Unidad 2 : Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Tema 2.5a : Método de Coeficientes IndeterminadosEn esta sección estudiaremos uno de los dos métodos para resolver EDL No-Homogéneas de orden mayor o igual a dos. Empezaremos con las EDLNH de 2o orden de la forma estándar:
a
y
′′
+
b
y
′
+
cy
=
g
( )
x
. Este método, llamado Método de Coeficientes Indeterminados, puede aplicarse cuando la función g(x) contiene solo tres tipos de funciones: polinomios, exponenciales, y senos y cosenos, o combinaciones de ellas.1. Se resuelve la EDLH asociada para determinar
y
h2. Se propone la forma de con coeficientes indeterminados, a partir de la forma del término g(x); usando el criterio de la siguiente tabla
p
y
g(x) yp(x) propuesta 0 1 2 2...
a
x
a
x
a
x
a
m m+
+
+
+
1 0 2 2...
A
x
A
x
A
x
A
m m+
+
+
+
0 1 2 2...
(
a
x
a
x
a
x
a
e
m m x⋅
+
+
+
+
α )e
αx⋅
(
A
mx
m+
...
+
A
2x
2+
A
1x
+
A
0)
( ) ( )
x
x
q
( ) ( )
x
sen
x
p
mcos
β
+
nβ
p
k( ) ( )
x
cos
β
x
+
q
k( ) ( )
x
sen
β
x
;
k
=
max(
m
,
n
)
( )
xe( )
x q( )
x e sen( )
xpm αxcos β + n αx β pk
( )
xeαx cos( )
βx +qk( )
x eαxsen( )
βx;k =max(m,n)( )
x
y
q
( )
x
p
m n son polinomios de orden “n” y “m”3. Se modifica la
y
p propuesta comparándola con y multiplicando por “x” los términos de que estén incluidos en . Después se vuelve a comparar con y se vuelven a multiplicar por “x” los términos que sigan estando incluidos en . Este proceso se continúa repitiendo hasta que ninguno de los términos deesté repetido en . h
y
py
y
hy
p hy
hy
hy
y
p4. Se sustituye la
y
p modificada en la EDLNH original para determinar loscoeficientes indeterminados igualando los coeficientes de los términos del lado izquierdo de la ecuación con los coeficientes de los términos semejantes del lado derecho de la ecuación.
modificada para determinar la final. Y finalmente se suman y para obtener la solución general de la EDLNH
p
y
y
py
h p hy
y
y
=
+
Algunos ejemplos de la forma de proponer yp dependiendo de yh g(x) yp(x) propuesta g(x) yp(x) propuesta
-8 A 7cos(4x) Asen(4x)+Bcos(4x)
5x+7 Ax + B -3e5x A e5x
3x2-2 A x2+Bx+C (3 x2+2) e5x (A x2 +Bx +C) e5x
2x3-5x+7 A x3+B x2+Cx+D 5 x2cos(4x) (A x(D x22+Bx+C)cos(4x)+ +Ex+F)sen(4x)
5sen(4x) Asen(4x)+Bcos(4x) -3x e5x cos(4x) (Ax+B) e
5x cos(4x)+
(Cx+D) e5x sen(4x)
Ejemplos para la clase: (Sin repetición de términos)
x
senx
y
y
y
E
x
x
y
y
y
E
2
cos
3
2
:
2
8
4
4
4
:
1
2+
=
+
′
+
′′
−
=
+
′
+
′′
x
x
sen
x
y
R
x
x
y
R
p p2
cos
25
9
2
25
12
cos
2
1
:
2
2
7
4
:
1
2−
+
−
=
+
−
=
Ejemplos para la clase: (Con repetición de términos)
x x
e
x
y
y
y
E
senx
x
y
y
E
e
y
y
y
E
x
sen
y
y
E
3 22
12
6
9
6
:
6
10
4
:
5
2
:
4
2
3
4
:
3
−
+
=
+
′
−
′′
+
=
+
′′
=
+
′
−
′′
=
+
′′
x p p x p pe
x
x
x
y
R
x
x
x
y
R
e
x
y
R
x
x
y
R
3 2 2 26
3
2
9
8
3
2
:
6
cos
5
4
:
5
2
1
:
4
2
cos
4
3
:
3
−
+
+
=
−
=
=
−
=
Mas ejemplos para determinar la
y
p propuesta y modificada: ( ) x x xe
e
x
x
x
y
y
y
E
x
x
x
y
y
E
e
x
y
y
E
5 2 2 2 2 43
4
6
5
4
4
)
3
cos
cos
)
2
1
)
1
+
+
−
=
′
+
′′
−
′′′
−
=
+
′′
−
=
′′′
+
− x x x x p p x x x pGe
e
Fx
e
Ex
e
Dx
Cx
Bx
Ax
y
R
x
Dx
x
Cx
x
Bx
x
Ax
y
R
Dxe
e
Cx
e
Bx
Ax
y
R
5 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 3 3)
3
sin
cos
sin
cos
)
2
)
1
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
− − −Para la próxima clase estudiar las secciones:
4.4 Zill 4.8 y 6.3 Nagle Método de Coeficientes Indeterminados 4.6 Zill 4.9 y 6.4 Nagle Método de Variación de Parámetros Tarea para entregar la próxima clase:
Tema 2.5 b : Método de Coeficientes Indeterminados Ejemplo de:
a) el proceso de construcción de la
y
p( )
x
propuesta a partir de la forma de la funcióng
(
x
)
, y deb) el proceso de modificación de la
y
p( )
x
propuesta al compararla con la solución de la EDLH asociaday
h( )
x
a) Ejemplo del proceso de construcción de la
y
p( )
x
propuesta a partir de la forma de la funcióng
( )
x
( )
( )N
( )( )
x g x g x x g
x
e
x
x
x
g
3 2 12
cos
3
6
8
5
3
4−
2+
+
5+
=
( )
3
45
28
1x
=
x
−
x
+
g
y
p=
Ax
4+
Bx
3+
Cx
2+
Dx
+
E
1( )
x
e
xg
5 2=
6
x pFe
y
5 2=
( )
x
x
g
3=
3
cos
2
y
p3=
G
cos
2
x
+
Hsen
2
x
la
y
p( )
x
propuesta se construye sumando las tresy
p( )
x
’s( )
N
3 2 1
2
2
cos
5 2 3 4 p p p y y x y px
Ax
Bx
Cx
Dx
E
Fe
G
x
Hsen
x
y
=
+
+
+
+
+
+
+
b) Ejemplo 1: Cuando se repite un término de yp con un término de
2
y
h(
)(
)
x x h xxe
c
e
c
y
m
m
m
m
x
e
x
x
y
y
y
5 2 5 1 2 5 2 40
5
5
0
25
10
2
cos
3
6
8
5
3
25
10
+
=
=
−
−
=
+
−
+
+
+
−
=
+
′
−
′′
h x p h x p h x py
e
Fx
y
y
Fxe
y
y
Fe
y
~
~
~
5 2 5 5 2 2 2=
=
=
por lo que la
y
p( )
x
modificada será:( )
x
Ax
Bx
Cx
Dx
C
Fx
e
G
x
Hsen
x
y
x pcos
2
2
5 2 2 3 4+
+
+
+
+
+
+
=
la
y
p( )
x
propuesta se construye sumando las tresy
p( )
x
’s( )
N
3 2 1
2
2
cos
5 2 3 4 p p p y y x y px
Ax
Bx
Cx
Dx
E
Fe
G
x
Hsen
x
y
=
+
+
+
+
+
+
+
2 3 2 1 3 5 2 40
0
2
cos
3
6
8
5
3
x
c
x
c
c
y
m
m
m
m
x
e
x
x
y
h x+
+
=
=
⋅
⋅
=
+
+
+
−
=
′′′
h p h p h p h py
Ex
Dx
Cx
Bx
Ax
y
y
Ex
Dx
Cx
Bx
Ax
y
y
Ex
Dx
Cx
Bx
Ax
y
y
E
Dx
Cx
Bx
Ax
y
~
~
~
~
3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 2 3 4 5 2 3 4 1 1 1 1+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
por lo que la
y
p( )
x
modificada será:( )
x
Ax
Bx
Cx
Dx
Ex
Fe
xG
x
Hsen
x
pcos
2
2
5 3 4 5 6 7+
+
+
+
+
+
+
=
y
b) Ejemplo 3: Cuando se repiten dos términos de yp con dos términos de
3
y
hla
y
p( )
x
propuesta se construye sumando las tresy
p( )
x
’s( )
N
3 2 1
2
2
cos
5 2 3 4 p p p y y x y px
Ax
Bx
Cx
Dx
E
Fe
G
x
Hsen
x
y
=
+
+
+
+
+
+
+
x
sen
c
x
c
y
i
m
m
x
e
x
x
y
y
h x2
2
cos
2
;
0
2
0
4
2
cos
3
6
8
5
3
4
2 1 2 5 2 4+
=
=
=
±
=
=
+
+
+
+
−
=
+
′′
β
α
p h h py
x
Hxsen
x
Gx
y
y
x
Hsen
x
G
y
~
2
2
cos
~
2
2
cos
3 3+
=
+
=
por lo que la
y
p( )
x
modificada será:( )
x
Ax
Bx
Cx
Dx
C
Fe
Gx
x
Hxsen
x
y
x pcos
2
2
5 2 3 4+
+
+
+
+
+
+
=
Unidad 2: Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
Tema 2.5c : Método de Coeficientes IndeterminadosEjemplo del proceso para determinar la forma de la solución particular
y
p( )
x
a partir de la forma de la funcióng
( )
x
, en el caso de queg
( )
x
contenga productos de dos de las tres funciones básicas, esto es, de polinomios, senos y cosenos, yexponenciales
Ejemplo del proceso de construcción de la
y
p( )
x
propuesta a partir de la forma de la funcióng
( )
x
( )
( )( )
( )
x g x x g x g x
x
x
e
sen
x
e
x
x
g
3 2 14
2
5
cos
3
5
3 4−
2+
3=
( )
x
x
e
xg
3 4 1=
5
(
)
x x x x p x pDe
Cxe
e
Bx
e
Ax
y
e
D
Cx
Bx
Ax
y
4 4 4 2 4 3 4 2 3 1 1+
+
+
=
+
+
+
=
( )
x
x
x
g
3
2cos
5
2=
−
(
)
(
)
x
Jsen
x
Ixsen
x
sen
Hx
x
G
x
Fx
x
Ex
y
x
sen
J
Ix
Hx
x
G
Fx
Ex
y
p p5
5
5
5
cos
5
cos
5
cos
5
5
cos
2 2 2 2 2 2+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
=
( )
x
e
sen
x
g
2
3x4
3=
(
)
x
sen
Le
x
Ke
y
x
Lsen
x
K
e
y
x x p x p4
4
cos
4
4
cos
3 3 3 3 3+
=
+
=
La
y
p(
x
)
propuesta se construye sumando las tresy
p( )
x
’sx
sen
Le
x
Ke
x
Jsen
x
Ixsen
x
sen
Hx
x
G
x
Fx
x
Ex
De
Cxe
e
Bx
e
Ax
y
x x x x x x p4
4
cos
5
5
5
5
cos
5
cos
5
cos
3 3 2 2 4 4 4 2 4 3+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Ma-841 : ECUACIONES DIFERENCIALES
Tarea No. 15 : Método de Coeficientes IndeterminadosEncuentre la solución general de las siguientes EDL No Homogéneas.
Ecuación Diferencial Solución
1
