Física, Matemáticas y Estadística Primer Curso ÁLGEBRA LINEAL I. Juan A. Navarro González

F´ısica, Matem´

aticas y Estad´ıstica

Primer Curso

´

ALGEBRA LINEAL I

Juan A. Navarro Gonz´alez

´Indice General

1 Preliminares 1 1.1 Relaciones de Equivalencia . . . 1 1.2 N´umeros Complejos . . . 2 1.3 Permutaciones . . . 4 1.4 Matrices . . . 6 2 Espacios Vectoriales 9 2.1 Espacios Vectoriales y Subespacios Vectoriales . . . 9

2.2 Teor´ıa de la Dimensi´on . . . 11 2.3 Suma Directa . . . 16 3 Aplicaciones Lineales 17 3.1 Aplicaciones Lineales . . . 17 3.2 Teorema de Isomorf´ıa . . . 19 3.3 Cambio de Base . . . 22 4 Geometr´ıa Eucl´ıdea 23 4.1 Producto Escalar . . . 23

4.2 Espacios Vectoriales Eucl´ıdeos . . . 25

4.3 Bases Ortonormales . . . 27

5 Endomorfismos 29 5.1 Polinomios . . . 29

5.2 Valores y Vectores Propios . . . 30

5.3 Diagonalizaci´on de Endomorfismos . . . 31

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1

Relaciones de Equivalencia

Definici´on:Dar unarelaci´on≡en un conjuntoX es dar una familia de parejas ordenadas de X, y pondremosx≡y cuando la pareja (x, y) est´e en tal familia. Diremos que es una relaci´on deequivalenciasi tiene las siguientes propiedades:

1. Reflexiva: x≡x,∀x∈X.

2. Sim´etrica: x, y∈X, x≡y ⇒ y≡x.

3. Transitiva: x, y, z∈X,x≡y, y≡z ⇒ x≡z.

Ejemplo: Sea nun n´umero natural,n≥2. Diremos que dos n´umeros enterosa, b∈Zson

congruentesm´odulo ncuando b−aes m´ultiplo den:

a≡b (m´od. n) cuando b−a=cn para alg´unc∈Z.

La relaci´on de congruencia m´odulones una relaci´on de equivalencia en el conjuntoZ: Reflexiva: Sia∈Z, entoncesa≡a(m´od. n) porquea−a= 0·n.

Sim´etrica: Sia≡b(m´od. n), entonces b−a=cn, dondec∈Z; luego a−b= (−c)n, y por tanto b≡a(m´od. n).

Transitiva: Sia≡byb≡c(m´od. n), entoncesb−a=xnyc−b=yn, dondex, y∈Z; luegoc−a= (c−b) + (b−a) =yn+xn= (y+x)n, y por tantoa≡c(m´od. n).

Esta relaci´on de equivalencia tiene adem´as la siguiente propiedad:

a≡b(m´od. n) ⇒ a+c≡b+c y ac≡bc(m´od. n) c∈Z

pues sib=a+xn, dondex∈Z, entonces b+c=a+c+xnybc= (a+xn)c=ac+xcn.

Definici´on: Dada una relaci´on de equivalencia≡en un conjunto X, llamaremos clase de equivalenciade un elementox∈X al subconjunto deX formado por todos los elementos relacionados conx. Se denota

¯

x= [x] ={y∈X:x≡y}.

Diremos que un subconjuntoC⊆X es una clase de equivalencia de la relaci´on≡si es la clase de equivalencia de alg´un elemento x∈X; es decir,C= ¯xpara alg´unx∈X.

Elconjunto cocientedeX por≡es el conjunto formado por las clases de equivalencia de≡, y se denotaX/≡.

2 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES Teorema 1.1.1 Si ≡ es una relaci´on de equivalencia en un conjunto X, en el conjunto cocienteX/≡ s´olo se identifican los elementos equivalentes:

[x] = [y] ⇔ x≡y ; x, y∈X .

Demostraci´on: Si [x] = [y], entoncesy∈[y] = [x]; luegox≡y.

Rec´ıprocamente, six≡y, veamos que [y]⊆[x]. En efecto, siz ∈[y], entoncesy≡z, y por la propiedad transitiva x≡z; luegoz∈[x].

Ahora bien, six≡y, entoncesy≡x; luego tambi´en [x]⊆[y], y [x] = [y].

Corolario 1.1.2 Cada elementox∈X est´a en una ´unica clase de equivalencia de≡.

Demostraci´on: xest´a en [x], porquex≡x, y six∈[y], entoncesy≡x; luego [y] = [x].

Ejemplo: Cuando en Z consideramos la relaci´on de congruencia m´odulo n, la clase de equivalencia dea∈Zes

[a] = a+nZ = {a+cn: c∈Z} ,

y coincide con la clase [r] del resto de la divisi´on deaporn, puesa=cn+r. Por tanto el conjunto cociente, que se denotaZ/nZ, tienenelementos:

Z/nZ = {[1], [2], . . . ,[n] = [0]}.

1.2

N´

umeros Complejos

Definici´on: Los n´umeroscomplejos son las parejas de n´umeros realesz =x+yi (donde x ∈ R se llama parte real de z e y ∈ R se llama parte imaginaria) que se suman y multiplican con las siguientes reglas (i2_=−1):

(x1+y1i)+(x2+y2i) = (x1+x2) + (y1+y2)i

(x1+y1i)·(x2+y2i) = (x1x2−y1y2) + (x1y2+x2y1)i

El conjunto de todos los n´umeros complejos se denotaC. Elconjugadode un n´umero complejoz=x+yies el n´umero complejo ¯z=x−yi, y elm´odulodez es el n´umero real

|z|=√z·z¯=px2_+y2_{≥0. Las siguientes propiedades son de comprobaci´on sencilla:}

z+u= ¯z+ ¯u zu= ¯z¯u ¯¯z=z |z|=|z¯| |z|= 0⇔z= 0 |zu|=|z| · |u| z+ ¯z≤2|z| |z+u| ≤ |z|+|u|

excepto la ´ultima. Para demostrarla bastar´a ver que|z+u|2_≤(|z|+|u|)2_:

|z+u|2_{= (z+u)(z+u) = (z+u)(¯z+ ¯u) =|z|}2_+|u|2_{+zu¯+ ¯zu}

=|z|2+|u|2+zu¯+z¯u≤ |z|2+|u|2+ 2|zu¯|

=|z|2+|u|2+ 2|z| · |u¯|=|z|2+|u|2+ 2|z| · |u|= (|z|+|u|)2.

Si un n´umero complejoz=x+yino es nulo, tenemos quez¯z=|z|2_=x2_+y2_{>0, as´ı}

que su inverso z−1 _{existe, es de m´odulo|z}−1_|=|z|−1_{, y es}

1 z = ¯ z |z|2 = ¯ z z·z¯= x x2_+y2 − y x2_+y2i .

1.2. N ´UMEROS COMPLEJOS 3

Exponencial Compleja

Definici´on: Sit∈R, pondremoseti_{= cost+isent, donde el seno y coseno se consideran}

en radianes para que _dd_t(eit_{) =ie}it_{. Tenemos la f´ormula de Euler(1707-1783)}

e2πi_{= 1}

y en general e2πni_{= 1 para todo n´umero enteron.}

El n´umero complejoeti _{es de m´odulo |e}ti_|=√_cos2_{t+ sen}2_{t = 1, y todo n´umero}

com-plejo de m´odulo 1 eseθi _{para alg´un n´umero realθ.}

Siz∈Ces de m´oduloρ6= 0, el m´odulo dez/ρes 1, as´ı que z/ρ=eθi _y

z=ρeθi _{=ρ(cosθ+isenθ)}

para alg´un n´umero real θ = argz que llamamos argumento de z (bien definido salvo la adici´on de un m´ultiplo entero de 2π).

Cuandoz=x+yi; x, y∈R, tenemos que

cosθ=x/ρ , senθ=y/ρ , tanθ=y/x .

Ejemplos: Si ρ es un n´umero real positivo, argρ = 0, arg (ρi) = π/2, arg (−ρ) = π y arg (−ρi) = 3π/2 porque

ρ=ρe0, ρi=ρeπ2i , −ρ=ρeπi, −ρi=ρe32πi.

Por otra parte, las f´ormulas del seno y coseno de una suma expresan que eti_et0_i

=e(t+t0_)i eti_et0_i

= (cost+isent)(cost0_+isent0_{) =}

=¡(cost)(cost0_{)−(sent)(sent}0₎¢_+i¡_(cost)(sent0_{) + (sent)(cost}0₎¢

= cos(t+t0_{) +isen (t+t}0_{) =e}(t+t0_)i ; y la igualdad (ρeθi_)(ρ0_eθ0_i

) = ρρ0_e(θ+θ0_)i

muestra que arg (z·z0) = (argz) + (argz0)

de modo que arg (z−1_{) =−argz, al ser argz}−1_{+ argz= arg (z}−1_{z) = arg 1 = 0.}

Ahora, siu∈Cyun_=z=ρeiθ_{, entonces} |u|n_=|un_|=|z|=ρ

narg (u) = arg (un_{) = argz=θ+ 2πk , k∈Z}

Luego |u|= √nρy arg (u) = θ

n +2kπn , y claramente basta tomark= 0, . . . , n−1. As´ı,todo

n´umero complejo no nulo z=ρeiθ _{tienen ra´ıcesn-´esimas complejas, que son:}

n

√

ρ e(θ+2nkπ)i= √nρ enθie2kπn i

En particular, las ra´ıcesn-´esimas de la unidad complejas son

e2kπn i ;k= 1, . . . , n,

y vemos que las ra´ıcesn-´esimas de un n´umero complejo no nulo se obtienen multiplicando una de ellas por las ra´ıcesn-´esimas de la unidad.

4 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES Ejemplos:Veamos las ra´ıcesn-´esimas de la unidad complejas cuandon= 2,3,4,6,8:

n= 2; e22πi=eπi=−1,e42πi=e2πi= 1. n= 3; e23πi=−1 2 + √ 3 2 i,e 4π 3i=−1 2− √ 3 2 i,e 6π 3i= 1. n= 4; e24πi=i,e44πi =−1,e64πi=−i,e84πi= 1. n= 6; e26πi= 1 2+ √ 3 2 i, e 4π 6i=−1 2+ √ 3 2 i, e 6π 6i=−1, e86πi=−1 2− √ 3 2 i,e 10π 6 i= 1 2− √ 3 2 i,e 12π 6 i = 1. n= 8; e28πi= √1 2+ 1 √ 2i,e 4π 8i =i, e68πi=−√1 2+ 1 √ 2i, e 8π 8i=−1, e108πi=−√1 2− 1 √ 2i, e 12π 8 i=−i, e148πi=−√1 2− 1 √ 2i, e 16π 8 i= 1.

Por ´ultimo, si z = x+yi pondremos ez _{= e}x_eyi _{= e}x_{(cosy+iseny), de modo que}

ez0_+z =ez0

ez _{para cualesquiera n´umeros complejosz}0_{, z.}

Cuandoeu_{=z, decimos queues el logaritmo neperiano dez. As´ı, el logaritmo neperiano}

dez=ρeiθ_=elnρ_eiθ_=elnρ+iθ _{es lnz= lnρ+i(θ+ 2kπ).}

1.3

Permutaciones

Definici´on: SeanX eY dos conjuntos. Dar unaaplicaci´on f:X →Y es asignar a cada elementox∈X un ´unico elementof(x)∈Y, llamadoimagen dexpor la aplicaci´on f.

Sig:Y →Z es otra aplicaci´on, llamaremoscomposici´ondeg yf a la aplicaci´on g◦f:X −→Z , (g◦f)(x) =g¡f(x)¢.

Laidentidad de un conjuntoX es la aplicaci´on IdX:X→X, IdX(x) =x.

Seaf:X→Y una aplicaci´on.

SiA⊆X, pondremosf(A) ={f(x) :x∈A}y es un subconjunto de Y. SiB⊆Y, pondremosf−1_{(B) ={x∈X:f(x)∈B}y es un subconjunto de X.}

Si y ∈Y, puede ocurrir quef−1_{(y) no tenga ning´un elemento o tenga m´as de uno, de}

modo que, en general,f−1 _{no es una aplicaci´on deY enX.}

Diremos que una aplicaci´on f: X → Y es inyectiva si elementos distintos tienen im´agenes distintas:

x, y ∈X, f(x) =f(y) ⇒ x=y

(i.e., cuando, para caday ∈Y se tiene quef−1_{(y) tiene un elemento o ninguno) y diremos}

quef esepiyectiva si todo elemento deY es imagen de alg´un elemento deX: y∈Y ⇒ y=f(x) para alg´unx∈X ,

es decir, cuandof(X) =Y o, lo que es igual, cuando, para cada y∈Y se tiene quef−1_(y)

tiene al menos un elemento.

Diremos que una aplicaci´onf:X →Y esbiyectiva cuando es inyectiva y epiyectiva; es decir, cuando cada elemento y∈Y es imagen de un ´unico elemento deX, de modo que f−1_{(y) tiene un ´unico elemento, y en tal caso f}−1_{: Y → X s´ı es una aplicaci´on, llamada}

aplicaci´oninversadef porquef−1_{◦f = Id}

X yf◦f−1= IdY.

Definici´on:Laspermutacionesdenelementos son las aplicaciones biyectivas σ:{1, . . . , n} −→ {1, . . . , n}.

El conjunto de todas las permutaciones denelementos se denotaSn, y est´a claro que su

1.3. PERMUTACIONES 5 aplicaciones, y como son aplicaciones biyectivas, toda permutaci´onσtienen una permutaci´on inversa σ−1_{, de modo queσ}−1_{(j) =icuandoσ(i) =j. Adem´as, (στ)}−1_=τ−1_σ−1_.

Definici´on: Si d ≥ 2, dados a1, . . . , ad ∈ {1, . . . , n} distintos, denotaremos (a1. . . ad) la

permutaci´on σ ∈ Sn tal que σ(ai) = ai+1, entendiendo que σ(ad) = a1, y deja fijos los

restantes elementos. Diremos que tal permutaci´on (a1. . . ad) es unciclode longitudd. Los

ciclos (a1a2) de longitud 2 se llamantrasposiciones.

Diremos que dos ciclos (a1. . . ad) y (b1. . . bk) sondisjuntos cuando ai 6=bj para todo

par de ´ındicesi, j; en cuyo caso conmutan:

(a1. . . ad)(b1. . . bk) = (b1. . . bk)(a1. . . ad).

El inverso de un cicloσ= (a1. . . ad) es σ−1= (ad. . . a1).

Toda permutaci´onσdescompone claramente en producto de ciclos disjuntos, y tambi´en en producto de trasposiciones, porque todo ciclo es producto de trasposiciones:

(a1a2a3. . . ad) = (a1a2)(a2a3)· · ·(ad−1ad). (1.1)

Signo de una permutaci´

on

Definici´on:Consideremos el siguiente polinomio con coeficientes enteros: ∆(x1, . . . , xn) =

Q

1≤i<j≤n

(xj−xi)

Dada una permutaci´onσ∈Sn, los factores de ∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) =

Q

i<j(xσ(j)−xσ(i))

coinciden, eventualmente salvo el signo, con los de ∆(x1, . . . , xn). Luego ambos polinomios

coinciden o difieren en un signo, ∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) =±∆(x1, . . . , xn), y llamaremossigno

deσal n´umero entero sgn(σ) =±1 tal que

∆(xσ(1), . . . , xσ(n)) = sgn(σ)·∆(x1, . . . , xn). (1.2)

Llamaremosparesa las permutaciones de signo 1, e imparesa las de signo –1.

Teorema 1.3.1 El signo de cualquier producto de permutaciones es el producto de los signos de los factores: sgn(τ σ) = (sgnτ)(sgnσ).

El signo de las trasposiciones es –1, y el signo de los ciclos de longituddes (−1)d−1_.

Demostraci´on: Seanσ, τ ∈ Sn. Aplicandoτ a los ´ındices de las indeterminadasx1, . . . , xn

en la igualdad 1.2, obtenemos que

∆(x(τ σ)(1), . . . , x(τ σ)(n)) = (sgnσ)·∆(xτ(1), . . . , xτ(n))

= (sgnσ)(sgnτ)·∆(x1, . . . , xn).

Luego sgn(τ σ) = (sgnσ)(sgnτ) = (sgnτ)(sgnσ).

Como el signo de la identidad es 1, se sigue que sgn(τ−1_{) = (sgnτ)}−1_.

Un c´alculo directo demuestra que el signo de la trasposici´on (12) es –1.

Si (ij) es otra trasposici´on, tomamos una permutaci´onτ tal queτ(1) =i, τ(2) =j, de modo que (ij) =τ·(12)·τ−1_{, y concluimos que}

sgn(ij) = sgn(τ)·sgn(12)·sgn(τ−1_{) =−sgn(τ)·sgn(τ}−1_{) =−sgn(τ·τ}−1_{) =−1.}

Por ´ultimo, cuandoσ= (a1. . . ad) es un ciclo de longitudd, se sigue directamente de 1.1

6 CAP´ITULO 1. PRELIMINARES

1.4

Matrices

En adelante pondremosK=Q, R´o C, y llamemosescalaresa los elementos deK. Dada una matrizA= (aij) de mfilas y ncolumnas (donde el sub´ındice iindica la fila

y el sub´ındice j la columna), su matriz traspuesta es At _{= (a}

ji), que tiene n filas y m

columnas. Si B = (bjk) es otra matriz de n filas y r columnas, su producto AB es una

matriz m×rcuyo coeficientecikde la fila iy columnak es

cik=

Pn

j=1aijbjk=ai1b1k+ai2b2k+. . .+ainbnk .

El, producto de matrices es asociativo, aunque no conmutativo, y (AB)t_=Bt_At_.

La matriz unidadIn es la matrizn×ncon todos sus coeficientes nulos, salvo los de la

diagonal, que son la unidad. SiAes una matrizm×n, entoncesImA=AyAIn=A.

Una matriz cuadradaA de n columnas se dice que esinvertible si existe otra matriz cuadradaB dencolumnas tal queAB=In=BA, en cuyo caso tal matrizB es ´unica y se

poneB =A−1_{. SiAyB son matrices invertiblesn×n, entonces (AB)}−1_=B−1_A−1_.

Determinantes

Definici´on:El determinantede una matriz cuadrada A= (aij) denfilas y columnas es |A| = P

σ∈Sn

(sgnσ)a1σ(1). . . anσ(n)

y tiene las siguientes propiedades (que se probar´an en el curso de ´Algebra Lineal II): 1. |A|=|At_|.

2. Es lineal en cada columna (y por tanto en cada fila):

|A1, . . . , Ai+Bi, . . . , An|=|A1, . . . , Ai, . . . , An|+|A1, . . . , Bi, . . . , An|, |A1, . . . , λAi, . . . , An|=λ|A1, . . . , Ai, . . . , An|. 3. |Aσ(1), . . . , Aσ(n)|= (sgnσ)|A1, . . . , An|. 4. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 0 . . . 0 0 a2 . . . 0 . . . . 0 0 . . . an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = a1. . . an , |I|= 1. 5. |AB|=|A| · |B| , |A−1_|=|A|−1_.

Luego el determinante es 0 cuando dos columnas (o dos filas) son iguales y

|A1, . . . , Ai, . . . , An| = |A1, . . . , Ai+λAj, . . . , An| , i6=j .

Definici´on: El adjunto Aij de una matriz A es (−1)i+j por el determinante de la matriz

que se obtiene eliminando la filaiy la columnaj de la matrizA.

El determinante deApuede calcularse desarrollando por cualquier fila:

|A| = ai1Ai1+. . .+ainAin,

o por cualquier columna:

|A| = a1jA1j+. . .+anjAnj .

Si el determinante de una matrizAno es nulo, entoncesAes invertible, y su inversa es

A−1₌ 1 |A|  A_{. . .}11 . . . A_{. . . . . .}n1 A1n . . . Ann  

1.4. MATRICES 7 (N´otese que el coeficiente de la filaiy columnaj es el adjuntoAji, noAij). Por tanto, una

matriz cuadradaA es invertible si y s´olo si su determinante no es nulo.

Definici´on: Elrango(por columnas) de una matriz Aes el m´aximo n´umero de columnas deAlinealmente independientes, y se denota rgA.

El rango por filas de una matrizAes el rango (por columnas) de su traspuestaAt_.

Losmenoresde ordenrde una matrizAson los determinantes de las matrices formadas con los coeficientes derfilas yrcolumnas deA(obviamenterno ha de superar el n´umero de columnas ni de filas deA).

Teorema del Rango: El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo.

Como los menores de A yAt _{son los mismos, el rango por filas de cualquier matrizA}

coincide con su rango por columnas.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Regla de Cr´amer (1704-1752): Si A es una matriz cuadrada invertible, el sistema de ecuaciones linealesAX=B tiene una ´unica soluci´on, que es

xi = |A1, . . . , B, . . . , An| |A1, . . . , Ai, . . . , An|

donde A1, . . . , An denotan las columnas de la matrizA.

Demostraci´on: SiA es invertible, la ´unica soluci´on deAX=B esX =A−1_{B. Adem´as, si}

x1, . . . , xn es la soluci´on del sistema, entonces x1A1+. . .+xnAn=B y por tanto: |A1, . . . , B, . . . , An|=

P

jxj|A1, . . . , Aj, . . . , An|=xi|A1, . . . , Ai, . . . , An|

porque la matriz (A1, . . . , Aj, . . . , An) tiene dos columnas iguales (las columnasiyj) cuando

i6=j. Luego xi=|A1, . . . , B, . . . , An|/|A1, . . . , Ai, . . . , An| es la ´unica soluci´on del sistema.

Teorema de Rouch´e-Frob¨enius (1832-1910, 1849-1917): Un sistema de ecuaciones li-nealesAX=B es compatible si y s´olo si rgA= rg(A|B).

Si un sistema de ecuaciones linealesAX =B es compatible y X0 es una soluci´on

par-ticular, AX0 = B, entonces todas las soluciones se obtienen sum´andole las soluciones del

Cap´ıtulo 2

Espacios Vectoriales

2.1

Espacios Vectoriales y Subespacios Vectoriales

En adelante pondremosK=Q, R´o C, y llamemosescalaresa los elementos deK.

Definici´on:Dar una estructura deK-espacio vectorialen un conjuntoE(cuyos elementos llamaremosvectoresopuntosindistintamente) es asignar a cada par de vectorese1, e2∈E

otro vectore1+e2∈E, y a cada escalarλ∈Ky cada vectore∈E, otro vectorλe∈E, de

modo que:

Axioma 1: e1+ (e2+e3) = (e1+e2) +e3para cualesquiera vectorese1, e2, e3∈E.

Axioma 2: e1+e2=e2+e1 para cualesquiera vectorese1, e2∈E.

Axioma 3: Existe un vector 0∈E tal quee+ 0 =epara todo vector e∈E.

Axioma 4: Para cada vectore∈Eexiste un vector −etal que e+ (−e) = 0.

Axioma 5: λ(e1+e2) =λe1+λe2 para todoλ∈K,e1, e2∈E.

Axioma 6: (λ1+λ2)e=λ1e+λ2epara todoλ1, λ2∈K,e∈E.

Axioma 7: (λµ)e=λ(µe) para todoλ, µ∈K,e∈E.

Axioma 8: 1·e=epara todo vector e∈E.

Dados vectorese, v∈E, pondremos v−e=v+ (−e), y diremos que−ees el opuesto

del vectore.

En los espacios vectoriales son v´alidas las reglas usuales del c´alculo vectorial: e+v=e0+v ⇒ e=e0 e+v=v ⇒ e= 0 e+v= 0 ⇒ v=−e 0·e= 0 , λ·0 = 0 λ·(−e) = (−λ)e=−(λe) λ(e−v) =λe−λv λe= 0 ⇒ λ= 0 ´oe= 0

Definici´on: Un subconjuntoV de un espacio vectorialE es un subespacio vectorialde E cuando la suma de vectores y el producto por escalares de E definan tambi´en enV una estructura deK-espacio vectorial; es decir, cuando

1. v1+v2∈V , para todov1, v2∈V.

2. λv∈V , para todoλ∈K yv∈V. 3. 0∈V.

10 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Ejemplos:

1. En la Geometr´ıa eucl´ıdea, los segmentos orientados con origen en un punto prefijadoO forman un espacio vectorial real. ´Este es el ejemplo paradigm´atico de espacio vectorial, que motiva los nombres de los conceptos que iremos introduciendo.

2. Kn _{=K×. . .}n _×K={(λ

1, . . . , λn) :λ1, . . . , λn ∈K}es unK-espacio vectorial.

SiAes una matrizm×ncon coeficientes enK, las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homog´eneoAX= 0 forman un subespacio vectorial deKn_.

3. Fijados dos n´umeros naturales positivosmyn, la suma de matrices y el producto de matrices por escalares definen una estructura de K-espacio vectorial en el conjunto Mm×n(K) de todas las matrices demfilas yncolumnas con coeficientes enK.

4. Ces unC-espacio vectorial, y tambi´en es unR-espacio vectorial y unQ-espacio vec-torial. Estas tres estructuras de espacio vectorial sobreC son bien distintas, porque en cada caso los escalares son diferentes.

5. Un espacio vectorial Enunca puede ser el conjunto vac´ıo, porque el axioma 3 impone la existencia del vector nulo. El espacio vectorial que tiene un ´unico vector (que necesariamente ha de ser el vector nulo) se denota 0.

6. Todo espacio vectorialE admite los subespacios vectoriales triviales 0 yE. 7. Sie1, . . . , en son vectores de un espacio vectorialE, entonces

Ke1+. . .+Ken ={λ1e1+. . .+λnen;λ1, . . . , λn∈K}

es un subespacio vectorial deE que contiene a los vectores e1, . . . , en, y diremos que

es el subespacio vectorial deE generadopore1, . . . , en.

Tambi´en se denota he1, . . . , eni, y si un subespacio vectorial V de E contiene a los

vectorese1, . . . , en, entoncesKe1+. . .+Ken ⊆V.

8. Si V y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, entonces su intersecci´on V ∩W y su suma V +W = {v+w;v ∈ V yw ∈ W} tambi´en son subespacios vectoriales deE.

9. SiE yF son dosK-espacios vectoriales, su producto directoE×F es unK-espacio vectorial cuando la suma y el producto por escalares se definen del siguiente modo:

(e, f) + (e0_{, f}0_{) = (e+e}0_{, f+f}0_{) , λ(e, f) = (λe, λf).}

10. Diremos que un subconjuntoX de un espacio vectorialEes unasubvariedad lineal

si existe un subespacio vectorialV deE y alg´un puntop∈E tales que

X =p+V ={p+v;v∈V}.

En tal caso diremos queV es ladirecci´ondeX, y queX es la subvariedad lineal que pasa porpcon direcci´on V. Diremos que dos subvariedades lineales p+V y q+W sonparalelassi sus direccionesV yW son incidentes (V ⊆W ´oW ⊆V).

11. Espacio Vectorial Cociente:Cada subespacio vectorialV de unK-espacio vectorial Edefine una relaci´on de equivalencia enE (llamadacongruenciam´oduloV):

2.2. TEOR´IA DE LA DIMENSI ´ON 11 i)e≡epara todo vector e∈E, porquee−e= 0∈V.

ii) Sie≡e0_{, entoncese}0_{−e∈V; luegoe−e}0 _=−(e0_{−e)∈V ye}0 _≡e.

iii)e≡e0_{, e}0_≡e00 _{⇒ e}0_{−e, e}00_−e0_{∈V; e}00_{−e= (e}00_−e0_{) + (e}0_{−e)∈V ye≡e}00_.

La clase de equivalencia [p] =p+V dep∈E es la subvariedad lineal de direcci´onV que pasa porp. Por tanto, si una subvariedad linealX =p+V de direcci´on V pasa por un puntoq, entoncesp≡q(m´od. V) y por tanto tambi´enX =q+V.

El conjunto cociente (que se denotaE/V) es el conjunto de todas las subvariedades lineales deE de direcci´onV, y las siguientes operaciones definen en el conjuntoE/V una estructura deK-espacio vectorial (compru´ebense los 8 axiomas) y diremos que es elespacio vectorial cociente deE porV:

[e1] + [e2] = [e1+e2]

λ·[e] = [λe]

Veamos que estas definiciones no dependen de los vectores elegidos en las clases: Si [e1] = [e01] y [e2] = [e02], entoncese01−e1, e02−e2∈V; luegoe01+e20 −(e1+e2)∈V

y por tanto [e1+e2] = [e01+e02].

Si [e] = [e0_{], entoncese}0_{−e∈V; luegoλe}0_−λe=λ(e0_{−e)∈V y por tanto [λe] = [λe}0_].

Con esta estructura de espacio vectorial que hemos de definido enE/V, el opuesto de un vector ¯e∈E/V es [−e], y el vector nulo deE/V es precisamente la clase de 0∈E, de modo que ¯e= 0 precisamente cuando e≡0 (m´odulo V):

[e] = 0⇔e∈V (2.1)

Nota 2.1.1 Sie∈Ke1+. . .+Ken, entonces ¯e∈Ke¯1+. . .+K¯en.

En efecto, si e=λ1e1+. . .+λnen, entonces ¯e= [λ1e1+. . .+λnen] =λ1e¯1+. . .+λn¯en.

2.2

Teor´ıa de la Dimensi´

on

Definici´on: Diremos que unos vectores e1, . . . , en de un espacio vectorial E lo generan, o

que forman unsistema de generadoresdeEcuando todo vector deEes una combinaci´on lineal dee1, . . . , en con coeficientes enK:

Ke1+. . .+Ken =E .

Diremos que e1, . . . , en sonlinealmente dependientes si existen escalaresλ1, . . . , λn

tales queλ1e1+. . .+λnen = 0 y alg´unλi6= 0, de modo queei es combinaci´on lineal de los

restantes vectores. En caso contrario diremos que sonlinealmente independientes. Es decir,e1, . . . , en son linealmente independientes cuando la ´unica combinaci´on lineal nula es

la que tiene todos los coeficientes nulos:

λ1, . . . , λn∈K yλ1e1+. . .+λnen= 0 ⇒ λ1=. . .=λn= 0.

Diremos que una sucesi´on de vectores e1, . . . , en de un espacio vectorialE es unabase

deE cuando tales vectores sean linealmente independientes y generenE. En tal caso, cada vectore∈E se escribe de modo ´unico como combinaci´on lineal con coeficientes enK

12 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

y diremos que (x1, . . . , xn)∈Kn son las coordenadasdel vectoreen la base e1, . . . , en.

En efecto, sie=x1e1+. . .+xnen =y1e1+. . .+ynen, entonces

(x1−y1)e1+. . .+ (xn−yn)en=x1e1+. . .+xnen−(y1e1+. . .+ynen) =e−e= 0 ;

luegoyi−xi= 0 para todo ´ındicei, porquee1, . . . , en son linealmente independientes.

Ejemplos 2.2.1

1. Sea e un vector no nulo. Como λe = 0 ⇒ λ = 0; tenemos que e es linealmente independiente, y por tanto define una base del subespacio vectorialKe=hei. Adem´as, si otro vectorv no est´a enKe, entoncese, vson linealmente independientes, de modo que forman una base del subespacio vectorialKe+Kv=he, vi.

2. Los vectores e1 = (1,0, . . . ,0), e2 = (0,1, . . . ,0), . . . , en = (0, . . . ,0,1) forman una

base deKn_{, llamadabase usual deK}n_{. Las coordenadas de un vectore= (a}

1, . . . , an)

deKn _{en esta base son precisamente (a}

1, . . . , an), porquee=a1e1+. . .+anen.

3. Las matrices m×n que tienen todos sus coeficientes nulos, excepto uno que es la unidad, definen una base deMm×n(K), base que est´a formada pormnmatrices. Las

coordenadas de una matriz en tal base son precisamente los coeficientes de la matriz.

Lema Fundamental: Seane1, . . . , en vectores de un K-espacio vectorial E. Si tenemos

que v1, . . . , vr∈Ke1+. . .+Ken y r > n, entonces los vectoresv1, . . . , vr son linealmente

dependientes.

Demostraci´on: Si vr= 0 es obvio: 0·v1+ 0·v2+. . .+ 0·vr−1+ 1·vr= 0.

Si vr6= 0, procedemos por inducci´on sobre n. Sin= 1, entonces v1, vr∈Ke1, as´ı que

v1=λ1e1,vr=λre1yλr6= 0 porquevr6= 0. Luegov1, . . . , vrson linealmente dependientes:

λrv1−λ1vr = λrλ1e1−λ1λre1 = 0.

Sin >1, reordenando los vectorese1, . . . en si es preciso, tendremosvr=

Pn

i=1λiei con

λn6= 0. Despejando, obtenemos que en ∈Ke1+. . .+Ken−1+Kvr, y por tanto

v1, . . . , vr−1∈Ke1+. . .+Ken ⊆ Ke1+. . .+Ken−1+Kvr.

De acuerdo con 2.1.1, en el espacio vectorial cocienteE/(Kvr) tendremos que

¯

v1, . . . ,¯vr−1∈Ke¯1+. . .+K¯en−1+K¯vr = K¯e1+. . .+K¯en−1,

donder−1> n−1, y por hip´otesis de inducci´on existen escalaresλ1, . . . , λr−1, alguno no

nulo, tales que

0 = λ1v¯1+. . .+λr−1¯vr−1 = [λ1v1+. . .+λr−1vr−1].

Luego Pr_i=1−1λivi ∈ Kvr seg´un 2.1, y concluimos que

P_r−1

i=1λivi = λrvr para alg´un

escalarλr; es decir, los vectoresv1, . . . , vr son linealmente dependientes.

Teorema 2.2.2 Todas las bases de un espacio vectorial tienen igual n´umero de vectores. Demostraci´on: Si e1, . . . , en y v1, . . . , vr son dos bases de un espacio vectorial E, como

los vectores e1, . . . , en ∈E=Kv1+. . .+Kvr son linealmente independientes, por el lema

fundamental tenemos quen≤r. Como los vectoresv1, . . . , vr∈E =Ke1+. . .+Ken son

2.2. TEOR´IA DE LA DIMENSI ´ON 13

Definici´on: Si un espacio vectorialE 6= 0 admite una base, llamaremosdimensi´onde E al n´umero de vectores de cualquier base de E, y lo denotaremos dimKE; o sencillamente

dimEcuando no induzca a confusi´on. Tambi´en diremos que el espacio vectorialE= 0 tiene dimensi´on 0 y que su base es el vac´ıo. Diremos que un espacio vectorialE tiene dimensi´on infinita cuando ninguna familia finita de vectores deE sea una base deE.

La dimensi´on de una subvariedad linealX=p+V es la de su direcci´onV. Las subvar-iedades lineales de dimensi´on 1 y 2 se llamanrectasyplanosrespectivamente.

Ejemplos 2.2.3

1. Seg´un los ejemplos 2.2.1, para todo vector no nuloetenemos que dimK(Ke) = 1; y si

adem´asv /∈Ke, entonces dimK(Ke+Kv) = 2.

Tambi´en, dimKKn =n y dimKMm×n(K) =mn.

2. En particular dimCC = 1; aunque dimRC = 2, porque 1, i forman una base de

C=R+RicomoR-espacio vectorial.

3. SiE es unQ-espacio vectorial de dimensi´on finita n, cada basee1, . . . , en define una

biyecci´onKn _{→E, (λ}

1, . . . , λn)7→

P

iλiei, y por tanto el conjuntoE es numerable.

ComoRyCno son numerables, dimQR= dimQC=∞.

4. El K-espacio vectorial K[x] = {a0+a1x+a2x2+. . .;a0, a1. . . ∈ K}, formado por

todos los polinomios con coeficientes en K en una indeterminada x, con la suma y el producto por escalares usuales, tiene dimensi´on infinita. En efecto, el subespacio vectorialPn={a0+a1x+. . .+anxn:a0, . . . , an∈K}formado por todos los polinomios

de grado ≤ n es de dimensi´on n+ 1, porque claramente los polinomios 1, x, . . . , xn

forman una base dePn.

5. Por dos puntos distintospyq=p+epasa una ´unica recta p+Ke, formada por los puntosp+te=tq+ (1−t)p, donde t∈K. El punto p+1

2e=

p+q

2 recibe el nombre

depunto medio entrepyq.

6. Dados tres puntos distintos no alineados a, b = a+e y c = a+v, tenemos que v /∈Ke, porquecno est´a en la rectaa+Keque pasa porayb. Luego 1 = dimKe < dim (Ke+Kv)≤2, y vemos quea+Ke+Kv es un plano que pasa pora, b, c. Y es el ´unico, si otro planoP=p+V pasase por ellos, tendremos queb, c∈P =a+V; luegoe=b−a, v=c−a∈V y se sigue queKe+Kv=V porque ambos subespacios vectoriales son de dimensi´on 2.

7. Consideremos uncuadril´atero(la figura formada por cuatro puntos ordenadosabcd en los que no hay 3 alineados) y pongamos e = b−a, v = c−a. La condici´on de que sea un paralelogramo (los lados opuestos son paralelos) es que c−d = λe y c−b=µvpara ciertos escalares λ, µ; luegoc−a=e+µv=λe+v.

c d b a e v λe µv

Como los vectorese, vson linealmente independientes, porque los puntoscabno est´an alineados, se sigue que λ = µ = 1, de modo que los lados opuestos son iguales, d−c=b−ayd−b=c−a, y las dos diagonales se bisecan mutuamente:

a+d 2 = b+c 2 = a+b+c+d 4 .

14 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES Proposici´on 2.2.4 Todo sistema finito de generadores{e1, . . . , en}de un espacio vectorial

E6= 0 contiene una base de E, y por tanton≥dimE. Si adem´asn= dimE, entonces los vectores e1, . . . , en ya forman una base deE.

Demostraci´on: Para ver que{e1, . . . , en}contiene una base deE procedemos por inducci´on

sobren.

Sin= 1, e16= 0 porqueKe1=E6= 0; luegoe1 es ya una base deE=Ke1.

Sin >1, y los vectores e1, . . . , en son linealmente independientes, forman ya una base

deE. Si son linealmente dependientes, tendremos alguna relaci´onPn_i=1λiei= 0 con alg´un

coeficiente λi no nulo. Reordenando los vectores e1, . . . , en podemos suponer queλn 6= 0.

Despejandoen tenemos queen ∈Ke1+. . .+Ken−1. LuegoE=Ke1+. . .+Ken−1, y por

hip´otesis de inducci´on{e1, . . . , en−1}contiene una base deE.

Por ´ultimo, si n = dimE, entonces los vectores e1, . . . , en ya forman una base de E;

porque una base deE no puede tener menos denvectores seg´un 2.2.2.

Lema 2.2.5 Sie1, . . . , em∈E son linealmente independientes, y no se pueden ampliar con

un vector de E de modo que lo sigan siendo, entonces ya forman una base deE.

Demostraci´on: Para todo vector e∈E tenemos que e1, . . . , em, e son linealmente

dependi-entes:

λ1e1+. . .+λmem+λe= 0

y alg´un coeficiente no es nulo. Siλ= 0, entonces e1, . . . , er ser´ıan linealmente dependientes,

en contra de la hip´otesis. Luegoλ6= 0 y despejando vemos quee∈ Ke1+. . .+Kem.

Luego los vectores e1, . . . , em generan E, y como son linealmente independientes por

hip´otesis, forman una base deE.

Proposici´on 2.2.6 SeaEun espacio vectorial de dimensi´on finita. Toda familia{e1, . . . , er}

de vectores de E linealmente independiente se puede ampliar hasta obtener una base de E, y por tanto r≤dimE. Si adem´as r= dimE, entonces los vectores e1, . . . , er ya forman

una base deE.

Demostraci´on:A˜nadimos vectores deEhasta obtener una familia linealmente independiente e1, . . . , er, e01, . . . , e0s que ya no pueda ampliarse de modo que lo siga siendo (el proceso

termina porque, sin= dimE, en virtud el lema fundamental enEno puede haber m´as den vectores linealmente independientes, as´ı que siemprer+s≤n). Ahorae1, . . . , er, e01, . . . , e0s

ya es base deE por el lema anterior.

Por ´ultimo, si r= dimE, entonces s= 0 y los vectores e1, . . . , er ya forman una base

deE; porque una base deE no puede tener m´as dervectores seg´un 2.2.2.

Teorema 2.2.7 Sea V subespacio vectorial de un espacio vectorial de dimensi´on finitaE.

1. dimV ≤dimE y s´olo se da la igualdad cuandoV =E.

2.2. TEOR´IA DE LA DIMENSI ´ON 15

Demostraci´on: Veamos primero que la dimensi´on de V tambi´en es finita. Tomemos en V una familia{v1, . . . , vr}linealmente independiente que ya no pueda ampliarse con un vector

de V de modo que lo siga siendo (existe porque, si n = dimE, por el lema fundamental en E no puede haber m´as denvectores linealmente independientes). Por el lema anterior v1, . . . , vr forman una base deV, de modo quer= dimV.

Ahora 2.2.6 permite ampliarla hasta obtener una base v1, . . . , vr, e1, . . . , es deE. Luego

dimV =r≤r+s= dimE; y si se da la igualdad, entoncess= 0 y v1, . . . , vr ya es base

deE, de modo queE=Kv1+. . .+Kvr=V.

En cuanto a la segunda afirmaci´on, basta probar que ¯e1, . . . ,¯es es una base de E/V.

Como v1, . . . , vr, e1, . . . , es generanE, y enE/V tenemos que ¯v1=. . .= ¯vr= 0, se sigue que

E/V =Ke¯1+. . .+K¯es. Veamos por ´ultimo que ¯e1, . . . ,e¯sson linealmente independientes:

Si 0 =Ps_i=1λie¯i = [

P_s

i=1λiei], entonces

P_s

i=1λiei∈V de acuerdo con 2.1, as´ı que

λ1e1+. . .+λsee = µ1v1+. . .+µrvr

para ciertos escalares µ1, . . . , µr. Luego

P_s

i=1λiei−

P_r

j=1µjvj = 0, y como los vectores

v1, . . . , vr, e1, . . . , es son linealmente independientes, concluimos queλ1=. . .=λs= 0.

Corolario 2.2.8 Sea e1, . . . , en una base de un espacio vectorialE. Si A es la matriz que

tiene por columnas las coordenadas de v1, . . . , vm∈E en tal base deE, entonces

dim (Kv1+. . . +Kvm) = rgA .

Demostraci´on: Pongamos r= rgAyd= dim (Kv1+. . . +Kvm).

Como {v1, . . . , vm} genera Kv1+ . . . +Kvm, de acuerdo con 2.2.2 contiene una base

vi1, . . . , vid deKv1+. . . +Kvm, as´ı que las columnas i1, . . . , id de la matrizA son

lineal-mente independientes y por tantod≤r(pues unos vectores son linealmente independientes precisamente cuando sus coordenadas son linealmente independientes en Kn_).

Por otra parte, como la matriz A tiene r columnas linealmente independientes, hay r vectores vj1, . . . , vjr linealmente independientes en Kv1+ . . . +Kvm, y de acuerdo con

2.2.6 concluimos quer≤d.

Ejemplos:

1. Con las notaciones del corolario anterior, tenemos que

v1, . . . , vmson linealmente independientes ⇔ rgA=m .

v1, . . . , vm generanE ⇔ rgA= dimE .

2. Dados n vectores v1 = (a11, . . . , an1), . . . , vn = (a1n, . . . , ann) en Kn, la condici´on

necesaria y suficiente para que formen una base de Kn _{es que el determinante de la}

matrizA= (aij) no sea nulo.

3. SeanX =p+V,Y =q+W dos subvariedades lineales paralelas de igual dimensi´on. Como dimV = dimW, y adem´asV ⊆W ´o W ⊆V, 2.2.7.1 afirma que V =W: dos subvariedades lineales paralelas de igual dimensi´on tienen la misma direcci´on.

Teorema de Rouch´e-Frob¨enius (1832-1910, 1849-1917): Un sistema de ecuaciones li-nealesAX=B es compatible si y s´olo si rgA= rg(A|B).

Demostraci´on: SeanA1, . . . , An las columnas deA, de modo que el sistemaAX=B puede

escribirsex1A1+. . .+xnAn=B, y la condici´on de que sea compatible significa que enKm

tenemos queB ∈ hA1, . . . , Ani; es decir, quehA1, . . . , Ani=hA1, . . . , An, Bi. Ahora bien,

el teorema 2.2.7.1 afirma que

hA1, . . . , Ani=hA1, . . . , An, Bi ⇔ dimhA1, . . . , Ani= dimhA1, . . . , An, Bi

16 CAP´ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

2.3

Suma Directa

Definici´on: Diremos que la sumaV1+. . .+Vr de unos subespacios vectorialesV1, . . . , Vr

de un espacio vectorialE esdirectasi cada vectore∈V1+. . .+Vr descompone de modo

´

unico en la formae=v1+. . .+vr, dondevi∈Vi; es decir, si la aplicaci´on

s:V1×. . .×Vr −→ V1+. . .+Vr , s(v1, . . . , vr) =v1+. . .+vr ,

(que siempre es epiyectiva, por definici´on de suma de subespacios vectoriales) tambi´en es inyectiva. En tal caso, el subespacio vectorial V1+. . .+Vrse denota V1⊕. . .⊕Vr.

Teorema 2.3.1 La condici´on necesaria y suficiente para que la suma de dos subespacios vectorialesV yW de un espacio vectorial E sea directa es queV ∩W = 0.

Demostraci´on: Si la suma deV yW es directa y e∈V ∩W, entonces

0 = 0 + 0 = e+ (−e),

donde 0, e∈V y 0,−e∈W. La unicidad de la descomposici´on del vector 0 en suma de un vector deV y otro deW implica quee= 0. LuegoV ∩W = 0.

Rec´ıprocamente, siV ∩W = 0 y un vectore∈V +W admite dos descomposiciones

e=v+w=v0_+w0 _{; v, v}0_{∈V, w, w}0 _∈W

entonces v0_−v=w−w0_{∈W. Como v}0_{−v∈V, se sigue quev}0_{−v∈V ∩W = 0. Luego}

0 =v0_{−v =w−w}0_{, y concluimos que v =v}0 _{yw =w}0_{. Es decir, tal descomposici´on es}

´

unica, as´ı que la suma deV yW es directa.

Definici´on:Diremos que dos subespacios vectorialesV yW de un espacio vectorialE son

suplementarios(o queW es un suplementario deV enE, o queV es un suplementario de W enE) cuandoE =V ⊕W; i.e., cuando cada vector deE descompone, y de modo ´unico, en suma de un vector deV y otro deW; es decir, cuandoV +W =E yV ∩W = 0.

Ejemplos:

1. Si e1, . . . , en es una base de un espacio vectorial E, entonces cada vector e ∈ E

de-scompone de modo ´unico como combinaci´on lineale=λ1e1+. . .+λnen; luego

E=Ke1⊕. . .⊕Ken

y vemos as´ı que un suplementario de V = Ke1⊕. . .⊕Ker en E es el subespacio

vectorialW =Ker+1⊕. . .⊕+Ken.

2. Para hallar un suplementario de un subespacio vectorial V de E basta ampliar una basev1, . . . , vrdeV hasta obtener una basev1, . . . , vr, w1, . . . , wsdeE, porque en tal

casoW =Kw1+. . .+Kwses un suplementario deV enE.

3. Seanp+V yq+W dos subvariedades lineales de un espacio vectorialE. Dar un punto de corte es dar vectoresv∈V,w∈W tales quep+v=q+w; es decir,q−p=v−w. Por tanto, la condici´on necesaria y suficiente para que se corten es queq−p∈V+W, y el punto de corte es ´unico cuando la sumaV ⊕W es directa.

Cap´ıtulo 3

Aplicaciones Lineales

3.1

Aplicaciones Lineales

Definici´on: Diremos que una aplicaci´on f:E → E0 _{entre dos K-espacios vectoriales es}

K-lineal, (o simplemente lineal, siK se sobrentiende) cuando f(e+v) =f(e) +f(v) para todoe, v∈E

f(λ·e) =λ·f(e) para todoλ∈K, e∈E

Toda aplicaci´on linealf:E →E0 _{verifica que f(0) = 0, que f(−e) =−f(e), y tambi´en}

quef(λ1e1+. . .+λnen) =λ1f(e1) +. . .+λnf(en).

En efecto, f(0) = f(0·0) = 0·f(0) = 0, f(−e) = f¡(−1)e¢ = (−1)f(e) = −f(e) y f(λ1e1+. . .+λnen) =f(λ1e1) +. . .+f(λnen) =λ1f(e1) +. . .+λnf(en).

Proposici´on 3.1.1 Si dos aplicacionesf:E→E0 _yh:E0 _→E00 _{sonK-lineales, entonces}

su composici´on hf:E→E00_{,(hf)(e) =h}¡_f(e)¢_{, tambi´en esK-lineal.}

Demostraci´on: Para todoλ∈K y todoe, v∈E tenemos que

(hf)(e+v) =h¡f(e+v)¢=h¡f(e) +f(v)¢=h(f(e)) +h(f(v)) = (hf)(e) + (hf)(v) (hf)(λe) =h¡f(λe)¢=h¡λ·f(e)¢=λ·h(f(e)) =λ·(hf)(e)

Proposici´on 3.1.2 Si f:E → E0 _{es una aplicaci´on lineal, entonces su n´ucleo Kerf =}

f−1_{(0) ={e∈E: f(e) = 0} es un subespacio vectorial de E, y suimagen Imf =f(E) =}

{f(e);e∈E} es un subespacio vectorial deE0_.

Demostraci´on: Veamos que Kerf es un subespacio vectorial de E. Tenemos que 0∈Kerf porquef(0) = 0. Ahora, sie1, e2∈Kerf, por definici´on f(e1) =f(e2) = 0, as´ı que

f(e1+e2) =f(e1) +f(e2) = 0

f(λe1) =λf(e1) = 0

Luegoe1+e2∈Kerf yλe1∈Kerf, as´ı que Kerf es un subespacio vectorial deE.

Veamos que Imf es un subespacio vectorial deE0_:

Tenemos que 0∈Imf porque 0 =f(0). Ahora, si e0

1, e02 ∈Imf, por definici´on existen

vectores e1, e2∈E tales quee01=f(e1) ye02=f(e2), as´ı que

e0

1+e02=f(e1) +f(e2) =f(e1+e2)∈Imf

λe0

1=λf(e1) =f(λe1)∈Imf

y concluimos que Imf es un subespacio vectorial deE0_.

18 CAP´ITULO 3. APLICACIONES LINEALES Proposici´on 3.1.3 Una aplicaci´on linealf:E→E0 _{es inyectiva si y s´olo siKerf = 0.}

Demostraci´on: Si f es inyectiva ye∈Kerf, entonces f(e) = 0 =f(0); luego e= 0.

Rec´ıprocamente, supongamos que Kerf = 0. Si f(e) =f(v), dondee, v∈E, entonces f(v−e) =f(v)−f(e) = 0; luegov−e∈Kerf = 0 y por tantoe=v; i.e., f es inyectiva.

Ejemplos:

1. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial E. La inclusi´on i: V → E, i(v) =v, es una aplicaci´on lineal inyectiva y su imagen es Imi=V.

La proyecci´on can´onicaπ:E→E/V,π(e) = [e], es una aplicaci´on lineal epiyectiva y su n´ucleo es Kerπ=V de acuerdo con 2.1 (v. p´agina 11).

2. Cada matrizA∈Mm×n(K) define una aplicaci´on linealf:Kn→Km, f(X) =AX,

cuyo n´ucleo Kerf est´a formado por todas las soluciones de la ecuaci´on homog´enea AX= 0. Por otra parte, la condici´onB∈Imf significa que el sistema demecuaciones lineales conninc´ognitasAX=B es compatible.

3. Cada familia{e1, . . . , en}de vectores de unK-espacio vectorialEdefine una aplicaci´on

f:Kn_{−→E , f(λ}

1, . . . , λn) =λ1e1+. . .+λnen ,

que siempre esK-lineal. La imagen de esta aplicaci´on lineal es Imf =Ke1+. . .+Ken,

as´ı quef es epiyectiva cuandoe1, . . . , en generanE.

Adem´as la condici´on de que e1, . . . , en sean linealmente independientes significa que

Kerf = 0, de modo que en tal caso la aplicaci´on lineal f es inyectiva. Por tanto, cuandoe1, . . . , en forman una base deE, esta aplicaci´on linealf es biyectiva.

Matriz de una Aplicaci´

on Lineal

Definici´on:Seaf:E→E0_{una aplicaci´on lineal entre dos espacios vectoriales de dimensi´on}

finita. Si fijamos una base e1, . . . , en deE y una base e01, . . . , e0m deE0, tendremos que

f(ej) =a1je01+. . .+amje0m , 1≤j≤n (3.1)

para ciertos escalares aij ∈ K, y diremos queA = (aij) es la matriz de la aplicaci´on

linealf en las bases e1, . . . , en deEy e01, . . . , e0m deE0. Por definici´on, la columnaj-´esima

de la matriz Aest´a formada por las coordenadas del vector f(ej) en la base e01, . . . , e0m de

E0_.

Ahora, para cada vectore=x1e1+. . .+xnen ∈Etendremos que su imagenf(e) es

f(e) = Pn j=1 xjf(ej) = n P j=1 m P i=1 xjaije0i= m P i=1 ³_Pn j=1 aijxj ´ e0 i .

Es decir, siXdenota las coordenadas del vectoreen la base e1, . . . , en, puestas en

colum-na, entonces las coordenadasX0 _{def(e) en la base e}0

1, . . . , e0m se obtienen multiplicandoX

por la matrizAdef en las bases consideradas:

X0 = AX (3.2)

Proposici´on 3.1.4 SiA es la matriz de una aplicaci´on linealf:E→E0_{, entonces}

dim (Imf) = rgA

Demostraci´on: Sea e1, . . . , en una base deE. Comof(

P

iλiei) =

P

iλif(ei), la imagen de

f est´a generada por los vectoresf(e1), . . . , f(en):

Imf =hf(e1), . . . , f(en)i,

3.2. TEOREMA DE ISOMORF´IA 19

3.2

Teorema de Isomorf´ıa

Definici´on: Diremos que una aplicaci´on K-lineal f: E →E0 _{es un isomorfismo cuando}

es biyectiva, y en tal caso la aplicaci´on inversa f−1_:E0 _{→ E tambi´en es K-lineal (y por}

supuesto biyectiva, as´ı quef−1 _{tambi´en es un isomorfismo).}

En efecto, sie0_{, v}0_∈E0_{, entoncese}0 _{=f(e) yv}0_{=f(v), dondee, v∈E, de modo que}

f−1_(e0_+v0_{) =f}−1¡_{f(e) +f(v)}¢_=f−1¡_f(e+v)¢_=e+v=f−1_(e0_{) +f}−1_(v0₎

f−1(λe0) =f−1¡λf(e)¢=f−1¡f(λe)¢=λe=λ·f−1(e0).

Diremos que dosK-espacios vectorialesEyE0_{sonisomorfossi existe alg´un isomorfismo}

K-linealf:E →E0_{, en cuyo caso pondremosE'E}0_.

Ejemplos:

1. Si una matriz A ∈ Mn×n(K) es invertible, la aplicaci´on que induce f:Kn → Kn,

f(X) =AX, es un isomorfismo, y el isomorfismo inversof−1_{: K}n _→Kn _es

precisa-mente el que define la matriz inversaA−1_{; es decir, f}−1_{(X) =A}−1_X.

2. SiV1, . . . , Vn son subespacios vectoriales de un espacio vectorialE, la aplicaci´on

s:V1×. . .×Vn→V1+. . .+Vn , s(v1, . . . , vn) =v1+. . .+vn ,

es lineal y epiyectiva. Adem´as esta aplicaci´on linealses inyectiva precisamente cuando la suma es directa, de modo que en tal casoV1×. . .×Vn 'V1⊕. . .⊕Vn.

3. Si e1, . . . , en es una base de unK-espacio vectorialE, entonces la aplicaci´on lineal

f:Kn−→E , f(x1, . . . , xn) =x1e1+. . .+xnen ,

es un isomorfismo. El isomorfismo inversof−1_{:E →K}n _{asigna a cada vectore∈E}

sus coordenadas (x1, . . . , xn) en la base e1, . . . , en. Por tanto,todo espacio vectorial

de dimensi´onnes isomorfo a Kn_.

4. Los isomorfismos transforman vectores linealmente independientes en vectores lineal-mente independientes, y sistemas de generadores en sistemas de generadores (com-pru´ebese); luego bases en bases. Por tanto, siE'E0_{, entonces dimE= dimE}0_.

Teorema de Isomorf´ıa: Si f: E → E0 _{es una aplicaci´on lineal, entonces la aplicaci´on}

lineal φ: E/Kerf →Imf,φ(¯e) =f(e), es un isomorfismo:

E/Kerf 'Imf

Demostraci´on: Veamos primero queφes una aplicaci´on bien definida, queφ(¯e) no depende del representante elegido, que si ¯e= ¯v, entoncesf(e) =f(v). Ahora bien, si ¯e= ¯v, entonces e≡v (m´odulo Kerf); luegov−e∈Kerf, 0 =f(v−e) =f(v)−f(e) yf(e) =f(v).

Veamos ahora que tal aplicaci´onφes lineal:

φ(¯e+ ¯v) =φ([e+v]) =f(e+v) =f(e) +f(v) =φ(¯e) +φ(¯v) φ(λ¯e) =φ([λe]) =f(λe) =λf(e) =λφ(¯e).

φes inyectiva: Si 0 =φ(¯e) =f(e), entoncese∈Kerf, luego ¯e= 0 por 2.1. φes epiyectiva: Si e0_{∈Imf, entonces existe e∈E tal quee}0_{=f(e) =φ(¯e).}

20 CAP´ITULO 3. APLICACIONES LINEALES Corolario 3.2.1 Para toda aplicaci´on lineal f:E→E0 _{tenemos que}

dim (Kerf) + dim (Imf) = dimE

Demostraci´on: dim (Imf) = dim (E/Kerf) 2.2=.7.2 dimE−dim (Kerf) .

Corolario 3.2.2 SiA es la matriz de una aplicaci´on linealf:E→E0_{, entonces}

dim (Kerf) = (no _{de columnas)−rgA}

Demostraci´on: dim (Kerf)3.= dim2.1 E−dim (Imf)3.= dim1.4 E−rgA.

Corolario 3.2.3 Las soluciones de un sistema homog´eneoAX= 0demecuaciones lineales con n inc´ognitas y coeficientes en K forman un subespacio vectorial de Kn _{de dimensi´on}

n−rgA; y las soluciones de un sistema no homog´eneo compatible AX = B forman una subvariedad lineal de Kn _{de direcci´onAX= 0 y dimensi´onn−rgA.}

Demostraci´on: Sea V = {X ∈ Kn_{: AX = 0} el conjunto de soluciones del sistema}

ho-mog´eneo AX = 0. La matriz A ∈ Mm×n(K) define una aplicaci´on lineal f:Kn → Km,

f(X) = AX, yV es precisamente el n´ucleo de f. La matriz def en las bases usuales de Kn _yKm_{(ver 2.2.1) esA, as´ı que 3.2.2 afirma que la dimensi´on deV esn−rgA.}

Por ´ultimo, si un sistemaAX=B es compatible, las soluciones se obtienen sumando a una soluci´on particularX0 las soluciones de la ecuaci´on homog´eneaAX= 0; luego forman

la subvariedad linealX0+V y, por tanto, su dimensi´on tambi´en es n−rgA.

Definici´on: Fijada una base de un espacio vectorial de dimensi´on finitaE, dar ecuaciones

param´etricasde un subespacio vectorialV deE es dar las coordenadas de un sistema de generadores deV (mejor si forman una base deV), y dar ecuacionesimpl´ıcitasdeV es dar un sistema homog´eneo de ecuaciones lineales (mejor si son independientes) cuyas soluciones sean las coordenadas de los vectores deV.

Dar ecuacionesparam´etricasde una subvariedad linealX deE es dar las coordenadas de un punto deX y de un sistema de generadores de la direcci´on deX, y dar ecuaciones im-pl´ıcitasdeXes dar un sistema de ecuaciones lineales cuyas soluciones sean las coordenadas de los puntos deX.

Ejemplo: Fijada una base (e1, e2, e3, e4) de un espacio vectorial E, consideremos la

sub-variedad linealX de ecuaciones param´etricas

x1=λ1+ 4λ2+ 2 x2= 2λ1+ 3λ2+ 1 x3= 3λ1+ 2λ2+ 1 x4= 4λ1+λ2+ 3        ,     x1 x2 x3 x4    =     2 1 1 3    +λ1     1 2 3 4    +λ2     4 3 2 1    

cuya direcci´onV admite como base los vectores de coordenadas (1,2,3,4) y (4,3,2,1), de modo que dimV = 2. Hallemos primero ecuaciones impl´ıcitas de la direcci´onV.