Técnica analítica de sustitución

1

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Técnica analítica de sustitución

Ejercicio 1 Determina lim_𝑥→2(𝑥2− 6𝑥 + 3) Resultado lim 𝑥→2(𝑥 2_{− 6𝑥 + 3) = −5} Desarrollo de la solución lim 𝑥→2(𝑥 2_{− 6𝑥 + 3) = (2)}2_{− 6(2) + 3} lim 𝑥→2(𝑥 2_{− 6𝑥 + 3)= 4 − 12 + 3} lim 𝑥→2(𝑥 2_{− 6𝑥 + 3)= −5}

Ejercicio 2 Determina lim

𝑥→1 𝑥3+3𝑥 𝑥2_−5𝑥 Resultado lim 𝑥→1 𝑥3_{+ 3𝑥} 𝑥2_{− 5𝑥}= −1 Desarrollo de la solución lim 𝑥→1 𝑥3_{+ 3𝑥} 𝑥2_{− 5𝑥}= (1)3_{+ 3(1)} (1)2_{− 5(1)} lim 𝑥→1 𝑥3_{+ 3𝑥} 𝑥2_{− 5𝑥}= 1 + 3 1 − 5 lim 𝑥→1 𝑥3_{+ 3𝑥} 𝑥2_{− 5𝑥}= 4 −4 lim 𝑥→1 𝑥3_{+ 3𝑥} 𝑥2_{− 5𝑥}= −1

Ejercicio 3 Determina _𝑥→−1lim(𝑥 + 𝑥2+ 𝑥3)50 Resultado lim 𝑥→−1(𝑥 + 𝑥 2_{+ 𝑥}3₎50_{= 1} Desarrollo de la solución lim 𝑥→−1(𝑥 + 𝑥 2_{+ 𝑥}3₎50_{= ((−1) + (−1)}2_{+ (−1)}3)50 = (−1 + 1 − 1)50 = (−1)50 = 1

Ejercicio 4 Determina lim

𝑥→3 (4𝑥−9)55 (𝑥3₋₃₎18 Resultado lim 𝑥→3 (4𝑥 − 9)55 (𝑥3_{− 3)}18= 24.99 lim 𝑥→3 (4𝑥 − 9)55 (𝑥3_{− 3)}18= (4(3) − 9)55 ((3)3_{− 3)}18 lim 𝑥→3 (4𝑥 − 9)55 (𝑥3_{− 3)}18= (4(3) − 9)55 ((3)3_{− 3)}18

2

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Técnica analítica de factorización

Ejercicio 1 Obtén lim

𝑦→−5 𝑦2₋₂₅ 𝑦+5 Resultado lim 𝑥→−5 𝑦2− 25 𝑦 + 5 = −10 Desarrollo de la solución Por sustitución: lim 𝑥→−5 𝑦2_{− 25} 𝑦 + 5 = (−5)2_{− 25} (−5) + 5 lim 𝑥→−5 𝑦2_{− 25} 𝑦 + 5 = 25 − 25 −5 + 5 lim 𝑥→−5 𝑦2_{− 25} 𝑦 + 5 = 0 0 Por factorización: lim 𝑥→−5 𝑦2_{− 25} 𝑦 + 5 = lim𝑥→−5 𝑦2_{− (5)}2 𝑦 + 5 lim 𝑥→−5 𝑦2− 25 𝑦 + 5 = lim𝑥→−5 (𝑦 + 5)(𝑦 − 5) 𝑦 + 5 lim 𝑥→−5 𝑦2_{− 25} 𝑦 + 5 = lim𝑥→−5(𝑦 − 5) lim 𝑥→−5 𝑦2− 25 𝑦 + 5 = −5 − 5 lim 𝑥→−5 𝑦2_{− 25} 𝑦 + 5 = −10 Notas

En el procedimiento se observa que 𝑦2_{− 25 también se puede escribir como}

𝑦2_{− 5}2_{, esto con la finalidad de utilizar la diferencia de cuadrados que está}

dada por:

3

Ejercicio 2 Calcula lim

𝑥→1 𝑥3−1 𝑥−1 Resultado lim 𝑥→1 𝑥3_{− 1} 𝑥 − 1 = 3 Desarrollo de la solución Por sustitución: lim 𝑥→1 𝑥3_{− 1} 𝑥 − 1 = (1)3_{− 1} (1) − 1 lim 𝑥→1 𝑥3_{− 1} 𝑥 − 1 = 1 − 1 1 − 1 lim 𝑥→1 𝑥3_{− 1} 𝑥 − 1 = 0 0 Por factorización: lim 𝑥→1 𝑥3_{− 1} 𝑥 − 1 = lim𝑥→1 𝑥3_{− (1)}3 𝑥 − 1 lim 𝑥→1 𝑥3_{− 1} 𝑥 − 1 = lim𝑥→1 (𝑥 − 1)(𝑥2_{+ 𝑥 + 1)} (𝑥 − 1) lim 𝑥→1 𝑥3_{− 1} 𝑥 − 1 = lim𝑥→1(𝑥 2_{+ 𝑥 + 1)} lim 𝑥→1 𝑥3_{− 1} 𝑥 − 1 = (1) 2_{+ 1 + 1} lim 𝑥→1 𝑥3− 1 𝑥 − 1 = 3 Notas

En el procedimiento se observa que 𝑥3_{− 1 también se puede escribir como}

𝑥3_{− 1}3_{, esto con la finalidad de utilizar la diferencia de cubos que está dada}

por:

4

Ejercicio 3 Determina lim

𝑥→−3 2𝑥+6 4𝑥2₋₃₆ Resultado lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36} = − 1 12 Desarrollo de la solución Por sustitución: lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= 2(−3) + 6 4(−3)2_{− 36} lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= −6 + 6 36 − 36 lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= 0 0 Por factorización: lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= lim_𝑥→−3 2(𝑥 + 3) 4(𝑥2_{− 9)} lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= lim_𝑥→−3 2(𝑥 + 3) 4(𝑥2_{− (3)}2₎ lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= lim_𝑥→−3 2(𝑥 + 3) 4(𝑥 + 3)(𝑥 − 3) lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= lim_𝑥→−3 2 4(𝑥 − 3) lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= 2 4(−6) lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= 2 −24 lim 𝑥→−3 2𝑥 + 6 4𝑥2_{− 36}= − 1 12 Notas

En el procedimiento se observa que 𝑥2_{− 9 también se puede escribir como}

𝑥2_{− 3}2_{, esto con la finalidad de utilizar la diferencia de cuadrados que está}

dada por:

5

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Técnica analítica de racionalización

Ejercicio 1 Obtén lim

𝑥→4 √𝑥−2 𝑥−4 Resultado lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = 1 4 Desarrollo de la solución Por sustitución: lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = √4 − 2 4 − 4 lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = 2 − 2 4 − 4 lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = 0 0 Por racionalización:

(se multiplica por el conjugado del numerador)

lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = lim𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 ∙ √𝑥 + 2 √𝑥 + 2 lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = lim𝑥→4 (√𝑥)2− (2)2 (𝑥 − 4)(√𝑥 + 2) lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = lim𝑥→4 𝑥 − 4 (𝑥 − 4)(√𝑥 + 2) lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = lim𝑥→4 1 √𝑥 + 2 lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = 1 √4 + 2 lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = 1 2 + 2 lim 𝑥→4 √𝑥 − 2 𝑥 − 4 = 1 4

6

Ejercicio 2 Determina lim

𝑥→5 √𝑥+4−3 𝑥−5 Resultado lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = 1 6 Desarrollo de la solución Por sustitución: lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = √(5) + 4 − 3 (5) − 5 lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = √9 − 3 5 − 5 lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = 3 − 3 0 lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = 0 0 Por racionalización:

(se multiplica por el conjugado del numerador)

lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = lim𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 ∙ √𝑥 + 4 + 3 √𝑥 + 4 + 3 lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = lim𝑥→5 (√𝑥 + 4)2− (3)2 (𝑥 − 5)(√𝑥 + 4 + 3) lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = lim𝑥→5 𝑥 + 4 − 9 (𝑥 − 5)(√𝑥 + 4 + 3) lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = lim𝑥→5 𝑥 − 5 (𝑥 − 5)(√𝑥 + 4 + 3) lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = lim𝑥→5 1 √𝑥 + 4 + 3 lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = 1 √5 + 4 + 3 lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = 1 √9 + 3 lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = 1 3 + 3 lim 𝑥→5 √𝑥 + 4 − 3 𝑥 − 5 = 1 6

7

Ejercicio 3 Determina lim_𝑥→2 𝑥

2₋₄ 3−√𝑥+7 Resultado lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= −24 Desarrollo de la solución Por sustitución: lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= (2)2_{− 4} 3 − √(2) + 7 lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= 4 − 4 3 − √9 lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= 0 0 Por racionalización:

(se multiplica por el conjugado del denominador)

lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= lim𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7∙ 3 + √𝑥 + 7 3 + √𝑥 + 7 lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= lim𝑥→2 (𝑥2_{− 4)(3 + √𝑥 + 7)} (3)2_{− (√𝑥 + 7)}2 lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= lim𝑥→2 (𝑥2_{− 2}2_{)(3 + √𝑥 + 7)} 9 − (𝑥 + 7) lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= lim𝑥→2 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(3 + √𝑥 + 7) 9 − 𝑥 − 7 lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= lim𝑥→2 −(2 − 𝑥)(𝑥 + 2)(3 + √𝑥 + 7) 2 − 𝑥 lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= lim𝑥→2[−(𝑥 + 2)(3 + √𝑥 + 7)] lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= −(2 + 2)(3 + √2 + 7) lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= −(4)(3 + √9) lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= −(4)(3 + 3) lim 𝑥→2 𝑥2_{− 4} 3 − √𝑥 + 7= −24 Notas

La expresión 𝑥2_{− 4 es una diferencia de cuadrados si la expresamos como}

𝑥2_{− 2}2_{, la cual es igual a (𝑥 − 2)(𝑥 + 2).}

Por otra parte, (𝑥 − 2) = −(−𝑥 + 2) = −(2 − 𝑥). Esta última expresión se requiere para cancelar el factor en el denominador.