(x0) = ∆if(x1)−∆if(x0).
El c´alculo de las diferencias divididas para construir el polinomio de
interpola-ci´on de f en {x0, x1, · · · , xn} se realizan mediante el algoritmo que muestra
la siguiente tabla: f(x0) f[x0, x1] · · · f [x0, x1, · · · , xn−1] f[x0, x1, · · · , xn] f(x1) f[x1, x2] · · · f [x1, x2, · · ·, xn] f(x2) f[x2, x3] · · · · · · · f (xn−2) f[xn−2, xn−1] f (xn−1) f [xn−1, xn] f (xn)
El c´alculo de las diferencias finitas es similar.
Si conocemos Pn el polinomio de interpolaci´on de f en {x0, x1, · · · , xn} y
deseamos calcularPn+1el polinomio de interpolaci´on def en{x0, x1,· · · , xn, xn+1},
bastar´a determinar la diferencia divididaf [x0, x1, · · · , xn, xn+1], ya que
1.4.
Error de interpolaci´
on
Una vez calculado el polinomio de interpolaci´on, pretendemos ahora usarlo para estimar el valor de la funci´on f en cualquier punto del intervalo [a, b]. Si el punto elegido coincide con alguno de los nodos de interpolaci´on{x0, x1, · · · , xn}, entonces
f(xi) = Pn(xi). Sin embargo, si tomamos un puntox ∈ [a, b] distinto de los nodos
de interpolaci´on, en general f (x) 6= Pn (x). Se produce entonces un error que
llamaremos error de interpolaci´on que denotaremos por En(x) = f (x) − Pn(x).
Nuestro objetivo en esta secci´on es estimar este error. Para ello, notemos en primer lugar que sin hip´otesis adicionales, no podemos decir nada acerca de esta cantidad pues podemos cambiar la funci´onf en puntos que no sean los de interpo-laci´on sin que cambie el polinomio.
No obstante, vamos a probar que cuando la funci´onf es suficientemente regular, podemos precisar el error que se comete en cada punto de interpolaci´on en t´ermino de las derivadas de f.
Teorema 1.6 Sean f ∈ Cn+1 ([a, b]), {x
0, x1,· · · , xn}, n + 1 puntos distintos
del intervalo [a, b] y Pn el polinomio de interpolaci´on de f en {x0, x1, · · ·, xn}.
Entonces, para cada x ∈ [a, b] existe ξx ∈ Ix (con Ix el menor intervalo cerrado
que contiene a {x0, x1, · · · , xn, x}), tal que
En(x) = f (x) − Pn(x) =
fn+1)(ξ
x)
(n+ 1)! Πn+1(x). (1.5)
Demostraci´on.- Sea x ∈ [a, b] cualquiera, entonces pueden presentarse dos casos:
1. Si x = xi para alg´un i ∈ {0,1,· · · , n}, entonces el resultado es trivial, pues
f (xi) = Pn(xi) y Πn+1(xi) = 0.
2. Si x 6= xi para todo i ∈ {0,1,· · · , n}, entonces, consideramos la funci´on
F : [a, b]→IR definida, para cada y ∈ [a, b], por
F (y) = [f (y) − Pn(y)] Πn+1(x) − [f (x) − Pn(x)] Πn+1(y), que verifica F ∈ Cn+1([a, b]),
F (xi) = [f (xi) − Pn(xi)] Πn+1(x) − [f(x) − Pn(x)] Πn+1(xi) = 0,
para cada i ∈ {0,1,· · · , n}y
F (x) = [f (x) − Pn(x)] Πn+1(x) − [f(x) − Pn(x)] Πn+1(x) = 0. Es decir,F es una funci´on de clasen+ 1 en un intervalo donde, adem´as, posee n + 2 ra´ıces reales distintas, entonces, por el Teorema de Rolle, la funci´on F0 es de clase n en Ix y tiene al menos n + 1 ra´ıces en Ix, repitiendo este
razonamiento llegar´ıamos a que Fn+1) es una funci´on continua en I
x y posee
al menos una ra´ız ξx ∈ Ix. De aqu´ı, como para cada y ∈ [a, b], es
Fn+1)(y) = [fn+1)(y) − Pn+1) n (y)] Πn+1(x) − [f(x) − Pn(x)] Π n+1) n+1 (y) = fn+1)(y) Π n+1(x) − [f(x) − Pn(x)] (n+ 1)!,
donde hemos usado que Pn es un polinomio de grado menor o igual que n
y que Πn+1 es un polinomio m´onico (de coeficiente l´ıder igual a 1) de grado exacto n+ 1. En particular, se deduce que
0 = Fn+1)(ξx) = fn+1)(ξx) Πn+1(x) − [f (x) − Pn(x)] (n+ 1)!,
de donde se concluye el resultado.
Por otra parte, la expresi´on (1.5) permite obtener una cota del error de interpo-laci´on en norma uniforme:
Corolario 1.7 El polinomio de interpolaci´on satisface la siguiente estimaci´on de error: m´ax a≤x≤b |f(x) − Pn(x)| ≤ Mn+1 (n+ 1)! am´≤xax≤b |Πn+1(x)|, (1.6) siendo Mn+1 = m´ax a≤x≤b |f n+1)(x)|. Observaci´on 1.8
Existe un gran paralelismo entre la f´ormula de error (1.5) y la expresi´on del
error para el polinomio de Taylor Tn(x), cuyas derivadas en un punto
(ponga-mos x0) hasta el orden n coinciden con las de f. El error en este caso es
f(x)−Tn(x) =
fn+1)(ρ
x)
(n+ 1)! (x−x0)
n+1,
donde ρx es un punto intermedio entre x0 y x. Esta f´ormula aparece como el
l´ımite formal del error para el polinomio de interpolaci´on, cuando todos los
nodos xi tienden a x0.
La estimaci´on del error precedente es ´optimaen el sentido de que existe
una funci´on para la que se da la igualdad. En efecto, si consideramos la funci´on
f(x) = Πn+1(x) =
n
Y
i=0
(x − xi),
se verifica que Pn (x) ≡ 0 y fn+1) (x) = (n+ 1)! en cada x ∈ [a, b]. En
consecuencia,
|f(x) − Pn(x)| = |Πn+1(x)| =
Mn+1
Del corolario anterior podemos plantearnos condiciones bajo las cuales el poli-nomio de interpolaci´on converger´a a la funci´on f cuando el n´umero de nodos de interpolaci´on tienda a infinito. Es un problema de la misma naturaleza que la con-vergencia del polinomio de Taylor cuando el orden del desarrollo tiende a infinito.
Seg´un la estimaci´on (1.6), podemos esperar convergencia cuando la funci´on f sea muy regular (en el sentido de que las derivadas sucesivas crezcan con suficiente lentitud), al igual que ocurre con el polinomio de Taylor. En realidad, es necesario que f sea anal´ıtica en un intervalo suficientemente grande respecto a [a, b] para que haya convergencia del polinomio de interpolaci´on de Lagrange.
1.5.
Interpolaci´
on polin´
omica a trozos
Construimos a continuaci´on una t´ecnica alternativa de interpolaci´on para ga-rantizar la convergencia del proceso de interpolaci´on para funciones mucho menos regulares, bastar´a que sean continuas. La idea es subdividir el intervalo [a, b] en subintervalos, e interpolar en cada subintervalo por un polinomio de grado fijo, de modo que la funci´on interpolante sea globalmente continua.
Consideremos unsoporte de interpolaci´on ∆ ={a=x0 < x1 <· · ·< xn=b} ⊂
[a, b]. Construimos el espacio de funciones de interpolaci´on
Vh = {vh ∈C0([a, b]) tales quevh|[xi−1,xi] ∈IP1([xi−1, xi]), i= 1,· · · , n} Vh est´a formado por funciones continuas en todo el intervalo [a, b] cuya restricci´on
a cada subintervalo [xi−1, xi] es un polinomio de grado a lo m´as uno.
El sub´ındiceh representa el di´ametro de ∆,
h= m´ax{xi−xi−1, i= 1,· · · , n}.
Planteamos el mismo problema de interpolaci´on de Lagrange, pero ahora sobre Vh:
(P)
Conocidos los valores de una funci´on f en los n+ 1 puntos distintos de ∆, obtener una funci´on fh ∈Vh tal que
fh(xi) = f (xi), para i= 0,1,· · · , n.
Este problema tiene la misma naturaleza que el de la interpolaci´on polin´omica: Admite soluci´on ´unica, que se puede calcular a partir de ciertas funciones de base:
Teorema 1.9 El problema (P) admite una ´unica soluci´on.
Esta soluci´on se puede calcular mediante la expresi´on
fh(x) = n
X
i=0
f(xi)φi(x), (1.7)
donde las fuciones φi ∈Vh, i= 0,1,· · · , n est´an determinadas por
φi(xj) = δij, j = 0,1,· · ·, n, (1.8)
Demostraci´on.- En cada intervalo [xi−1, xi], i= 0,1,· · · , n la funci´on fh es un
poli-nomio de grado menor o igual que 1, que debe satisfacer fh(xi−1) = f(xi−1), fh(xi) = f(xi). Por tanto, fh(x) = f(xi)−f(xi−1) xi −xi−1 (x−xi−1) +f(xi−1), ∀x∈[xi−1, xi]. (1.9)
De este modo la funci´on fh est´a definida sobre todo el intervalo [a, b], y es un
polinomio de grado menor o igual que uno sobre cada subintervalo [xi−1, xi]. Basta
probar que es continua para concluir que pertenece aVh y que, por tanto, es soluci´on
de (P).
Ahora bien, fh es continua en el interior de cada subintervalo [xi−1, xi], por
coincidir con un polinomio. Por otra parte, seg´un la expresi´on (1.9), en cada nodo interior xi, i= 1,· · · , n−1 se tiene l´ım x→x−i fh(x) = l´ım x→x+i fh(x) =f(xi),
y por tanto f es continua tambi´en en los nodos interiores. Por ´ultimo,f es continua en los extremos a = x0 y b = xn ya que coincide con un polinomio en [a, x1] y en [xn−1, b].
Para demostrar la unicidad de soluciones de (P), consideremos dos posibles so-luciones fh,gh ∈Vh. Entonces la diferencia eh =fh−gh ∈Vh se anula en todos los
nodos xi, i= 0,1,· · · , n. Esto significa queeh satisface la expresi´on (1.9), con
valo-res de interpolaci´on f(xi) = 0, i = 0,1,· · · , n. Por tanto, eh es id´enticamente nula
en cada subintervalo, y entonces es la funci´on nula en todo [a, b]. Por consiguiente, gh =fh.
Para demostrar la expresi´on (1.7), observemos en primer lugar que existe una ´
unica funci´on φi ∈ Vh que satisface las condiciones (1.8), ya que estas condiciones
constituyen un problema de interpolaci´on (P) con datosf(xj) =δij, j = 0,1,· · · , n.
Por otra parte, para probar (1.7) bastar´a demostrar que la funci´on gh(x) =
n
X
i=0
f(xi)φi(x)∈Vh
toma los mismos valores que fh en cada nodo xi,i= 0,1,· · · , n, ya que entoncesfh
y gh ser´an soluciones de (P) y por tanto deber´an coincidir. Ahora bien,
gh(xj) = n
X
i=0
f(xi)φi(xj) = f(xj).
Por tanto, se verifica (1.7).
Observaci´on 1.10
La expresi´on (1.9) proporciona expl´ıcitamente el valor del interpolante fh en
Usando la expresi´on (1.9), las funciones φi vienen dadas por φi(x) = x−xi−1 xi−xi−1 si x∈[xi−1, xi], x−xi+1 xi−xi+1 si x∈[xi, xi+1], 0 en otro caso
Se llaman funciones sombrero.
De la expresi´on (1.7), usando que cada φi(x) es positiva, deducimos
|fh(x)| ≤ n X i=0 |f(xi)|φi(x)≤ m´ax y∈[a,b]|f(y)| n X i=0 φi(x)≤ m´ax y∈[a,b]|f(y)|, ya que n X i=0
φi(x) = 1. De aqu´ı concluimos la estabilidad de la interpolaci´on a
trozos:
m´ax
x∈[a,b]|fh(x)| ≤xm´∈[axa,b]|f(x)|.
Esto no es cierto para la interpolaci´on polin´omica, ya que el m´aximo de|Pn(x)|,
en general, no est´a acotado.
Existen otras posibilidades de interpolaci´on a trozos: Por una parte, pedir que
las funciones de Vh en cada subintervalos coincidan con polinomios de grado
2, 3, etc. Por otra parte, pedir que su regularidad global sea C1, C2, etc. En
general, los interpolantes polin´omicos a trozos se llaman funciones spline.
El siguiente resultado formaliza la estimaci´on de error para la interpolaci´on a trozos:
Teorema 1.11 Supongamos que f ∈C2([a, b]). Entonces, m´ax x∈[a,b]|f(x)−fh(x)| ≤ M2 8 h 2, (1.10) siendo M2 = m´ax x∈[a,b]|f 00 (x)|.
Demostraci´on Sea x∈[a, b]. Existe un subintervalo [xi−1, xi] al que pertenece x. En
este subintervalopi(x) =fh(x) es soluci´on del problema de interpolaci´on polin´omica
pi ∈IP1, pi(xi−1) =f(xi−1), pi(xi) =f(xi).
Por tanto el error de interpolaci´on viene dado por la expresi´on f(x)−fh(x) =
f00(ξx)
2 (x−xi−1)(x−xi), donde ξx es un punto de (xi−1, xi). Entonces,
|f(x)−fh(x)| ≤ M2 2 (x−xi−1)(xi−x)≤ M2 2 h2 4 ∀x∈[xi−1, xi].
Como esta estimaci´on es cierta en cada uno de los subintervalos, de aqu´ı se deduce (1.10).
Observaci´on 1.12
La estimaci´on (1.10) significa que sihse divide por dos (O sea, si se duplica el
n´umero de puntos), entonces el error m´ax
x∈[a,b]|f(x)−fh(x)| se divide por cuatro,
aproximadamente.
De (1.10) se deduce que si f es de clase C2, entonces
l´ım
h→0xm´∈[axa,b]|f(x)−fh(x)|= 0
Si f es continua en lugar de C2 tambi´en es cierta esta convergencia, aunque
m´ax
x∈[a,b]|f(x)−fh(x)| puede tender a cero muy lentamente cuando h→0.
2.
Introducci´
on a la integraci´
on num´
erica
Uno de los problemas matem´aticos m´as antiguos es el del c´alculo del ´area que encierra una curva. Como sabemos, este problema da lugar al c´alculo integral (m´as consideraciones de signo a tener en cuenta cuando se pretende calcular un ´area y no un ´area signada).
La regla de Barrow resuelve el problema de calcular la integral de una funci´on en un intervalo [a, b], mediante la f´ormula
Z b a
f(x)dx = F (b) − F (a),
siendoF una primitiva de la funci´onf en el intervalo [a, b], es decir,F0(x) = f(x),
∀x ∈ [a, b]. Sin embargo, en muchos casos esto no es posible, dado que:
Para ciertas funciones no es posible calcular dicha primitiva, a pesar de saber que existe. Por ejemplo, para las funciones
f (x) = ex2, f (x) = senx
x , f (x) =
√
x5 + 1,
no es posible encontrar una primitiva expresable en t´ermino de funciones ele-mentales.
En muchos de los problemas que se plantean, a la hora de integrar funciones, est´an relacionados con funciones definidas en forma de tabla de valores o gr´afica y no se conoce una expresi´on anal´ıtica de f(x).
En ambos casos se precisa de f´ormulas de integraci´on num´erica (tambi´en llamadas f´ormulas de cuadratura), que nos van a permitir calcular un valor aproximado de la integral en la forma Z b a f (x)dx ' n X i=0 aif(xi),
donde los xi, i = 0, 1, · · · , n, son puntos del intervalo [a, b] y los coeficientes ai,
2.1.
F´
ormulas de integraci´
on de tipo interpolatorio
Para obtener f´ormulas de integraci´on num´erica seguiremos, b´asicamente, el proce-dimiento basado en calcular el polinomio de interpolaci´on de la funci´onf en algunos puntos del intervalo [a, b] y aproximar el valor de la integral de la funci´on por el valor de la integral del polinomio de interpolaci´on. En concreto,
Z b a f(x)dx ' Z b a Pn(x)dx, donde Pn(x) = n X i=0 f(xi)Li(x), x ∈ [a, b]
es el polinomio de interpolaci´on def en losn+1 puntos distintos,xi,i = 0,1,· · · , n,
del intervalo [a, b]. Integrando esta expresi´on en [a, b] obtenemos
Z b a Pn(x)dx = n X i=0 cif (xi), siendo ci = Z b a Li(x)dx,
para i = 0, 1, · · · , n. Obs´ervese que los coeficientes ci, i = 0, 1, · · · , n, son
independientes de f y, por tanto, una vez calculados proporcionan una f´ormula que se puede aplicar a cualquier funci´onf : [a, b]→IR.
Adem´as, ser´a necesario estudiar el error que se comete en este tipo de f´ormulas, es decir, el valor de Rn(f) = Z b a f(x)dx − Z b a Pn(x)dx = Z b a En(x)dx.
conEn(x) = f(x)−Pn(x). En este sentido, en el estudio del error de interpolaci´on,
probamos que si f ∈ Cn+1([a, b]), se tiene que En(x) =
fn+1)(ξ
x)
(n+ 1)! Πn+1(x),
con Πn+1(x) = (x − x0) (x − x1) · · · (x − xn) y donde ξx es un punto intermedio
entrex0, x1, · · · , xn, x. En realidad, hay un ligero abuso de notaci´on en la expresi´on
anterior, ya que ξx s´olo est´a definido para los x ∈ [a, b]\ {xi}ni=0; no obstante, E se anula en los nodos por propia construcci´on, y adem´as se tiene que Πn+1(xi) = 0
para i= 0, ...n, y fn+1) est´a acotada, con lo que el valor de fn+1)(ξ
x) en los nodos
no es importante y podemos considerar el convenio de que la expresi´on de arriba est´a siempre definida (incluso en los nodos1).
Entonces, en este caso el error de integraci´on que se comete es
Rn(f) = Z b a En(x)dx = Z b a fn+1)(ξx) (n+ 1)! Πn+1(x)dx.
1En los casos que analizaremos m´as adelante, se puede comprobar de hecho que hay una
exten-si´on continua de la aplicaci´on [a, b]\ {xi}n
Para determinar una expresi´on expl´ıcita del error de integraci´onRn(f), resulta de
utilidad el siguiente resultado conocido como teorema del valor medio generalizado, que es una aplicaci´on del Teorema de los valores intermedios de Darboux unido al car´acter mon´otono del operador integral.
Teorema 2.1 Sean h, g ∈ C([a, b]) y supongamos que g no cambia de signo en
[a, b], entonces existeξ ∈[a, b] tal que
Z b a h(x)g(x)dx = h(ξ) Z b a g(x)dx.
Demostraci´on: Supongamos que g(x)≥0 para todo x∈[a, b] (si fuera al contrario,
la prueba es an´aloga) y supongamos que g 6≡ 0 (si no, el resultado ser´ıa trivial). Como
mhg(x)≤h(x)g(x)≤Mhg(x)∀x∈[a, b]
donde mh = m´ın[a,b]h(x) yMh = m´ax[a,b]h(x), integrando tenemos mh Z b a g(x)dx≤ Z b a h(x)g(x)dx≤Mh Z b a g(x)dx. Por tanto, Z b a h(x)g(x)dx Z b a g(x)dx ∈[mh, Mh].
Por el Teorema de los Valores Intermedios de Darboux, existe ξ ∈ [a, b] tal que h(ξ) =Rabh(x)g(x)dxRabg(x)dx.
Por otro lado, es obvio que si f es un polinomio de grado menor o igual que n, entonces f coincidir´a con su polinomio de interpolaci´on. En consecuencia, las f´ormulas de tipo interpolatorio sobre n+ 1 puntos distintos son exactas para todos los polinomios de grado menor o igual que n, en el sentido de que
Rn(f) = 0.
En relaci´on con esta observaci´on, se tiene la siguiente definici´on:
Definici´on 2.2 Se llama orden o grado de precisi´on de un f´ormula de integraci´on
al mayor entero positivo m tal que la f´ormula es exacta para todos los polinomios de
grado menor o igual que m.
En la pr´actica, para probar que una f´ormula de integraci´on es de orden m, es sufi-ciente comprobar que
Rn(xk) = 0, para k = 0, 1, · · · , m y Rn(xm+1) 6= 0.
Observaci´on 2.3 Obs´ervese que las f´ormulas de integraci´on de tipo interpolatorio
basadas en n + 1 nodos son de orden al menos n, pues el error a integrar ser´ıa
2.2.
F´
ormulas b´
asicas de integraci´
on num´
erica
Para simplificar las demostraciones de estimaci´on del error en los resultados que siguen, en lugar de recurrir directamente al Teorema 2.1 (lo que nos conducir´ıa a probar la continuidad de la aplicaci´on [a, b] 3x 7→ fn+1)(ξx) ∈R), adaptaremos la
prueba en cada caso2.
2.2.1. F´ormula del rect´angulo
La f´ormula de integraci´on m´as sencilla es aqu´ella que utiliza el valor de la funci´on f en un s´olo punto x0 ∈ [a, b]. En este caso el polinomio de interpolaci´on de la funci´onf es de grado cero, es decir, P0(x) = f (x0), por lo que
Z b a f (x)dx ' Z b a P0(x)dx = Z b a f (x0)dx = f (x0) (b − a). Six0 = a se obtiene la f´ormula del rect´angulo izquierda dada por
Z b a
f (x)dx ' f(a) (b − a). (2.11) El error cometido viene expresado como sigue:
Lema 2.4 Sea f ∈ C1([a, b]). Entonces existe ξ∈[a, b] tal que
R0(f) = Z b a f(x)dx − f(a) (b − a) = f 0 (ξ) 2 (b − a) 2. (2.12) Demostraci´ on.-Z b a f (x)dx − f (a) (b − a) = Z b a (f(x)−f(a))dx= Z b a f0(ξx)(x−a)dx,
donde hemos usado el Teorema del Valor Medio (TVM) para cada valor x. Ahora en la ´ultima expresi´on podemos aplicar el Teorema del Valor Medio Generalizado, con lo que existe ξ ∈[a, b] tal que
Z b a f0(ξx)(x−a)dx=f0(ξ) Z b a (x−a)dx=f0(ξ)(b−a) 2 2 . Observaci´on 2.5
Un resultado similar se obtiene si tomamos x0 = b, en este caso la f´ormula
de integraci´on se denomina f´ormula del rect´angulo derecha,
Z b a f (x)dx ' f(b) (b − a), R0(f) = − f0(ξ) 2 (b − a) 2.
Geom´etricamente, si f (x) ≥ 0 en [a, b], el valor de Rb
a f (x)dx se aproxima
por el ´area del rect´angulo de base (b − a) y altura f(a) ´o f(b).
En el caso de quex0 = c= a + b
2 , se obtiene la f´ormula del punto medio dada por
Z b
a
f (x)dx ' f (c) (b − a). (2.13) La expresi´on del error de integraci´on viene dada por
Lema 2.6 Sea f ∈C2([a, b]). Entonces existe ξ∈[a, b] tal que
R0(f) = Z b a f(x)dx−f(c) (b−a) = f 00(ξ) 24 (b−a) 3. (2.14)
Demostraci´on.- Consideramos el desarrollo de Taylor de la funci´on f en el punto c
hasta el orden 2: f (x) = f (c) + f0 (c) (x − c) + f 00 (ξ x) 2 (x − c) 2 . Integrando ambos miembros obtenemos
R0(f) = Z b a f (x)dx − f (c) (b − a) = f0 (c) Z b a (x − c) dx + Z b a f00(ξx) 2 (x − c) 2 dx= Z b a f00 (ξx) 2 (x − c) 2 dx con ξx ∈ (a, b).
Usando que la funci´on (x −c)2 no cambia de signo en [a, b],podemos aplicar el Teorema del Valor Medio Generalizado y concluir que existe un punto ξ ∈[a, b] en el que se tiene R0(f) = Z b a f00 (ξx) 2 (x − c) 2 dx= f 00(ξ) 2 Z b a (x − c)2 dx, de donde se obtiene (2.14).
La expresi´on (2.14) prueba que la f´ormula del punto medio es de orden 1. En efecto, f00(x) ≡ 0 si f es un polinomio de grado menor o igual que 1. Adem´as, la f´ormula es inexacta para f(x) = x2, por lo que su orden es exactamente 1.
Cualquier otra elecci´on del puntox0genera una f´ormula de orden 0. Esto se debe a que el punto x0 =ces sim´etrico respecto a los extremos del intervalo, lo que hace que la contribuci´on al error del t´ermino lineal en el desarrollo de Taylor de f sea nula. Las simetr´ıas juegan un papel fundamental en la construcci´on de f´ormulas de cuadratura de alto orden.
2.2.2. F´ormula del trapecio
Se trata de un f´ormula de integraci´on con dos puntos. En este caso el polinomio de interpolaci´on de la funci´on f es de grado uno. En concreto, si consideramos los puntos x0, x1 ∈ [a, b], el polinomio de interpolaci´on de la funci´onf ser´a
P1(x) = f (x0) + f [x0, x1] (x − x0) = f (x0) +
f (x1) − f (x0) x1 − x0
(x − x0). Podemos entonces obtener la siguiente f´ormula de integraci´on num´erica
Z b a f(x)dx ' Z b a f (x0) + f(x1) − f(x0) x1 − x0 (x − x0) dx
Para el caso particular x0 = a y x1 = b se obtiene la f´ormula del trapecio que viene dada por
Z b a
f(x)dx ' b−a
2 (f (a) + f (b)). (2.15)
La expresi´on del error para esta f´ormula viene dada como sigue:
Lema 2.7 Sea f ∈ C2([a, b]). Entonces existe ξ∈[a, b] tal que
R1(f) = Z b a f(x)dx − b−a 2 (f(a) + f(b)) = − f00(ξ) 12 (b − a) 3 . (2.16)
Demostraci´on.- Expresamos el error como
R1(f) =
Z b
a
(f(x)−P1(x))dx. El error de interpolaci´on viene dado por
f(x)−P1(x) =
f00(ξx)
2 Π1(x),
con Π1(x) = (x − a) (x − b). Dado que la funci´on Π1 no cambia de signo en el intervalo [a, b], el Teorema del Valor Medio Generalizado implica que existeξ ∈[a, b] tal que R1(f) = Z b a f00(ξx) 2! (x −a)(x−b)dx= f00(ξ) 2 Z b a (x−a)(x−b)dx=−f 00(ξ) 12 (b−a) 3. Observaci´on 2.8
La expresi´on del error nos asegura que la f´ormula (2.15) es exacta para
poli-nomios de grado menor o igual que 1, pero inexacta para f(x) = x2, por lo
que su orden es exactamente 1.
Geom´etricamente, si f (x) ≥ 0 en [a, b], la f´ormula del trapecio aproxima el
valor de Rab f(x)dx por el ´area del trapecio resultante de unir los puntos(a,0),
2.2.3. F´ormula de Simpson
Se trata de una f´ormula para 3 puntos, pero consigue exactitud para los polino-mios de grado menor o igual que 3, considerando los puntos x0 = a,x1 = (a+b)/2 y x2 = b. (Al disponer de f para evaluar en cualquier punto, la simetr´ıa en la elec-ci´on de los nodos simplifica la expresi´on dada a continuaci´on.) Por integraci´on del polinomio de interpolaci´on, se deduce f´acilmente que
Z b a f (x)dx ' b−a 6 f (a) + 4f a + b 2 + f (b) . (2.17) La deducci´on del error en la f´ormula (2.17) es un poco m´as laboriosa. Antes de enunciarlo, y para dar las l´ıneas principales de la prueba, recordamos el Teorema de Taylor (e.g. cf. [T. Apostol, Calculus Vol. 1, Th.7.6, p.342 y Sec.7.7, p.347]) ya introducido en el Tema 2, pero con una expresi´on distinta para el resto.
Teorema 2.9 Sean I ⊂R, a ∈I y f ∈Cn+1(I). Entonces f(x) = n X j=0 fj) j! (x−a) j +E n(x) ∀x∈I, siendo el error En(x) = 1 n! Z x a (x−s)nfn+1)(s)ds.
Observaci´on 2.10 La forma m´as usual (y simplificada) del resto, que fue utilizada
reiteradamente en el Tema 2, a saber, para cada x∈I existec entre x y a tal que
En(x) =
fn+1)(c)
(n+ 1)!(x−a)
n+1 ,
es una consecuencia de aplicar el Teorema 2.1 del Valor Medio Generalizado a la forma del error en el resultado previo.
Ahora enunciamos y esbozamos la prueba de la expresi´on del error para la f´ormula de Simpson.
Lema 2.11 Sea f ∈ C4([a, b]). Entonces, para la f´ormula de cuadratura (2.17)
existe ξ ∈[a, b] tal que
R2(f) = −
f4)(ξ)
2880 (b − a)
5, (2.18)
Demostraci´on.- Reescribimos la integral de f en [a, b] como
Z c+(b−a)/2
c−(b−a)/2
f(x)dx, donde hemos denotado c= (a+b)/2.
Ahora introducimos la funci´on error de Simpson ES(h) = Z c+h c−h f(x)dx− h 3[f(c−h) + 4f(c) +f(c+h)], h∈ 0,b−a 2 .
Se puede observar que ES(0) =ES0(0) =E 00 S(0) = 0 y que ES000(h) = −h 3[f 000 (c+h)−f000(c−h)]. Gracias a que f ∈C4([a, b]),podemos definir
F(h) = f000(c+h)−f000(c−h) 2h sih∈(0, b−a 2 ], f(4(c) si h= 0.
Obs´ervese queF es continua, puesF(h)→F(0) sih→0 y por el teorema del valor medio para cualquier z∈(0,(b−a)/2],existe ξ∈(a, b) conF(z) =f(4(ξ).
Usando el desarrollo de Taylor centrado en cero paraES(·) hasta orden dos y la
expresi´on integral del error del Teorema 2.9, se tiene que ES(h) = 1 2 Z h 0 (h−t)2ES000(t)dt =−1 3 Z h 0 (h−t)2t2F(t)dt.
Como G(t) = (h−t)2t2 es continua y no cambia de signo en (0, h), por el TVMG concluimos que existe z ∈[0, h] tal que
ES(h) =− 1 3F(z) Z h 0 (h−t)2t2dt =− 1 90f (4(ξ)h5, ξ ∈(c−h, c+h). Ahora, (2.18) se deduce de lo anterior con h= (b−a)/2.
Observaci´on 2.12
La f´ormula de Simpson es una de las f´ormulas de integraci´on num´erica m´as
usadas en la pr´actica.
La expresi´on del errorR2(f), en t´erminos de la derivada cuarta def, confirma
que la f´ormula es exacta para los polinomios de grado menor o igual que 3.
Sin embargo, se obtiene a partir de la integraci´on de un polinomio de grado 2.
La f´ormula (2.17) tiene pues un grado extra de exactitud.
La f´ormula de Simpson es exactamente de orden 3 (ver error para f(x) =x4).
Si s´olo se dispone de tres puntos {x0, x1, x2} y los respectivos valores de f
en ellos, si los nodos no son equiespaciados, la filosof´ıa es la misma pero el resultado final tiene una forma menos elegante que la anterior. Utilizando los
polinomios de Lagrange L0, L1 y L2, se considerar´ıa la aproximaci´on
Z x2 x0 f(x)dx∼ Z x2 x0 P2(x)dx= Z x2 x0 2 X i=0 f(xi)Li(x)dx= 2 X i=0 f(xi)wi, donde wi := Rx2 x0 Li(x)dx para i= 0, 1, 2.
Ejemplo.- Obtener un valor aproximado de la integral
Z 1
0
e−x2 dx aplicando las f´ormulas vistas en teor´ıa. Dar, en cada caso, una estimaci´on del error cometido.
2.3.
F´
ormulas de integraci´
on compuesta
Las f´ormulas de integraci´on anteriores no son apropiadas cuando el intervalo de integraci´on [a, b] es bastante grande, ya que el error que se comete al utilizarlas suele ser tambi´en bastante grande, como se deduce de las expresiones del error.
Con objeto de conseguir una mayor precisi´on, podr´ıa pensarse en utilizar f´ ormu-las de tipo interpolatorio con mayor n´umero de puntos. Sin embargo este procedi-miento, a parte de ser m´as engorroso, no conduce necesariamente a f´ormulas m´as exactas debido a los problemas que puede presentar el polinomio de interpolaci´on cuando el grado es muy alto. Por esta raz´on, es aconsejable un m´etodo distinto y en la pr´actica m´as efectivo. Consiste en dividir el intervalo inicial en un n´umero apropiado de subintervalos y aplicar un m´etodo de integraci´on num´erica simple en cada uno de ellos. De esta forma aparecen las f´ormulas de integraci´on num´erica compuestas.
Si llamamos h = (b −a)/n, entonces los puntos xj = a + j h, para j =
0, 1, · · · , n, constituyen una partici´on (uniforme) del intervalo [a, b] y se tiene que
Z b a f(x)dx = n X j=1 Z xj xj−1 f (x)dx.
Ahora aplicamos una f´ormula de integraci´on num´erica para aproximar la integral de la funci´on en cada uno de los intervalos [xj−1, xj] paraj = 1, 2, · · ·, n.
2.3.1. F´ormula del punto medio compuesta
Si utilizamos la f´ormula del punto medio para aproximar la integral en cada uno de los subintervalos [xj, xj+1], obtenemos la f´ormula de integraci´on compuesta
Z b a f(x)dx ' IP M C(f) = n X j=1 f xj−1+xj 2 (xj − xj−1) = h n X j=1 f xj−1/2 , (2.19) donde xj−1/2 = xj−1+xj 2 .
El error cometido al utilizar la f´ormula (2.19) ser´a la suma de los errores come-tidos en cada uno de los subintervalos. La expresi´on del error es:
Lema 2.13 Sea f ∈C2([a, b]). Entonces existe ξ∈[a, b] tal que
RP M C(f) = Z b a f(x)dx−IP M C(f) = f00(ξ) 24 h 2 (b−a).
Demostraci´on.- Escribimos el error como
RP M C(f) = Z b a f(x)dx−IP M C(f) = n X i=1 Z xi xi−1 f(x)dx−(xi−xi−1)f(xi−1/2) .
Aplicando la expresi´on del error para la f´ormula del rect´angulo con el punto medio,
Z xi xi−1 f(x)dx−(xi−xi−1)f(xi−/2) = f00(ξi) 24 (xi−xi−1) 3 ,
siendo ξi ∈[xi−1, xi]. Entonces, RP M C(f) = n X i=1 f00(ξi) 24 h 3 = h 3 24 n X i=1 f00(ξi). Ahora bien, m= m´ın x∈[a,b] f00(x)≤f00 (ξi)≤M = m´ax x∈[a,b] f00(x), ∀i= 1,2,· · · , n de donde nm≤Pn i=1f 00(ξ i)≤nM, y por tanto m≤ RP M C(f) h2 24(b−a) ≤M.
Como f00 es continua en [a, b], existe un puntoξ ∈[a, b] tal que
RP M C(f) =
f00(ξ)
24 (b−a)h 2.
Ejemplo.-Calcular un valor aproximado de la integral
Z 16
10
x1/3dxaplicando la f´ormula del punto medio compuesta, dividiendo el intervalo en 3 partes iguales. Dar una estimaci´on del error cometido.
2.3.2. F´ormula del trapecio compuesta
Si utilizamos la f´ormula del trapecio en cada subintervalo, se llega a la f´ormula de integraci´on compuesta Z b a f(x)dx ' IT C(f) = n X j=1 f(xj−1) + f(xj) 2 (xj − xj−1). (2.20) Agrupando t´erminos, IT C(f) = h 2 " f(a) + 2 n−1 X j=1 f(xj) ! +f(b) # .
El error viene dado como sigue:
Lema 2.14 Sea f ∈C2([a, b]). Entonces existe ξ∈[a, b] tal que
RT C(f) = Z b a f(x)dx−IT C(f) =− f00(ξ) 12 h 2(b−a).
La demostraci´on es totalmente an´aloga a la del error para la f´ormula del punto medio compuesta.
Ejemplo.-Hallar, por el m´etodo del trapecio compuesto, un valor aproximado de
la integral
Z π/2
0
sen x dx, dividiendo el intervalo en 4 partes. Dar una estimaci´on del error cometido.
2.3.3. F´ormula de Simpson compuesta
Siguiendo con la subdivisi´on de un intervalo [a, b] en n subintervalos equiespa-ciados seg´un la partici´on{xi}ni=0 con xi =a+ih donde h= (b−a)/n,aplicando la
f´ormula de Simpson simple vista antes, se tiene que
Z b a f(x)dx∼ n X i=1 b−a 6n f(xi−1) + 4f xi−1+xi 2 +f(xi) = b−a 6n " f(a) + 2 n−1 X i=1 f(xi) + 4 n X i=1 f xi−1+xi 2 +f(b) # .
Veamos un ejemplo (acad´emico) de esto ´ultimo, con una funci´on f dada. Con-sideramos f(x) = x3 −3x2 +x + 4. Es f´acil comprobar que R3
0 f(x)dx = 9
075.
Supongamos que nos dan s´olo el conjunto de nodos {0,005,105,2,205}. Aunque no sean nodos equiespaciados ni uniformemente distribuidos por el intervalo [0,3], po-demos plantearnos calcular los polinomios de interpolaci´on de grado menor o igual que dos de f en los subconjuntos de nodos x1 ={0,005,105} y x2 ={105,2,205}.Si denotamos por p2,p˜2 ∈P2[x] a dichos polinomios, se puede comprobar que
Z 105 0 p2(x)dx+ Z 3 105 ˜ p2(x)dx= 501562 + 405937 ∼9075 = Z 3 0 f(x)dx. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 1 2 3 4 5 6
7 Simpson compuesto para nube de puntos
y=x3-3x2+x+4
(x1,f(x1)) con x1=[0 0.5 1.5] (x2,f(x2)) con x1=[1.5 2 2.5] p2 pol.interp. (x1,f(x1)) p2tilde en (x2,f(x2))
2.3.4. Aplicaci´on de f´ormulas de cuadraturas a datos experimentales
Si no se tiene f, para poder aplicar las f´ormulas anteriores en los puntos que se desee, si los valores son dados, entonces desconocemos los errores cometidos y s´olo se puede aplicar las f´ormulas de trapecio compuesta y si el n´umero de nodos es impar, 2n+ 1, y no inferior a tres, de Simpson compuesto, acorde a la Observaci´on 2.12 final, en cada subintervalo [x2j−2, x2j] conj = 1, . . . , n.Damos un ejemplo de ello a
continuaci´on.
Se tiene la siguiente tabla de valores experimentales, a partir de observaciones cl´ınicas.
Tiempo (h) 0 3 4 6 8 15 18 21 24
Conc. Plasm. (mg/ml) 1’1 3’3 5 9’3 21’9 47’2 35’4 29’2 19’1 No se conoce el error que se comete sobre la funci´on que representar´ıa la evoluci´on en tiempo real; simplemente se tiene dicha nube de puntos. La integral de la funci´on (desconocida) tiene un significado cl´ınico de inter´es. Para aproximarla, o bien se usa la poligonal P1 y a partir de ella se aplica la regla de trapecios compuesta, o bien, agrupando de tres en tres los pares de valores, se usa la regla de Simpson compuesta. En ambos casos, los valores obtenidos (compru´ebese) de las integrales num´ericas compuestas son 591’35 y 635’94 respectivamente.
Tiempo (horas) 0 5 10 15 20 25 Concentración (mg/100 ml) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
50 Nube de puntos: datos experimentales
Tiempo (horas) 0 5 10 15 20 25 Concentración (mg/100 ml) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
50 Datos experimentales y P1 para trapecio compuesto
Tiempo (horas) 0 5 10 15 20 25 Concentración (mg/100 ml) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
Referencias
[1] A. Aubanell, A. Benseny & A. Delshams, Utiles b´´ asicos de C´alculo Num´erico, Labor, Barcelona 1993.
[2] J. A. Infante y J. M. Rey, M´etodos Num´ericos: Teor´ıa, problemas y pr´acticas
con MATLAB , Ediciones Pir´amide, Madrid, 1999.
[3] J. M. Quesada, C. S´anchez, J. J´odar & J. Mart´ınez,An´alisis y M´etodos Num´ eri-cos, Publicaciones de la Universidad de Ja´en, Ja´en, 2004.
Como referencias complementarias destacamos:
[4] F. Garc´ıa & A. Nevot,M´etodos Num´ericos, Universidad Pontificia de Comillas, Madrid, 1997.
[5] D. Kincaid & W. Cheney,An´alisis Num´erico, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1994.