Repartido 5 2017 - Estadísticas
Cuánticas
Mecánica Estadística 2017 - Facultad de Ciencias - UdelaR
26 de octubre de 2017
Ejercicio 1. Obtenga la forma explícita del estado base y del primer estado excitado para un sistema formado por dos bosones libres con espín 0, connados a una región
unidimensional de largo L.
Repetir el problema para dos fermiones con espín 1/2.
Ejercicio 2. a. Obtenga la distribución de Bose-Einstein. Indique cómo se impone la indistinguibilidad en esta deducción.
b. Considere un gas ideal de N partículas no relativistas débilmente interactivas en
equilibrio a una temperatura absoluta T, en un recipiente cúbico de arista L (V =L3).
Cada uno de los estados cuánticosrde una partícula tiene una energía cinéticar =r(V).
Calcule la dependencia der con V.
c. Determine la contribución a la presión P del gas de una partícula en ese estado
en función de r y V. Sugerencia: recuerde que la presión es la fuerza generalizada del
volumen, de forma que en general puede escribirse comoPr=−
∂r
∂V
.
d. Utilice la expresión anterior para demostrar que la presiónP de cualquier gas ideal
de partículas débilmente interactivas está siempre relacionada con la energía cinética total media,hEi, por la expresiónP = 23hEVi independientemente de que el gas obedezca
la estadística de Fermi-Dirac, Bose-Einstein o Maxwell-Boltzmann.
e. ¾Por qué es este resultado distinto a P = 13hEVi, obtenido para un gas de fotones?.
Sugerencia: considere lo que sucede en el caso de un gas ultra relativista con espectro de energía=c~k.
Ejercicio 3. Muestre que la entropía de una gas ideal cuántico puede ser escrita como:
S =−kBX
j
{fjlog(fj)±(1∓fj) log (1∓fj)},
donde el signo superior (inferior) se reere a fermiones (bosones), y
fj =hnji=
1
expβ(j−µ)±1
,
es la distribución de Fermi-Dirac (Bose-Einstein). Ejercicio 4. Dada la distribución de Fermi-Dirac,
fF D() =
1
expβ(−µ) + 1,
a. Graque la distribución de FD en función de la relación/µ, siendola energía del
nivel en consideración yµel potencial químico, en el casoµ >0 ykBT >0.
b. Calcule su valor en =µ y en= 0. ¾Qué sucede siµkBT?
c. Estudie el límite −µkBT.
d. ¾Cuál es la región de valores de en quef() toma valores entre90 %y10 %de su
valor máximo?.
Ejercicio 5. Dada la distribución de Bose-Einstein,
fBE() =
1
expβ(−µ)−1,
a. Graque la distribución de BE en función de la energíadel nivel en consideración.
b. Demuestre que su derivada es estrictamente negativa.
c. Estudie el límite −µ kBT y compárelo con el mismo límite de la distribución
de FD.
d. ¾Qué sucede si→µ?.
e. ¾Para qué rango de energía,, la función toma valores mayores que1?.
Ejercicio 6. Considere un sistema formado por dos partículas cada una de las cuales puede estar en cualquiera de tres estados cuánticos con energía respectivas0,y3. El
sistema está en contacto con un foco térmico a temperatura T. Escriba la función de
partición Z si las partículas son:
a. Distinguibles b. Bosones c. Fermiones
Ejercicio 7. a. Un gas ideal de Fermi está en reposo (su centro de masa está en reposo) a temperatura absoluta cero y tiene una energía de Fermi µ = F. La masa de cada
partícula es m. Si~v representa la velocidad de una molécula, determine hvxi y vx2
. b. Considere un gas de N electrones en un volumenV en el cero absoluto.
i. Calcule la energía media totalhEi de este gas.
ii. Exprese hEi en función de la energía de Fermi.
iii. Demuestre que hEi es una magnitud extensiva, pero que para un volumen joV, hEi no es proporcional al número de partículas del recipiente. ¾Cómo se explica este
hecho a pesar de que no hay interacción potencial entre las partículas?.
c. Determine la relación entre la presión media hPiy el volumen V de un gas ideal de
Fermi paraT = 0K.
i. Realizar el calculo mediante la expresión hPi = −∂∂VhEi|T, con hEi obtenido en la
parte anterior.
ii. Realizar el calculo a partir del resultado obtenido en el Ej.3 de este práctico. iii. Utilice el resultado para calcular en forma aproximada la presión en atmósferas, que ejercen los electrones de conducción en el cobre sobre la red sólida que los conna dentro del volumen del metal.
iv. Calcule el coeciente de compresibilidad isotérmico, αT =−V1 ∂V∂P
|T.
Ejercicio 8. a. Considere un gas de electrones libres que posee N electrones en un
volumen V a una temperatura T = 0K. Demuestre que la densidad de estados de una
partícula a la energía de Fermiµ=F puede escribirse como:
D3(F) =
3N
2F
b. Demuestre que la densidad energética de estados para una partícula libre de masa
m moviéndose en una línea recta de largoL(caja unidimensional) es: D1() = γL π r m 2~²,
donde γ es la degeneración de espín.
c. Demuestre que la densidad energética de estados para una partícula libre de masa
m moviéndose en una supercie cuadrada de áreaL² (caja bidimensional) es: D2() =
γmL²
2π~² ,
independiente de la energía .
d. Calcule la dependencia del potencial químico con la temperatura, en el límite
kBT F para N partícula moviéndose en un volumen V (sistema tridimensional,
parte a.). Observe que el potencial químico disminuye con la temperatura. Justique cualitativamente.
Nota: Calcule aproximadamente hasta segundo orden en kBT
F .
Ejercicio 9. (*) La energía más baja posible de un electrón de conducción en un metal está −W por debajo de la energía de un electrón libre en el innito. Los electrones de
conducción tienen una energía de Fermi (o potencial químico µ(T = 0K) = F). La
energía mínima necesaria para extraer un electrón del metal es entoncesφ=W −F y
se le llama función trabajo del metal. La gura muestra estas relaciones en un diagrama de energías frente a la posición espacial del electrón.
Figura 1: Ejercicio 9. La función trabajoφde un metal representa la altura de la barrera
por arriba del nivel de Fermi.
Considere un gas de electrones afuera del metal en equilibrio termodinámico con los electrones del metal a la temperatura T. Por la distribución de F-D, la densidad de
los electrones en el exterior del metal es muy pequeña a todas las temperaturas en que
kBT φ. Igualando los potenciales químicos para los electrones fuera y dentro del metal,
determine el número medio de electrones por unidad de volumen exterior al metal. Ejercicio 10. (*) Considere una estrella enana blanca con masaM y radioR. Vamos a
modelarla como una esfera de radioR conteniendo electrones y núcleos formando gases
ideales de densidad uniforme. Este modelo no es muy exacto. La gravedad hace que la densidad no sea uniforme, y por supuesto las partículas realmente no forman gases ideales.
Pero el modelo alcanza para calcular el orden de magnitud del radio y la densidad de la enana blanca. Supongamos que la temperatura es mucho mas baja que la temperatura de Fermi del gas de electrones, tal que este puede ser tratado como un gas degenerado a temperatura cero, pero sucientemente alta de forma tal que los núcleos forman un gas clásico.
a. a. Demuestra que en la aproximación de densidad uniforme la energía gravitacional potencial de la estrella es−3
5
GM2
R , donde G es la constante gravitacional de Newton.
b. Calcule la la energía cinética del gas suponiendo que es no relativista. Esta va a ser casi enteramente la de los electrones. Exprese el resultado en términos de la masa de la estrella usando el hecho de que para cada electrón hay un protón y aproximadamente un neutrón contribuyendo con una masa Me'2mp'3,34×10−27kg a la estrella.
c. Sume la energía cinética y potencial de las partes a. y b. para obtener la energía total (despreciamos la energía potencial eléctrica). El radio de equilibrio de la estrella es aquel en el cual la energía es minimizada manteniendo ja la entropía (esto es equivalente a maximizar la entropía manteniendo ja la energía cuando la temperatura es positiva). Cuando la estrella se achica a entropía constante aumenta la temperatura, pero cuando la temperatura está muy por debajo de la temperatura de Fermi esto no afecta sustan-cialmente a la energía. Por lo tanto alcanza con minimizar la expresión para la energía encontrada en a. y b. El resultado paraR debería ser del orden de 1017mKg1/3M−1/3.
d. Si la masa es igual a la del Sol (2×1030kg), ¾cuál es el radio de la enana blanca?.
Compare con el de la Tierra (6370Km).
e. En la medida que la masa aumenta la presión para sostenerla, y por tanto la energía cinética, debe aumentar hasta que los electrones se hacen relativistas. Calcule la energía cinética del gas de electrones en el límite ultrarelativista, es decir para=c|~p|, y repita
el análisis anterior para hallar el radio de la estrella. Use el cálculo Newtoniano de la energía potencial de a.
f. Note que no hay radio relativista salvo si la masa asume un cierto valor. Esta es la masa máxima posible de una enana blanca relativista según este modelo.