TRIÁNGULOS CONGRUENTES

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TRIÁNGULOS CONGRUENTES

7.1.1 – 7.1.7

Dos triángulos son congruentes cuando existe una secuencia de transformaciones rígidas (reflexiones, rotaciones, y traslaciones) que hace que uno coincida con el otro. En estas lecciones, los alumnos encontrarán atajos que les permiten demostrar la congruencia de los triángulos con la menor cantidad de pasos posible, desarrollando cinco condiciones de congruencia de triángulos.

Las condiciones de congruencia de triángulos son ≅ LLL, ≅ ALA, ≅ AAL, ≅ LAL, y ≅ HC, y se ejemplifican a continuación. Nota: “L” significa “lado” y “A” significa “ángulo”. ≅ HC solo se utiliza con triángulos rectángulos. La “H” significa “hipotenusa” y la “C” significa cateto. El patrón parece ser “LLA” pero este arreglo NO es una de las conjeturas, dado que solo es verdadero para los triángulos rectángulos.

Consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 7.1.4 y 7.1.7. Para más ejemplos y ejercicios de práctica, consulta el material del Punto de comprobación 10.

≅ HC ≅ LLL

≅ LAL ≅ ALA

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Ejemplo 1

Utiliza las condiciones de congruencia de triángulos para decidir si cada par de triángulos debe ser congruente. Toma cada decisión según las marcas, y no las apariencias. Justifica cada respuesta.

a. b.

c. d.

e. f.

Respuestas:

a. Los triángulos son congruentes por ≅ LAL. b. Los triángulos son congruentes por ≅ LLL. c. Los triángulos son congruentes por ≅ AAL.

d. Los triángulos no son necesariamente congruentes. El primer triángulo muestra un arreglo ALA, mientras que el segundo muestra un arreglo AAL. Los triángulos podrían ser congruentes de todos modos, pero no podemos concluir con certeza que sean congruentes en función de las marcas.

e. Los triángulos son triángulos rectángulos congruentes por ≅ HC. f. Los triángulos son congruentes por ≅ ALA.

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Ejemplo 2

Utilizando la información de los siguientes diagramas, decide si alguno de estos triángulos es congruente. Si consideras que los triángulos son congruentes, crea un diagrama de flujo que justifique tu respuesta.

a. b.

En el punto (a), ∆ABD

CBD por la conjetura ≅ LAL. Nota: si solo ves “LA”, observa que BD es congruente con sí mismo.

En el punto (b), los triángulos no son necesariamente congruentes; podrían ser congruentes, pero como solo tenemos información acerca de los ángulos, no podemos arribar a ninguna otra

conclusión. Nota: son semejantes por ~ AA.

Problemas

Explica brevemente si cada uno de los siguientes pares de triángulos son congruentes o no. Si lo son, indica en qué condición de congruencia de triángulos se basa tu conclusión.

1. 2. 3. 4. 5. 6. W X Y Z V A B C D C B A E D F V Y X U T W Q R S T A C D B F E G I L H J K P M N O AD = CD Dado m∠ADB = m∠CDB Dado BD = BD ABD≅∆CBD El segmento es congruente con sí mismo ≅ LAL

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7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. A B C D E P Q S R V W X Y Z T E S A K L E B A R O N D A V I S L U N C H T K R I S K M L N Q P O S R U X T W V X Y W Z G J H I 12 A B D C 13 5 H E G I 5 4 3 R P Q J K L 39º 112º 112º 39º 8 F A B C D E 12 4 12 8 4 B A D C

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En cada uno de los siguientes diagramas, ¿hay triángulos congruentes? Si es así, demuéstralo.

26. 27. 28.

29. 30. 31.

Completa una demostración para cada uno de los siguientes problemas.

32. Dado: TR y MN se bisecan una con otra. 33. Dado: CD biseca a ∠ACB; ∠1 ≅∠2. Demostración: ∆NTP≅∆MRP Demostración: ∆CDA≅∆CDB

34. Dado: ABCD, ∠B≅∠D, ABCD 35. Dado: PGSG, TPTS

Demostración: ∆ABF≅∆CDE Demostración: ∆TPG≅∆TSG

36. Dado: OEMP, OE biseca a ∠MOP 37. Dado: ADBC, DCBA Demostración: ∆MOE≅∆POE Demostración: ∆ADB≅∆CBD

B A D C B A C D E B A D C B A D C B A D C B A D C E F G S P T B A D C 1 2 B A D C N T M R P E P M O B A D C E F

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38. Dado: AC biseca a DE, ∠A≅∠C 39. Dado: PQRS, ∠R≅∠S Demostración: ∆ADB≅∆CEB Demostración: ∆PQR≅∆PQS

40. Dado: ∠S≅∠R, PQ biseca a ∠SQR 41. Dado: TUGY, KYHU, KTTG, Demostración: ∆SPQ≅∆RPQ HGTG. Demostración: ∠K≅∠H

42. Dado: MQWL, MQWL Demostración: MLWQ

Considera el diagrama de la derecha. 43. ¿∆BCD≅∆EDC? ¡Demuéstralo! 44. ¿ABDC? ¡Demuéstralo! 45. ¿ABED? ¡Demuéstralo! B C E D A Q P S R P S Q R K T Y U G H Q L M W A C E D B

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Respuestas

1. ∆ABC≅∆DEF por ≅ ALA. 2. ∆GIH≅∆LJK por ≅ LAL.

3. ∆PNM≅∆PNO por ≅ LLL. 4. QSQS, entonces ∆QRS≅∆QTS por ≅ HC. 5. Los triángulos no son necesariamente congruentes.

6. ∆ABC≅∆DFE por ≅ ALA o ≅ AAL. 7. GIGI, entonces ∆GHI≅∆IJG por ≅ LLL. 8. Ángulos alternos internos = se utiliza dos veces, entonces ∆KLN≅∆NMK por ≅ ALA. 9. Los triángulos no son necesariamente congruentes.

10. Los ángulos opuestos por el vértice y/o ángulos alternos internos =, entonces ∆TUX≅∆VWX por ≅ ALA.

11. No, la longitud de cada hipotenusa es diferente.

12. Teorema de Pitágoras, entonces ∆EGH≅∆IHG por ≅ LLL.

13. La suma de los ángulos de un triángulo = 180º, pero como los ángulos iguales no se corresponden, los triángulos no son congruentes.

14. AF + FC = FC + CD, entonces ∆ABC≅∆DEF por ≅ LLL. 15. XZXZ, entonces ∆WXZ≅∆YXZ por ≅ AAL.

16. ∆ABC≅∆EDC por ≅ AAL

17. ∆PQS≅∆PRS por ≅ AAL, con PSPS (el segmento es congruente con sí mismo).

18. ∆VXW≅∆ZXY por ≅ ALA, con∠VXW ≅ ∠ZXY porque los ángulos opuestos por el vértice son ≅.

19. Los triángulos no son necesariamente congruentes.

20. ∆KLB≅∆EBL por ≅ HC, con BLBL (el segmento es congruente con sí mismo). 21. Ángulos opuestos por el vértice ≅ en O, así que ∆POQ≅∆ROS por ≅ LAL.

22. Los triángulos no son necesariamente congruentes.

23. ∆TEA≅∆SAE por ≅ LLL, con EAEA (el segmento es congruente con sí mismo). 24. Los triángulos no son necesariamente congruentes.

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26. 27. 28. 29. 30. No necesariamente. Contraejemplo: 31.

32. NPMP y TPRP por definición de la bisectriz. ∠NPT≅∠MPR porque los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Entonces, ∆NTP≅∆MRP por ≅ LAL.

33. ∠ACD≅∠BCD por definición de la bisectriz. CDCD (segmento congruente con sí mismo), de modo que ∆CDA≅∆CDB por ≅ ALA.

34. ∠A≅∠C dado que los ángulos alternos internos de las rectas paralelas son congruentes, de modo que ∆ABF≅∆CDE por ≅ ALA.

35. TGTG (segmento congruente con sí mismo) de modo que ∆TPG≅∆TSG por ≅ LLL. ∠BAD ≅∠BCD Dado ∠BDC ≅∠BDA ΔABD ≅ΔCBD Congruente con sí mismo ∠ rectos son ≅ ≅ AAL BE Dado ∠BCA ≅∠BCD ΔABC ≅ΔDEC

Dado ∠ opuestos por el vértice son ≅

ALA ≅ Dado ∠BCD ≅∠BCA ΔABC ≅ΔDBC ∠ rectos son ≅ ≅ LAL Congruente con sí mismo Dado ΔABC ≅ΔCDA ≅ LLL Dado Congruente con sí mismo Dado ΔABC ≅ΔDEF ≅ HC Dado

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36. ∠MEO≅∠PEO porque las rectas perpendiculares forman ángulos rectos ≅. ∠MOE≅∠POE por la bisectriz yOEOE (segmento congruente con sí mismo). Entonces, ∆MOE≅∆POE por ≅ ALA.

37. ∠CDB≅∠ABD y ∠ADB≅∠CBD porque las rectas paralelas conforman ángulos alternos internos congruentes. DBDB (segmento congruente con sí mismo) de modo que ∆ADB≅∆CBD por ≅ ALA.

38. DBEB por definición de la bisectriz. ∠DBA≅∠EBC porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Entonces, ∆ADB≅∆CEB por ≅ AAL.

39. ∠RQP≅∠SQP porque las rectas perpendiculares forman ángulos rectos congruentes.

PQPQ (segmento congruente con sí mismo), de modo que ∆PQR≅∆PQS por ≅ AAL. 40. ∠SQP≅∠RQP por la bisectriz del ángulo y PQPQ (segmento congruente con sí

mismo), de modo que ∆SPQ≅∆RPQ por ≅ AAL.

41. ∠KYT≅∠HUG porque las rectas paralelas conforman ángulos exteriores alternos

congruentes. TY + YU = YU + GU entonces TY ≅ GU por sustracción. ∠T≅∠G porque las rectas paralelas conforman ángulos rectos congruentes. Entonces, ∆KTY≅∆HGU por ≅ ALA. Entonces, ∠K≅∠H porque los triángulos ≅ tienen partes congruentes.

42. ∠MQL≅∠WLQ porque las rectas paralelas conforman ángulos alternos internos congruentes. QLQL (segmento congruente con sí mismo), entonces ∆MQL≅∆WLQ por ≅ LAL entonces ∠WQL≅∠MLQ porque los triángulos congruentes tienen partes congruentes. Entonces, MLWQ porque los ángulos alternos internos congruentes están formados por rectas paralelas.

43.

44. Los triángulos no son necesariamente congruentes. 45. Los triángulos no son necesariamente congruentes.

ΔBCD ≅ΔEDC

Rectas || → ∠ alt. int. son ≅

BDC ≅∠ECD

Congruente con sí mismo

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GEOMETRÍA EN COORDENADAS

7.2.1 – 7.2.3

Ahora que los alumnos conocen muchas de las propiedades de diversos triángulos, cuadriláteros y cuadriláteros especiales, pueden aplicar sus habilidades y conocimientos algebraicos sobre cuadrículas de coordenadas para estudiar geometría en coordenadas. En esta sección, los polígonos son diagramados sobre ejes coordenados. Los alumnos pueden usar ideas familiares, como el Teorema de Pitágoras y las pendientes para demostrar si los cuadriláteros tienen o no propiedades especiales.

Consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 7.2.2 y 7.2.3.

Ejemplo 1

Diagrama los puntos A(–3, –1), B(1, –4), C(5, –1), y D(1, 2) en un par de ejes coordenados y conéctalos en el orden dado. ¿El cuadrilátero es un rombo? Justifica tu respuesta.

Para demostrar que este cuadrilátero es un rombo, debemos demostrar que sus cuatro lados miden lo mismo (definición de rombo). Cuando queremos determinar la longitud de un segmento en un gráfico coordenado, debemos usar el Teorema de Pitágoras. Para comenzar, diagrama los puntos en un gráfico.

Si bien la forma parece ser un paralelogramo y posiblemente un rombo, no podemos basar nuestra decisión en las apariencias. Para usar el Teorema de Pitágoras, diagramamos un triángulo de pendiente, creando un triángulo rectángulo con DC como hipotenusa. Los catetos de este triángulo rectángulo miden 3 y 4 unidades. Usando el Teorema de Pitágoras,

32+42=(DC)2 9+16=(DC)2 25=(DC)2

DC=5

También podemos dibujar triángulos de pendientes para los otros tres lados del cuadrilátero y usar nuevamente el Teorema de Pitágoras. En todos los casos la longitud resultante es

5 unidades. Ya que todos los lados miden lo mismo, el polígono es un rombo.

x y A B C D 3 4 D C

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x y A B C Δx = 2 Δx = 7 Δy = 6 Δy = –4

Ejemplo 2

Diagrama los puntos A(–4, 1), B(1, 3), C(8, –1), y D(4, –3) en un par de ejes coordenados y conéctalos en el orden dado. ¿El cuadrilátero es un paralelogramo? Justifica tu respuesta. Al diagramar los puntos, el cuadrilátero parece ser un

paralelogramo, pero no podemos basar nuestra decisión en las apariencias. Para demostrar que es un paralelogramo, debemos mostrar que los lados opuestos son paralelos. En un gráfico, dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente. Podemos usar triángulos de pendiente para hallar la pendiente de cada lado.

Pendiente de BC= −47 =−47 Pendiente de BA= 25

Pendiente de AD=−84 =−12

Pendiente de DC= 24 = 12

Si bien las pendientes de los lados opuestos se aproximan, no son iguales. Por lo tanto, este cuadrilátero no es un paralelogramo.

Ejemplo 3

Diagrama los puntos A(–1, 5), B(6, 1), C(–3, –1) en un par de ejes coordenados. Determina los puntos medios de AC y AB. Luego, conéctalos para dibujar el segmento medio del triángulo. Demuestra que el segmento medio es paralelo a BC y mide la mitad de BC.

Para hallar los puntos medios de AC y AB, dibuja triángulos de pendiente.

El punto medio de un segmento se halla sumando la mitad del cambio en x (1

2Δx) y la mitad del cambio en y (12Δy) a las coordenadas del extremo izquierdo.

En AC, Δx = 2 y Δy = 6, así que 1

2Δx=1 y 12Δy = 3. El punto C(–3, –1) es el extremo izquierdo, así que el punto medio de AC es (−3+12Δx, −1+12Δy) o (–3 + 1, –1 + 3) = (–2, 2).

Repite este proceso para hallar el punto medio de AB: Δx = 7 y Δy = –4, así que 1

2Δx = 312 y 1

2Δy=−2. El punto A es el extremo izquierdo, así que el punto medio de AB es (–1 + 31

2, 5 + (–2)) = (212 , 3).

Para demostrar que el punto medio es paralelo a BC, debemos demostrar que tiene la misma pendiente. La pendiente del segmento medio es 4.51 =29. La pendiente de BC también es 29. Usa tus triángulos de pendiente y el Teorema de Pitágoras para determinar la longitud del segmento medio y la longitud de BC.

Segmento medio: 4.52+12=c2 21.25=c2 c≈4.61 BC: 92+22=c2 85=c2 c≈ 9.22 4.61 es la mitad de 9.22 x y A B D C Δx = 7 Δy = – 4

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Problemas

1. Si ABCD es un rectángulo, y A(1, 2), B(5, 2), y C(5, 5), ¿cuáles son las coordenadas de D? 2. Si P(2, 1) y Q(6, 1) son los extremos de la base de un triángulo rectángulo isósceles, ¿cuál

es la coordenada x del tercer vértice?

3. Los tres puntos S(–1, –1), A(1, 4), y M(2, –1) son vértices de un paralelogramo. ¿Cuáles son las coordenadas de tres puntos posibles del cuarto vértice?

4. Grafica las rectas de abajo en el mismo par de ejes. Estas rectas encierran una figura. ¿Cuál es el nombre de esa figura? Justifica tu respuesta.

y=53x+7 y=0.6x y=−106 x−1 y=−53x+9

5. Si W(–4, –5), X(1, 0), Y(–1, 2), y Z(–6, –3), ¿qué figura es WXYZ? Justifica tu respuesta. 6. Si los extremos de DT son D(2, 2) y T(6, 4), ¿cuál es la ecuación de la recta que contiene

la mediatriz de DT?

Respuestas

1. (1, 5) 2. (4, 4)

3. (4, 4), (0, –6), o (–2, 4)

4. Ya que las pendientes de los lados opuestos son iguales, este es un paralelogramo. Además, ya que las pendientes de las rectas que se intersecan son recíprocos negativos entre sí, las rectas son perpendiculares. Esto significa que todos los ángulos son rectos, así que la figura es un rectángulo.

5. Las pendientes son: WX = 1, XY = –1, YZ = 1, y ZW = –1. Esto muestra que WXYZ es un rectángulo.

6. y = –2x + 11

El punto medio de DT es (4, 3). La pendiente deDT es 1

2, así que la pendiente perpendicular es –2. Comienza con 3 = –2(4) + b y calcula b.

Figure

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Referencias

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