Inducción electromagnética. Ecuaciones de Maxwell

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Inducción

electromagnética.

Ecuaciones de Maxwell

Física II

Grado en Ingeniería de

Organización Industrial

Primer Curso

Joaquín Bernal Méndez/Ana Marco Ramírez Curso 2011-2012

Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla

Índice

Introducción

Flujo magnético

Fem inducida: Ley de Faraday

Campo eléctrico creado por un campo magnético variable

Ley de Lenz

Fem de movimiento

Fuerza sobre corrientes inducidas Generadores y transformadores

Inductancia: autoinducción e inductancia mutua Energía magnética

(2)

Introducción (I)

Las partículas cargadas crean campos eléctricos y también sufren fuerzas debidas a campos eléctricos externos

Las corrientes eléctricas crean campos magnéticos

y también sufren fuerzas debidas a campos magnéticos externos

Esto implica una “conexión” entre electricidad y magnetismo

Si las corrientes crean campos magnéticos ¿Crearán los campos magnéticos corrientes?

Esto fue investigado por Faraday y Henry en 1830

3/46

Introducción (II)

En 1830 Faraday y Henry descubrieron por separado que un campo magnético variable en el tiempo

puede inducir una corriente en una espira:

Aparece una fuerza sobre las cargas eléctricas (campo eléctrico) que las impulsa a “circular”

Se tratará de un campo eléctrico no conservativo (no electrostático)

(3)

Índice

Introducción

Flujo magnético

Ley de Lenz

Fem de movimiento

Ecuaciones de Maxwell

5/46

Flujo magnético

Flujo de un campo magnético a través de una superficie:

Unidades: T.m2 _{= Wb (weber)}

Es proporcional al número de líneas de campo magnético que atraviesan la superficie

Para una bobina de N vueltas y un campo uniforme:

ˆ m _SB n dA _S B dA _SB dAn  



 



  



ˆ cos m NB nA NBA      A

(4)

Índice

Introducción Flujo magnético

Ley de Lenz

Fem de movimiento

7/46

Fem inducida: Ley de Faraday

Cuando cambia la corriente en 1 aparece una corriente

inducida en 2, como si existiera una fuente de fem

Se dice que hay una fuerza electromotriz (fem) inducida

La corriente inducida aumenta con:

El área y número de vueltas del devanado 2 La velocidad de cambio del flujo magnético

Expresión matemática: 8/46 m d dt     LEY DE FARADAY 1 2

(5)

Situaciones donde aparece

una fem inducida (I)

Campo magnético variable en el tiempo:

La corriente que genera el campo magnético es variable La espira que crea el campo magnético se mueve

El campo magnético viene creado por un imán que se mueve

9/46

Situaciones donde aparece

una fem inducida (II)

Campo magnético externo constante con el tiempo:

Cambios de orientación y/ó forma en la espira en la que se induce la corriente

Desplazamiento de una espira en un campo magnético no uniforme

(6)

Campo eléctrico creado por

un flujo magnético variable

Cuando se induce una fem (trabajo por unidad de carga)  debe existir una fuerza sobre las cargas que las haga “circular”

Las fuerzas magnéticas no realizan trabajo Aparece una campo eléctrico cuya integral en un camino cerrado es igual a la fem:

Recordemos que la integral en un camino cerrado del campo electrostático es nula Este campo inducido por la variación del campo magnético es de otra naturaleza: campo no conservativo 11/46 nc m S d d E dl B dA dt dt   

_



      



 

Índice

Ley de Lenz

Fem de movimiento

(7)

Sentido de la corriente

inducida: Ley de Lenz

Permite determinar el sentido de la corriente inducida sin necesidad de hacer cálculos:

Sea un campo magnético externo cuyo flujo es variable en una superficie

En presencia de un medio conductor (espira, bobina,

superficie metálica, etc) aparecerá una corriente inducida que, a su vez, genera un campo magnético

Tenemos entonces dos campos magnéticos: el externo y el asociado a la corriente inducida

13/46 El sentido de la corriente inducida es tal que el campo

magnético asociado a ella se opone a la variación del flujo magnético del campo magnético externo

Ley de Lenz: ejemplos

I

2

I

(8)

Ejemplo de cálculo de

corriente inducida

Espira de resistencia R que sale con velocidad v de una región con campo magnético uniforme

15/46 ext m _S B dA B Lx  



   m d dt     B L_ext dx dt   I IR   _I B Lvext R 

dA hacia dentro del papel

; v dx

dt

 _{ } 

 

 

El signo de la corriente se interpreta respecto al sentido positivo que se obtiene al aplicar la regla de la mano derecha al escogidodA

ext B Lv 

Índice

Ley de Lenz

Fem de movimiento

(9)

Fem de movimiento

Es la fem que aparece cuando un conductor se desplaza en el interior de un campo magnético

La fem de movimiento puede explicarse y calcularse a partir de las fuerzas que el campo magnético ejerce sobre las cargas en movimiento del conductor

Puede ser explicada sin necesidad de la Ley de Faraday Para estos casos la Ley de Faraday simplemente proporciona una visión alternativa (en términos de cambio de flujo)

Sin embargo, en situaciones donde el campo magnético varía en el tiempo las corrientes

inducidas solamente pueden explicarse y calcularse con la Ley de Faraday.

17/46

Fem de movimiento: Ejemplo

Varilla conductora que se desplaza sobre raíles conductores en un campo magnético externo

m _SB dA BS Blx  



    m d dt     Bl dx Blv dt    

Solución usando la Ley de Faraday:

Blv I R R     I

(10)

Fem de movimiento: Ejemplo

Varilla conductora que se desplaza sobre raíles conductores en un campo magnético externo

19/46 Solución usando la fuerza magnética:

•La fuerza magnética provoca una separación de

cargas en la varilla (como en una batería).

•La fem es el trabajo por unidad de carga:

•Si la varilla tuviera una resistencia r:

F F qvB dl l l Blv q q q  



      V Ir    

Índice

Ley de Lenz

Fem de movimiento

Fuerza sobre corrientes inducidas

Generadores y transformadores

(11)

Fuerza sobre corrientes

inducidas (I)

La corriente inducida se encuentra inmersa en el propio campo magnético que la induce

Por lo tanto sobre la corriente inducida debe aparecer una fuerza debida al campo magnético:

Ejemplo: cuando acercamos un imán a una espira aparece una fuerza repulsiva entre imán y espira

¿Cómo es la fuerza si el imán se está alejando?

21/46

F

I

dl

B















Fuerza sobre corrientes

inducidas (II)

¿Cuál es la fuerza sobre la varilla en el ejemplo anterior? F  I l B I F Blv I R  2 2 B l v F IlB R  

•Esta fuerza se opone a que aumente el flujo magnético en el circuito •Para mantener la varilla con v constante debe aplicarse una fuerza igual y de sentido contrario: F_ext

•La potencia suministrada por el agente externo en ese caso es: ext F 2 2 2 ext B l v P F v R   2 I R  Coincide con la potencia que se disipa

en la resistencia por efecto Joule Coincide con la potencia que se disipa

en la resistencia por efecto Joule Resultado lógico desde el punto de vista de conservación de la energía Resultado lógico desde el punto de vista de conservación de la energía

(12)

Fuerza sobre corrientes

inducidas (III)

Lámina conductora no ferromagnética que oscila entre los polos de un

electroimán

Aparecen corrientes inducidas en la lámina: corrientes de Foucault

La fuerza magnética sobre estas corrientes frena las oscilaciones

Principio físico de los frenos magnéticos

23/46

Corrientes de Foucault:

aplicaciones

Detectores de metales:

(13)

Índice

Ley de Lenz

Fem de movimiento

Fuerza sobre corrientes inducidas

Generadores y transformadores

25/46

Aplicaciones de la

Ley de Faraday

Existen muchos dispositivos muy comunes cuyo funcionamiento se basa en la Ley de Faraday:

Generadores Transformadores Motores de inducción Micrófonos

Escritura/lectura magnética

Banda magnética en tarjetas de crédito Sismógrafos

Interruptores diferenciales (GFCI) etc…

(14)

Generadores (I)

Transforman energía mecánica (habitualmente energía de rotación de una turbina) en energía eléctrica, que puede ser transportada

Se utilizan en todo tipo de centrales generadoras: hidroeléctricas, térmicas, nucleares…

Esquema simple:

una espira giratoria en un campo magnético uniforme En virtud de la Ley de Faraday se induce una corriente

alterna en la espira

27/46

Generadores (II)

28/46

 Flujo magnético a través de la bobina:

 Si la bobina gira con velocidad

angular constante:

 Según la Ley de Faraday:

 Los generadores reales tienen

una construcción más compleja

t     _m NBAcost sen m d NBA t dt 

      Se produce una femSe produce una fem_sinusoidal_sinusoidal cos

m NBA

(15)

Transformadores (I)

Se usan para elevar o disminuir el voltaje (en alterna) La corriente variable en la bobina 1 (primario) induce una corriente en la bobina 2 (secundario) El núcleo de hierro

magnifica el campo magnético de 1 y lo guía a 2

Prácticamente todo el campo que crea 1 atraviesa 2:

29/46

1 N1 v ; 2 N2 v

      ;( : Flujo por vuelta)_v

Transformadores (II)

Despreciando la resistencia de la bobina y de la fuente:

En el secundario (en abierto) tenemos: Dividiendo ambas ecuaciones:

v 1 1 1 d d V N dt dt     v 2 2 2 d d V N dt dt     2 2 1 N V V N  1 1 v 2 2 v N N       + -2 V

(16)

Transformadores (III)

La relación entre voltajes solo depende de N₂/N₁

Si N₂>N₁: transformador elevador o de alta Si N₂<N₁: transformador reductor o de baja

Si se conecta una carga: relación entre intensidades (transformador ideal) 31/46 2 2 1 1 N V V N  + -2 V 1 1 1 2 2 2 P  I V P  I V 1 2 1 2 N I I N 

Transformadores (IV)

Funcionan solamente en AC (corriente alterna) Fundamentales para transmitir energía eléctrica:

Importante transmitir en alta tensión para reducir pérdidas en los cables conductores por efecto Joule: P=I2_R

32/46 La posibilidad de usar transformadores para elevar o disminuir el voltaje

(17)

Transformadores (V)

En el interior del núcleo ferromagnético, que es conductor, aparecen corrientes de Foucault

Se produce un calentamiento del núcleo del transformador Se traduce en pérdida de potencia transmitida

Para limitar este efecto se usan núcleos laminados

33/46 Núcleo de hierro laminado Devanados primario y secundario (cubiertos)

Ejemplo: transformador del cargador de un móvil

Índice

Ley de Lenz

Fem de movimiento

Inductancia: autoinducción e inductancia mutua

Energía magnética

(18)

Autoinducción (I)

Sea una bobina que transporta una corriente variable

Existe un flujo magnético por el interior de la bobina debido al campo magnético que ella misma crea

Si I es variable tendremos flujo magnético variable con el tiempo: según la Ley de

Faraday dará lugar a una fem autoinducida

Esta fem se sumará a la fem externa que crea la corriente variable I

Este fenómeno se denomina autoinducción y aparece en cualquier circuito por el que circule una corriente variable

Puede definirse un parámetro que caracteriza la susceptibilidad de un circuito o dispositivo a sufrir este fenómeno:

autoinducción del dispositivo

35/46

Autoinducción (II)

Sea una bobina de N vueltas y longitud l que transporta una corriente variable (n=N/l)

El flujo del campo magnético en su interior es:

El flujo es proporcional a la corriente I

La constante de proporcionalidad se denomina

autoinducción: 36/46 0 B   nI  _m NBA ₀n IAl2 m L I  

 Depende de la forma geométrica de la bobina  Unidades: henrios (H)  1 H=1 Wb/A=1 T·m2/A  Se puede definir para cualquier circuito. Para la

bobina: 2

0

(19)

Fem autoinducida en una

bobina

Una bobina con alta autoinducción se suele denominar inductor

Cuando se coloca un inductor en un circuito la autoinducción del circuito suele ser

despreciable frente a la del propio inductor

Según la Ley de Faraday la fem autoinducida en la bobina es:

Entonces la caída de tensión entre sus extremos es:

37/46 m d dI L dt dt       V Ir

    ; Donde: r = resistencia interna del inductor

(r=0 para un inductor ideal)

Inductancia mutua

El flujo magnético que atraviesa un circuito depende de la corriente propia y de la de los circuitos próximos El flujo a través de 2 debido al campo magnético de 1 puede escribirse:

M₁₂: inductancia mutua de los dos circuitos

Se cumple: M₁₂=M₂₁  suele escribirse M

12 12 1 m M I   1 2 B  B B 2 12 22 m m m      22 2 2 m L I  

(20)

Ejemplo: recarga de cepillos

de dientes eléctricos

Los cepillos de dientes eléctricos tienen una batería interna que es preciso

recargar

Como es inevitable que el cepillo y la base entren en contacto con el agua deben estar sellados: no puede usarse el sistema

tradicional con contactos metálicos Se aprovecha entonces la inducción

mutua entre dos bobinas que no se tocan

El cepillo y la base pueden verse como los dos devanados de un transformador

39/46

Índice

Ley de Lenz

Fem de movimiento

Inductancia: autoinducción e inductancia mutua

Energía magnética

(21)

Energía magnética

almacenada en un inductor (I)

Un inductor almacena energía magnética como un condensador almacena energía eléctrica

Puede obtenerse una expresión a partir del análisis un circuito sencillo:

41/46 0 0 dI IR L dt     2 0 0 dI I I R LI dt     Potencia suministrada por la batería Potencia suministrada

por la batería Potencia disipada en la resistenciaPotencia disipada en la resistencia

Variación de la energía magnética almacenada en el inductor: Variación de la energía magnética almacenada en el inductor: m dU dI LI dt  dt

Energía magnética

almacenada en un inductor (II)

Partimos de la variación de energía magnética almacenada en el inductor:

Si integramos:

La constante Cse anula si escogemos U_m=0 para I=0:

m dU dI LI dt  dt dUm  LIdI 2 1 2 m U  LI C 2 1 2 m U  LI ENERGÍA ALMACENADA EN UN INDUCTOR

Puede considerarse una energía almacenada en el campo

(22)

Índice

Ley de Lenz

Fem de movimiento

43/46

Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell, que ya han ido apareciendo, son: Ley de Gauss

⋅ 4

Ley de Gauss para el magnetismo

⋅ 0

Ley de Faraday (forma de la ley sin incluir movimiento)

⋅ ⋅

Ley de Ampère generalizada

⋅

donde a la ley de Ampère que vimos en el tema anterior (válida para corriente estacionaria) se le añade el término de la corriente de

(23)

Ecuación de ondas para las

ondas electromagnéticas

En el tema de Movimiento Ondulatorio, vimos que las ondas en una cuerda obedecían la llamada ecuación de onda:

Las ecuaciones de Maxwell implican que tanto como obedecen a ecuaciones de onda semejantes. En el vacío, se cumple:

con , velocidad de la luz en el vacío, 2.99792458 ⋅ 10 m/s , y ambos al eje (dirección de propagación, la misma de ) 45/46 2 2 2 2 2

( , )

1 ( , )

y x t

x

v

t







2 2 2 2 2

( , )

1 ( , )

B x t

x

c

t



_





2 2 2 2 2

( , )

1 ( , )

E x t

x

c

t



_





Resumen

La Ley de Faraday establece que un campo magnético variable en el tiempo

provoca la aparición de un campo eléctrico no conservativo

En presencia de un medio conductor este campo eléctrico da lugar a corrientes inducidas

Lafem inducida es proporcional al ritmo de cambio del flujo del campo magnético

La Ley de Faraday puede usarse también para calcular corrientes inducidas

en conductores que se desplazan en el seno de campos magnéticos estáticos:

fem de movimiento

La Ley de Lenz permite predecir el sentido de las corrientes inducidas sin realizar cálculos

Sobre las corrientes inducidas aparecen fuerzas debidas al propio campo magnético que las crea

Estas fuerzas se oponen al cambio de flujo magnético

La autoinducción de un dispositivo o un circuito es proporcional a la fem

autoinducida que aparece cuando lo atraviesa una corriente variable

La inductancia mutua entre dos circuitos permite cuantificar la fem inducida en uno de ellos cuando el otro es atravesado por una corriente variable

Un inductor o bobina almacena energía magnética

Las leyes de electricidad y magnetismo se resumen mediante las ecuaciones

de Maxwell, que implican que y en el vacío obedecen una ecuación de