SISTEMAS DE ECUACIONES
Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias y Tecnología
Profesor: Jorge Escribano Colegio Inmaculada Niña Granada www.coleinmaculadanina.org
TEMA 9.- MATRICES Y DETERMINANTES
1.- INTRODUCCIÓN
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5. Por ejemplo: 5 1 2 3 3 1 A , es de orden 2 x 3 1 2 0 0 4 3 3 5 2 B , es de orden 3 x 3
La dimensión de una matriz se suele indicar:
3 2 1 5 3 2 1 3 x A
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión (u orden) y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
2.- TIPOS DE MATRICES
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1
n.Ejemplo
1 2 3 1
1x4Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m
1. Ejemplo 1 3 4 2 1 x Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aijcon i + j = n +1 la diagonal secundaria. Ejemplo 3 2 5 1 3 4 2 0 3 1
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n m. Ejemplo 4 2 4 1 3 5 0 1 2 4 1 0 2 3 1 4 5 2 t A A
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji.
Ejemplo 2 5 4 5 6 2 4 2 1 A
Atendiendo a los elementos
Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Ejemplo 3 0 0 0 4 0 0 0 1 ; 3 0 0 2 B A
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Ejemplo 4 0 0 0 4 0 0 0 4 ; 2 0 0 2 B A
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. Ejemplo 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; 1 0 0 1 3 2 I I
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 i<j.
Ejemplo 3 0 0 1 4 0 3 2 1 A
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij=0j<i.
Ejemplo 3 0 3 0 4 2 0 0 1 A
3.- OPERACIONES CON MATRICES
Suma y Diferencia de Matrices
La suma (o diferencia) de dos matrices A=(aij)mxn, B=(bij)mxnes otra matriz con término genérico (aijbij)mxn. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
Así, para el caso de dimensión 2x2 :
Ejemplo: 3 2 3 2 3 2 2 0 4 5 1 1 3 3 1 1 2 0 1 3 3 4 1 1 x x x
Propiedades de la suma de matrices
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A (–A) 0.
Producto de una Matriz por un Número
El producto de una matriz A = (aij)mxn por un número real k es otra matriz B = (bij)mxn de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo: 2 2 10 0 15 5 0 2 3 1 5
Propiedades del producto de una matriz por un escalar 1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª) 2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª) 3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 4. 1·A = A (elemento unidad)
Producto de Matrices
Sean A una matriz de orden mxn y B una matriz de orden nxp:
El producto de las matrices A y B (A
⋅
B) es otra matriz C de orden mxp con m filas y p columnas, cuyo elemento cij es el producto de la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B:
aij mxn bij nxp
cij mxp donde: Ejemplos:
10 6 3 4 5 1 3 2 5 4 1 3 2 1 4 4 1 x xPropiedades del producto de matrices 1. A·(B·C) = (A·B)·C
2. El producto de matrices en general no es conmutativo: A.B B.A 3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
4. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
Ejercicios: 1.- Siendo 2 5 0 2 1 0 1 3 4 3 3 1 1 2 1 2 A y 4 2 3 5 1 4 1 0 1 3 2 2 0 2 1 3 B , calcula 3A– 2B
2.- Dadas las matrices:
0 1 1 1 2 1 1 0 1 , 1 1 5 0 0 3 1 0 2 B A , calcular A + B y B– A
3.- Dadas las matrices:
1 2 1 0 2 4 1 1 4 , 3 2 1 2 1 2 1 2 1 B A Calcular: AB,BA,A2,B2
4.- Dadas las matrices:
4 3 0 1 1 2 , 0 4 3 5 2 1 B A , calcular, si es
posible, A.B y B.A
4.- MATRIZ INVERSA
Dada una matriz cuadrada An, se dice que es inversible o regular si existe una matriz cuadrada Bn tal que : AnBn Bn An In.
A dicha matriz se le llama matriz inversa de A y la notaremos por A1
Propiedades de la inversión de matrices 1. La matriz inversa, si existe, es única 2. A-1A=A·A-1=I
3. (A·B)-1=B-1A-1 4. (A-1)-1=A 5. (kA)-1=(1/k)·A-1 6. (At)–1=(A-1)t
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de otra. (No todas las matrices tienen inversa. Las matrices que no tienen inversa se llaman singulares)
Uno de ellos es usando directamente la definición.
Ejemplo: Dada la matriz 1 1 1 2
A buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir
Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:
La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 ·A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.
El problema de este método es que a veces, especialmente para matrices más grandes, los cálculos se complican.
Método de Gauss-Jordan para el Cálculo de Matrices Inversas
Este método se basa en transformar la matriz cuadrada correspondiente en la matriz identidad (de su mismo orden, claro) y hacer las mismas transformaciones con la matriz identidad. La matriz obtenida al final del proceso será la matriz inversa.
Las transformaciones elementales permitidas son:
a) Intercambiar entre sí las filas de la matriz
b) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de 0
c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un número y sumársela
Vemos primero un ejemplo de cómo transformar una matriz en la identidad:
1 2 1 1 2 1 1 2 1 4 3 0 4 1ª ( 3) 2ª 0 6 1 2ª 3ª 0 6 1 6 0 4 1 0 4 1 0 0 1 3 A x x Ahora multiplicamos la 3ª fila por 3 y dividimos la 2ª por 6 para que nos quede una diagonal de unos: 1 2 1 1 2 1 2ª: 6 1 0 6 1 0 1 6 3ª 3 1 0 0 3 0 0 1 x
Nos basamos ahora en el elemento a33 para hacer ceros en la 3ª columna y después en el
22
a para hacer cero el a12:
1 2 1 1 2 0 1 0 0 3ª ( 6) 2ª 1 0 1 0 1 0 2ª 2 1ª 0 1 0 6 3ª ( 1) 1ª 0 0 1 0 0 1 0 0 1 x x x
Si hubiéramos hecho a la vez las mismas operaciones con la matriz identidad, habríamos llegado a una matriz que sería la inversa de A.
Vemos un ejemplo completo de cálculo de inversa:
Calculamos la inversa de 4 1 2 3 A
En primer lugar triangularizamos inferiormente:
Dividimos por -10 la segunda fila para que quede la diagonal de unos:
Y por tanto la matriz inversa de A será: 10 3 10 1 5 1 5 2 10 3 10 1 10 2 10 4 1 A
Nota: si al intentar triangularizar se nos convierte una fila entera en ceros, significará que la matriz no tiene inversa.
Ejercicio: Calcular las matrices inversas de
1 2 3 1 1 3 2 1 0 1 2 2 4 0 1 2 ; ; 1 2 1 ; ; 0 1 4 3 4 1 2 1 2 4 2 0 0 3 2 2 A B C D E
5.- RANGO DE UNA MATRIZ
Tanto las filas como las columnas de una matriz pueden ser consideradas de manera separada como vectores.
Recordemos que un conjunto de vectores eran linealmente independientes si ninguno de ellos se podía poner como combinación lineal de los demás, es decir, si no se podía obtener haciendo operaciones (suma y producto por un número) con ellos.
Así, por ejemplo, en la matriz
1 2 3 2 1 1 4 3 5 A
el vector correspondiente a la tercera fila se puede obtener como combinación lineal de las otras dos multiplicando el vector de la primera fila por 2 y sumándole el vector de la segunda fila. Esta matriz tiene por tanto dos filas linealmente independientes.
Se llama Rango de una matriz A al número máximo de filas o columnas de A que son linealmente independientes
Así, la matriz anterior tiene Rango 2, y se expresa: Rg A( )2 A veces se puede obtener el rango “a ojo”, pero no siempre es fácil
Método de Gauss-Jordan para el Cálculo del Rango de una Matriz
Consiste en usar las transformaciones vistas anteriormente para convertir la matriz en triangular o escalonada (todos los elementos por debajo de la diagonal principal deben ser 0) y observar el número de filas en la matriz resultante que son distintas de 0.
Ejemplo: Calcular el rango de 1 2 3 1 0 5 1 7 2 1 5 9 A
Vamos a triangularizar la matriz:
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 0 5 1 7 2 1ª 3ª 0 5 1 7 2ª 3ª 0 5 1 7 2 1 5 9 0 5 1 7 0 0 0 0 x
Por tanto el Rg A( )2 ya que se obtienen dos filas linealmente independientes.
Conviene tener en cuenta que el rango de una matriz no varía si:
Permutamos entre sí dos filas o columnas
Suprimimos una fila o columna de ceros
Suprimimos una fila o columna proporcional a otra
Suprimimos una fila o columna que sea combinación lineal de otras paralelas a ella Así, en la matriz 1 2 3 4 6 3 2 8 2 4 6 8 7 5 5 4 A
podemos eliminar la 3ª fila al ser el doble de la 1ª y también podemos eliminar la 4ª fila al ser la suma de la 1ª y la 2ª, de donde:
1 2 3 4 6 3 2 8 1 2 3 4 ( ) 2 4 6 8 6 3 2 8 7 5 5 4 Rg A Rg Rg Y al hacerla escalonada: 1 2 3 4 1ª ( 6) 2ª 1 2 3 4 6 3 2 8 x 0 9 16 32 Por lo que Rg A( )2
Ejercicio: Calcular el rango de las matrices 1 4 6 2 1 4 1 1 3 1 3 2 5 1 1 4 2 1 3 2 ; 2 1 5 ; ; 4 6 1 0 2 8 4 2 2 0 1 10 8 0 0 10 1 7 8 6 1 A B C D Teorema
Una matriz cuadrada de orden n tiene inversa su rango es n
Esto significa que, a veces, conviene calcular el rango de una matriz antes de ponernos a calcular su inversa, pues nos podemos evitar esos cálculos si su rango no coincide con su orden.
6.- DETERMINANTES
Un determinante es un número real que se la asocia a una matriz cuadrada. Le llamaremos det
A ADependiendo del orden de la matriz, los determinantes se calculan de una u otra forma:
Determinantes de orden 1: Determinantes de orden 2: Ejemplo: 3 5 2 4 7 5 4 2 3
Determinantes de orden 3:
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:
Ejemplo: 2 1 3 1 3 2 2 4 1 A
18 16 1
6 4 12 18 16 1 35 12 4 6 2 1 3 1 3 2 2 4 1 AEjercicio: Calcula los determinantes de las matrices:
2 4 3 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 1 3 2 2 2 2 1 ; 3 7 2 5 ; 2 2 1 3 D C B A
Determinantes de orden superior a 3:
Antes de ver cómo se calculan estos determinantes, son necesarias una serie de definiciones:
Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama submatriz complementaria del elemento a a la matriz de orden n-1 que se obtiene al suprimir en A la fila i yij la columna j. Esta matriz se expresa como ij
Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama menor complementario del elemento a al determinante de su submatriz complementaria, es decir,ij ij
Así, si 1 1 2 0 2 0 4 3 3 2 0 1 4 1 6 3 A
, el menor complementario del elemento a23 será:
23 1 1 0 3 2 1 8 4 1 3
Dada una matriz cuadrada de orden n, se llama adjunto del elemento a alij número A definido por la siguiente expresión:ij
1i jij ij
A
Así, en el ejemplo anterior, el adjunto del elemento a23 será:
523 1 23 ( 8) 8
A
A la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento de una matriz A por su adjunto correspondiente se le llama matriz Adjunta de A: Adj(A)
Calcula como ejercicio la matriz adjunta de la matriz anterior.
Ahora ya estamos en condiciones de abordar el cálculo de determinantes de orden n:
Si A es una matriz cuadrada de orden n, su determinante es igual a la suma de los productos de cada uno de los elementos de una línea (fila o columna) por sus respectivos adjuntos:
Así, si
el desarrollo por los elementos de la fila i es:
1 1 2 2 3 3 ....
i i i i i i in in
A a A a A a A a A
Ejemplo:
Vamos a calcular el siguiente determinante de orden 4, utilizando el desarrollo por los elementos de su primera fila:
11 12 13 14 1 1 1 3 0 2 1 1 1 1 1 3 2 1 0 2 1 4 0 2 A A A A Como: 11 12 13 14 2 1 1 0 1 1 1 0 2 10 ; 2 0 2 ( 2) 2 4 0 2 1 0 2 0 2 1 0 2 1 2 1 2 13 ; 2 1 0 9 1 4 2 1 4 0 A A A A El determinante será: 11 12 13 14 1 1 1 3 0 2 1 1 1 1 1 3 10 2 13 27 52 2 1 0 2 1 4 0 2 A A A A
Hay que tener en cuenta que a la hora de desarrollar por los adjuntos de una línea, conviene elegir aquella que más ceros tenga (menos adjuntos que hacer). En este caso hubiera sido más sencillo desarrollar el determinante por los elementos de la tercera columna (hacerlo).
Ejercicio: calcular 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 2 1
7.- PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
1. El determinante de una matriz cuadrada es igual que el de su traspuesta:
t
A A
2. El determinante de producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: A B A B
3. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal
4. Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es 0
5. Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales o proporcionales, su determinante es 0
6. Si se permutan dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo
7. Si se multiplica una fila o columna de una matriz cuadrada por un número, su determinante queda multiplicado por dicho número
8. Si una matriz cuadrada tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas, su determinante es 0
9. Si todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz cuadrada se descomponen en suma de dos sumandos, su determinante se descompone en suma de dos determinantes de la siguiente forma:
11 12 13 11 12 13 12 13 21 22 23 21 22 23 22 23 31 32 33 31 32 33 32 33 a b a a a a a b a a a c a a a a a c a a a d a a a a a d a a
10. Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de las otras paralelas, su determinante no varía
Ejercicios:
1.- Justifica, sin desarrollar, las siguientes igualdades:
a) 3 1 7 0 0 0 0 1 11 4 b) 4 1 7 2 9 1 0 8 2 14 c) 7 4 1 2 9 7 0 27 94 71 2.- Sabiendo que 5 0 3 2 1 1 1 x y z , calcular: a) 3 3 3 5 0 3 1 1 1 x y z b) 15 0 9 2 2 2 1 1 1 x y z c) 2 5 2 2 3 1 1 1 x y z x y z x y z
8.- CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES
Hemos visto antes que el Rango de una matriz A es el número máximo de filas o columnas de A que son linealmente independientes y vimos cómo calcularlo usando el método de Gauss.
De las propiedades anteriores de los determinantes, se deduce un método más sencillo para calcular el Rango de una matriz:
El Rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo
Recordemos que un menor era el determinante de cualquier submatriz cuadrada dentro de A.
Vemos un ejemplo:
Vamos a calcular el Rango de
2 0 1 2 3 1 2 5 1 1 1 3 A
Como la matriz es de orden 3x4, el rango como mucho puede ser 3 (no hay dentro de ella submatrices cuadradas de orden 4).
Calculamos todos los menores posibles de orden 3. Si alguno de ellos no da 0, el rango de la matriz será 3: 2 0 1 2 0 2 2 1 2 0 1 2 3 1 2 0 ; 3 1 5 0 ; 3 2 5 0 ; 1 2 5 0 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 3
Como todos los menores posibles de orden 3 dan 0, el rango de la matriz puede ser como mucho 2.
Para ver si es así buscamos un menor de orden 2 que no de 0:
2 0
2 0 3 1
Por lo tanto Rg A( )2
Ejercicio: calcular el rango de las siguientes matrices:
5 0 3 4 2 3 1 3 5 1 1 0 2 3 7 4 4 6 2 ; 2 4 ; ; 2 0 3 3 2 8 1 6 9 3 1 0 3 1 2 0 A B C D
9.- CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES
Si A es una matriz cuadrada tal que A 0, entonces su matriz inversa se puede calcular mediante la fórmula:
1 ( ) ( ) t t Adj A Adj A A A A Nota:Es muy importante comprobar antes si el determinante de la matriz es o no 0, pues si lo es directamente la matriz no tiene inversa.
Ejemplo:
Calcular la matriz inversa de
2 2 2 2 1 0 3 2 2 A
Calculamos primero su determinante: 1
2 2 2 2 1 0 2 0 3 2 2 A A Calculamos los adjuntos de cada elemento:
11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 2 0 2 1 2 , 4 , 7 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 0 , 2 , 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 , 4 , 6 1 0 2 0 2 1 A A A A A A A A A
Luego la matriz adjunta será:
2 4 7 ( ) 0 2 2 2 4 6 Adj A Y su traspuesta:
2 0 2 ( ) 4 2 4 7 2 6 t Adj A Y por tanto la matriz inversa:
1 2 0 2 4 2 4 1 0 1 7 2 6 ( ) 2 1 2 2 7 1 3 2 t Adj A A A (Es fácil comprobar que 1 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 A A A A I Ejercicios:
1.- calcular, si es posible, las matrices inversas de las siguientes matrices:
1 0 0 1 0 1 3 2 3 -1 2 , , 2 3 1 1 2 1 5 -4 1 1 2 A B C 2.- Dada la matriz 1 1 1 1 0 0 2 a A a
a) Calcular los valores de a para los que existe la inversa de A b) Halla su inversa para a = 2
10.- ECUACIONES MATRICIALES
Son ecuaciones en las que la incógnita es una matriz.
Se resuelven como las ecuaciones normales, con la salvedad de que no se pueden dividir matrices. A B C X B C AX C B AX x x x x 2 3 6 6 3 1 7 3 7 1 3
Esto último con matrices no se puede hacer.
En lugar de dividir por una matriz, que no se puede, lo que haremos es multiplicar la ecuación por la inversa de esa matriz:
B A X B A X I I A A Como B A AX A B AX 1 1 ( 1 ) 1 1
Es importante que hay que multiplicar por A por el lado en el que esté A (en el caso1 anterior por la izquierda) para que quede la identidad, ya que el producto de matrices no es conmutativo. Por ejemplo:
1 1 1 1 A B C X A B C I X A B C XAA B C XA C B XA Ejercicio:Resolver la ecuación: AX + B = 2C , siendo:
1 0 0 2 1 4 1 2 1 0 1 3 1 1 0 2 C B A
EJERCICIOS
1.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A2, B2, AB, BA
2.- Efectúa todos los productos posibles con las siguientes matrices:
0 1 5 2 0 0 3 6 5 1 7 2 4 3 1 0 1 1 0 7 1 5 2 3 2 1 C B A
3.- Dadas las matrices
2 3 1 1 , 0 3 7 4 , 3 0 2 1 C B A Calcula:
a) (A.B) + (A.C) b) (A-B).C c) A.B.C
4.- Calcula las inversas, si existen, de las siguientes matrices por el método de Gauss:
5.- Halla los valores a y b en la matriz
a b a A
0 de forma que se cumpla:
B A A2 2 , siendo 0 0 1 0 B 6.- Dada la matriz 1 2 3 2
A , halla el valor que deben tener x e y para que se
cumpla la igualdad: 2 0 yI xA A 1 2 0 1 0 1 2 1 2 = B 0 1 1 1 1 2 1 0 1 = A
7.- Dada la matriz x x x A 0 0 0 0 0 0
, calcular el valor de x para que se verifique la
ecuación: A2 6A9I 0
8.- Razonar si existe algún valor de x tal que B2 B siendo
x x B 1 1
9.- Calcula el rango de las siguientes matrices mediante el método de Gauss primero y después por menores:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 ; 2 4 6 ; 2 4 0 2 4 6 8 12 24 36 3 6 0 1 0 3 0 0 0 1 0 2 0 3 ; 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 A B C D E
10.- Estudiar, según los valores de a, el rango de la matriz
1 2 1 1 0 1 a A a a 11.- Dada la matriz 4 5 1 3 4 1 3 4 0 A , calcular 2 3 4 5 6 128 , , , , ,..., A A A A A A
12.- Halla todas las matrices X de la forma
1 0 0 1 0 0 a X b c tales que 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 X
13.- Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro k:
1 1 1 2 1 4 1 1 2 ; 2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 1 1 1 0 2 2 6 4 ; 1 3 1 0 4 12 8 4 2 10 3 A B k k C k D k
14.- Si 25 a b c p q r u v w , calcular razonadamente 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b u w v p r q 15.- Si 3 0 2 5 1 1 1 x y z , calcular razonadamente 2 2 2 3 0 1 2 1 1 1 x y z
16.- Calcular, si es posible, la inversa de la matriz
1 1 1 2 1 2 0 0 1 A 17.- Dada la matriz 5 0 6 2 1 3 2 4 A
a) Calcular los valores de
para los que no existe la inversa de A b) Calcular su inversa para 618.- ¿Qué valores de a hacen que la matriz
1 1 1 2 3 2 3 7 a a a A a a a no tenga inversa? 19.- Resuelve la ecuación: 2 1 3 2 2 1 2 1 0 2 1 3 3 2 x x x x x x x x x 20.- Dada la matriz cos 0 cos 0 cos cos 1 senx x A x senx senx x senx x
a) ¿Para qué valores de x existe la matriz inversa de A? b) Calcular dicha matriz inversa
21.- Calcula el rango de 2 0 2 1 0 1 3 5 4 4 3 a A a
22.- Comprueba que si A es una matriz cuadrada de orden dos que verifica la relación
2
2 3 0
A A I , entonces A tiene inversa. ¿Cuál es la inversa de A?
23.- Dada las matrices:
1 0 2 1 2 1 1 0 1 , 0 1 0 0 2 1 2 1 3 B A a) Calcular A1,B1 b) Calcular la inversa de A B c) Comprobar que
AB
1 B1A124.- Resuelve la ecuación AX = B donde:
1 0 1 -0 1 1 = B 1 0 1 1 = A
25.- Resuelve la ecuación matricial AX 2BC, siendo:
1 0 0 0 1 2 1 1 0 2 2 1 , 0 1 1 , 1 0 2 3 0 1 1 0 1 1 0 0 A B C 26.- Sea la matriz 5 4 2 2 1 1 4 4 1 A
a) Comprueba que se verifica: 2
2 0
A A I
b) Usando la igualdad anterior, calcula razonadamente A1 y A4
27.- Resolver la ecuación matricial AX+B=C, siendo:
a) 4 -0 3 -5 2 7 = C 1 -1 0 1 -0 1 = B 1 2 -2 0 = A b) 1 -1 0 3 1 2 0 1 -1 = C 1 1 1 1 1 -0 0 1 2 = B 2 -1 0 1 2 1 1 -0 1 = A 28.- Si 3 0 2 5 1 1 1 x y z , calcular razonadamente: 1 1 1 ) 3 3 3 3 2 ) 4 1 3 1 1 1 1 1 1 x y z x y z a x y z b x y z
29.- Calcular el determinante: 1 3 2 1 3 0 4 1 0 1 2 3 1 2 3 2
30.- Se consideran las matrices
1 3 1 2 , 0 1 1 1 0 2 m A B m
a) Calcula los valores de m para los que la matriz A B es inversible b) Para m = 0, calcula la inversa de A B
31- Dadas las matrices
1 4 1 0 1 1 1 3 2 1 1 2 1 2 0 1 0 1 A B
a) Estudia si existe la inversa de A y, en caso afirmativo, calcúlala b) Estudia si existe la inversa de B y, en caso afirmativo, calcúlala
c) Siendo I la matriz identidad de orden 3, calcula una matriz X que verifique
2 A I
B B A X A32.- Dadas las matrices
1 1 3 1 0 0 1 2 1 0 3 , 1 2 , 2 1 1 1 2 1 0 1 A B C
a) Calcular la inversa de la matriz A B C
b) Resolver la ecuación matricial: A X B C X A
33.- Se consideran las matrices 1 2 , 2 0
2 3 0 3
P Q
. Calcula:
a) La matriz P1
b) La matriz X cuadrada de orden 2 tal que 1
P X P Q c) La matriz
P Q P 1
2TEMA 10.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.- INTRODUCCIÓN
Una ecuación lineal es una expresión del tipo: b x a x a x a x a1 1 2 2 3 3 ... n n Por ejemplo: 3x+2y-z=1
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales:
Donde las xi son las incógnitas, las a los coeficientes de las incógnitas y lasij b losj términos independientes. El sistema anterior tiene m ecuaciones y n incógnitas.
Por ejemplo: 5 4 1 2 3 2 2 z y x z y x z y x
Todo sistema tiene asociada una matriz:
Que no es sino una forma más sencilla de escribir el sistema. En el ejemplo anterior, la matriz asociada al sistema sería:
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores que cumplen a la vez todas las ecuaciones del sistema.
Así, una solución del sistema 0 2 3 y x y x
es (1,2) (x=1, y=2) (Es fácil resolver por
cualquiera de los métodos conocidos)
Dos sistemas se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Así, los sistemas
2 5 2 y x y x y 7 2 3 6 3 y x y x
son equivalentes puesto que ambos
tienen como solución (3,1)
2.- CLASIFICACIÓN DE UN S.E.L.
Según su número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican en:
Los ejemplos anteriores son sistemas Compatibles Determinados pues tienen una única solución. El sistema 4 2 2 2 y x y x
es un sistema Compatible Indeterminado pues tiene infinitas
soluciones (hay infinitas parejas de números que sumen 2) como se puede comprobar al resolverlo. El sistema 1 2 y x y x
es un sistema Incompatible ya que no tiene solución (es
imposible que dos números sumen 2 y a la vez sumen 1)
Discutir un sistema es averiguar si tiene o no tiene solución y, caso de tenerla, saber si es única o si no lo es. Es decir, es establecer si es compatible o incompatible, y en caso de ser compatible, si es determinado o indeterminado.
3.- SISTEMAS ESCALONADOS
Un sistema escalonado o triangular es un sistema de ecuaciones lineales del tipo:
Es decir, son sistemas cuya matriz asociada es una matriz triangular.
Por ejemplo: 6 2 3 2 3 7 2 z z y z y x
La ventaja de estos sistemas es que son muy fáciles de resolver. En el ejemplo anterior, despejando de la última ecuación sale z = 3, de la segunda sale y = -1 y de la tercera ecuación sale x = 2.
4.- MÉTODO DE GAUSS DE RESOLUCIÓN DE S.E.L. (REDUCCIÓN)
El método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales (también llamado método de reducción) consiste en transformar un sistema en otro escalonado que sea equivalente a él (es decir, tenga las mismas soluciones).
Nota: al usar este método usaremos la matriz asociada al sistema para facilitar las operaciones.
Las transformaciones que se pueden para que el sistema resultante sea equivalente al inicial son las mismas que vimos el emplear el método de Gauss para calcular la matriz inversa de otra. A saber:
Transformaciones Válidas:
a) Intercambiar entre sí las filas de la matriz
b) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de 0
c) Sustituir una fila por el resultado de multiplicar otra fila por un número y sumársela
Durante el proceso, o al finalizarlo, podemos encontrarnos con los siguientes casos:
Una fila de ceros: es una ecuación trivial y podemos prescindir de ella
Dos filas iguales o proporcionales: corresponden a ecuaciones equivalentes y podemos eliminar inmediatamente una de ellas
Una fila de ceros, salvo el último número: evidentemente, se trata de una ecuación imposible, con lo que el sistema será incompatible.
Ejemplo 1: Resolver el sistema: 29 6 5 11 5 3 2 2 z y x z y x z y x
Obtenemos su matriz asociada:
5 6 29 1 11 5 3 2 2 1 1 1
Hemos señalado la “diagonal” de la matriz para darnos cuenta de que los elementos que hay que hacer 0 para que el sistema se transforme en uno escalonado son justamente los que hay por debajo de ella (el 2, el 1 y el -5). Para ello usaremos las transformaciones que hemos indicado:
Hemos conseguido transformarlo en un sistema escalonado equivalente que sería:
69 23 7 3 2 z z y z y x
, cuya solución, como es fácil ver, es (1,-2,3)
Este método permite además discutir el sistema a la vez que se resuelve. En este caso se trata de un Sistema Compatible Determinado (una única solución)
Ejemplo 2:
Discutir y resolver el sistema
4 3 3 2 2 6 4 2 z y x z y z y x
El elemento redondeado es el en el que nos basamos para hacer cada transformación (hacer ceros) llamado elemento pivote.
Vemos que en la última matriz queda una fila entera de ceros, lo que indica que esa fila se puede eliminar. Esto significa que como nos queda un sistema con más incógnitas que ecuaciones tendrá infinitas soluciones. Por tanto se trata de un Sistema Compatible Indeterminado.
Para resolver este tipo de sistemas tratamos a una de las tres incógnitas como si fuese un número (le llamamos, por ejemplo, ), y despejamos las restantes incógnitas:
Dándole distintos valores a , podríamos obtener las infinitas soluciones del sistema. Por ejemplo, si =1, una solución sería (-12,-5,1), si =0, otra solución sería (-5,-3,0), si =-1, otra solución sería (2,-1,-1), …
Ejemplo 3:
Discutir y resolver el sistema
1 8 4 2 3 4 2 2 z y x z y x z y
Como vemos la última ecuación no tiene sentido (0 = 5), y por tanto se trata de un Sistema Incompatible.
Ejercicios:
1.- Discutir y resolver los sistemas:
3 2 4 2 3 4 5 2 ) 1 1 1 ) y x z y x z y x b z y x z y x z y x a 3 x + 2 y - z = 0 x + z = 2 ) - x + y = 3 x - y + z = 4 c 2 x + y - z + t = - 1 ) x + y + z = 0 - x + 2 y - z = 1 d x + y - z + t = 2 ) 2 x - y + z + 2 t = 1 2 x + 2 y - 2 z + 2 t = 0 e 2.- Dado el sistema: a z a y x az y x z ay x 6 ) 2 2 ( 1 1 2 4
a) Discútelo y resuélvelo para a = 4 b) Discútelo y resuélvelo para a = 0
5.- REGLA DE CRAMER
El método de Gauss que acabamos de ver es sencillo y eficaz para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Pero tiene un inconveniente. Si de un sistema de 300 incógnitas tan sólo nos interesan 7, siguiendo el método de Gauss, habríamos de seguir el proceso de triangulación como si nos interesaran todas ellas.
La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, separadamente, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales.
Antes de enunciar la regla de Cramer, hemos de darnos cuenta que un sistema del tipo:
se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:
De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1, donde la matriz A se denomina matriz de coeficientes.
Es decir, se puede expresar como una ecuación matricial: A X B
Regla de Cramer:
Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene una única solución si la matriz A de los coeficientes es regular, es decir, si A 0
Además, cada solución x del sistema viene dada por el cociente de dosj determinantes: en el denominador, el determinante de la matriz de los coeficientes, y en el numerador, el determinante que se obtiene al sustituir en A la columna j por la columna de los términos independientes
Demostración:
Si A es regular tendrá inversa, y por tanto:
A-1
A
X = A-1
B
X=A-1
B
X = ( ( )) | A | t Adj A B
1 j 1 2 j 2 n j n j + + . . . + = x | A | b b b
O sea:Nota: Los sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y cuya matriz de coeficientes es regular, se denominan sistemas de Cramer, y es a este tipo de sistemas, y no a otros, a los que podemos aplicarles esta regla. Los sistemas de Cramer son siempre, por tanto, sistemas compatibles determinados.
En caso de querer resolver una sistema compatible indeterminado, se pasan las incógnitas sobrantes al segundo miembro y se convierte en un sistema de Cramer, como veremos más adelante.
Ejemplo: Resolvamos el sistema: x - 2 y + z = 4 - x + y - 3 z = 1 2 x - y + z = 2 Como m=n=3 y 1 2 1 1 1 3 7 0 2 1 1 A
. Luego, es un sistema de Cramer y
por tanto es compatible determinado:
4 - 2 1 1 1 - 3 2 - 1 1 3 x = = 7 7; 1 4 1 - 1 1 - 3 2 2 1 - 17 y = = 7 7 ; 1 - 2 4 - 1 1 1 2 - 1 2 - 9 z = = 7 7 .
Por tanto, la solución del sistema es: 3, 17, 9
7 7 7
Ejercicio:
Resolver por Cramer el siguiente sistema:
1 4 2 2 4 3 3 3 9 x y z x y z x y z
6.- CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS
La regla de Cramer es un método de resolución de sistemas (sólo un tipo especial de ellos), pero no permite clasificarlos.
Vamos a estudiar un teorema que permita clasificar sistemas basándose en rangos de matrices, si bien para resolverlos utilizaremos o bien el método de Gauss o bien la regla de Cramer.
Dado un sistema del tipo:
Llamamos A a la matriz de los coeficientes y A a la matriz ampliada, es decir, a'
Teorema de Rouché-Fröbenius
Si Rg A( )Rg A( ')n n incógnitas( º ) El sistema es Compatible Determinado
Si Rg A( )Rg A( ')n El sistema es Compatible Indeterminado
Si Rg A( )Rg A( ') El sistema es Incompatible
Veamos un ejemplo de cómo discutir un sistema usando el Teorema de Rouché:
Ejemplo 1:
Discutir y resolver el sistema:
1 2 0 3 2 3 x y y z x y z La matriz de coeficientes es 1 1 0 0 2 1 1 3 2 A
Como
1 1 0
0 2 1 2 0 ( ) 3
1 3 2
A Rg A
La matriz ampliada será
1 1 0 1 ' 0 2 1 0 1 3 2 3 A
, y como A está contenida enA’,
entonces Rg A( ')3
Por tanto Rg A( )Rg A( ') 3 n incógnitasº S C D. . . Para resolverlo utilizamos la regla de Cramer:
1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 2 1 0 0 1 0 2 0 3 3 2 4 1 3 2 1 3 3 2 ; 1 ; 2 2 2 2 2 x y z
Y por tanto la solución del sistema es (2,-1,2)
Ejemplo 2:
Discutir y resolver el sistema:
1 2 2 1 x y z t x y z x y z t
Calculamos el rango de la matriz de coeficientes
1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 1 1 A Como 1 1 1 2 1 1 2 0 ( ) 3 1 1 1 Rg A
Como el rango deA’ no puede ser 4 y A está incluida enA’ Rg A( ')3 Por tanto Rg A( )Rg A( ') 3 n incógnitasº S C I. . .
Podemos resolverlo por Cramer o por Gauss. Elegimos una incógnita (por ejemplo t) y la tratamos como si fuera un número: t , y el sistema quedaría:
1 2 2 1 x y z x y z x y z
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; 2 2 2 x y z
Luego las infinitas soluciones del sistema serán de la forma:
1
, , ,
Ejercicio:
1.- Discutir y resolver los sistemas:
6 2 2 0 ) 4 1 ) 2 3 3 ) 2 5 2 5 2 2 0 2 0 x y x y z x y z t a x y b x y x c x y z x y x y z x y t
7.- CASO PARTICULAR: SISTEMAS HOMOGÉNEOS
Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo si todos sus términos independientes son nulos, es decir, un sistema del tipo:
Por ejemplo: 0 3 3 0 3 2 0 4 2 z y x z y x z y x
Estos sistemas siempre son compatibles, pues al menos tienen la solución (0,0,0), llamada solución trivial. La cuestión es si sólo tiene esa solución o tiene infinitas soluciones además de ésa.
Se resuelven de la misma manera que todos los sistemas, si bien su clasificación es un poco distinta: ) ( ) ( soluciones s Compatible trivial solución la sólo les Incompatib Homogéneos Lineales Sistemas
Ejemplo:
Discutir y resolver el sistema:
0 2 3 0 3 2 0 2 5 z y x z y x z y x
Lo hacemos por ejemplo por Gauss:
En este caso nos quedan dos ecuaciones y tres incógnitas y por tanto el sistema tendrá infinitas soluciones, por tanto se trata de un Sistema Homogéneo Compatible:
13 1 2 13 25 2 5 13 5 0 5 13 0 2 5 z y x y z z y z y xLas infinitas soluciones del sistema son de la forma: , 5 , 13 13
Como podemos ver, si =0 se obtiene la solución trivial (0,0,0)
8.- DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETROS
Hasta ahora hemos discutido sistemas de los que conocíamos todos los valores de los coeficientes y de los términos independientes. Sin embargo, es frecuente encontrar sistemas en los que uno o más coeficientes o términos independientes toman valores desconocidos o parámetros.
La discusión de estos sistemas consiste en hallar los valores de dichos parámetros para los que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
Si bien esta clasificación puede hacerse por el método de Gauss, que discute y resuelve el sistema a la vez, suele ser más sencillo hacer la discusión por el teorema de Rouché, para luego resolverlo en casos particulares por Cramer o Gauss.
Ejemplo:
Discute y resuelve el siguiente sistema según los valores de a:
4 1 2 ax y z x ay z x y z a
En primer lugar obtenemos la matriz de los coeficientes:
1 1 1 1 1 1 1 a A a
Su rango, que en este caso puede ser como máximo 3, depende de si su determinante es o no 0.
Calculamos por tanto su determinante y al igualarlo a 0 obtendremos los valores de a que nos servirán para su clasificación:
2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a A a a a a a Si lo igualamos a 0: a2 1 0 a1 , a 1
Tenemos por tanto tres posibilidades para a: o es 1, o es -1, o es distinto de 1 y de -1. Analizamos cada caso usando el Teorema de Rouché:
Si a1 y a 1
En este caso Rg(A)=3, y como la matriz ampliada tiene como mucho rango 3 e incluye a A, su rango también será 3. Por tanto:
( ) ( ') 3 º . . .
Rg A Rg A n incógnitas S C D
Para resolverlo podemos usar por ejemplo la regla de Cramer:
2 2 4 1 1 1 1 2 1 1 2 ( 1)( 2) 2 1 (1 )(1 ) 1 a a a a a a a x A a a a a Y de la misma manera: 2 3 1 ; 1 a a y z a Si a1 La matriz de coeficientes es 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A
, que no tiene rango 3.
Como 1 1 2 0 ( ) 2
Veamos ahora el de la ampliada: 1 1 1 4 ' 1 1 1 1 1 1 1 3 A
Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0:
1 1 4
1 1 1 2 0 ( ') 3
1 1 3
Rg A
Luego Rg A( )Rg A( ') Sistema Incompatible Si a 1 La matriz de coeficientes es 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A
, que no tiene rango 3.
Como 1 1 2 0 ( ) 2
1 1 Rg A
Veamos ahora el de la ampliada:
1 1 1 4 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 A
Como la 2ª y 3ª filas son iguales, no hay ningún menor de orden 3 distinto de 0, y por tanto Rg A( ')2
Luego en este caso: Rg A( )Rg A( ') 2 n incógnitasº S C I. . . Para resolverlo en este caso usamos por ejemplo el método de Gauss:
1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1ª 2ª 1 1 1 1 0 2 2 5 1 2ª 3ª 0 2 2 5 1ª 3ª 1 1 1 1 0 2 2 5 0 0 0 0 x
Y por tanto el sistema resultante es: 4
2 2 5 x y z y z Resolvemos llamando z : 4 5 5 3 4 4 2 5 2 2 2 2 x y y x y y
Luego las infinitas soluciones serían de la forma: 3 5, , 2 2
Ejercicio:
Discutir y clasificar los siguientes sistemas según los parámetros:
1 1 4 ) 1 ) 0 ) 2 2 2 1 ( 1) 1 2 5 0 1 ) 2 0 ) 2 1 2 0 ax y z x y x y z a x ay z b my z c x y z x y x m y mz m x y z k x y z mx y d ax z e x my m x y az
9.- RESOLUCIÓN MATRICIAL DE UN S.E.L.
Ya hemos visto que un sistema de ecuaciones lineales del tipo:
se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:
Es decir, se puede expresar como una ecuación matricial: A.X = B, y por tanto se puede resolver como: X A1B
Ejemplo: Resolver matricialmente el sistema
1 4 3 0 3 4 2 3 3 z y x z y x z y x
Matricialmente se puede expresar como:
1 0 2 4 3 1 3 4 1 3 3 1 z y x
Es decir, A.X = B, donde 4 3 1 3 4 1 3 3 1 A , 1 0 2 B y z y x X
Como X A1B, calculamos la inversa de A:
1 0 1 0 1 1 3 3 7 1 A (comprobarlo9 Y por tanto: 3 2 17 1 0 2 1 0 1 0 1 1 3 3 7 X
Es decir, es un sistema Compatible Determinado cuya solución es: x=17 , y=-2 , z=-3
Nota: si la matriz A no tiene inversa, el sistema no se puede resolver de forma matricial.
Ejercicio: resuelve matricialmente los sistemas:
a) 1 = 2z + y + x 0 = z -3y + 2x 1 -= z + 2y + x b) 2 -= z -2x 4 = z + 2y 1 = z + y -3x
EJERCICIOS
1.- Estudia y resuelve, cuando sea posible, los siguientes sistemas:
a) 2 -= z -2x 4 = z + 2y 1 = z + y -3x b) 0 = 2z + x -0 = z + 3y -x c) 1 = 3z -6y + x 0 = z + 2y -x 3 = 2z + y -2x 1 = z -2y + x d) 4 = z + 3y 0 = z -2y + x -2 = y -3x 1 = 2z -y + 2x e) 5 = 2y + x 5 = y -2x 2 = y -x f) 3 -= 4t -2z -y -x 2 -= 3t -z + y -3x 2 -= z -2y + x _ g) 3 = 3z -2y -x 3 = 2z + y + x -4 -= z + 3y + 2x h) 0 = 6y -3x 3 = 2y + x 1 = y -3x i) 1 = 2z + y + x 0 = z -3y + 2x 1 -= z + 2y + x j) 1 -= 3z -y + 3x -5 = z -3y + x -3 = z + y + x k) 4 = y -3x 3 -= z -2y + x -2 = z -2x 2 = 2z + y -x l) 1 = y -x 2 = 3z + y + 2x m) 0 = 3z -4y -x 0 = 3z + y -4x 0 = z + 2y -3x 0 = 2z + y + x
2.- Considera el sistema: 2 2 1 3 x y z x y z
Añade una ecuación de manera que el sistema resulte: a) Incompatible
b) Compatible Indeterminado c) Compatible Determinado
3.- Discute, según los valores de los parámetros, los siguientes sistemas:
a) 2 = z + 2y + x 0 = z -ay + x 2 = z + 2y + ax b) a = y 0 = ay + x a = y + ax c) 1 + a = x -0 = y + ax 1 + a = y + x d) x - 2y + z + t = 1 x + y - 2z = 3 -x + 2y - z - t =
e) x + 2y - z = 2 3x + 2z = 5 x + y + z = a 2x - y - 3z = -2 f) 1 = az + y + x 1 = z + ay + x 1 = z + y + ax g) 0 = z + ky + x 0 = z + y + kx 0 = z + y + x h) 3 -= 5z + 2)y + ( + 3x 0 = 4z + 3y + x 1 = 3z + y + x
4.- Calcula a para que los siguientes sistemas sean compatibles
a) 0 = z + y -ax 0 = az + 2y -3x 0 = z + ay + 2x b) 1 = ax 2a = z + ay 0 = z -y + 2ax 1 = z -y + ax -_ c) a = 2z + y -0 = az + y + x -2 = 2y -1)x -(a
