RELACIÓN ENTRE LA RESPUESTA DE S1GDL CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO Y LA DE S1GDL CON DISIPADORES DE TIPO HISTERÉTICO RESUMEN ABSTRACT

RELACIÓN ENTRE LA RESPUESTA DE S1GDL CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO Y LA DE S1GDL CON DISIPADORES DE TIPO HISTERÉTICO

Ruiz Gómez Sonia E.1, Castillo Cruz Tomás2, Hidalgo Toxqui Juan P. 2 y Rivera Salas J. Luz3

RESUMEN

Se presenta una expresión sencilla que es útil para encontrar el porcentaje de amortiguaiento crítico viscoso equivalente al que proporciona un sistema con disipadores histeréticos. El criterio se basa en la relación entre las ordenadas espectrales con tasa anual de falla uniforme para sistemas con disipadores histertéticos y las correspondientes a sistemas con disipadores viscosos. La ecuación que aquí se propone se pretende incorporar en Capítulo “Diseño de Estructuras con Disipadores de Energía Sísmica” del Manual de Obras Civiles de la CFE que se encuentra en revisión.

ABSTRACT

A simple expresion is presented to find the fraction of effective critical viscous damping equivelent to that of a system with hysteretic dampers. The criterium is based on the correlation between uniform failure rate spectral ordinates for systems with hysteretic dampers and those with viscous dampers. The expresion is pretended to be incorporated to the “Design of Structures with Energy Dissipating Devices” chapter of the revised CFE Design Manual.

IMPORTANCIA DEL ESTUDIO

Dado que las reglas de reducción de espectros de diseño por amortiguamiento comúnmente están en función del porcentaje efectivo del amortiguamiento crítico viscoso (y no de parámetros correspondientes a disipadores histeréticos) es conveniente relacionar la respuesta de un sistema con disipadores de energía histeréticos (por ejemplo como los disipadores de acero tipo ADAS, TADAS, óvalo, etc) con la del mismo sistema pero con amortiguadores viscosos (por ejemplo, como los de marca TAYLOR que se encuentran en la Torre Mayor de la ciudad de México). Por ejemplo, el factor de amortiguamiento

β

que se menciona en el Apéndice A del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal depende del porcentaje efectivo del amortiguamiento del sistema

ς

_e' (y además de otros parámetros relacionados con el periodo). Asimismo, el factor de amortiguamiento

β

que se menciona en el capítulo Espectros de Diseño Sísmico para el Territorio Mexicano de la versión que está en revisión del Manual de Obras Civiles de la Comisión Federal de Electricidad (Pérez Rocha et al, 2007) es función de

ς

_e'. A partir de estos ejemplos resulta obvio que es muy conveniente conocer el valor de

ς

e' que equivale al que presenta un sistema con disipadores histeréticos (con ciertas características dinámicas), pues esto facilitará enormemente el análisis y diseño de sistemas con disipadores histeréticos.

En la figura 1 se muestran los sistemas cuyas respuestas máximas se tratan de correlacionar. La figura 1a muestra un sistema lineal elástico de un grado de libertad (S1GDL) con un disipador viscoso, miestras que la

1 Investigadora, Instituto de Ingeniería UNAM, Teléfono, (55) 5623-36-54; SRuiz@iingen.unam.mx

2 Estudiante de posgrado. Instituto de Ingeniería, UNAM; Teléfono (55) 5623-36-00 ext 8480;

TCastilloC@iingen.unam.mx; JHidalgoT@iingen.unam.mx. 3 Antes en el Instituto de Ingeniería, UNAM.

M = 5% EDE = 5% M KEDE y, EDE F FEDE EDE F FSB SB K

figura 1b presenta el mismo S1GDL pero con disipador de tipo histerético (con comportamiento elastoplástico).

a) S1GDL con disipador viscoso b) S1GDL con disipador histerético

Figura 1 Sistemas estudiados

Aquí se llaman disipadores histeréticos a aquellos constituidos por algún material que presenta deformación plástica (como por ejemplo, acero, plomo, cobre, etc) cuya capacidad de disipar energía depende del desplazamiento relativo entre los extremos del disipador (y no de su velocidad relativa). Este tipo de disipadores son, por ejemplo, los ADAS, TADAS, Tipo óvalo, etc. El término “histerético” tiene una connotación amplia, pero aquí se adopta por simplicidad.

OBJETIVO

El objetivo de este trabajo es presentar un criterio para calcular la relación entre la respuesta máxima de sistemas con disipadores viscosos y la correspondiente a disipadores histeréticos. Esto se logra al relacionar las ordenadas espectrales con tasa anual de falla uniforme de ambos tipos de sistemas. Ambos se suponen ubicados en terreno duro; sin embargo, el criterio puede aplicarse a sistemas localizados en cualquier tipo de terreno. Otro objetivo es proponer una expresión sencilla mediante la cual se calcule el amortiguamiento efectivo viscoso que presentan sistemas de un grado de libertad (S1GDL) con disipadores histeréticos.

RESUMEN DE LA METODOLOGÍA

Primeramente se definen los parámetros que se utilizarán en este estudio. Posteriormente, se calculan los espectros con tasa anual de falla uniforme (ETFU) de sistemas con dispositivos disipadores viscosos y, alternativamente, se obtienen los ETFU correspondientes a sistemas con disipadores histeréticos. Con el fin de encontrar el porcentaje efectivo del amortiguamiento crítico viscoso que es equivalente al de un sistema con disipadores histeréticos, se correlacionan los dos grupos de espectros de tasa anual de falla uniforme. El procedimiento se ilustra mediante un ejemplo. A partir de las correlaciones encontradas, se propone una

expresión sencilla que pretende incorporarse al Capítulo sobre Diseño de Estructuras con Disipadores de Energía en la próxima versión del Manual de Obras Civiles de la Comisión Federal de Electricidad (CFE).

DEFINICIÓN DE LOS PARÁMETROS

α

Y

γ

Las características mecánicas de los dispositivos histeréticos están dadas por los parámetros

α

y

γ

. Estos se definen, respectivamente, como

α

=

K /

_d

K

_c y

γ

=

F /

yd

F

yc, donde

K

des la rigidez del disipador,

K

c es la rigidez de la estructura convencional,

F

_yd es la fuerza de fluencia del disipador y

F

_yc es la fuerza de fluencia de la estructura convencional (ver figura 2).

Figura 2 Estructura con disipador de energía de tipo histerético

En la figura 3 se muestra con mayor detalle las curvas corrrespondientes al sistema ante carga monotonicamente creciente. Dichas curvas correpsonden al sistema básico (SB) y a los elementos disipadores de energía (EDE). En esta figura el SB presenta un comportamiento lineal elástico (que es el que se supone presenta el SB en el presente trabajo), mientras que los EDE muestran comportamiento elastoplástico. La suma de las ordenadas de las curvas correspondientes al SB y al EDE da lugar al comportamiento bi-lineal del sistema estructura-disipador (ED).

1 1 1 Sistema Estructura- Disipador (ED) Sistema Básico estructural (SB) Elementos Disipadores de Energía (EDE) KSB EDE K KT Fy, SB y, EDE F dy, EDE dmax d F

ECUACIONES DE MOVIMIENTO

La ecuación de movimiento correspondiente a un S1GDL con disipadores de energía es como sigue (Baber y Wen 1981):

Mx_&&+ &Cx+K_cΓ_2cx+(1−Γ_2c)K_cz_c+K_dΓ_2dx+(1−Γ_2d)K_dz_d =−Ma(t) (1) Don de M es la masa,

a

(t

)

la aceleración en la base del sistema, C es el coeficiente de amortiguamiento,

x

,

x

_&

y

x

_&&

el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de la masa, respectivamente. Los términos

K

Γ

₂

x

y

z

K

)

1

(

−

Γ

₂ representan la fuerza restauradora. El primer término depende del desplazamiento

x

y el segundo de su componente histerética

z

. Nótese que para un sistema con disipadores de energía, la fuerza restauradora está formada por la fuerza restauradora del sistema convencional (términos con subíndice

c

) más la de los disipadores (términos con subíndice

d

).

La ecuación 1 se puede expresar mediante el sistema de ecuaciones diferenciales siguiente (Rivera, 2006):

a z M K x M K z M K x M K x x _c c _c c _{c d} d _d d ⎟ _d − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ − − = 2 _{0& 2} (1 ₂ ) ₂ (1 ₂ ) &

ω

(2a)

(

)

c c c c c c c c c c c _xz z x z x z η υ 6 6 5 1 4 3 Γ − Γ _+Γ Γ − Γ

= & & &

& (2b)

(

)

d d d d d d d d d d d _xz z x z x z η υ 6 6 5 1 4 3 Γ − Γ _+Γ Γ − Γ

= & & &

& (2c)

Donde

Γ

₃,

Γ

₄,

Γ

₅ y

Γ

₆ son parámetros del modelo que controlan la amplitud, forma del ciclo histerético, y la suavidad de la transición entre el intervalo elástico e inelástico;

η

y

υ

son parámetros que controlan el deterioro de la rigidez y de la resistencia, respectivamente (en el presente estudio no se considera degradación de la rigidez ni de la resistencia). El subíndice

c

se refiere al sistema convencional, y el subíndice

d

a los disipadores de energía.

ALGORITMO PARA OBTENER LOS ESPECTROS CON TASA DE FALLA UNIFORME (ETFU) El algoritmo para construir los espectro de tasa anual de falla uniforme para sistemas con disipadores histeréticos (o sistemas combinados) es como siigue (Rivera and Ruiz 2007):

1. Primeramente, se proponen los valores de los parámetros del sistema combinado tales como: coeficiente sísmico,

C

s, periodo de vibrar nominal de la estructura, Te, y masa, M, así como los valores de los

parámetros

α

=

K /

_d

K

_c y

γ

=

F

_yd

/

F

_yc.

2. Se calcula la rigidez lateral del sistema combinado mediante

(

K

_T

=

4

π

2

M

/

T

2

)

. A partir de este valor es posible obtener los valores nominales de rigidez (

K

_c,

K

_d) asociados respectivamente a la estructura convencional y al disipador: (

K

_c

=

K

_T

/(

1

+

α

)

y

K

_d

=

α

K

_c).

3. El desplazamiento de fluencia del sistema combinado se calcula mediante:

d

_yT

=

C

_y

W

/

(

K

_c

+

K

_d

)

. 4. Usando las relaciones mencionadas arriba, se calculan el desplazamiento de fluencia para la estructura

convencional (estructura base sin disipadores) y para el disipador mediante

d

_yc

=

C

_y

W

/

(

K

_c

+

γ

K

_d

)

y

d

yd

=

γ

d

yc, respectivamente.

5. Los valores de rigidez y fuerza de fluencia del sistema convencional (

K

_c y

d

yc, respectivamente), se utilizan para calcular los parámetros

Γ

_4c and

Γ

_5c (correspondientes a los parámetros del modelo de Baber y Wen 1981). En el caso de una estructura de concreto convencional, estos parámetros están dados por c yc c c c c

F

K

6

1

2

4 5 Γ

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

Γ

−

=

Γ

υ

, donde

F

yc

=

K

c

d

yc.

6. De manera similar, los valores de rigidez y de desplazamientos de fluencia correspondientes a los disipadores (

K

_d y

d

_yd, respectivamente) se usan para calcular los valores de los parámetros

Γ

_4d y

d

5

Γ

. Para disipadores de acero se tiene

c yd d d d d

F

K

6

2

1

4 5 Γ

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

Γ

=

Γ

υ

.

7. Cada sistema combinado de un grado de libertad se somete a la acción de diferentes acelerogramas. En este estudio se simulan los movimientos del terreno, escalando cada uno de los sismos de tal forma que las ordenadas espectrales asociadas al periodo fundamental del sistema en estudio tengan el mismo periodo de retorno (

T

_R) (Shome y Cornell 1999). La relación entre el valor de la aceleración espectral y el inverso del periodo de retorno está dada por las curvas de peligro sísmico del sitio, las cuales se suponen conocidas.

8. La respuesta máxima de la estructura se obtiene a través de un análisis “paso a paso” en el tiempo. Se calcula así la demanda de ductilidad máxima (

μ

_i) correspondiente al i-ésimo registro simulado.

9. Se propone un valor nominal de la capacidad de ductilidad del sistema combinado (

μ

a). El presente estudio se limita a sistemas con

μ

a

=

1

.

10. La falla estructural del S1GDL ocurre cuando la demanda de ductilidad es mayor que la capacidad de ductilidad del sistema, es decir,

μ

_i

/

μ

_a

=

Q

_i

≥

1

. La tasa de falla anual de la estructura se calcula mediante la siguiente ecuación (Esteva and Ruiz 1989):

(

a

)

a a F

P

Q

S

dS

dS

d

1

≥

=

∫

ν

ν

(3)

Donde

d /

ν

ds

_a es el valor absoluto de la derivada de la curva de peligro sísmico, y

P

(

Q

≥

1

S

_a

)

es la probabilidad de que ocurra la falla en la estructura dada una intensidad sísmica

S

_a.

11. La integral se evalúa numéricamente para diferentes valores de

C

_s,

α

, y

γ

. Con los resultados, se construyen las curvas de peligro sísmico de demanda para el sistema combinado con su correspondiente

periodo estructural. En este estudio, la demanda de la estructura está dada por el coeficiente sísmico

C

_s, o sea que la curva de peligro de demanda es una gráfica

ν

_F - versus -

C

s

.

12. Los espectros de tasa anual de falla uniforme se dibujan a parir de las curvas de peligro de demanda asociadas a diferentes periodos de vibración.

MOVIMIENTOS DEL TERRENO Y CURVAS DE PELIGRO SÍSMICO

Los sistemas que aquí se estudian se excitaron con cien sismos simulados (ver paso 7 del algoritmo mencionado antes) que se generaron numéricamente a partir del movimiento registrado en la estación “Filo de caballo”, en Chilpancingo, Gro, durante el sismo del 19 de septiembre de 1985. La densidad espectral

S

(

ω

)

ajustada mediante un filto de Clough y Penzien, correspondiente a este registro, se presenta en la Figura 4. La duración efectiva del sismo se consideró igual a 25s.

Figura 4 Densidad espectral del movimiento base

Las curvas de peligro sísmico correspondientes al sitio Chilpancingo, para diferentes periodos de vibración, se muestran en la figura 5.

RELACIONES ENTRE ESPECTROS CON TASA ANUAL DE FALLA UNIFORME

Con el algoritmo descrito antes, se construyeron los ETFU para distintos valores de los parámetros

α

_y

γ

. Paralelamente, se construyeron ETFU para sistemas con diferentes valores de porcentaje efectivo del amortiguamiento crítico viscoso (

ς

e). Con el fin de estimar el valor del amortiguamiento equivalente se superpusieron los ETFU correspondientes a ambos grupos, y se encontraron sus intersecciones. En lo que sigue se presenta el procedimiento que se siguió, mediante un ejemplo.

En la figura 6 se muestran (con líneas discontinuas) los ETFU que corresponden a sistemas con diferentes valores de porcentaje efectivo del amortiguamiento crítico viscoso (

ς

e=10, 15, 20, 25 y 30%) con una tasa anual de falla igual a 0.008. El amortiguamiento efectivo se define aquí como la suma del amortiguamiento proporcionado por el sistema básico (convencional) más el que proporcionan los disipadores de energía. En este estudio se supuso que el sistema básico tiene un comportamiento elástico lineal con porcentaje de amortiguamiento igual a 5% del crítico. Su correspondiente ETFU se muestra en la figura 6 con línea gris continua.

En la figura 6 también se muestra (con línea negra llena) el ETFU correspondiente a sistemas con dispositivos histeréticos. Para este ejemplo se emplearon los siguientes parámetros:

α

= 0.5 y

γ

= 0.50. En la figura 6 se indican también varios círculos rojos que corresponden a los puntos en los que se intresectan los espectros correspondientes a estructuras con amortiguamiento viscoso y el espectro correspondiente al sistema con dispositivos histeréticos. 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.5 1 1.5 2 Cs Te(s) α=0.5, γ =0.5 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Figura 6 Intersección del ETFU correspondiente a sistemas con dispositivos histeréticos (línea llena) con los ETFU para sistemas con amortiguamiento viscoso (líneas discontinuas)

A partir de las intersecciones que se indican en la figura 6, se obtienen las columnas de la Tabla 1. En esta se presenta el periodo estructural (

T

_e ) en la primera columna, el valor del coeficiente sísmico (

C

_s) asociado a una tasa de falla igual a 0.008 en la segunda, y en la tercera columna se presenta el porcentaje efectivo del amortiguamiento viscoso “equivalente” (

ς

_e). La Figura 7 muestra de manera gráfica el amortiguamiento equivalente

ς

e versus el periodo estructural

T

e . En esta figura se observa que el amortiguamiento

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 Te(s) Ajuste Real

equivalente

ς

_e es función del periodo estructural y, por supuesto, de los parámetros

α

y

γ

que se supusieron en este ejemplo.

Tabla 1 Amortiguamiento equivalente correspondiente a diferentes periodos de vibración

e

T

(s)

C

_s

ς

_e 0.075 0.11 0.37 0.15 0.29 0.14 0.3 0.30 0.11 0.5 0.24 0.08 0.75 0.21 0.06 1.0 0.16 0.07 2.0 0.10 0.06

Figura 7 Porcentaje efectivo del amortiguamiento crítico correspondiente a un sistema con

α

= 0.5,

γ

= 0.5, y

ξ

= 5%.

La curva que se muestra en la figura 7 con línea discontinua se ajustó a los puntos rojos que se obtuvieron de la Tabla 1. Esta curva obedece a la siguiente expresión:

ς

e

=

(

T

e

+

A

)

+

B

−6

(4) Donde A y B son constantes que dependen de los parámetros

α

y

γ

.

ECUACIÓN PROPUESTA

Se comprobó, para un gran número de combinaciones de parámetros, que la ecuación 4 satisface con buena aproximación los puntos correspondientes a la zona de periodos moderados y altos (

T

e

≥

0.6s), que es la zona en donde el espectro de diseño para terreno rocoso presenta ordenadas decrecientes según las

Recomendaciones del Manual de Diseño de Obras Civiles (MOC) de la Comisión Federal de Electricidad en su capítulo Espectros de Diseño Sísmico para el Territorio Mexicano (Pérez Rocha et al, 2007). Estas Recomendaciones especifican que para periodos menores que

T

_b = 0.6s las ordenadas del espectro de diseño son constantes, mientras que para periodos mayores que 0.6s (para terreno rocoso) las ordenadas decrecen. Por otro lado, la nueva versión del MOC en su capítulo (en proceso) Diseño de Estructuras con Disipadores de Energía indica que el porcentaje efectivo del amortiguamiento crítico no debe ser mayor que 30% en sistemas con disipadores de energía. Tomando en cuenta lo anterior, aquí se propone encontrar el valor de

ς

_e como sigue:

(

T

c

+

A

)

6

+

B

;

− si

T

e

≤

T

b y

ς

e

≤

0

.

30

(5a)

ς

e

=

(

T

_e

+

A

)

−6

+

B

;

si

T

_e

>

T

_b y

ς

_e

≤

0

.

30

(5b) donde

T

b es el periodo correspondiente al límite inferior de la meseta del espectro de diseño y

T

c es el periodo de inicio de la rama descendente del espectro de diseño. Para terreno rocoso

T

_b=0.6s y

T

_c= 3s (Pérez Rocha et al., 2007).

Los valores de A y de B se obtienen de las Tablas 2 y 3 para sistemas sobre suelo rocoso (para sistemas en otro tipo de terreno los valores de A y B son diferentes a los de las Tablas 2 y 3).

Tabla 2 Valores de A α=0 α=0.25 α=0.5 α=1 α=2 α=4 α=10 γ =0 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 γ =0.05 4.00 2.10 1.70 1.47 1.30 1.25 1.20 γ =0.20 4.00 1.55 1.30 1.20 1.15 1.10 1.10 γ =0.30 4.00 1.50 1.30 1.10 1.05 1.00 1.00 γ =0.50 4.00 1.50 1.30 1.10 1.05 1.00 1.00 γ =0.75 4.00 1.50 1.30 1.10 1.05 1.00 1.00 γ =1 4.00 1.45 1.20 1.05 1.00 1.00 1.00 Tabla 3 Valores de B α=0 α=0.25 α=0.5 α=1 α=2 α=4 α=10 γ =0 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 0.05 γ =0.05 0.05 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.15 γ =0.20 0.05 0.06 0.09 0.12 0.15 0.17 0.20 γ =0.30 0.05 0.05 0.07 0.12 0.16 0.18 0.21 γ =0.50 0.05 0.05 0.05 0.11 0.18 0.21 0.24 γ =0.75 0.05 0.05 0.05 0.08 0.17 0.24 0.28 γ =1 0.05 0.05 0.05 0.05 0.17 0.25 0.30

Con el fin de ver gráficamente la representación de las ecuaciones 5a y 5b (usando los valores de las Tablas 2 y 3) se presentan dos ejemplos en las figuras 8a y 8b. Los ejemplos corresponden a S1GDL con comportamiento elástico-lineal que cuentan con disipadores histeréticos con distintos valores de

α

,

γ

= 0.3 (figura 8a) y 0.75 (figura 8b). En estas figuras, el eje vertical representa el porcentaje efectivo del amortiguamiento crítico (

ς

_e), y el eje horizontal es el periodo de vibrar de la estructura sin disipadores. Cada una de las curvas, en cada figura, está asociada a diferente valor de

α

=

K /

_d

K

_c. Las figuras 8a y 8b indican que a medida que la rigidez del disipador con respecto a la del sistema base es más grande, el amortiguamiento efectivo es mayor, y que dicho amortiguamiento decrece con el periodo. Si se compara la figura 8b con la 8a, se deduce que a medida que

γ

=

F /

yd

F

c es mayor, el amortiguamiento efectivo aumenta. La razón de lo anterior es que el área encerrada dentro de las curvas histeréticas correspondientes al disipador es mayor a medida que crece la rigidez y/o la resistencia del disipador.

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 0.5 1 1.5 2 ζe Te(s) γ=0.30 α=0.25 α=0.5 α=1 α=2 α=4 α=10 a) Valor de

γ

= 0.30 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0 0.5 1 1.5 2 ζe Te(s) γ=0.75 α=0.25 α=0.50 α=1 α=2 α=4 α=10 b) Valor de

γ

= 0.75

CONCLUSIONES

Mediante una ecuación simple es posible obtener el valor del porcentaje efectivo del amortiguamiento crítico equivalente correspondiente al que proporciona un sistema lineal elástico con disipadores elastoplásticos. Es posible aplicar el criterio de análisis propuesto a sistemas con comportamiento no-lineal con disipadores histeréticos.

La ecuación que aquí se propone se pretende incorporar en Capítulo Diseño de Estructuras con Disipadores de Energía Sísmica del Manual de Obras Civiles que se encuentra en revisión.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a L. Esteva sus valiosos comentarios. Se agradece a la Comisión Federal de Electricidad y a la DGAPA (PAPIIT-IN108708) su apoyo para el desarrollo de este proyecto de investigación.

REFERENCIAS

Baber T.T. y Wen Y.K. (1981). “Random vibration of hysteretic degrading systems” , Journal of the Engineering Mechanics Division 107: EM6, 1069-1087.

Esteva L. y Ruiz S.E. (1989). “Seismic failure rates of multistory frames”. Journal of Structural Engineering 115:2, 268-284.

Pérez Rocha L.E., Ordaz M. G. y Avilés J. (2007), “Capítulo para diseño por sismo del Manual de Diseño de Obras Civiles de la CFE”, Memorias del V Simposio Nacional de Ingeniería Estructural en la Vivienda, Querétaro, Qro., México

Rivera J. L. (2006). “Espectros de confiabilidad uniforme para sistemas estructurales con disipadores de energía”, DEPFI, UNAM. Tesis de doctorado.

Rivera J.L. y Ruiz S.E. (2007), “Design approach based on UAFR spectra for structures with displacement- dependent dissipating elements”, Earthquake Spectra 23:2, 417-439.

Shome N. y Cornell C. A. (1999), “Probabilistic Seismic Demand Analysis of Nonlinear Structures”, Report No. RMS-35, Department of Civil Engineering of the Stanford University, California, USA