RECTAS
Ecuación de una recta es la relación que verifican todos los puntos del plano que se encuentran sobre ella y sólo ellos.
Una recta queda determinada de dos formas diferentes:
a) Dando un punto A y un vector
u
que esté en la recta o sea paralelo a dicha recta.b) Dando dos puntos A y B.
1.- ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Consideremos r la recta que pasa por el punto
A
x
0,
y
0
y lleva la dirección del vectorv
v
1,
v
2
.El vector
v
se llama vector director de la recta r.Buscamos un procedimiento que nos permita calcular las coordenadas de cualquier punto X=(x,y) que pertenezca a la recta.
El vector
AX
es proporcional al vectoru
porestar en la misma dirección. Por eso:
R
t
u
t
AX
,
(siendo t un número realcualquiera, parámetro).
Si
a
yx
son los vectores de posición de lospuntos A y X, respectivamente, se verifica:
u
t
a
AX
a
x
, de donde:R
t
u
t
a
x
,
Se llama ecuación vectorial de la recta r(A,
u
) que, expresada en coordenadas, viene dada por:
x
,
y
x
0,
y
0
t
v
1,
v
2
, con t R.(Al hacer variar t en R e van obteniendo los puntos de r).
2.- ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA
A partir de la ecuación vectorial expresada en coordenadas, igualando las componentes, se obtiene:
x
,
y
x
0,
y
0
t
v
1,
v
2
2 0 1 0t·v
y
t·v
x
y
x
con tR.Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la recta r. Para cada valor de t se obtiene un punto de la recta r.
3.- ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA
A partir de las ecuaciones paramétricas de la recta r,
v
1
0
yv
2
0
, despejando t en ambasecuaciones e igualando, resulta:
2 0 1 0v
y
y
t
v
x
x
t
2 0 1 0v
y
y
v
x
x
4.- ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Operando y simplificando en la ecuación de la recta en forma continua, se obtiene:
0
1
0
2 2 0 1 1 0 2 1 1 0 2 00
2
x
x
v
y
y
v
x
v
x
v
x
v
y
v
x
v
y
v
y
v
x
v
Haciendo
A
v
2;B
v
1;C
v
1y
0
v
2x
0, resulta:Ax+By+C=0
La igualdad anterior se llama ecuación general de la recta o ecuación en forma implícita. El vector director de la recta en forma general es
v
B
,
A
, ya quev
1
B
yv
2
A
. 5.- ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTAConsideramos la recta r que pasa por el punto A(x0, y0) y lleva la dirección
v
v
1,
v
2
. La recta r tiene por ecuación en forma continua:2 0 1 0
v
y
y
v
x
x
, de donde despejamos:
0
1 2 0·
x
x
v
v
y
y
, que es la ecuación en forma de punto-pendiente de la recta, pues viene dada enfunción de un punto y la pendiente, que es el coeficiente
1 2
v
v
y se representa por m.Así, tenemos la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y tiene por pendiente m:
0
0
m
·
x
x
y
y
(ecuación punto-pendiente)Dada la ecuación general de una recta Ax+By+C=0, un vector director de la recta es:
u
B
,
A
, portanto,
B
A
m
Ejercicio: Halla la pendiente de la recta: x + 2y – 5 = 0. Halla un vector director de la recta. Expresa dicha recta en todas las formas que conoces.
6.- ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA
Despejando la “y” de la ecuación punto-pendiente resulta:
y
mx
y
0
mx
0. Si llamamosn
y
0
mx
0,se obtiene la ecuación explícita:
n
mx
y
,donde m representa la pendiente de la recta (nos da la inclinación de la recta) y n es la ordenada para x=0, que se llama ordenada en el origen (que nos da el punto de corte de la recta con el eje vertical, OY).
También se obtiene despejando la “y” de la ecuación general o implícita.
Observaciones sobre la pendiente:
- Cuando la inclinación de la recta es un ángulo agudo, la pendiente es positiva. - Cuando la inclinación de la recta es un ángulo obtuso, la pendiente es negativa.
- Las rectas paralelas al eje X tienen de pendiente 0, ya que su inclinación es de 0º, y las rectas
7.- ECUACIONES DE RECTAS PARALELAS A LOS EJES
Rectas paralelas al eje de ordenadas.
Tienen como vector director
v
0
,
u
2
por loque las ecuaciones paramétricas son:
2 0 0·
u
t
y
y
x
x
con tR. La ecuación de esas rectas viene dada por
x
x
0.Rectas paralelas al eje de abscisas.
Tienen como vector director
v
u
1,
0
por loque las ecuaciones paramétricas son:
0 1 0·
y
y
u
t
x
x
con tR. La ecuación de esas rectas viene dada por
y
y
0.8.- POSICIONES RELATIVAS: RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Dos rectas en el plano, según su posición relativa, pueden ser: - Rectas secantes: si tienen un solo punto en común. - Rectas paralelas: si no tienen ningún punto en común.
- Rectas coincidentes: si tienen todos los puntos comunes. En este caso no se trata de dos rectas, sino de una sola.
Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano hay que resolver el sistema formado por sus ecuaciones, de forma que:
- si tiene una solución, las rectas se cortan. - si no tiene solución, las rectas son paralelas.
- si tiene infinitas soluciones, las rectas son coincidentes.
Sin necesidad de resolver el sistema que forman, podemos saber la posición relativa de dos rectas. Si dos rectas son paralelas, la inclinación de ambas es la misma y, por tanto, su pendiente también. Es decir, llamando m a la pendiente de la recta “r”, y m’ a la pendiente de la recta “s”, entonces:
si r // s m // m’ Recordamos que:
B
A
m
A
B
v
C
By
Ax
0
,
. Por tanto:Si las rectas están en forma general, es decir, r: Ax+By+C=0 y s: A’x+B’y+C’=0, entonces:
B
A
m
y'
'
'
B
A
m
. Luego:si r // s
'
'
B
A
B
A
ó'
'
B
B
A
A
Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano, tendremos en cuenta lo siguiente:
Forma explícita r: y=mx+n s: y=m’x+n’ Forma implícita: r: Ax+By+C=0 s: A’x+B’y+C’=0 r y s secantes mm’
'
'
B
B
A
A
r y s paralelas m=m’; nn’'
'
'
C
C
B
B
A
A
r y s coincidentes m=m’; n=n’'
'
'
C
C
B
B
A
A
Si las rectas son perpendiculares:
m
m
'
1
RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Dibujamos los vectores
v
1
5
,
2
yv
2
2
,
5
. Comprobamos que los triángulos que forman con losejes de coordenadas son iguales, por lo que ambos vectores son perpendiculares. Por tanto: Los vectores
v
r
B
,
A
yv
'
s
B
,'
A
'
son perpendiculares.Sean las rectas:
0
0
'
C
y
'
B
x
'
A
:
s
C
By
Ax
:
r
Sus vectores directores son:
B
,
A
v
r
;v
'
s
B
,'
A
'
Si r y s son perpendiculares se cumple:
0
0
0
90
90
s
v
v
'
º
cos
v
·
v
'
B
·
B
'
A
·
A
'
r
r s r s (I) Además:B
A
m
R
;'
B
'
A
'
m
S
De (I): r s rm
'
m
m
'
B
'
A
B
A
'
A
'
B
'
A
·
A
'
B
·
B
1
1
Es decir:B
·
B
'
A
·
A
'
0
o bien: r sm
'
m
1
.EJERCICIOS
1º.- Sea
r
y
3
x
2
. Hallas
r
tal queA
2
,
2
pertenezca a s.2º.- Sea
r
2
x
5
y
2
0
. Hallas
r
tal queA
2
,
2
pertenezca a s.3º.- Sea
3
1
2
3
x
y
r
. Hallas
r
tal queA
2
,
4
pertenezca a s.4º.- Sea
r
3
x
5
y
2
0
. Hallas
r
tal queA
3
,
1
pertenezca a s.5º.- Sea
r
y
2
x
1
. Halla su paralela y su perpendicular por
0
,
5
.6º.- Sea
r
y
5
x
7
. Halla la perpendicular por el punto de corte con el eje de ordenadas.Exprésala en forma general.
7º.- Sea
r
x
3
y
6
0
. Halla la perpendicular por el punto de corte con el eje de abscisas.9.- PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES
Los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:
Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’.
Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=n el punto es (0,n), con ‘n’ = ordenada en el origen (punto de corte con el eje vertical.