Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Escuela de Ingenier´ıa
Teor´ıa Electromagn´etica
Ayudant´ıa 4
0.1.
Condiciones de borde en la frontera
Las condiciones que deben satisfacer los campos electromagn´eticos en una zona interfacial que separa dos medios se deducen, por supuesto, de las ecuaciones de Maxwell. La m´as simple de deducir es la que cumple la condici´on para la componente normal del campo magn´etico, y se obtiene a partir de la ecuaci´on
~
∇ ·B(t, ~~ x) = 0
En cualquier zona interfacial entre dos medios se puede constru´ır una superficie cil´ındrica como se muestra en la figura
Integrando la ecuaci´on de Maxwell sobre el volumen limitado por el cilindro se obtiene
˚ V d3x ~∇ ·B(t, ~~ x) = ˆ ˆ S(V) d ~S(~x)·B~(t, ~x) = 0 ¨ S1 dS1nˆ1 ·B~1(t, ~x) + ¨ S2 dS2ˆn2·B~2(t, ~x) + ¨ S3 dS3nˆ3·B(t, ~~ x) = 0
donde S3 es el manto del cilindro, mientras S1 y S2 las tapas. Si B(t, ~~ x) es finito, el ´ultimo t´ermino se puede anular si h → 0. Adem´as, en este l´ımite (h →0) las superficies S1 y S2 son pr´acticamente las mismas, S1 →S2, con ˆn1 =−ˆn2 y entonces
ˆ ˆ S(V) d ~S(ˆx)·B(t, ~~ x) = ¨ S1 dS1 ˆ n1·B1(t, ~~ x)−n1ˆ ·B2(t, ~~ x) = 0
ˆ
n1·B~1(t, ~x)−nˆ1·B~2(t, ~x) = 0
Es decir, la componente normal del campo magn´etico es continua al atravesar un medio B1n =B2n
Ahora veremos que la componente tangencial del campo el´ectrico es continua. A partir de la ecuaci´on
~
∇ ×E(t, ~~ x) + ∂ ~B(t, ~x) ∂t = 0
Integremos esta ecuaci´on sobre una superficie plana rectangular como la de la figura
El contorno de S es el camino Γ indicado en la figura. Utilizando el teorema de Stokes
ˆ ˆ S d ~S(~x)·∇ ×~ E(t, ~~ x)= ˛ Γ d~x·E(t, ~~ x) = − ˆ ˆ S d ~S(~x)· ∂ ~B(t, ~x) ∂t En el caso en que h1 →0,h2 →0 lE1t−lE2t = 0
la integral de superficie por supuesto es nula ya que la superficie total tiende a cero S →(suponemos que la derivada temporal del campo magn´etico es finita). De aqu´ı se deduce que la componente tangencialdeE(t, ~~ x) debe ser continua al atravesar una interfaz entre dos medios
E1t =E2t
Utilizando ahora la primera ecuaci´on de Maxwell ~
∇ ·D(t, ~~ x) =ρ(t, ~x)
y utilizando la misma superficie para el caso del campo magn´etico (cilindro de altura h) se obtiene ˚ V d3x ~∇ ·D(t, ~~ x) = ˚ V d3xρ(~x) ˆ ˆ V(S) d ~S(~x)·D(t, ~~ x) = ¨ V d3xρ(~x) si h→0, entonces (D1n−D2n)A=σA
donde A es la superficie de las tapas, y σ es la densidad superficial de carga en la frontera que divide a los dos medios. As´ı, la componente normal del campo D(t, ~~ x) es discontinua al atravesar una superficie cargada
~ D1−D~2 ˆ n21=σ
con n21 la normal desde 2 hacia 1. Equivalentemente para medios lineales
1E1~ −2E2~
ˆ n21 =σ Por ´ultimo, de la ecuaci´on
~
∇ ×H(t, ~x) = J(t, ~~ x) + ∂D(t, ~x) ∂t
y utilizando la misma superficie de integraci´on que el caso del campo el´ectrico, se obtiene
ˆ ˆ S d ~S(~x)·∇ ×~ H(t, ~x)= ˆ ˆ S d ~S(~x)·J(t, ~x) + ˆ ˆ S d ~S(~x)· ∂D(t, ~x) ∂t ˛ Γ d~x·H(t, ~x) = ˆ ˆ S d ~S(~x)·J~(t, ~x) + ˆ ˆ S d ~S(~x)· ∂D(t, ~x) ∂t
Si nuevamente h1 y h2 tienden a cero, y la derivada temporal del campo D~ es finita (H1−H2)·~l=J~(t, ~x)·
ˆ n21×~l
donde n21 es la normal desde el medio 2 al medio 1, y ~l es un vector de magnitud l y direcci´on tangente a la interfaz. Es decir, la componente tangencial de H(t, ~~ x) es discontinua al atravesar un medio con densidad de carga superficial en la interfaz
(H1−H2)·~l= ~ J(t, ~x)×nˆ21 ·~l ~ H1−H~2 =J~×nˆ21 Esto se puede reescribir
ˆ n21× ~ H1−H~2 =J~ Resumen
Al atravesar una interfaz entre dos medios (1 y 2), los campos electromagn´eticos satisfacen B1n =B2n E1t =E2t ~ D1−D~2 ·nˆ21=σ ~ H1−H~2 =J~×nˆ21
0.2.
Condiciones de Borde para incidencia normal
Las ondas electromagn´eticas que se propagan en materiales generalmente entran en el ma-terial a trav´es de una frontera entre ´este y otro medio, que puede ser por ejemplo, aire o vac´ıo. Aqu´ı utilizaremos las condiciones de borde que satisfacen los campos para el caso de ondas que inciden normalmente sobre una interfaz. (Esto significa que la direcci´on de propagaci´on es perpendicular a la frontera). Veremos que la onda incidente ser´a acompa˜nada por una onda reflejada y una transmitida. Consideremos el caso que se muestra en la figura
Se aprecia una onda incidente (E~i(x, z),H~i(y, z)) que se desplaza en el sentido positivo dez,
los campos E~r(x, z), ~Hr(y, z) describen la onda reflejada que se desplaza en el sentido negativo de z, y E~t(x, z), H~t(y, z) describen la onda transmitida. La interfaz es el plano z = 0, con el medio 1 a la izquierda y el medio 2 a la derecha. M´as concretamente
~ Ei(t, z) = Eie−ikzeiwtˆi ~ Er(t, z) = Ereikzeiwtˆi ~ Et(t, z) = Ete−ikzeiwtˆi ~ Hi(t, z) = Hie−ikzeiwtˆj ~ Hr(t, z) = −Hreikzeiwtˆj ~ Ht(t, z) = Hte−ikzeiwtˆj
Estas son ondas planas que se propagan en direcci´on z. Son soluciones a las Ecuaciones de Maxwell si
k=β−iα
Conα yβ encontrados anteriormente (Son propiedad de la frecuencia y del medio en el cual se propagan las ondas). Interesa determinar que relaci´on se cumple entre las magnitudes de los campos incidentes, reflejados y transmitidos. Para ello, usaremos el hecho de que el campo el´ectrico debe ser continuo enz = 0 (es completamente transversal a la interfaz). Esto significa
~
Ei(t,0) +E~r(t,0) = E~t(t,0) o bien
Ei+Er =Et
Adem´as, si no hay una corriente superficial en la interfaz, el campo H(t, z) es tambi´~ en continuo en z = 0
~
o bien
Hi−Hr =Ht
Adem´as, para cada onda las magnitudes entre E~ y H~ est´an dadas por las impedancias intr´ınsecas del medio. En resumen, se debe resolver lo siguiente
Ei+Er =Et Hi−Hr =Ht Ei Hi =η1 = Er Hr Et Ht =η2
Utilizando la ´ultima junto a las dos primeras se obtiene lo siguiente Et Ht =η2 = Ei+Er Hi −Hr η2 = Ei+Er 1 η1 (E i−Er) η2 =η1 Ei+Er Ei−Er →E i(η 2−η1) = Er(η1+η2) Finalmente Er =Ei η2−η1 η1+η2 Et =Ei 2η2 η1+η2 Hr =Hi η2−η1 η1+η2 Ht =Hi 2η1 η1+η2
Es inmediato que si η1 =η2, entonces E~r = 0, H~r = 0, lo cual es evidente pues en este caso no existe ninguna interfaz. Recordar que la impedancia de un medio est´a dada en general por
η=
r
iwµ σ+iw0 Para un buen conductor
η ≈
r
wµ σ e
iπ/4
Para un medio diel´ectrico perfecto (conductividad nula) η=
r
µ
Para el espacio vac´ıo η= r µ0 0 = 120π
0.2.1.
Incidencia Normal en un conductor perfecto: Ondas
esta-cionarias
Un caso particular interesante de la ley de reflexi´on y transmisi´on en una interfaz para ondas que inciden normalmente es cuando el medio 2 es un conductor perfecto. En este medio, la impedancia intr´ınseca tiende a cero
l´ım σ→∞η2 = l´ımσ→∞ r iwµ σ+iw0 = 0 Luego, se cumple Er =Ei −η1 η1 =−Ei Et= 0 Hr =Hi −η1 η1 =−Hi Ht= 0
Es decir, la onda escompletamente reflejada. Veremos que esta condici´on da origen a la creaci´on de una onda estacionaria. El campo el´ectrico total queda
~
E(t, z) =E~i(t, z) +E~r(t, z) ~
E(t, z) = Eie−ikzeiwtˆi−Eieikzeiwtˆi ~
E(t, z) =Eieiwtˆi e−ikz−eikz Si el medio 1 es un diel´ectrico perfecto, entonces k=β (α= 0)
~
E(t, z) =Eieiwtˆi e−iβz−eiβz
=−2isin(βz)Eieiwtˆi Tomando la parte real
~
E(t, z) = 2Eisin(βz) sin(wt)ˆi
Esta es una onda que se anula para valores determinados de z (∀t), dados por z = nπ β = wnπ c = f n 2λf z = n 2λ, n= 0,±1,±2, ... donde λ es la longitud de onda en el medio 1.
Por otra parte, el campo el´ectrico se anula para todo t tal que sinwt = 0→t= nπ
w , n= 0,±1,±2, ...
Esta onda es llamada estacionaria puesto que no se propaga, sino que simplemente oscila en el espacio y el tiempo.
Para el campo magn´etico se tiene ~
H(t, z) =H~i(t, z) +H~r(t, z) ~
H(t, z) =Hie−iβzeiwtjˆ+Hieiβzeiwtˆj ~
H(t, z) =Hieiwtˆj e−iβz+eiβz= 2Hieiwtcos(βz)ˆj tomando la parte real
~ H(t, z) = 2Hicos(βz) coswtˆj Se anula para βz = π 2 +nπ →z = n+ 1 2 π β z = n 2 + 1 4 λ, n= 0,±1,±2, ...
Adem´as, se aprecia que se anula para todot tal que coswt= 0
Se aprecia que para ondas estacionarias, el campo el´ectrico y magn´etico est´an en un desfase deπ/2
Figura 1: Ondas estacionarias se pueden lograr al confinar ondas electromagn´eticas entre dos planos perfectamente conductores
Problema
En la regi´on 1 de la figura, B~1 = 1,2ˆi+ 0,8ˆj+ 0,4ˆk (T). Encuentre H~2 (H~ en z = +0)
Soluci´on
Se tiene
~
B1 = 1,2ˆi+ 0,8ˆj+ 0,4ˆk
la componente normal del campo magn´etico a una superficie es siempre continua, es decir ~
B1·zˆ=B2~ ·zˆ
se desprende que el campo magn´etico en z = 0+ es de la forma ~
B2 =B2xˆi+B2yˆj+ 0,4ˆk
Adem´as, en la regi`on 1 la permeabilidad est´a dada por µ1 =µr1µ0 = 15µ0 de forma que el campo H~ en z= 0− es
~ H1 = 1 15µ0 ~ B1 = 1 15µ0 1,2ˆi+ 0,8ˆj+ 0,4ˆk
La componente tangencial de H~ es continua al atravesar una superficie sin densidad de carga superficial. Suponiendo que ´este es el caso, el campo H~ enz = 0+ es de la forma
~ H2 = 1 15µ0 1,2ˆi+ 0,8ˆj+H2zkˆ En resumen ~ B2 =B2xˆi+B2yˆj+ 0,4ˆk ~ H2 = 1 15µ0 1,2ˆi+ 0,8ˆj+H2zkˆ Adem´as ~ H2 = 1 µ2 ~ B2 = 1 µ0 ~ B2 luego B2x =µ0H2x= 1,2 15 B2y =µ0H2y = 0,8 15
B2z =µ0H2z = 0,4→H2z = 0,4 µ0 Finalmente ~ H2 = 1 15µ0 1,2ˆi+ 0,8ˆj + 0,4 µ0 ˆ k
Problema
Un campo E~ de 500 Mhz viaja por el espacio libre e incide perpendicularmente sobre un medio parcialmente conductor como se ilustra en la figura. Si la amplitud del campo incidente es
~
Ei0 = 100 V /m, determine
a) Las amplitudes de las ondas una vez atravesado completamente el medio (Et0,Ht0) b) La potencia temporal que porta la onda incidente
c) La potencia temporal que porta la onda transmitida nuevamente al espacio
Soluci´on
Definimos el eje ˆz como se indica en la figura, donde el origen coincide con el extremo izquierdo del medio parcialmente conductor
La onda incidente est´a descrita por ~
Ei =Ei0ei(5
×108t−βz)ˆ i, z < 0 donde la constante de propagaci´on en el vac´ıo est´a dada por
β = w
c = 5×10 8√µ
00
Al incidir normalmente sobre el medio conductor, parte de la onda se refleja, y otra es transmitida hacia el medio. SiEm0 es la amplitud de la onda transmitida en la interfaz (z = 0), entonces se cumple Em0 =Ei0 2ηm η0+ηm
donde ηm es la impedancia intr´ınseca del medio conductor η2 = r iwµ σ+iw = s i5×108µ0 1 +i5×10855 0 η2 = 44,5594 +i13,2865
El que sea un n´umero complejo implica que existir´a un desfase entre la onda incidente y la onda transmitida al medio. η0 es la impedancia intr´ınseca del vac´ıo
η0 = r µ0 0 = 120π As´ı, para Ei0 = 100 Em0 = 21,3182 +i5,63173i= 22,0495ei0,258274
Con esto, la onda transmitida al medio parcialmente conductor est´a descrita por ~ Em(t, z) = Em0e−αmzei(wt−βmz),0< z <30×10−3 ~ Em(t, z) = 22,0495e−αmzei(5×10 8t−β mz+0,258274) ,0< z < 30×10−3 donde la constante de atenuaci´on (αm) en este medio est´a dada por
αm =w v u u t µ 2 r 1 + σ w 2 −1 ! αm = 5×108 v u u u t µ0550 2 s 1 + 1 5×10855 0 2 −1 = 24,26005 As´ı ~ Em(t, z) = 22,0495e−24,26005zei(5×10 8t−β mz+0,258274),0< z <30×10−3
La magnitud del campo en z = 30×10−3 es
Emt = 22,0495e−24,26005×30×10
−3
= 10,6491
Si Et0 es la amplitud del campo el´ectrico transmitido nuevamente al vac´ıo, se cumple Et0 =Emt | 2η0 η0 +ηm |= 19,0375
la amplitud del campo H~ se relaciona con la del campo el´ectrico seg´un Et0 Ht0 =η0 Ht0 = η0 Et0 = 0,0504984
b) El promedio temporal del vector Poynting de la onda incidente es D ~ Si E = E 2 i0 2cµ0 ˆ k= 13,2629ˆk(W/m2)
c) Para la onda transmitida nuevamente al vac´ıo
D ~ St E = E 2 t0 2cµ0 ˆ k = 0,480681ˆk(W/m2)
Problema
Se requiere que Ud. haga una estimaci´on de la intensidad de campo el´ectrico, en V /m, que requerirr´ıa generar un radar de 2 Ghz de penetraci´on de suelo, con el objeto de detectar piezas met´alicas de gran tama˜no, enterradas a una profundidad de hasta 2 metros. Dependiendo de la composici´on y la humedad del terreno, este puede tener el siguiente rango de par´ametros
10−4 ≤σ ≤10−2 3≤rt ≤8
µrt= 1
Por otra parte se estima que las piezas enterradas tienen el siguiente rango de par´ametros 107 ≤σm ≤6×107
1≤µrm ≤7000
rm = 1
Se requiere saber que intensidad de campo el´ectrico en V /m se requiere en el aire, sobre la superficie del terreno, para detectar en el aire sobre la superficie del terreno, un rebote del objeto met´alico que tenga una amplitud de 1V /m, asumiendo incidencia normal
Soluci´on
Para estimar la intensidad m´ınima de campo el´ectrico que debe generar el radar, debemos suponer la peor situaci´on posible. Supondremos que hay una pieza met´alica situada a 2 m de profundidad en la tierra. El caso menos favorable para la propagaci´on en la tierra es cuando ´esta presenta su m´axima conductividad (mayor atenuaci´on). M´as a´un, para que ´esta se comporte como un buen conductor (atenuante) debe tenerse σt >> wt, de forma que consideramos el
caso de mayor conductividad y menor constante diel´ectrica.
La reflexi´on en la placa met´alica ser´a buena en la medida que ηm (impedancia intr´ınseca del
metal) sea lo m´as peque˜na posible. De esta forma, el peor de los casos para la reflexi´on en la pieza met´alica ocurre cuando ηm toma su m´aximo valor posible, y entonces cuando posee la
menor conductividad y la mayor permeabilidad magn´etica.
En la figura de arriba se aprecia una onda incidente E~i (campo emitido por el radar en la
superficie), y una onda transmitida en la tierra E~ti, que se propaga en direcci´on−z, esta onda
En esta figura se muestra el campo que se ha reflejado en el metal y se propaga hacia la superficie, que llamaremos E~rm, y la onda recibida finalmente en la superficie, llamada E~t.
Sabemos que esta ´ultima tiene una magnitud de Et = 1 (V /m). La magnitud de la onda
reflejada en el metal se describe por
Erm(z) =Er0e−αz donde α es el coeficiente de atenuaci´on en la tierra
α =w v u u u t µtt 2 s 1 + σt wt 2 −1 con w= 2×109 Hz, σ t= 10−2 (S/m), µt = 4π10−7 =µ0,t =rt0 = 3×8,854×10−12. Reemplazando estos valores
α= 1,08742
Debido a las condiciones de contorno en la interfaz (z = 2), se cumple Et= 1 =E |
2η0 η0+ηt
|
donde E es la magnitud del campo E~rm en z = 2, y η0 es la impedancia intr´ınseca del aire, considerada igual a la del vac´ıo.
η0 =
r
µ0 0
= 120π y la impedancia intr´ınseca de la tierra
ηt =
r
iwµ0 σt+iw0rt
= 217,434 +i3,2564 con esto se obtiene
E = | η0+ηt 2η0
|= 0,788393V /m Adem´as
E =Erm(z = 2) =Er0e−α2 =Er0e−1,08742×2 de donde la magnitud de la onda reflejada en el metal en z = 0 es
Ahora, esta onda reflejada en el metal proviene de la onda E~ti que fue transmitida a la
tierra. La magnitud de esta ´ultima se puede expresar como Eti=E0eαz
donde E0 (magnitud en z = 0) est´a relacionada conEr0 mediante Er0 =E0 |
ηm−ηt
ηm+ηt
| donde la impedancia intr´ınseca de la pieza de metal es
ηm = r iwµ0µm σm+iw0m con w= 2×109 Hz, σ m = 107 (S/m), µm = 700, m = 1 resulta ηm = 2,35095 +i2,35095
Notar que es un complejo con fase π/4, que es lo que se obtiene para un buen conductor. Con todo esto
E0 =Er0 |
ηm+ηt
ηm−ηt
|= 7,09235 Justo en z = 2, la magnitud de la onda transmitida a la tierra es
Eti(2) =E0eαz = 7,09235e1,08742×2 = 62,4177V /m
Si Ei es la magnitud de la onda que emite el radar en la superficie, entonces se cumple
Eti(2) =Ei | 2ηt ηt+η0 | Ei = 62,4177| ηt+η0 2ηt | Ei = 85,3109