EL TEOREMA DE HINDMAN Y EL TEOREMA DE VAN DER WAERDEN

Texto completo

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TRABAJO FIN DE GRADO

EL TEOREMA DE HINDMAN Y EL

TEOREMA DE VAN DER WAERDEN

Realizado por:

Javier Villaescusa Almagro

Tutores:

Antonio Avil´

es L´

opez

Jos´

e Rodr´ıguez Ruiz

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Javier Villaescusa Almagro, autor del TFG “El teorema de Hindman y el teorema de van der Waerden”, bajo la tutela de los profesores Antonio Avil´es L´opez y Jos´e Rodr´ıguez Ruiz, declara que el trabajo que presenta es original, en el sentido de que ha puesto el mayor empe˜no en citar debidamente todas las fuentes utilizadas, y que la obra no infringe el copyright de ninguna persona. 1

En Murcia, a 22 de junio de 2020.

1Se ha enviado a la Facultad de Matem´aticas de la Universidad de Murcia una copia

firmada de esta declaraci´on de originalidad.

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La teor´ıa de Ramsey es un campo de la combinatoria que trata de encon-trar grandes estructuras dentro de las piezas de una partici´on de un conjunto. El objetivo principal de este trabajo es demostrar dos teoremas que forman parte de ella, el teorema de Hindman y el teorema de van der Waerden. Como ocurre con frecuencia en el marco de esta teor´ıa, se trata de dos resultados cuyos enunciados son f´aciles de comprender y relativamente intuitivos, pero sus demostraciones son de una considerable complejidad.

El teorema de Hindman afirma que para cualquier partici´on finita de N, existe una sucesi´on infinita en N tal que las sumas finitas de elementos dis-tintos de esa sucesi´on pertenecen siempre al mismo elemento de la partici´on. Este teorema apareci´o en 1971 como una conjetura de Graham y Rothschild [5], pero fue en 1974 cuando N. Hindman dio una demostraci´on de naturaleza combinatoria del teorema que puede consultarse en [6]. Un a˜no m´as tarde, en 1975, Galvin y Glazer proporcionaron otra prueba de naturaleza topol´ogica y algebraica, pero esta nunca fue publicada. Sin embargo, ha aparecido en numerosos art´ıculos y libros, el primero de los cuales fue [3]. La demostraci´on que daremos aqu´ı se basa en esta ´ultima prueba.

El teorema de van der Waerden, por su parte, establece que para cual-quier partici´on finita de N, existe un elemento de la partici´on que contiene progresiones aritm´eticas de longitud arbitraria. El teorema fue probado en 1927 por van der Waerden [15] utilizando ´unicamente resultados de combi-natoria. M´as tarde, en 1989, Bergelson, Furstenberg, Hindman y Katznelson presentaron en [1] una prueba del teorema, utilizando resultados de topolog´ıa y ´algebra, que es la que vamos a exponer aqu´ı. Adem´as, propondremos otra forma de demostrar el teorema que simplificar´a algunos razonamientos.

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Las demostraciones que daremos de ambos teoremas se realizan a partir de considerar el conjunto de los ultrafiltros sobre Ny definir en ´el una suma que extiende la suma natural en N. Debido a la similitud de los preliminares necesarios para ambas demostraciones, el cuerpo del trabajo est´a constituido por cinco cap´ıtulos, siendo el Cap´ıtulo 5 el cap´ıtulo central del trabajo en el cual se exponen las demostraciones de estos dos teoremas, mientras que en los primeros cuatro cap´ıtulos se exponen todos los conceptos y resultados necesarios para despu´es desarrollar dichas demostraciones.

A lo largo del trabajo haremos uso de diversos conceptos y propiedades b´asicas de topolog´ıa que ser´an imprescindibles para obtener y entender los resultados que se expondr´an, por lo que dedicaremos el Cap´ıtulo 1 a intro-ducirlos, pero sin entrar en detalles debido a que han sido estudiados en el grado.

Por otro lado, asumiendo los axiomas de la teor´ıa de Zermelo-Fraenkel (ZF), el axioma de elecci´on (AC) es equivalente a un gran n´umero de propo-siciones. Una de ellas es el lema de Zorn que ser´a utilizado en varias ocasiones durante el trabajo para obtener importantes resultados, necesarios en las de-mostraciones del teorema de Hindman y el teorema de van der Waerden. Esto quiere decir que dichas demostraciones son en ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). En el cap´ıtulo 2 probaremos la equivalencia del lema de Zorn y el axioma de elecci´on. Para ello, haremos uso de los n´umeros ordinales y la re-cursi´on transfinita, pero debido a que estos no son el tema central del cap´ıtulo no profundizaremos en su estudio.

Los semigrupos jugar´an un papel importante en el trabajo, pues en el ´ ulti-mo cap´ıtulo trabajareulti-mos en todo ulti-momento con ellos. En concreto, trabaja-remos con un tipo de semigrupos, los semigrupos topol´ogicos por la izquierda Hausdorff compactos. El Cap´ıtulo 3 estar´a dedicado a estudiar todas las pro-piedades de estos semigrupos que ser´an necesarias despu´es. Estas propiedades est´an relacionadas mayoritariamente con sus elementos idempotentes y sus ideales por la derecha minimales. Adem´as, tambi´en veremos ciertas propie-dades de sus ideales bil´ateros minimales, ya que ser´an utilizadas para dar una segunda demostraci´on del teorema de van der Waerden. Los dos resultados m´as importantes de este cap´ıtulo son el teorema de Auslander-Ellis (Teore-ma 3.27) y otro teore(Teore-ma que se sigue de este (Teore(Teore-ma 3.28), a partir de los cuales se garantiza que todo ideal por la derecha contiene un ideal por la derecha minimal y cada ideal por la derecha minimal posee un idempotente.

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El cap´ıtulo 4 estar´a dedicado a la introducci´on de los ultrafiltros y al estudio de todas sus propiedades necesarias para las demostraciones de los teoremas centrales del quinto cap´ıtulo. Ser´a importante la distinci´on entre dos clases de ultrafiltros, los principales y los no principales; mientras la exis-tencia de los primeros est´a garantizada sobre todo conjunto y cada uno de ellos est´a generado por un elemento del conjunto, la existencia de los segun-dos est´a garantizada solo sobre conjuntos infinitos y no es posible definirlos expl´ıcitamente.

En la ´ultima secci´on de este cap´ıtulo, consideraremos el conjunto de todos los ultrafiltros sobre un espacio topol´ogico discreto D, que denotaremos por

βD, para finalmente ver queβD, con una cierta topolog´ıa, es una compacti-ficaci´on Hausdorff de D, tomando como embebimiento la funci´on que asocia a cada elemento de D el ultrafiltro principal que genera.

Finalmente, en el Cap´ıtulo 5, haciendo uso de todo lo visto en los cap´ıtu-los anteriores, expondremos las demostraciones del teorema de Hindman y el teorema de van der Waerden. En ambas demostraciones se dota de estruc-tura algebraica al conjunto de todos los ultrafiltros sobre N, βN, definiendo una suma que extiende la suma ordinaria en N. Es por ello que dedicaremos la Secci´on 5.1 a esto. Veremos que βN con esta suma es un semigrupo to-pol´ogico por la izquierda Hausdorff compacto, as´ı como que el conjunto de los ultrafiltros no principales forma un subsemigrupo Hausdorff compacto de

βN. Adem´as, la suma definida ser´a conmutativa si uno de los dos sumandos es un ultrafiltro principal.

En la Secci´on 5.2 desarrollaremos la demostraci´on del teorema de Hind-man (Corolario 5.10). La clave ser´a probar que, dado un ultrafiltro no princi-pal idempotente (cuya existencia se basa en aplicar el teorema de Auslander-Ellis al subsemigrupo de los ultrafiltros no principales), para todo subcon-junto de N perteneciente a dicho ultrafiltro, existe una sucesi´on infinita en N tal que las sumas finitas de elementos distintos de esa sucesi´on pertenecen a tal subconjunto. El teorema de Hindman se sigue autom´aticamente de lo anterior debido a que, dada una partici´on finita de N, cualquier ultrafiltro contiene un elemento de dicha partici´on.

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En la Secci´on 5.3 expondremos la prueba del teorema de van der Waerden (Corolario 5.15). En este caso, consideraremos el producto cartesiano (βN)k,

siendok la longitud arbitraria de la progresi´on aritm´etica del enunciado, que ser´a tambi´en un semigrupo topol´ogico por la izquierda Hausdorff compacto. La prueba la presentaremos de una forma similar a como puede encontrarse en [14], que a su vez es semejante a la que dieron Bergelson, Furstenberg, Hindman y Katznelson en [1]. Pero expondremos adem´as una segunda de-mostraci´on alternativa del teorema principal de la secci´on (Teorema 5.14), a partir del cual se prueba de forma casi inmediata el teorema de van der Waer-den, que simplificar´a los razonamientos. La demostraci´on de este teorema en [14] hace uso principalmente de ideales por la derecha minimales y elementos idempotentes, tanto del semigrupoβNcomo de su producto cartesiano (βN)k

y de algunos subsemigrupos de este; mientras que la demostraci´on alternativa que proponemos hace uso adem´as de ideales bil´ateros minimales.

Como mencionamos anteriormente, las demostraciones que expondremos de los dos teoremas centrales del trabajo son demostraciones en ZFC. Sin embargo, para finalizar el trabajo, veremos en la Secci´on 5.4 que estos dos teoremas son ciertos tambi´en en ZF. No daremos una nueva demostraci´on evitando el axioma de elecci´on, sino que apelaremos a un resultado general de l´ogica que nos dice que si una sentencia Σ1

3 es cierta en ZFC, entonces

es cierta en ZF; y probaremos que el teorema de Hindman y el teorema de van der Waerden son sentencias Σ1

3. Este resultado es una consecuencia del

conocido como teorema de Shoenfield [13] y la teor´ıa que hay detr´as de ´el es de una considerable complejidad. Por falta de tiempo y de espacio, no ser´a posible entrar en ella detalladamente. El m´erito de ser el primero que se dio cuenta que el teorema de Hindman es cierto en ZF por el teorema de Shoenfield se le puede atribuir a Baumgartner, pues Comfort cuenta en [2] que le escribi´o a este para preguntarle si el teorema de Hindman era cierto en ZF, y que Baumgartner le contest´o con el argumento que nosotros utilizaremos.

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Ramsey theory is a branch of combinatorics that is concerned with finding large structures inside the pieces of a set partition. The main aim of this work is to prove two theorems which are part of it, Hindman’s Theorem and van der Waerden’s Theorem. As it frequently happens within the framework of this theory, these are two results whose statements are easy to understand and relatively intuitive, but their proofs are considerably complex.

Hindman’s theorem states that for any finite partition of N, there is an infinite sequence in N such that finite sums of different elements of the se-quence always belong to the same element of the partition. This theorem appeared in 1971 as a conjecture of Graham and Rothschild [5], but it was in 1974 when N. Hindman gave a proof of combinatorial nature of the theorem which can be found in [6]. A year later, in 1975, Galvin and Glazer provided another proof of topological and algebraic nature, but this one was never published. However, it has appeared in several articles and books, the first of which was [3]. The proof we will give here is based on this last proof.

Van der Waerden’s theorem, for its part, states that for any finite partition of N, there exists an element of the partition containing arbitrarily long arithmetic progressions. The theorem was proved in 1927 by van der Waerden [15] using only combinatorial results. Later, in 1989, Bergelson, Furstenberg, Hindman and Katznelson gave in [1] a proof of the theorem, using results from topology and algebra, which is the one we are going to present here. Furthermore, we will propose another way to prove the theorem that will simplify some reasoning.

The proofs that we will give of both theorems are made by considering the set of ultrafilters onNand defining on it a sum extending the usual sum onN. Due to the similarity of the necessary preliminaries for both proofs, the body of the work is made up of five chapters, being Chapter 5 the central chapter

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of the work in which the proofs of these two theorems are presented. All the concepts and results required to later develop such proofs are presented in the first four chapters.

Throughout the work we will make use of several basic concepts and properties of topology that will be essential to obtain and understand the results that will be presented. We will dedicate Chapter 1 to introduce them, but without going into details due to the fact that they have been studied during the degree.

On the other hand, assuming the axioms of the Zermelo-Fraenkel theory (ZF), the Axiom of Choice (AC) is equivalent to a large number of proposi-tions. One of them is Zorn’s lemma which will be used several times during the work to obtain important results, which will be necessary in the proofs of Hindman’s theorem and van der Waerden’s theorem. That means that these proofs are in ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice). In Chapter 2 we will prove the equivalence between Zorn’s lemma and the axiom of choice. To do that, we will make use of ordinal numbers and transfinite recursion, but since these are not the central subject of the chapter, we will not study them in depth.

Semigroups will play an important role in the work, because in the last chapter we will constantly deal with them. In particular, we will use a type of semigroups, the compact Hausdorff left topological semigroups. Chapter 3 will be focused on studying all the properties of these semigroups that will be required later. These properties are mostly related to their idempotent ele-ments and their minimal right ideals. In addition, we will also discuss certain properties of their minimal two sided ideals, since they will be used to give a second proof of van der Waerden’s theorem. The two most important results of this chapter are the Auslander-Ellis theorem (Theorem 3.27) and another theorem that follows from this one (Theorem 3.28), from which it follows that every right ideal contains an minimal right ideal and each minimal right ideal has an idempotent.

Chapter 4 will be devoted to the introduction of ultrafilters and the study of all their properties needed for the proofs of the central theorems of the fifth chapter. The distinction between two classes of ultrafilters will be important, the principal and the nonprincipal ones; while the existence of the first ones is guaranteed on every set and each of them is generated by one element of the set, the existence of the second ones is guaranteed only on infinite sets and it is not possible to define them explicitly.

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In the last section of this chapter, we will consider the set of all ultrafilters on a discrete topological spaceD, which we will denote byβD. We will finally see that βD, with a certain topology, is a Hausdorff compactification of D, taking as an embedding the function which maps each element of D to the principal ultrafilter that it generates.

Finally, in Chapter 5, making use of everything that we have seen in the previous chapters, we will develop the proofs of Hindman’s theorem and van der Waerden’s theorem. In both proofs, the set of all ultrafilters on N,

βN, is equipped with an algebraic structure defining a sum that extends the ordinary sum in N. That is why we will devote Section 5.1 to that. We will see thatβNwith this sum is a compact Hausdorff left topological semigroup, and also that the set of nonprincipal ultrafilters forms a compact Hausdorff subsemigroup ofβN. Furthermore, the sum will be commutative if one of the two addends is a principal ultrafilter.

In Section 5.2 we will develop the proof of Hindman’s theorem (Corollary 5.10). The key will be to prove that, given a nonprincipal idempotent ultrafil-ter (whose existence is based on applying the Auslander-Ellis theorem to the subsemigroup of nonprincipal ultrafilters), for every subset of Nbelonging to such an ultrafilter, there is an infinite sequence in N such that finite sums of different elements of the sequence belong to that subset. Hindman’s theorem follows automatically from the above because, given a finite partition of N, any ultrafilter contains an element from that partition.

In Section 5.3 we will present the proof of van der Waerden’s theorem (Corollary 5.15). In this case, we will consider the Cartesian product (βN)k, with k being the arbitrary length of the arithmetic progression of the sta-tement, which will also be a compact Hausdorff left topological semigroup. The proof will be presented in a similar way as can be found in [14], which in turn is similar to the one given by Bergelson, Furstenberg, Hindman and Katznelson in [1]. But we will also give a second alternative proof of the main theorem of this section (Theorem 5.14), from which van der Waerden’s theorem is proved almost immediately, that will simplify the reasoning. The proof of this theorem in [14] mainly makes use of minimal right ideals and idempotent elements, both of the semigroup βN and of their Cartesian pro-duct (βN)k and some subsemigroups of it; while the alternative proof that

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As we mentioned before, the proof that we will present of the two central theorems are proofs in ZFC. However, to finish the work, we will see in Section 5.4 that these two theorems are also true in ZF. We will not give a new proof avoiding the axiom of choice, but we will appeal to a general result from logic which tells us that if a Σ1

3-sentence is true in ZFC, then it is true in ZF; and

we will prove that Hindman’s theorem and van der Waerden’s theorem are Σ13-sentences. This result is a consequence of what is known as Shoenfield’s theorem [13] and the theory behind it is of considerable complexity. Due to lack of time and space, it will not be possible to get into it in detail. The merit of being the first to realize that Hindman’s theorem is true in ZF because of Shoenfield’s theorem can be attributed to Baumgartner, since Comfort tells in [2] that he wrote to him, asking if Hindman’s theorem was true in ZF, and Baumgartner answered him with the argument that we will use.

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Resumen V

Abstract IX

1. Conceptos previos de topolog´ıa 1

1.1. Compacidad . . . 4 1.2. Propiedad Hausdorff . . . 5 1.3. Compactificaci´on . . . 7 1.4. Espacio producto . . . 8 2. El axioma de elecci´on 10 3. Semigrupos 16 3.1. Semigrupos . . . 16

3.2. Ideales minimales y elementos idempotentes . . . 18

3.3. Semigrupos topol´ogicos por la izquierda Hausdorff compactos . 25 4. El espacio de los ultrafiltros sobre un espacio discreto 28 4.1. Filtros . . . 29

4.2. Ultrafiltros . . . 31

4.3. βD . . . 36

5. Teorema de Hindman y teorema de van der Waerden 40 5.1. La suma de ultrafiltros enβN . . . 40

5.2. Teorema de Hindman . . . 45

5.3. Teorema de van der Waerden . . . 47

5.4. Independencia del axioma del elecci´on . . . 51

Bibliograf´ıa 57

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Conceptos previos de topolog´ıa

Durante gran parte del trabajo haremos uso de m´ultiples conceptos y propiedades b´asicas de topolog´ıa que ser´an imprescindibles para obtener y entender los resultados que se expondr´an. Este cap´ıtulo estar´a dedicado a introducirlos, pero sin profundizar en ellos, puesto que se han estudiado en el Grado de Matem´aticas. Eso s´ı, cada resultado ir´a acompa˜nado de una referencia al lugar donde se puede consulta su prueba. Adem´as, se puede encontrar una descripci´on m´as detallada de lo que en este cap´ıtulo se expone en [4] y [12].

Comencemos revisando la definici´on de topolog´ıa y de espacio topol´ogico.

Definici´on 1.1. Sea X un conjunto. Una topolog´ıa sobre X es una colec-ci´on T de subconjuntos de X con las siguientes propiedades:

1. ∅, X ∈ T.

2. La uni´on de los elementos de cualquier subcolecci´on de T est´a en T. 3. La intersecci´on de los elementos de cualquier subcolecci´on finita de T

est´a en T.

Unespacio topol´ogicoes un par ordenado (X,T), formado por un con-junto X y una topolog´ıa T sobre X. Cuando no exista lugar a confusi´on, omitiremos hacer menci´on espec´ıfica deT.

Si X es un espacio topol´ogico con una topolog´ıa T, se dice que un sub-conjunto U de X es un conjunto abierto de X si pertenece a la colecci´on

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T. As´ı mismo, diremos que U es un conjunto cerradosi X\U es abierto. Daremos un ejemplo concreto de espacio topol´ogico que ser´a utilizado en cap´ıtulos posteriores.

Ejemplo 1.2. Si X es un conjunto cualquiera, la colecci´on T de todos los subconjuntos de X es una topolog´ıa sobreX, y se denomina topolog´ıa dis-creta. De este modo, el espacio topol´ogico(X,T) se dice que es discreto.

En general, es bastante complicado especificar la topolog´ıa mediante la descripci´on de la colecci´on completa T de conjuntos abiertos. En la mayor´ıa de los casos, se especifica una colecci´on m´as peque˜na de subconjuntos de X

denominada base de la topolog´ıa, la cual define dicha topolog´ıa.

Definici´on 1.3. Si X es un conjunto, una base para una topolog´ıa sobre

X es una colecci´on B de subconjuntos deX (llamados elementos b´asicos) tales que:

1. Para cada x∈X , hay al menos un elemento b´asico B que contiene a x, o equivalentemente, ∪ B =X

2. Si x pertenece a la intersecci´on de dos elementos b´asicos B1 y B2,

entonces existe un tercer elemento b´asicoB3 tal que x∈B3 ⊆B1∩B2.

Dada un base para una topolog´ıa sobreX, se define latopolog´ıa TB

ge-nerada por Bcomo sigue: un subconjunto U ⊆X se dice que es abierto en

X (esto es,U ∈ T), si para cada x∈U, existe un elemento b´asico B ∈ B tal que x∈B y B ⊆U. Esto equivale a que U =∪ B0 para alguna subcolecci´on

B0 ⊆ B.

Por otro lado, el concepto de clausura ser´a muy utilizado en cap´ıtulos posteriores, por lo que revisaremos su definici´on y una propiedad que nos ser´a ´util.

Definici´on 1.4. Sea A un subconjunto del espacio topol´ogico X. Se define la clausura de A, que ser´a denotada porA, como la intersecci´on de todos los conjuntos cerrados de X que contienen a A.

Teorema 1.5. Sea A un subconjunto del espacio topol´ogico X.

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2. Suponiendo que la topolog´ıa de X est´a dada por una base, entonces

x∈A si y solo si cada entorno abierto b´asico B de x interseca a A. Demostraci´on. Se puede consultar en [12, p´ag. 109].

Cabe mencionar que en topolog´ıa unentorno abiertodexes un abierto que contiene a x.

Durante el trabajo haremos tambi´en uso numerosas veces del concepto de continuidad para funciones entre espacios topol´ogicos, por lo que es necesaria su revisi´on.

Definici´on 1.6. SeanXeY espacios topol´ogicos. Una aplicaci´onf :X →Y

es continua si para todo subconjunto abierto V ⊆Y se cumple que f−1(V) es abierto en X.

En la anterior definici´on, si B es una base para la topolog´ıa de Y, como todo abierto es uni´on de elementos b´asicos, f es continua si y solo si, para todo B ∈ B, se satisface que f−1(B) es abierto en X.

Otra caracterizaci´on de la continuidad en los espacios topol´ogicos es la siguiente:

Teorema 1.7. Sean X e Y espacios topol´ogicos; sea f : X → Y. Entonces son equivalentes:

1. f es continua.

2. Para cada conjunto cerrado B de Y, el conjunto f−1(B) es cerrado en

X.

3. Para cada x∈X y cada entorno abierto V de f(x), existe un entorno abierto U de x tal que f(U)⊆V.

Dado un espacio topol´ogico X, otro concepto del que haremos uso m´as adelante es el de subespacio topol´ogico de X.

Definici´on 1.8. Sea X un espacio topol´ogico con topolog´ıa T. Si Y es un subconjunto de X, la colecci´on

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es una topolog´ıa sobreY, denominadatopolog´ıa de subespacioo topolog´ıa relativa. Con esta topolog´ıa, Y se denominasubespaciodeX; sus conjuntos abiertos son todas las intersecciones de conjuntos abiertos de X con Y.

Como hemos mencionado antes, una topolog´ıa se especifica frecuentemen-te medianfrecuentemen-te su base. Es por ello que la siguienfrecuentemen-te propiedad ser´a ´util.

Lema 1.9. En las condiciones de la Definici´on 1.8, si B es una base para la topolog´ıa de X, entonces la colecci´on

BY ={Y ∩B :B ∈ B}

es una base para la topolog´ıa de subespacio sobre Y. Demostraci´on. Se puede consultar en [12, p´ag. 101].

1.1.

Compacidad

La compacidad ser´a un concepto esencial en el trabajo, puesto que ser´a necesaria para obtener la mayor´ıa de los resultados m´as importantes. En este secci´on vamos a revisar su definici´on y ciertas propiedades.

Para hablar de compacidad es necesario definir el concepto de recubri-miento abierto de un espacio topol´ogico.

Definici´on 1.10. Un recubrimiento abiertode X es una colecci´on A de subconjuntos abiertos de X cuya uni´on es todo X. Un subrecubrimiento

de A es una subcolecci´on A0 ⊆ A cuya uni´on sigue siendo todo X. Ahora podemos dar la definici´on de espacio topol´ogico compacto.

Definici´on 1.11. Un espacio topol´ogico X es compacto si todo recubri-miento abierto admite un subrecubrirecubri-miento finito.

Existe otra caracterizaci´on de los espacios compactos formulada en t´ ermi-nos de conjuntos cerrados en lugar de abiertos que ermi-nos ser´a de utilidad. Para dar esta caracterizaci´on, antes tenemos que introducir una propiedad de las familias de conjuntos que ser´a adem´as muy importante en el Cap´ıtulo 4.

Definici´on 1.12. Una familia A de subconjuntos de X se dice que tiene la

propiedad de la intersecci´on finita si, para cualquier subfamilia finita

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Pasamos a dar dicha caracterizaci´on.

Teorema 1.13. Sea X un espacio topol´ogico. Entonces X es compacto si y solo si para cada familia A de conjuntos cerrados en X con la propiedad de la intersecci´on finita, la intersecci´on de todos los elementos de la familia es no vac´ıa, es decir, ∩A 6=∅.

Demostraci´on. Se puede consultar en [12, p´ag. 193].

Para finalizar esta secci´on, vamos a ver algunas propiedades de los espa-cios compactos que nos ser´an ´utiles.

Proposici´on 1.14. Si f : X → Y es continua y X es compacto, entonces

f(X) es compacto.

Demostraci´on. Puede consultarse en [4, p´ag. 48].

Teorema 1.15. Todo subespacio cerrado de un espacio compacto es tambi´en compacto.

Demostraci´on. Puede ser consultada en [4, p´ag. 65].

1.2.

Propiedad Hausdorff

La propiedad Hausdorff, tambi´en llamada segundo axioma de separaci´on, tambi´en ser´a utilizada en cap´ıtulos posteriores. En esta secci´on revisaremos la definici´on, daremos alg´un ejemplo y veremos ciertas propiedades de los espacios que son Hausdorff. En particular, ser´an de nuestro inter´es las pro-piedades de los espacios que son Hausdorff y compactos simult´aneamente, pues trabajaremos sobre espacios de esta forma en numerosas ocasiones du-rante el trabajo.

Empecemos con la definici´on y un ejemplo.

Definici´on 1.16. Se dice que un espacio topol´ogico X esHausdorff si para cada par x1, x2 de puntos distintos de X, existen entornos abiertos U1 y U2

de x1 y x2, respectivamente, que son disjuntos.

Ejemplo 1.17. Sea X un espacio topol´ogico discreto. Entonces X es Haus-dorff, ya que los conjuntos unipuntuales de X son abiertos.

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Veamos ahora un resultado a partir del cual se sigue una propiedad de los espacios Hausdorff que nos ser´a ´util.

Proposici´on 1.18. Sea f : X → Y un aplicaci´on continua e inyectiva. Si

Y es un espacio Hausdorff, entonces X tambi´en lo es. Demostraci´on. Se puede consultar en [4, p´ag. 51].

Pasamos a ver la propiedad referida antes.

Proposici´on 1.19. Sea X un espacio topol´ogico Hausdorff. Entonces cual-quier subconjunto Y ⊆X es Hausdorff.

Demostraci´on. Basta considerar la aplicaci´on inclusi´oniY :Y →X, y aplicar

la proposici´on anterior.

Finalmente, enunciemos un teorema y dos corolarios de este que ser´an tambi´en de gran utilidad.

Teorema 1.20. Todo subespacio compacto de un espacio Hausdorff es ce-rrado.

Demostraci´on. Puede ser consultada en [4, p´ag. 65].

Corolario 1.21. Cada conjunto con un n´umero finito de puntos en un es-pacio de Hausdorff X es cerrado.

Demostraci´on. Puede ser consultado en [12, p´ag. 112].

Antes de citar el segundo corolario que se sigue del teorema anterior, es menester recordar que una aplicaci´on de un espacio topol´ogico X en otro Y

es cerrada (abierta) si la imagen de cualquier conjunto cerrado (abierto) de X es cerrado (abierto) enY.

Corolario 1.22. Toda aplicaci´on continua f : X → Y de un espacio com-pacto X en un espacio Hausdorff Y es cerrada.

Demostraci´on. Se sigue del Teorema 1.15, la Proposici´on 1.14 y el teorema anterior.

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1.3.

Compactificaci´

on

En Topolog´ıa habitualmente se trabaja con espacios no necesariamente compactos, lo cual resulta en algunas ocasiones dif´ıcil. Es por ello que se busca c´omo trasladar a estos espacios las propiedades v´alidas para espacios compactos. Una forma de conseguir esto es trabajando sobre la compactifi-caci´on de un espacio, y esto es lo que haremos para probar los teoremas m´as importantes del trabajo. No obstante, solo nos ser´an de utilidad su definici´on y algunos conceptos previos que engloba esta. El objetivo de esta secci´on es introducir dichos conceptos y dar dicha definici´on.

Para poder hablar de compactificaci´on, primero tenemos que revisar las nociones de homeomorfismo y embebimiento.

Definici´on 1.23. Una aplicaci´on f :X →Y es un homeomorfismo si es una aplicaci´on biyectiva y continua, y su inversa f−1 : Y X tambi´en es

continua. Se dice que X e Y son espacios homeomorfos.

Otra forma de caracterizar los homeomorfismos es la siguiente:

Proposici´on 1.24. Seaf :X →Y una aplicaci´on biyectiva. Son equivalen-tes:

1. f es un homeomorfismo. 2. f es continua y abierta. 3. f es continua y cerrada. Demostraci´on. Es trivial.

Definici´on 1.25. Una aplicaci´onf :X →Y es un embebimiento si es un homeomorfismo entre X y f(X).

Otra noci´on que ser´a necesaria revisar antes de dar la definici´on de com-pactificaci´on es la de densidad para subconjuntos de un espacio topol´ogico.

Definici´on 1.26. Sea X un espacio topol´ogico. Un subconjunto Y ⊆ X se dice denso en X si Y =X.

(22)

Definici´on 1.27. Sea X un espacio topol´ogico. Una compactificaci´on del espacio X es un par ordenado (X0, h), donde X0 es un espacio topol´ogico compacto, y h es un embebimiento deX en X0 tal queh(X) es denso en X0. Por simplificaci´on, se dir´a que X0 es una compactificaci´on deX. Cuando

X0 sea tambi´en Hausdorff se dira que X0 es una compactificaci´on Haus-dorff de X.

Por otra parte, al ser X homeomorfo a su imagen h(X), se puede iden-tificar X con h(X) en el espacio X0. Esto ser´a realmente ´util en cap´ıtulos posteriores.

1.4.

Espacio producto

Otro concepto topol´ogico del que haremos uso en este trabajo es el espa-cio producto de un conjunto finito de espaespa-cios topol´ogicos. En esta secci´on introduciremos la topolog´ıa de este espacio y veremos algunas propiedades que cumple este en funci´on de si las cumplen o no los espacios que lo com-ponen.

Todas las definiciones y resultados que daremos aqu´ı ser´an para el pro-ducto cartesiano de dos espacios topol´ogicos para simplificar la notaci´on, pero se puede generalizar para el producto cartesiano den espacios mediante inducci´on de forma inmediata.

Empecemos con la definici´on de la topolog´ıa del espacio producto.

Definici´on 1.28. Sean X e Y espacios topol´ogicos. La topolog´ıa produc-to sobre el producto cartesiano X×Y es la topolog´ıa que tiene como base la colecci´on B de todos los conjuntos de la forma U ×V, donde U es un subconjunto abierto de X y V es un subconjunto abierto deY.

Otra caracterizaci´on de la topolog´ıa producto que es m´as pr´actica es la siguiente:

Teorema 1.29. Si B es una base para la topolog´ıa de X y C es una base para la topolog´ıa de Y, entonces la colecci´on

(23)

es una base para la topolog´ıa producto sobre X×Y. Demostraci´on. Puede ser consultada en [12, p´ag. 98].

A continuaci´on, revisaremos las propiedades del espacio producto que antes mencionamos.

Teorema 1.30. SeanX, Y, Z espacios topol´ogicos y seaf :X →Y ×Z dada por f(x) = (f1(x), f2(x)) ∈ Y ×Z. La aplicaci´on f es continua si y solo si

las aplicaciones f1 :X→Y y f2 :X →Z son continuas.

Demostraci´on. Se puede consultar en [4, p´ag. 73].

Teorema 1.31 (Teorema de Tychonov). X×Y es un espacio compacto si y solo si X e Y son compactos.

Demostraci´on. Puede consultarse en [4, p´ag. 75].

Teorema 1.32. X × Y es un espacio Hausdorff si y solo si X e Y son espacios Hausdorff.

(24)

El axioma de elecci´

on

La teor´ıa de conjuntos se desarrolla principalmente a partir de los axio-mas de la teor´ıa de Zermelo-Fraenkel, abreviadamente ZF (se puede consultar una descripci´on detallada de estos axiomas en [8, p´ag. 1-12]). Los axiomas de ZF junto con el axioma de elecci´on (AC) forman la teor´ıa de ZFC (Zermelo-Fraenkel-Choice) que es generalmente tambi´en aceptada como una correcta formalizaci´on de aquellos principios que los matem´aticos aplican al tratar con conjuntos. Sin embargo, es usual preguntarse si un teorema que ha sido probado en ZFC es tambi´en demostrable en ZF.

En cap´ıtulos posteriores se har´a uso en varias ocasiones del lema de Zorn para obtener resultados que ser´an utilizados en las demostraciones de los teoremas de Hindman y van der Waerden. En este cap´ıtulo veremos que el lema de Zorn es equivalente al axioma de elecci´on, por lo que en un principio parece ser que estos teoremas son demostrables solo en ZFC; no obstante, en la Secci´on 5.4 veremos que s´ı es posible demostrarlos tambi´en en ZF.

Para probar la equivalencia entre el lema de Zorn y el axioma de elecci´on, utilizaremos los n´umeros ordinales y la recursi´on transfinita, pero debido a que estos no son el tema central del cap´ıtulo no profundizaremos en su estudio (para una descripci´on m´as detallada de ellos ver [8, p´ag. 12-22]). Con el fin de probar esta equivalencia, empezaremos el cap´ıtulo enunciando el axioma de elecci´on, revisando algunas definiciones sobre orden y conjuntos ordenados, y enunciando asimismo el lema de Zorn. Acto seguido introduciremos los ordinales y expondremos algunas de sus propiedades necesarias para despu´es demostrar la equivalencia en cuesti´on. Las fuentes utilizadas ser´an [8] y [9].

(25)

Definici´on 2.1. Sea S familia de conjuntos no vac´ıos. Una funci´on de elecci´on sobre S es una funci´on f :S → ∪S tal que f(X)∈ X para todo

X ∈ S.

Axioma de elecci´on:Toda familia de conjuntos no vac´ıos tiene una funci´on de elecci´on.

Definici´on 2.2. Una relaci´on binaria E sobre un conjunto P es un orden parcial, o simplemente un orden, sobre P si:

1. pEp para todo p∈P;

2. si pEq yqEr, entonces pEr;

3. si p6=q y pEq, entonces no se tiene que qEp.

Se dice entonces que (P, E), o simplemente P, es un conjunto parcial-mente ordenado.

Definici´on 2.3. Una relaci´on binaria E sobre un conjunto P es un orden total sobre P si es un una relaci´on de orden parcial y, para cada p, q ∈ P, o bien pEq o bien qEp. En ese caso se dice que (P, E) es un conjunto totalmente ordenado.

Si (P, E) es un conjunto parcialmente ordenado y C ⊆P, decimos que C

es una cadena si C est´a totalmente ordenado por la relaci´on E.

Es usual, y as´ı lo haremos en lo que sigue, denotar la relaci´on E en un conjunto ordenado como ≤. En ese caso, escribimos x < y si x6=y y x≤y. De este modo, si≤es un orden parcial (total) sobre un conjuntoP, entonces la relaci´on< se llama unorden parcial (total) estrictosobre P.

Definici´on 2.4. Sea P un conjunto parcialmente ordenado. SiX es un sub-conjunto de P y a∈P se dice que

1. a es maximal(minimal) enX sia∈X y, para todox∈X, se tiene que a6< x (x6< a);

2. a es un m´aximo (m´ınimo) de X si a ∈ X y, para todo x ∈ X, se tiene que x≤a (a≤x);

3. a es una cota superior (cota inferior) de X si, para todo x ∈ X, se tiene que x≤a (a≤x).

(26)

N´otese que si X est´a totalmente ordenado por ≤, entonces un elemento maximal (minimal) en X es un m´aximo (m´ınimo) deX.

Lema de Zorn: Sea (P,≤) un conjunto parcialmente ordenado no vac´ıo. Si toda cadena en P tiene cota superior, entonces P posee alg´un elemento maximal.

Pasamos ahora a introducir los ordinales. Para ello, antes es necesario dar la definici´on de conjunto bien ordenado y de conjunto transitivo.

Definici´on 2.5. Dada una relaci´on de orden total ≤ sobre un conjunto P, se dice que ≤ es un buen orden si cada subconjunto no vac´ıo de P tiene un m´ınimo. En este caso se dice que (P,≤) es un conjunto bien ordenado.

Definici´on 2.6. Si W es un conjunto bien ordenado y u∈W, diremos que

SW(u) = {x∈W :x < u} es un segmento inicial de W (dado por u).

Definici´on 2.7. Se dice que un conjunto T es transitivo si x∈T ⇒x⊆T.

Definici´on 2.8. Se dice que un conjunto es un n´umero ordinal, o simple-mente un ordinal, si es transitivo y est´a bien ordenado (estrictamente) por la relaci´on: y < x si y solo si y ∈x.

El conjunto vac´ıo es claramente un ordinal que denotaremos por 0. Asi-mismo, denotaremos a los ordinales con letras griegas min´usculas α, β, γ, . . .

La clase de todos los ordinales ser´a denotada porOrd.

Observaci´on 2.9. Por c´omo est´a definido el orden en un ordinalα, se sigue que, para cadax∈α, se tienex={y∈α:y < x}; es decir,xes el segmento inicial Sα(x) del conjunto α.

Lema 2.10. Se satisfacen las siguientes propiedades: 1. si α es un ordinal y β ∈α, entonces β es un ordinal; 2. si α yβ son ordinales y α (β, entonces α ∈β; 3. si α yβ son ordinales, entonces α⊆β o β ⊆α.

Demostraci´on. 1. Se tiene que β ⊆ α por la transitividad de α, luego β

est´a bien ordenado. Adem´as, β =Sα(β) es transitivo, pues para cada x∈β, se tiene quex∈α, de donde se deducex=Sα(x)⊆Sα(β) =β.

(27)

2. Si α (β, entonces β\α est´a bien ordenado, luego existe el m´ınimo γ

de β\α que es un ordinal por 1. Como α es transitivo, se debe tener que α=Sβ(γ) ={ξ ∈β :ξ < γ}=γ, lo que implica que α∈β.

3. Claramente γ := α ∩ β es un ordinal. Se debe tener que γ = α o

γ = β, y as´ı se tiene el resultado; pues en otro caso se tendr´ıa por 2 que γ ∈α∩β =γ, lo que contradice la definici´on de ordinal.

Observaci´on 2.11. Del lema anterior se siguen de forma inmediata las siguientes propiedades:

1. < es un buen orden en Ord.

2. Para cada α∈Ord, α ={β :β < α}.

3. Si C es una clase no vac´ıa de ordinales, entonces ∩C es un ordinal y

∩C =inf C.

4. Si X es un conjunto no vac´ıo de ordinales, entonces ∪X es un ordinal y ∪X =sup X.

5. Para cada α∈Ord, α+ 1 :=α∪ {α} es un ordinal y α+ 1 =inf{β :

β > α}.

N´otese que siC es una clase de ordinales, no tiene por qu´e existir∪C. Por ejemplo, si existiese ∪Ord, se tendr´ıa que ∪Ord =sup(Ord) es un ordinal, pero entoncessup(Ord) + 1∈Ord yOrd ∈sup(Ord) + 1, lo que supone una contradicci´on. Esto significa que Ord no es un conjunto, pues no cumple el axioma de regularidad de ZF.

Definici´on 2.12. Si un ordinal α es de la forma α = β+ 1, se dir´a que α

es un ordinal sucesor. Si α no es un ordinal sucesor, se tendr´a entonces que α=sup{β :β < α}=S

β<αβ, y se dir´a que α es un ordinal l´ımite.

Con esta definici´on se tiene 0 =∅=sup∅es un ordinal l´ımite. Adem´as, se define aNcomo el menor ordinal l´ımite distinto de 0, y los ordinales menores queN(pertenecientes aN) son de esta forma los n´umeros naturales, tambi´en llamados ordinales finitos. Veamos ahora que el proceso de inducci´on natural se puede extender a todos los ordinales.

(28)

Teorema 2.13 (Inducci´on transfinita). Sea C una clase de ordinales y supongamos que:

1. 0∈C;

2. si α∈C, entonces α+ 1 ∈C;

3. si α es un ordinal l´ımite y β∈C para todoβ < α, entonces α∈C. Entonces C =Ord.

Demostraci´on. Supongamos por reducci´on al absurdo que C 6=Ord, y seaα

el menor ordinal tal queα /∈C. Entoncesαno puede ser un ordinal l´ımite por 1 y 3. Luego α debe ser un ordinal sucesor, por lo queα=β+ 1, conβ ∈C

por hip´otesis; pero entoncesα ∈Cpor2 y llegamos a una contradicci´on. Pasamos a ver el teorema de recursi´on transfinita, para el cual es necesario considerar la clase de todos los conjuntos que denotaremos por V.

Teorema 2.14 (Recursi´on transfinita). Sea G : V → V una funci´on. Entonces existe una ´unica funci´on F : Ord → V tal que F(α) = G(F|α)

para cada α ∈Ord. En otras palabras, si aα = F(α), entonces para cada α, aα =G((aξ :ξ < α)).

Demostraci´on. Definimos F(α) = x ⇔ existe una sucesi´on (aξ : ξ < α) tal

que:

1. ∀ξ < α,aξ=G((aη :η < ξ));

2. x=G((aξ:ξ < α)).

Para todo α, si existe una sucesi´on que satisface 1, entonces esta sucesi´on es ´

unica. En efecto, si (aξ :ξ < α) y (bξ:ξ < α) son dos sucesiones satisfaciendo

1, entonces por inducci´on transfinita sobre ξ, se obtiene que βξ = αξ para

cada ξ < α. En consecuencia, F(α) est´a determinada un´ıvocamente por 2, por lo queF es una funci´on. Adem´as, para todoα, es f´acil ver por inducci´on transfinita que existe una sucesi´on satisfaciendo 1. Luego F est´a definida para todo α ∈ Ord y claramente cumple que F(α) = G(F|α). Ahora si F0

es otra funci´on en Ord que satisface F0(α) = G(F0|α), aplicando de nuevo

inducci´on sobre α se llega que F0(α) =F(α) para todo α ∈Ord. Finalmente, vamos a demostrar el teorema principal del cap´ıtulo.

(29)

Teorema 2.15. Axioma de elecci´on ⇔ Lema de Zorn.

Demostraci´on. (⇒) Dado un conjunto parcialmente ordenado (P,≤) no vac´ıo, supongamos que toda cadena en P tiene una cota superior. Sea f una funci´on de elecci´on sobre la familia de todos los subconjuntos no vac´ıos de P. Vamos a construir por recursi´on transfinita una sucesi´on estricta-mente creciente (aα)α<β de elementos de P y otra sucesi´on estrictamente

decreciente (Aα)α<β de subconjuntos de P, para alg´un ordinal β del

si-guiente modo. Tomamos a0 ∈ P arbitrario y A0 = P. Ahora

suponga-mos que ya hesuponga-mos definido Aξ y aξ para todo ξ < α. Entonces definimos Aα = {a ∈ P : aξ < apara todo ξ < α}; adem´as, si Aα 6= ∅, elegimos aα =f(Aα).

La construcci´on se detendr´a entonces cuando, para alg´un ordinalα, el con-juntoAα sea vac´ıo. Veamos que en ese casoαdebe ser un ordinal sucesor. En

efecto, si α es un ordinal l´ımite, como Cα = {aξ : ξ < α} es una cadena en P, existe por hip´otesisa ∈P tal que, para todoξ < α, se tiene queaξ+1 ≤a

y, por consiguiente, aξ < a. Luego a ∈ Aα y Aα 6= ∅. As´ı pues, sea θ+ 1 el

ordinal sucesor para el cual Aθ+1 =∅. Como (aα)α es estrictamente creciente

por construcci´on, se tiene que Aθ+1 ={a ∈P :aθ < a}=∅, lo que significa

que aθ es un elemento maximal de P.

(⇐) SeaS una familia de conjuntos no vac´ıos, y sea

P ={f :f es una funci´on de elecci´on sobre alg´unZ ⊆ S}.

Si entendemos que una funci´onf es formalmente igual al conjunto de pares

{(x, f(x) : x ∈ dom(f)}, es claro que P est´a parcialmente ordenado por la relaci´on de inclusi´on. Ahora sea C ⊆ P una cadena y sea C0 = ∪C. Como

C est´a totalmente ordenado, C0 es una funci´on de elecci´on. En efecto, si (X, a) ∈ C0, entonces (X, a) ∈ f para alg´un f ∈ C, por lo que C0(X) =

f(X) = a ∈ X debido a que f es una funci´on de elecci´on. Adem´as, como

dom(C0) = ∪dom(C)⊆ S, se tiene que C0 ∈P y C0 es una cota superior de

C. Por el lema de Zorn, existe un elemento maximal g en P.

Finalmente, veamos quedom(g) =S. Supongamos por reducci´on al absur-do que existe unX ∈ Stal queX /∈dom(g), y seaa∈X. Entonces llamando

h=g∪(X, a), tenemos claramente que h∈P y g ⊂h, lo cual contradice la maximalidad de g. Por tanto,g es una funci´on de elecci´on sobre S.

(30)

Semigrupos

Tanto en la demostraci´on del teorema de Hindman como en la del teorema de van der Waerden se trabajar´a en todo momento con semigrupos. Con-cretamente con una clase de semigrupos, los semigrupos topol´ogicos por la izquierda Hausdorff compactos. Nuestro objetivo en este cap´ıtulo es estudiar todas las propiedades de estos semigrupos que ser´an necesarias en dichas demostraciones. Estas propiedades est´an relacionadas mayoritariamente con sus elementos idempotentes y sus ideales por la derecha minimales.

En la Secci´on 3.1 se introducir´an algunos conceptos b´asicos que ser´an utili-zados en las secciones siguientes. La secci´on 3.2 estar´a dedicada a estudiar los elementos idempotentes y los ideales por la derecha minimales de un semi-grupo ordinario; adem´as, tambi´en veremos ciertas propiedades de sus ideales bil´ateros minimales debido que ser´an utilizadas para dar una segunda de-mostraci´on del teorema de van der Waerden. Finalmente, en la Secci´on 3.3 nos centraremos en las propiedades exclusivas de los semigrupos topol´ogicos por la izquierda Hausdorff compactos, y expondremos los dos resultados m´as importantes de este cap´ıtulo, el teorema de Auslander-Ellis y otro teorema que se sigue de este. Los resultados que aqu´ı se van a exponer se han obtenido de [7].

3.1.

Semigrupos

Comencemos con la definici´on de semigrupo y viendo alg´un ejemplo.

Definici´on 3.1. Un semigrupo es un par (X,∗), donde X es un conjunto 16

(31)

no vac´ıo y ∗ es una operaci´on binaria asociativa en X.

Recordemos que una operaci´on binaria enXes una funci´on∗:X×X →X. Veamos ahora algunos ejemplos de semigrupos.

Ejemplo 3.2. Los siguientes pares son ejemplos de semigrupos. 1. (N,+).

2. (X,∗), donde X es un conjunto no vac´ıo y x∗y=y, ∀x, y ∈X. 3. (N,∨), donde x∨y=max{x, y}.

Definici´on 3.3. Dado un semigrupo (X,∗) y un subconjunto Y ⊆ X, se dice que Y es un subsemigrupo de X si es un semigrupo respecto de la restricci´on de ∗ a Y. Esto equivale a que Y sea cerrado para la operaci´on ∗, es decir, para cualesquiera a, b∈Y, se satisface que a∗b ∈Y.

Definici´on 3.4. Sea (X,∗) un semigrupo y sea a∈X. Se dice que

1. a es una identidad por la izquierda para X si a∗x=x para todo

x∈X.

2. a es una identidad por la derecha para X si x∗a = x para todo

x∈X.

3. a es una identidad para X si es una identidad por la izquierda y por la derecha.

Un semigrupo puede tener varias identidades por la derecha o varias iden-tidades por la izquierda. De hecho, en el semigrupo del Ejemplo 3.2(2), todo elemento es una identidad por la izquierda. Sin embargo, es f´acil ver que si un semigrupo tiene una identidad por la izquierda y una identidad por la derecha, ambas han de ser iguales. En particular, si un semigrupo posee una identidad, esta es ´unica, por lo que podemos llamarla la identidad del semi-grupo. Debido a ello, podemos definir los siguientes conceptos sin dar lugar a confusi´on.

Definici´on 3.5. Un monoide es un semigrupo (X,∗) que posee elemento identidad. Un subconjunto Y de X es un submonoide si es cerrado para la operaci´on y adem´as la identidad de X est´a en Y.

(32)

Definici´on 3.6. Sea (X,∗) un monoide con identidad e ∈ X. Entonces se dice que:

1. El elemento c es un inverso por la izquierda de b si c∗b =e. 2. El elemento c es un inverso por la derecha de b si b∗c=e. 3. El elemento c es un inverso de b si c es un inverso por la derecha y

un inverso por la izquierda de b.

Al igual que con las identidades, un elemento de un monoide puede tener m´as de un inverso por la izquierda o m´as de un inverso por la derecha. Pe-ro, si tiene un inverso por la derecha y un inverso por la izquierda, es f´acil ver que ambos han de ser iguales. En particular, si un elemento tiene un in-verso, este es ´unico, por lo que podemos llamarle el inverso de dicho elemento. A continuaci´on revisaremos la definici´on de grupo debido a que ser´a utili-zada en alguna ocasi´on en este cap´ıtulo.

Definici´on 3.7. Un grupo es un monoide (X,∗) tal que todo elemento de

X tiene inverso.

Otra caracterizaci´on del concepto de grupo que nos ser´a de utilidad se sigue del siguiente lema:

Lema 3.8. Sea (X,∗) un monoide con identidad e. Si todo elemento de X

tiene un inverso por la derecha, entonces (X,∗) es un grupo.

Demostraci´on. Tenemos que ver que todo elemento deX tiene inverso. Para ello, dadoa∈X, seab un inverso por la derecha dea, y sea cun inverso por la derecha de b. Entonces

b∗a= (b∗a)∗e= (b∗a)∗(b∗c) = (b∗(a∗b))∗c= (b∗e)∗c=b∗c=e

Luego,bes tambi´en un inverso por la izquierda deay, por lo tanto, el inverso de a.

3.2.

Ideales minimales y elementos

idempo-tentes

Comencemos revisando la definici´on de elemento idempotente para semi-grupos.

(33)

Definici´on 3.9. Sea (X,∗) un semigrupo. Se dice que un elemento a ∈ X

es idempotente si a∗a=a.

Con respecto a la notaci´on, a partir de ahora y en lo que resta de cap´ıtu-lo, para cada semigrupo (X,∗) que consideremos, se omitir´a hacer menci´on expl´ıcita de su operaci´on∗. De este modo, escribiremos aben lugar de a∗b. As´ı mismo, dados dos subconjuntos A, B de un semigrupo X, denotaremos por AB al conjunto {ab : a ∈ A y b ∈ B}. Utilizando esta notaci´on, intro-duzcamos los diferentes tipos de ideales de un semigrupo.

Definici´on 3.10. Sea X un semigrupo. Se dice que:

1. Un subconjunto no vac´ıo L ⊆X es un ideal por la izquierda de X

si XL⊆L.

2. Un subconjunto no vac´ıo R⊆X es unideal por la derecha de X si

RX ⊆R.

3. I es unideal bil´aterode X si es ideal por la izquierda y por la derecha de X.

Habitualmente los ideales bil´ateros son llamados ideales, pero no haremos uso de esta denominaci´on para evitar confusiones.

Observaci´on 3.11. Dado un semigrupo X, es inmediato probar que todo ideal, ya sea por la izquierda, por la derecha o bil´atero, es un subsemigrupo de X. El rec´ıproco obviamente no es cierto, pues considerando, por ejemplo, el semigrupo (Z,+), se tiene que (N,+) es un subsemigrupo de (Z,+), pero no es un ideal.

Pasamos a ver algunas propiedades relacionadas con los ideales y los ele-mentos idempotentes de un semigrupo.

Lema 3.12. Sea X un semigrupo.

1. Sea a∈X. EntoncesaX es un ideal por la derecha, Xa es un ideal por la izquierda y XaX un ideal bil´atero.

2. Seae un idempotente enX. Entoncese es una identidad por la izquier-da paraeX, una identidad por la derecha paraXe, y una identidad para el semigrupo eXe.

(34)

Demostraci´on.

1. aX es un ideal por la derecha, ya que (aX)X =a(XX)⊆aX. El resto de las afirmaciones se demuestran de forma an´aloga.

2. Para ver que e es una identidad por la izquierda para eX, sea x∈eX

y tomemos t ∈ X tal que x = et. Entonces ex = eet = et = x. Del mismo modo se prueban las dem´as afirmaciones.

Una noci´on que ser´a de gran importancia en esta secci´on y en el trabajo en general, es la de ideal por la derecha minimal. Decimos que un ideal de un cierto tipo es minimal si lo es con respecto a la relaci´on de inclusi´on dentro del conjunto de los ideales de ese tipo. Veamos como est´an relacionados todos los ideales por la derecha minimales.

Teorema 3.13. Sea X un semigrupo, sea R un ideal por la derecha minimal de X, y seaA ⊆X. Entonces A es un ideal por la derecha minimal deX si y solo si existe un a∈X tal que A=aR.

Demostraci´on. Supongamos que A es un ideal por la derecha minimal y to-memos a ∈ A. Por ser R ideal por la derecha, tenemos que RX ⊆R y, por consiguiente, aRX ⊆ aR, lo que significa que aR es un ideal por la dere-cha de X. As´ı mismo, como tambi´en A es ideal por la derecha, se sigue que

aR ⊆ aX ⊆ AX ⊆ A; por tanto, debido a la minimalidad de A, se llega a que A=aR.

Rec´ıprocamente, supongamos que A=aRpara alg´una∈X. Por lo visto en la implicaci´on rec´ıproca, aR es un ideal por la derecha de X. Sea B un ideal por la derecha arbitrario de X tal que B ⊆aR. Veamos que B =aR, de donde se deduce que A es un ideal por la derecha minimal.

Para ello, consideremos el conjunto

P ={p∈R :ap∈B}.

Es evidente que P 6= ∅ y P ⊆ R. Dados p ∈ P y x ∈ X, como ap ∈ B, se sigue que apx∈B por serB ideal por la derecha de X; adem´as, se tiene que

p∈R, luegopx∈R. Por tanto,px∈P, lo que prueba queP es un ideal por la derecha de X. Entonces R = P por la minimalidad de R, lo que implica que B =aR.

(35)

Como consecuencia se obtiene el siguiente corolario:

Corolario 3.14. Sea X un semigrupo. Si X tiene un ideal por la derecha minimal, entonces todo ideal por la derecha de X contiene un ideal por la derecha minimal.

Demostraci´on. SeaRun ideal por la derecha minimal deX, y sea Aun ideal por la derecha de X. Tomando a∈A, es claro que aR⊆A, pues A es ideal por la derecha. Aplicando el teorema anterior, se tiene que aR es un ideal por la derecha minimal de X.

En cuanto a los ideales bil´ateros, se tiene lo siguiente:

Lema 3.15. Sea X un semigrupo y sea K un ideal bil´atero minimal de X. Si I es un ideal bil´atero de X, entonces K ⊆I.

Demostraci´on. K∩I es no vac´ıo, ya que sik ∈Kyi∈I, entonceski∈K∩I; adem´as, es inmediato probar que es un ideal bil´atero deX. ComoK∩I ⊆K, se tiene que K ∩I =K y entonces K ⊆I.

Del lema anterior se sigue que si un semigrupo tiene un un ideal bil´atero minimal, este es ´unico. Por otra parte, observemos que la intersecci´on de ideales por la derecha s´ı puede ser vac´ıa, por lo que puede existir m´as de un ideal por la derecha minimal.

Notaci´on 3.16. Sea X un semigrupo. Utilizaremos la siguiente notaci´on:

MX :=

[

{R ⊆X :R es ideal por la derecha minimal de X}

Adem´as, si X tiene un ideal bil´atero minimal, lo denotaremos por K(X). N´otese queMX puede ser vac´ıo. En el siguiente teorema veremos que una

condici´on suficiente para la existencia deK(X) es precisamente que MX sea

no vac´ıo. Adem´as, si se cumple tal condici´on, entonces MX = K(X). Para

demostrar dicho teorema necesitamos un lema, el cual afirma que MX est´a contenido en todo ideal bil´atero.

Lema 3.17. Sea X un semigrupo y sea I un ideal bil´atero de X. Entonces

(36)

Demostraci´on. Si MX es vac´ıo, est´a contenido en cualquier subconjunto de X y se tiene el resultado. En caso contrario, sea x ∈ MX. Entonces existe

un ideal por la derecha minimal R deX tal quex∈R. De eeste modo, para cualquiery∈I, se tiene que xy∈R∩I, luegoR∩I 6=∅y es evidente que es un ideal por la derecha de X contenido enR. Por serR minimal, R∩I =R, lo que implica que x∈I.

Teorema 3.18. Sea X un semigrupo. Si X tiene un ideal por la derecha minimal, entonces K(X) existe y K(X) =MX.

Demostraci´on. Por hip´otesis, MX 6=∅. Adem´as,MX est´a contenido en todo ideal bil´atero de X por el lema anterior, por lo cual es suficiente probar que

MX es un ideal bil´atero de X.

Para ello, sea x∈X y r∈MX. Tomemos un ideal por la derecha minimal R de X tal que r ∈ R. Entonces rx ∈ R ⊆ MX, lo que significa que MX es

un ideal por la derecha. As´ı mismo, por el Teorema 3.13, xR es un ideal por la derecha minimal de X, lo que implica que xr ∈ xR ⊆ MX, es decir, MX

es tambi´en un ideal por la izquierda de X.

A pesar de ello, muchos semigrupos comunes no tienen ideal bil´atero mi-nimal y, por consiguiente, tampoco ideales por la derecha mimi-nimales. Por ejemplo, el semigrupo (N,+), pues todo ideal bil´atero de este semigrupo es de la forma mNpara alg´un m∈N, y contiene a todo ideal bil´atero lNcon l

m´ultiplo de m.

Una manera de caracterizar el ideal bil´atero minimal y los ideales por la derecha minimales de un semigrupo es la siguiente:

Lema 3.19. Sea X un semigrupo.

1. Sea R un ideal por la derecha de X. Entonces R es minimal si y solo si aR=R para todo a∈R.

2. Sea I un ideal bil´atero de X. Entonces I es el ideal bil´atero minimal si y solo IaI =I para todo a ∈I.

Demostraci´on. 1. Si R es minimal y a ∈ R, entonces aR es un ideal por la derecha de X y aR ⊆ aX ⊆ R, luego aR= R. Ahora supongamos que aR = R para todo a ∈ R, y sea S un ideal por la derecha de

X tal que S ⊆ R. Entonces tomando cualquier a ∈ S, se tiene que

(37)

2. Si I es el ideal bil´atero minimal y a ∈ I, entonces IaI es claramente un ideal bil´atero deX, y IaI ⊆XaI ⊆II ⊆I, luego IaI =I. Ahora supongamos que IaI = I para todo a ∈ I, y sea J un ideal bil´atero de X tal que J ⊆ I. Entonces tomando cualquier a ∈ J, se tiene que

I =IaI ⊆IJ I ⊆J ⊆I, por lo cual I =J.

El siguiente lema ser´a utilizado para obtener otros resultados.

Lema 3.20. Sea X un semigrupo. Si R es un ideal por la derecha minimal de X que tiene un idempotente e, entonces eXe = Re y es un grupo con identidad e.

Demostraci´on. Por ser R un ideal por la derecha, se tiene que eR ⊆ R. Adem´as, comoRes minimal, aplicando el Lema 3.19(a) se obtiene que eR=

eX = R, de donde se deduce que Re = eXe. Ahora, por el Lema 3.12, se tiene que e es una identidad para eXe y, por lo tanto, eXe es un monoide. Asimismo, dado a ∈ Re, como Re ⊆ R por ser R un ideal por la derecha, aplicando de nuevo el Lema 3.19(a) se obtiene queaR=R; por lo cual existe

b ∈Rtal queab=e. As´ı pues,be∈Reyabe=ee=e, luegobees un inverso por la derecha de a. Finalmente, eXe es un grupo por el Lema 3.8.

Teorema 3.21. Sea X un semigrupo. Si existe un ideal por la derecha mi-nimal de X que posee un idempotente, entonces todo ideal por la derecha minimal de X tiene un idempotente.

Demostraci´on. Supongamos que existe un ideal por la derecha minimalR de

X que tiene un idempotente ey seaAun ideal por la derecha minimal deX. Por el Teorema 3.13, existea∈X tal queA=aR. Por otra parte,Re=eXe

es un grupo con identidadeseg´un el lema anterior, luego seab =beel inverso de eae en este grupo. Entonces ab∈aR=A y

abab =a(be)a(eb) =ab(eae)b=abe=ab,

lo que significa que abes un idempotente de A.

Teorema 3.22. Sea X un semigrupo y sea A ⊆X. Supongamos que existe un ideal por la derecha minimal de X que contiene un idempotente. Entonces

A es un ideal por la derecha minimal de X si y solo si existe un idempotente

(38)

Demostraci´on. Supongamos que A es un ideal por la derecha minimal de

X, y tomemos un ideal por la derecha minimal R de X que contiene un idempotente f, el cual existe por hip´otesis. Por el Lema 3.20, Rf =f Xf es un grupo con identidad f. Tomemos cualquiera ∈A. Entoncesf af ∈f Xf, luego existe b =f bf ∈f Xf tal que (f af)b =f. De esta forma,

abab =a(f bf)a(bf b) = af b(f abf)b =af bf f =a(f bf) = ab,

por lo que ab es un idempotente. Adem´as, se tiene que ab ∈ A y, como

A ⊆ K(X) por el Teorema 3.18, ab ∈ K(X). Finalmente, abX es un ideal por la derecha de X contenido en A, luegoA=abX.

Rec´ıprocamente, supongamos que A = eX para alg´un idempotente e en

K(X). ComoK(X) =MX por el Teorema 3.18, existe un ideal por la derecha

minimal S deX tal que e∈S. As´ı,eX =A es un ideal por la derecha deX

contenido en S, luego S=eX =A.

Teorema 3.23. SeaX un semigrupo y supongamos que existe un ideal por la derecha minimal de X que contiene un idempotente. SeaA un subsemigrupo de X y supongamos que Atambi´en tiene un ideal por la derecha minimal con un idempotente. Si K(X)∩A6=∅, entonces K(A) = K(X)∩A.

Demostraci´on. En primer lugar, K(A) existe por el Teorema 3.18. Adem´as, es evidente queK(X)∩Aes un ideal bil´atero deA, luegoK(A)⊆K(X)∩A. Para probar la inclusi´on contraria, seaz ∈K(X)∩Aarbitrario. Entonces

zA es un ideal por la derecha de A; luego, por el Corolario 3.14 y el teorema anterior, zA contiene un ideal por la derecha minimal eA de A para alg´un idempotente e ∈ K(A). Por otra parte, como z ∈ K(X) = MX, existe un

ideal por la derecha minimalRdeX tal quez ∈R. De esta manera,zX =R

por el Lema 3.19(a), y e = ee ∈ eA ⊆ zA ⊆ zX = R; luego, utilizando de nuevo la minimalidad de R se obtiene que R = eX. As´ı pues, z ∈ eX y, debido a que e es una identidad por la izquierda paraeX por el Lema 3.12, se sigue que z=ez ∈eA⊆K(A).

Finalmente, es inmediato ver que el producto cartesiano de una familia de semigrupos es un semigrupo con la operaci´on coordenada a coordenada.

Proposici´on 3.24. Sea(Xi)i∈I una familia de semigrupos y seaX =

Q

i∈IXi.

Supongamos que, para cada i∈I, Xi tiene un ideal bil´atero minimal.

Enton-ces X tiene tambi´en un ideal bil´atero minimal y K(X) =Q

(39)

Demostraci´on. En primer lugar, Q i∈IK(Xi) es un ideal de X, pues X(Y i∈I K(Xi))X = Y i∈I (Xi K(Xi)Xi)⊆ Y i∈I K(Xi). Ahora sea −→u ∈Q i∈IK(Xi). Entonces (Y i∈I K(Xi))−→u (Y i∈I K(Xi)) =Y i∈I (K(Xi)ui K(Xi)) = Y i∈I K(Xi).

En consecuencia, por el Lema 3.19, K(X) = Q

i∈IK(Xi).

3.3.

Semigrupos topol´

ogicos por la izquierda

Hausdorff compactos

Si un semigrupo est´a dotado de una topolog´ıa, podemos estudiar la con-tinuidad de la operaci´on de este. En particular, fijando un elemento del se-migrupo, se puede estudiar la continuidad de la funci´on de traslaci´on a la izquierda y a la derecha de un semigrupo en s´ı mismo, la cual pasamos a denotar.

Notaci´on 3.25. Sea X un semigrupo. Dado x∈X,

1. la traslaci´on a la izquierda que denotaremos por λx :X →X est´a

definida por λx(y) = xy.

2. De manera an´aloga, latraslaci´on a la derecha que denotaremos por

ρx :X →X est´a definida por ρx(y) = yx.

Definici´on 3.26. Un semigrupo topol´ogico por la izquierda es una terna (X,∗,T) donde (X,∗) es un semigrupo, (X,T) es un espacio topol´ogico, y para todo x∈X, la traslaci´on a la izquierda λx :X →X es continua.

A continuaci´on vamos a enunciar y demostrar dos teoremas que ser´an fundamentales en el 5.

Teorema 3.27 (Teorema de Auslander-Ellis). Sea X un semigrupo to-pol´ogico por la izquierda Hausdorff compacto. Entonces X tiene un idempo-tente.

(40)

Demostraci´on. Sea

Z ={Z ⊆X :Z 6=∅, Z es compacto, y ZZ ⊆Z}.

Es decir, Z es la familia de subsemigrupos compactos de X. Por el Teorema 1.20, todo elemento de Z es tambi´en cerrado. Por otra parte, Z 6= ∅, pues

X ∈ Z. Haciendo uso del lema de Zorn, probemos que Z tiene un elemento minimal respecto a la relaci´on de inclusi´on. Para ello, tenemos que ver que toda cadena de Z tiene una cota inferior.

En efecto, sea una cadena C ⊆ Z. Como C tiene la propiedad de la in-tersecci´on finita, y X es compacto, se tiene que ∩ C 6= ∅ por el Teorema 1.13. Adem´as, Y := ∩ C es cerrado por ser intersecci´on de cerrados y, por el Teorema 1.15, compacto. Asimismo, para todo Z ∈ C, se cumple que

Y Y ⊆ZZ ⊆Z, luego Y Y ⊆ ∩ C =Y. En definitiva, ∩ C ∈ Z y es evidente-mente una cota inferior de la cadena C.

Sea A un elemento minimal de Z y sea x ∈ A. Veamos que xx = x. Empecemos viendo que xA = A. Es evidente que xA 6= ∅. Adem´as, como

xA =λx(A),xA es la imagen continua de un compacto, luego es compacto.

Asimismo, se satisface que (xA)(xA) ⊆ x(AAA)⊆ xA. Por tanto, xA ∈ Z. De este modo, como xA ⊆ AA ⊆ A, se debe cumplir que xA = A por la minimalidad de A.

Ahora consideremos el conjunto

B ={y∈A:xy =x}.

Como x ∈ A = xA, tenemos que B 6= ∅. Por otro lado, debido a que {x}

es cerrado por el Corolario 1.21, λ−1

x ({x}) es cerrado por la continuidad de λx; en consecuencia, al tenerse que B = A ∩λx−1({x}), se sigue que B es

cerrado y, por consiguiente, compacto. Asimismo, dados y, z ∈B, se cumple que yz ∈ AA ⊆ A y xyz =xz = x, luego yz ∈ B y BB ⊆ B. Por lo tanto,

B ∈ Z. Como B ⊆ A y A es minimal, llegamos a que B = A, por lo cual

x∈B y entonces xx=x.

Teorema 3.28. Sea X un semigrupo topol´ogico por la izquierda Hausdorff compacto. Entonces todo ideal por la derecha de X contiene un ideal por la derecha minimal. Los ideales por la derecha minimales son compactos y cada ideal por la derecha minimal tiene un idempotente.

(41)

Demostraci´on. En primer lugar, veamos que todos los ideales por la derecha minimales de X son compactos. Para ello, sea R un ideal por la derecha minimal de X, y sea a ∈ R. Entonces aX = R por ser R un ideal por la derecha minimal, luego R =λa(X) es compacto por ser la imagen continua

de un compacto.

Por otro lado, seaR ideal por la derecha minimal. Como acabamos de ver,

R es compacto. Adem´as, seg´un la Proposici´on 1.19, R es tambi´en Hausdorff. As´ı mismo, utilizando la Observaci´on 3.11, se sigue queR es un subsemigru-po Hausdorff compacto de X; por lo que aplicando el teorema anterior, R

tiene un idempotente.

Finalmente, para probar que todo ideal por la derecha de X contiene un ideal por la derecha minimal, fijemos un ideal por la derecha A deX. Sea

Z ={R⊆A:R es un ideal por la derecha compacto de X}.

Dada una cadena C ⊆ Z, aplicando el mismo razonamiento que en la prueba del teorema anterior, se llega a queY :=∩ C 6=∅y∩ C es compacto, para todo

R ∈ C, se cumple que Y X ⊆RX ⊆R, luego Y X ⊆ ∩ C =Y. En definitiva,

∩ C ∈ Z. Por el lema de Zorn, existe un elemento minimalR0 deZ. Tenemos

ahora que demostrar que R0 es un ideal por la derecha minimal. Para ello,

sea S ⊆R0 un ideal por la derecha, y tomemos a ∈S. Entonces aX ∈ Z y

aX ⊆S ⊆R0. Por la minimalidad de R0, se sigue que aX =S =R0.

En la secci´on anterior dimos algunas proposiciones que ten´ıan como hip´ ote-sis la existencia en un semigrupo de un ideal por la derecha minimal que contuviera un elemente idempotente. Pues bien, gracias al teorema anterior, podemos aplicar todos esas proposiciones a los semigrupos topol´ogicos por la izquierda Hausdorff compactos.

(42)

El espacio de los ultrafiltros

sobre un espacio discreto

Los ultrafiltros ser´an fundamentales en el Cap´ıtulo 5, pues todos los resul-tados que se expondr´an en ´el se obtienen considerando el conjunto de todos los ultrafiltros sobre N. Por esta raz´on, dedicaremos este cap´ıtulo a introdu-cirlos y a exponer todos los resultados sobre ellos que ser´an necesarios en el cap´ıtulo siguiente.

Para poder hablar de ultrafiltros, primero hay que introducir el concepto de filtro, por lo que dedicaremos la Secci´on 4.1 a ello, as´ı como a estudiar ciertas propiedades de los filtros que nos ser´an de utilidad en las secciones posteriores. En la Secci´on 4.2 estudiaremos los ultrafiltros, ser´a importante la distinci´on entre dos clases de ultrafiltros: los principales y los no principales; mientras la existencia de los primeros est´a garantizada sobre todo conjunto y cada uno de ellos est´a determinado por un elemento del conjunto, la existen-cia de los segundos no est´a garantizada sobre todo conjunto y no es posible definirlos expl´ıcitamente. Por ´ultimo, en la Secci´on 4.3 aplicaremos todo lo visto en las secciones anteriores, y consideraremos el conjunto de todos los ultrafiltros sobre un espacio topol´ogico discreto D, para finalmente ver que dicho conjunto, con una topolog´ıa asignada que definiremos, es una compac-tificaci´on Hausdorff de D. Los contenidos de este cap´ıtulo est´an basados en las referencias [7], [8] y [16].

(43)

4.1.

Filtros

Un filtro sobre un conjunto X es una familia de subconjuntos de X que cumple ciertas propiedades. Utilizaremos la notaci´onP(X) para representar a la familia de todos los subconjuntos de X. Empezaremos la secci´on con la definici´on de este concepto y viendo algunos ejemplos de filtros para dar paso a diversos resultados.

Definici´on 4.1. Sea X un conjunto no vac´ıo y sea F ⊆ P(X). Se dice que

F es un filtro sobre X si cumple las siguientes condiciones: 1. ∅ 6∈ F 6=∅.

2. Si A, B ∈ F, entoncesA∩B ∈ F.

3. Si A∈ F y A⊆B ∈ P(X), entonces B ∈ F.

N´otese que P(X) no es un filtro sobre X, pues contiene a ∅. Es f´acil ver tambi´en que siF es un filtro sobreX, entoncesX ∈ F. Por otro lado, debido a las condiciones 2 y 3 de la definici´on anterior, se sigue de forma inmediata la siguiente observaci´on que ser´a de utilidad m´as adelante.

Observaci´on 4.2. Dado F un filtro sobre X, entonces A, B ∈ F si y solo si A∩B ∈ F para todo A, B ∈ P(X).

Ahora demos algunos ejemplos de filtros.

Ejemplo 4.3. Sea X un conjunto y sea A ⊆X no vac´ıo. Entonces

FA:={B ⊆X:A⊆B}

es un filtro sobre X, que se denominafiltro principal generado por Asobre

X. En particular, FX = {X} es un filtro sobre X, llamado tambi´en filtro

trivial sobre X.

Cuando un filtro no sea de la forma del ejemplo anterior diremos que es

no principal.

Tanto los filtros como los ultrafiltros, los cuales definiremos y estudiaremos proximamente, se pueden dividir en dos grandes grupos, los principales y los no principales. Veamos un ejemplo de estos ´ultimos.

(44)

Ejemplo 4.4. Si X es un conjunto infinito, la familia de subconjuntos

{A⊆X : X\A es finito}

es un filtro sobre X, denominado filtro de Fr´echet sobre X.

Pasamos a estudiar algunas propiedades de los filtros.

Lema 4.5. Sea {Fi}i∈I una familia de filtros sobreX. Entonces la

intersec-ci´on ∩

i∈IFi es un filtro sobre X.

Demostraci´on. Denotemos F0 :=

i∈IFi y comprobemos que cumple las

pro-piedades de la Definici´on 4.1:

1. F0 6=∅debido a queX ∈ Fi,∀i∈I. Adem´as,∅ 6∈ F0, pues∅ 6∈ Fi para

cualquier i∈I.

2. Si A, B ∈ F0, se tiene que AB ∈ F

i para todo i ∈ I. Por tanto, A∩B ∈ F0.

3. SiA∈ F0 yAB, entoncesB ∈ F

i para todoi∈I. Por consiguiente, B ∈ F0.

En general, la uni´on de filtros no es un filtro. Sin embargo, cuando la familia de filtros es una cadena con respecto al orden dado por la inclusi´on, su uni´on si es un filtro, como veremos en el siguiente lema. A partir de ahora, cuando digamos que una familia de filtros es una cadena, ser´a con respecto a la relaci´on de orden dada por la inclusi´on.

Lema 4.6. Sea {Fi}i∈I una cadena de filtros sobre X. Entonces la uni´on

i∈IFi es un filtro sobre X.

Demostraci´on. Llamemos F0 :=

i∈IFi y veamos que cumple la definici´on

de filtro:

1. ∅ 6∈ F0, ya que ∅ 6∈ F

i,∀i∈I.

2. Si A, B ∈ F0, existen i, j I tal que A∈ F

i y B ∈ Fj. Como Fi ⊆ Fj

o viceversa, existe m∈ {i, j} tal que A, B ∈ Fm. LuegoA∩B ∈ Fm y A∩B ∈ F0.

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