Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica

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Universidad de Costa Rica

Facultad de Ingeniería

Escuela de Ingeniería Eléctrica

Desarrollo de un programa para el análisis de

esta-bilidad dinámica en pequeña señal, compatible con

el simulador de sistemas de potencia PSS®E v.33

Por:

Ramón Alfredo Montás Alfaro

Ciudad Universitaria Rodrigo Facio

Agosto 2013

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Desarrollo de un programa para el análisis de

esta-bilidad dinámica en pequeña señal, compatible con

el simulador de sistemas de potencia PSS®E v.33

Por:

Ramón Alfredo Montás Alfaro

Sometido a la Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Costa Rica como requisito parcial para optar por el grado de:

LICENCIADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA Aprobado por el Tribunal:

_________________________________ Gustavo Valverde Mora, Ph.D

Representante del Director, Escuela de Ingeniería Eléctrica

_________________________________ Lic. Rolando Sancho Chaves

Director, Comité Asesor

_________________________________ _________________________________ Lic. Alonso Alvarado Alvarado, M.Sc. Lic. Juan Carlos Montero

Miembro, Comité Asesor Miembro, Comité Asesor

_________________________________ Lic. Gonzalo Mora Jiménez, Mg.

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DEDICATORIA

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RECONOCIMIENTOS

Agradezco a mi amigo y compañero de proyecto Christian Rojas Rodríguez, por hacerme parte de este trabajo que además de ser el fin, se convirtió en el medio para cultivar una muy buena amistad. Muchas gracias a toda su familia, en especial a doña Judith por sus

pa-labras de aliento y su cariño de mamá. Agradezco a los ingenieros Alonso Alvarado Alvarado M.Sc. (¡Dios te bendiga esa

memo-ria!), Juan Carlos Montero Quirós, Gonzalo Mora Jiménez Mg. y Gustavo Valverde Mora Ph.D., por el apoyo y el tiempo dedicado al proyecto; muy especialmente a Rolando

San-cho Chávez por sus consejos y su buena voluntad inquebrable. Muchas gracias al equipo de trabajo del Centro de Investigación en Sistemas de Potencia y su coordinación, a los compañeros de los procesos de Operación y Planeamiento del Centro de Control, por acompañarnos durante todo este camino. Gracias a tío Fon, tía Marietta, tía Alba y familia, tío Ramírez, tía Mari, tía Nena, Kim,

gra-cias a abuela, a todos los demás tíos, tías, y primos que de una manera u otra me ayudaron tanto durante este tiempo. Muchas gracias mamá, papá, imposible enumerar lo de ustedes :) Con el mismo corazón de mi amigo Josh: -Jesús, mi esmero eres tú-.

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ÍNDICE GENERAL

NOMENCLATURA... XVIII RESUMEN ... XXII CAPÍTULO 1: INTRODUCCIÓN ... 1 1.1 OBJETIVOS ... 2 Objetivo general ... 2 1.1.1 Objetivos específicos ... 2 1.1.2 1.2 METODOLOGÍA ... 3

CAPÍTULO 2: DESARROLLO TEÓRICO ... 5

2.1 ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMICA EN PEQUEÑA SEÑAL ... 5

2.2 REDUCCIÓN DE LA RED ELÉCTRICA PARA ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMICA... 8

Matriz de admitancias ... 8 2.2.1 Reducción de Kron ... 10 2.2.2 Matriz de transformación T ... 11 2.2.3 Matriz de transformación M ... 14 2.2.4 Linealización de las corrientes inyectadas ... 15

2.2.5 2.3 ECUACIONES DEL MODELO DE CARGA ... 16

2.4 MODELADO DE GENERADORES Y MODELOS EN VARIABLES DE ESTADO ... 18

Modelo transitorio en dos ejes... 18

2.4.1 Simplificación del modelo de dos ejes para máquinas de polos salientes... 21

2.4.2 Modelo transitorio clásico ... 22

2.4.3 Acoplamiento de los modelos de generadores ... 25

2.4.4 2.5 ELABORACIÓN DEL MVE DEL SISTEMA DE POTENCIA COMPLETO ... 28

2.6 METODOLOGÍA BASE PARA EL ANÁLISIS DE ESTABILIDAD EN PEQUEÑA SEÑAL ... 30

2.7 MODELADO DE CONTROLES DEL GENERADOR SÍNCRONO ... 31

Control de tensión ... 31 2.7.1

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Control de velocidad ... 33

2.7.2 Estabilizadores de potencia ... 34

2.7.3 2.8 CÁLCULO DE LAS MATRICES MODALES Y FACTORES DE PARTICIPACIÓN ... 35

CAPÍTULO 3: APORTES A LA METODOLOGÍA DE ANÁLISIS DE ESTABILIDAD EN PEQUEÑA SEÑAL ... 38

3.1 MODIFICACIÓN A LA REDUCCIÓN DE KRON ... 38

3.2 MODIFICACIÓN DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN T ... 39

3.3 MODIFICACIÓN A LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN M ... 40

Matriz ... 41 3.3.1 Matriz ... 42 3.3.2 Matriz ... 43 3.3.3 Matriz ... 44 3.3.4 Modificación en la linealización de las corrientes inyectadas. ... 45

3.3.5 3.4 TRANSFORMACIÓN DE LOS MODELOS DE CARGA A REFERENCIAS DE EJE DIRECTO Y CUADRATURA ... 45

3.5 AMPLIACIÓN DE LA MATRIZ M PARA EL CASO DE GENERADORES Y CARGAS CONECTADOS A UNA MISMA BARRA ... 47

3.6 CONSIDERACIÓN DE GENERADORES DE INDUCCIÓN DENTRO DEL ANÁLISIS ... 48

3.7 CONSIDERACIÓN DE FACTS DENTRO DEL ANÁLISIS. ... 49

3.8 MODIFICACIÓN EN EL ACOPLAMIENTO DE LOS MVE CON LA MATRIZ M Y LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ... 49

3.9 CONSIDERACIÓN DE LOS CONTROLES DENTRO DE LA METODOLOGÍA ... 56

3.10 SÍNTESIS DE LA METODOLOGÍA PROPUESTA PARA EL ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DINÁMICA EN PEQUEÑA SEÑAL. ... 57

CAPÍTULO 4: DETALLES ACERCA DEL SIMULADOR PSS®E V.33 ... 58

4.1 MODELOS CONSIDERADOS ... 59

Líneas de transmisión ... 60 4.1.1

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vii Bancos de reactores ... 61 4.1.2 Transformadores ... 61 4.1.3 Cargas ... 63 4.1.4 Generador síncrono ... 64 4.1.5 Generador de inducción ... 66 4.1.6 FACTs ... 66 4.1.7 4.2 MODELADO DE SISTEMAS DE POTENCIA ... 68

4.3 COMUNICACIÓN POR MEDIO DEL API ... 69

Verificación de los resultados de los métodos ... 69

4.3.1 Valores por defecto ... 70

4.3.2 Tipos de datos en simulaciones dinámicas ... 71

4.3.3 CAPÍTULO 5: DESARROLLO DEL PROGRAMA ANALISER V1.0 ... 74

5.1 DESCRIPCIÓN GENERAL DEL PROGRAMA ... 74

5.2 ETAPA 1:PREPROCESAMIENTO ... 75

Verificar la existencia de modelos dinámicos definidos por el usuario ... 77

5.2.1 Eliminar enlaces de barra ... 77

5.2.2 Convertir generadores de inducción ... 79

5.2.3 Convertir FACTs que se encuentran en su límite de operación ... 80

5.2.4 Crear generadores equivalentes ... 81

5.2.5 Crear cargas equivalentes ... 83

5.2.6 Convertir de manera conveniente los bancos de reactivo ... 85

5.2.7 Generar matriz de admitancias ... 85

5.2.8 Generación de archivos de datos ... 85

5.2.9 5.3 ETAPA 2:ANÁLISIS LINEAL... 86

5.4 ETAPA 3:PRESENTACIÓN DE RESULTADOS ... 87

5.5 INTEGRACIÓN DEL PROGRAMA EN PYTHON 2.7 ... 87

5.6 INTERFACE CON EL USUARIO Y MODO DE USO ... 89

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6.1 VARIACIONES EN LA METODOLOGÍA DE VALIDACIÓN DE RESULTADOS... 93

Problemas con el LSYSAN de PSS®E 33 ... 93 6.1.1

Problemática para reproducir en el SISP el modelo GENCLS ... 95 6.1.2

Limitaciones del SISP en el modelado de FACTs ... 95 6.1.3

Inclusión de la FFT de la respuesta de los sistemas ante un cambio de carga ... 96 6.1.4

6.2 DESCRIPCIÓN DE LOS ESCENARIOS UTILIZADOS PARA LA VALIDACIÓN ... 97

Caso Anderson ... 97 6.2.1

Caso Base Final ... 98 6.2.2

6.3 DESCRIPCIÓN DE LOS MODELOS DINÁMICOS USADOS EN LOS ESCENARIOS DE

VALIDACIÓN ... 99 6.4 PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS ...100

Caso 0 ...101 6.4.1 Caso 0-1 ...103 6.4.2 Caso 1 ...106 6.4.3 Caso 2 ...107 6.4.4 Caso 3-1 ...109 6.4.5 Caso 3-2 ...111 6.4.6 Caso 3-3 ...113 6.4.7 Caso 3-4 ...115 6.4.8 Caso 4-1 ...116 6.4.9 Caso 4-2 ...118 6.4.10 Caso 4-3 ...121 6.4.11 Caso 4-4 ...122 6.4.12 6.5 RESULTADOS ADICIONALES ...125

Validación del ANALISER utilizando un escenario realista del SEN ...126 6.5.1

Análisis de estabilidad en pequeña señal del Sistema Eléctrico Regional ...134 6.5.2

CAPÍTULO 7: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...142

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ix

ANEXOS ...146

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2-1. Respuesta del sistema ante pequeñas perturbaciones según sus componentes de sincronismo y amortiguamiento. ... 5

Figura 2-2. Componentes de un sistema eléctrico. ... 9

Figura 2-3. Sistema equivalente después de aplicar la reducción de Kron. ... 10

Figura 2-4. Eje real e imaginario... 11

Figura 2-5. Eje directo y cuadratura ... 12

Figura 2-6. Relación entre ejes Real-Imaginario y ejes Directo-Cuadratura... 12

Figura 2-7. Modelo transitorio clásico ... 23

Figura 2-8. Sistema sin parámetros del generador incluidos en Y bus ... 26

Figura 2-9. Sistema con parámetros del generador incluidos en Y bus ... 26

Figura 2-10. Síntesis de metodología análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal. .. 30

Figura 2-11. Modelo SEXS ... 32

Figura 2-12. Modelo EXST1 ... 33

Figura 2-13. Modelo TGOV1 ... 34

Figura 2-14. Modelo IEE2ST ... 35

Figura 4-1. Modelo línea de transmisión ... 60

Figura 4-2. Transformadores (Siemens Power Technologies International, 2012) ... 62

Figura 4-3. Barra auxiliar en transformadores de tres devanados... 62

Figura 4-4. Características de potencia y corriente de carga constante... 64

Figura 4-5. Máquinas síncronas conectadas a una misma barra ... 65

Figura 4-6. Característica de respuesta del FACT ... 68

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x

Figura 5-2. Ventana de aviso sobre eliminación de enlaces de barras ... 78

Figura 5-3. Ventana de aviso sobre eliminación de generadores de inducción ... 79

Figura 5-4. Ventana de aviso sobre transformación de FACTs ... 81

Figura 5-5. Reporte de barras con múltiples generadores ... 83

Figura 5-6. Cargas en barras de generación ... 84

Figura 5-7. Archivos generados luego del Preprocesamiento ... 86

Figura 5-8. Análisis lineal... 87

Figura 5-9. Esquema general del programa ... 88

Figura 5-10. Interface del ANALISER v1.0 con el usuario ... 89

Figura 5-11. Avance del proceso en MATLAB ... 90

Figura 5-12. Presentación de resultados ... 92

Figura 6-1. Modelo de FACT disponible en el SISP ... 96

Figura 6-2. Topología del sistema de potencia del Caso Anderson ... 97

Figura 6-3. Topología del sistema de potencia Caso Base Final. ... 98

Figura 6-4. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 0. ... 102

Figura 6-5. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 0-1. ... 105

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xi

Figura 6-10. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de

7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 3-3. ... 114

Figura 6-16. Respuesta en el tiempo y FFT para flujo Cariblanco - San Miguel 230 kV . 127 Figura 6-17. Respuesta en el tiempo y FFT para flujo Arenal - Garabito 230 kV ... 128

Figura 6-18. Error promedio en las frecuencias de oscilación de cada modo ... 130

Figura 6-19. Respuesta en el tiempo y FFT para flujo Arenal - Garabito 230 kV ... 130

Figura 6-20. Factores de participación de mayor a menor para el modo de 1.226 Hz... 131

Figura 6-25. Medición en subestación Liberia durante la operación sin México ... 134

Figura 6-26. Flujo LIB230 - AMY230 y FFT para el SER sin México ... 135

Figura 6-27. Medición en subestación Liberia durante la operación con México ... 136

Figura 6-28. Frecuencia del modo de oscilación entre áreas para diferentes modelos del Sistema Eléctrico de México ... 139

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xii

Figura 6-29. Factores de participación principales del modo entre áreas para diferentes modelos del Sistema Eléctrico de México ... 141 Figura A2-1. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 0. ... 151 Figura A2-2. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 0-1. ... 152 Figura A2-3. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 1. ... 154 Figura A2-4. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 2. ... 156 Figura A2-5. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 3-1. ... 158 Figura A2-6. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 3-2. ... 160 Figura A2-7. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 3-3. ... 162 Figura A2-8. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 3-4. ... 164 Figura A2-9. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 4-1. ... 166 Figura A2-10. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 4-2. ... 168 Figura A2-11. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 4-3. ... 170 Figura A2-12. Respuesta en el tiempo y componentes de frecuencia del flujo de potencia de 7 a 8 ante cambio de carga en el sistema Caso 4-4. ... 172

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xiii

Figura A3-1. FFT y flujo en la línea de transmisión 138 kV San Miguel – Colima #1 ... 173

Figura A3-2. FFT y flujo en la línea de transmisión 138 kV Angostura – Trapiche ... 173

Figura A3-3. FFT y flujo en la línea de transmisión 138 kV Angostura – Cóncavas ... 174

Figura A4-1. Factores de participación para f = 2.980 Hz y f = 2.410 Hz ... 179

Figura A4-20. Factores de participación para f = 1.095 Hz ... 185

(14)

xiv

Figura A5-1. Flujo AUTO LBR y FFT para el SER con MEX (ANG) ... 188

Figura A5-2. Flujo AUTO LBR y FFT para el SER con MEX (ANG-MMT)... 188

Figura A5-3. Flujo AUTO LBR y FFT para el SER con MEX (ANG-MMT-MPS)... 189

Figura A5-4. Flujo AUTO LBR y FFT para el SER con MEX (THP) ... 189

Figura A6-5. Circuito de Norton equivalente para el modelo del generador ... 190

Figura A6-6. Modelo electromagnético para el generador de polos salientes ... 191

(15)

xv

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 4-1 Parámetros del modelo GENSAL ... 73

Tabla 6-1. Comparación entre resultados del LSYSAN y el Anderson . ... 94

Tabla 6-2 Características de los modelos utilizados en los casos de validación. ... 99

Tabla 6-3. Autovalores obtenidos a partir del Caso 0. ... 101

Tabla 6-4. Autovalores obtenidos a partir del Caso 0-1. ... 103

Tabla 6-5. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 0-1. ... 104

Tabla 6-6. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 0-1. ... 104

Tabla 6-8. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 1. ... 106

Tabla 6-10. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 2. ... 108

Tabla 6-12. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 3-1... 110

(16)

xvi

Tabla 6-27. Comparación de resultados en las componentes de frecuencia dominantes. .. 129

Tabla A1-1. Parámetros de líneas de transmisión del Caso Anderson ... 146

Tabla A1-2. Parámetros de transformadores del Caso Anderson ... 146

Tabla A1-3. Parámetros de transformadores del sistema Caso Base Final. ... 147

Tabla A1-4. Parámetros de líneas de transmisión del sistema Caso Base Final. ... 147

Tabla A1-5. Resumen de parámetros de generadores utilizados en el Caso 0 ... 148

Tabla A1-6. Resumen de parámetros de generadores utilizados en el Caso 0-1 ... 148

Tabla A1-7. Resumen de parámetros de generadores utilizados en los casos del 1 al 4-4. 148 Tabla A1-8. Resumen de parámetros del controlador de velocidad TGOV1 ... 149

Tabla A1-9. Resumen de parámetros del controlador de tensión SEXS ... 149

Tabla A1-10. Resumen de parámetros del controlador de tensión EXST1 ... 149

Tabla A1-11. Resumen de parámetros del PSS IEE2ST ... 149

Tabla A2-1. Autovalores obtenidos a partir del Caso 0. ... 150

Tabla A2-2. Autovalores obtenidos a partir del Caso 0-1. ... 151

Tabla A2-3. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 0-1. ... 152

Tabla A2-4. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 0-1. ... 152

Tabla A2-6. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 1... 153

Tabla A2-7. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 1. ... 154

Tabla A2-9. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 2... 155

Tabla A2-10. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 2. ... 156

Tabla A2-11. Autovalores obtenidos a partir del Caso 3-1. ... 157

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xvii

Tabla A2-13. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 3-1. ... 158 Tabla A2-14. Autovalores obtenidos a partir del Caso 3-2. ... 159 Tabla A2-15. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 3-2. ... 160 Tabla A2-16. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 3-2. ... 160 Tabla A2-17. Autovalores obtenidos a partir del Caso 3-3. ... 161 Tabla A2-18. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 3-3. ... 161 Tabla A2-19. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 3-3. ... 162 Tabla A2-20. Autovalores obtenidos a partir del Caso 3-4. ... 163 Tabla A2-21. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 3-4. ... 163 Tabla A2-22. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 3-4. ... 164 Tabla A2-23. Autovalores obtenidos a partir del Caso 4-1. ... 165 Tabla A2-24. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 4-1. ... 165 Tabla A2-25. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 4-1. ... 166 Tabla A2-26. Autovalores obtenidos a partir del Caso 4-2. ... 167 Tabla A2-27. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 4-2. ... 167 Tabla A2-28. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 4-2. ... 168 Tabla A2-29. Autovalores obtenidos a partir del Caso 4-3. ... 169 Tabla A2-30. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 4-3. ... 169 Tabla A2-31. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 4-3. ... 170 Tabla A2-32. Autovalores obtenidos a partir del Caso 4-4. ... 171 Tabla A2-33. Factores de participación obtenidos a partir del Caso 4-4. ... 171 Tabla A2-34. Factores de participación normalizados obtenidos a partir del Caso 4-4. ... 172

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xviii

NOMENCLATURA

AVR: Regulador automático de tensión, por sus siglas en inglés. EOR: Ente Operador Regional.

ICE: Instituto Costarricense de Electricidad.

PSS: Estabilizador de Sistemas de Potencia, por sus siglas en inglés. SEN: Sistema Eléctrico Nacional.

SER: Sistema Eléctrico Regional. MVE: Modelo en Variables de Estado. Matriz de admitancias.

Tensiones en todas las barras del sistema. : Corrientes que fluyen por red eléctrica.

: Vector de corriente del enésimo generador del sistema. : Vector de tensión del enésimo generador del sistema. : Vector de corriente de la enésima carga del sistema.

: Vector de la tensión de la enésima carga del sistema.

: Submatriz de la matriz de admitancias que multiplica únicamente elementos

relacio-nados a generadores.

: Submatriz de la matriz de admitancias que multiplica elementos relacionados a

gene-radores y cargas.

: Submatriz de la matriz de admitancias que multiplica elementos relacionados a cargas

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xix

: Submatriz de la matriz de admitancias que multiplica únicamente elementos

relacio-nados a cargas.

: Componente de corriente real (pu, base del sistema). : Componente de corriente imaginaria (pu, base del sistema).

: Componente de tensión real (pu, base del sistema). : Componente de tensión imaginaria (pu, base del sistema). : Potencia activa consumida por la carga (pu, base del sistema).

: Potencia reactiva consumida por la carga (pu, base del sistema). : Potencia activa consumida en t=0 por la carga (pu, base del sistema).

: Potencia reactiva consumida en t=0 por la carga (pu, base del sistema). : Tensión de la barra en t = 0 (pu, base del sistema).

: Matriz de admitancias luego de aplicar reducción de Kron. : Tensión expresada en componentes real e imaginario.

: Tensión expresada en componentes cuadratura y directo. : Corriente expresada en componentes cuadratura y directo.

: Ángulo comprendido entre el eje real y eje de cuadratura.

: Velocidad angular del campo magnético del rotor de la máquina síncrona.

: Ángulo comprendido entre el eje real y eje de cuadratura del enésimo generador.

: Ángulo relativo del k-ésimo generador con respecto al ángulo del i-ésimo generador,

es decir .

(20)

xx

: Constante de tiempo de circuito abierto transitoria de eje en cuadratura.

: Constate de inercia normalizada (pu, base del sistema).

: Par mecánico en el eje del rotor del generador.

: Constante de amortiguamiento aportado por devanados del generador. : Tensión de excitación en devanado de eje directo.

: Tensión de excitación en devanado de eje en cuadratura. : Tensión interna transitoria de eje en cuadratura.

: Tensión interna transitoria de eje directo. : Resistencia de armadura.

: Reactancia de régimen permanente de eje directo. : Reactancia de régimen permanente de eje en cuadratura.

: Reactancia transitoria de eje directo. : Reactancia transitoria de eje en cuadratura. : Vector de estados del sistema.

: Vector de salidas del sistema. : Vector de entradas del sistema. A: Matriz de estados del sistema. B: Matriz de entradas.

C: Matriz de salidas.

(21)

xxi

: Cambio muy pequeño en variables de una ecuación linealizada. : Matriz de autovectores por la derecha de la matriz A.

: Matriz de autovectores por la izquierda de la matriz A. : Tensión de compensación en la entrada del AVR.

: Tensión de referencia en la entrada del AVR.

(22)

xxii

RESUMEN

El propósito de este proyecto consistió en desarrollar una herramienta informática para el análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal, compatible con el programa de simula-ción de sistemas de potencia PSS®E v.33, que superara las limitaciones de las herramientas que actualmente posee el ICE para abordar este tipo de análisis. La herramienta resultante se ha llamado ANALISER y se ha desarrollado su primera versión como producto final de este proyecto. Esta herramienta provee los medios necesarios para aplicar la metodología de análisis de estabilidad en pequeña señal, a un escenario realista del SER, modelado con el PSS®E v.33.

El alcance del presente trabajo consistió en darle al ANALISER v1.0 las siguientes capaci-dades: capacidad de extraer información de las bases de datos de un sistema de potencia en el formato del PSS®E v.33, capacidad de entregar la información en un formato que pueda ser manejado por el núcleo de procesamiento desarrollado en MATLAB®, permitir el uso de modelos transitorios de máquina sincrónica de orden 2, 3 y 4, representación de las car-gas del sistema por medio del modelo exponencial, un manejo apropiado para los modelos de FACTs y generadores de inducción presentes actualmente en el sistema eléctrico de la región centroamericana, capacidad de identificar los estados del sistema con mayor partici-pación en los modos de oscilación y por último proporcionar una manera apropiada de vi-sualizar y manejar los resultados arrojados por el programa.

Debido a que este proyecto se trabajó de manera conjunta con el proyecto “Desarrollo e implementación en MATLAB® de una metodología para el análisis de estabilidad dinámi-ca en pequeña señal”, propuesto paralelamente por el estudiante Christian Rojas Rodríguez, y se usó su motor de cálculo, los resultados de ambos proyectos se evalúan y presentan en forma conjunta (secciones 6.4 y 6.5).

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xxiii

Para todos los casos modelados se obtuvieron las componentes de frecuencia dominantes del sistema con márgenes de error aceptables. Además, los factores de participación obteni-dos permiten identificar de manera confiable el aporte de cada generador a los moobteni-dos de oscilación.

Se comprobó que el programa ANALISER tiene la capacidad de procesar en varios minu-tos, bases de datos del tamaño del sistema eléctrico centroamericano y México, permitién-dole ser una herramienta alternativa al SISP para el análisis de estabilidad en pequeña señal en sistemas de potencia de tal magnitud.

(24)

1

CAPÍTULO 1: Introducción

Desde la interconexión del sistema eléctrico centroamericano con el sistema eléctrico de México, se han presentado oscilaciones de potencia muy importantes en horas de baja de-manda. Con el propósito de salvaguardar la integridad del Sistema Eléctrico Regional (SER), se han establecido directrices que impiden la operación continua de esta intercone-xión, sacrificando así posibles transacciones de energía en el Mercado Eléctrico Regional y los beneficios que representaría estar interconectados a un sistema tan robusto como el me-jicano. Para atacar este problema de manera directa, es necesario determinar, por medio de un análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal, cuáles generadores participan en las oscilaciones, para luego tomar las medidas necesarias que permitan amortiguar el compor-tamiento de estos generadores.

En el presente proyecto se encontrará cómo se desarrolló una herramienta informática para el análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal, compatible con el programa de simu-lación de sistemas de potencia PSS®E v.33, que supera las limitaciones de las herramientas que actualmente posee el ICE para abordar este tipo de análisis.

La herramienta se ha llamado ANALISER y se ha desarrollado su primera versión como producto final de este proyecto. Por otra parte la herramienta fue desarrollada con una inter-faz gráfica que facilita la utilización del programa; así como, la lectura e interpretación de re-sultados de una manera adecuada.

Este proyecto se trabajó de manera conjunta con el proyecto “Desarrollo e implementación en MATLAB® de una metodología para el análisis de estabilidad dinámica en pequeña se-ñal”, propuesto paralelamente por el estudiante Christian Rojas Rodríguez, y debido a que se usó su motor de cálculo, los resultados de ambos proyectos se evalúan y presentan en forma conjunta en las secciones 6.4 y 6.5.

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1.1 Objetivos

Objetivo general 1.1.1

Desarrollar un programa que pueda extraer la información necesaria, interna y externa de las bases de datos de PSS®E v.33 para alimentar el programa desarrollado en el proyecto “Desa-rrollo e implementación en MATLAB® de una metodología para el análisis de estabilidad di-námica en pequeña señal”, brindando una interfaz de usuario adecuada, y permitiendo así el análisis en pequeña señal de un escenario realista del SER modelado en PSS®E.

Objetivos específicos 1.1.2

- Realizar un estudio conceptual que permita desarrollar el marco teórico adecuado para llevar a cabo un análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal.

- Hacer un estudio detallado del software PSS®E v.33, para entender dónde y cómo guarda la información antes y después de una simulación.

- Establecer el procesamiento necesario de un sistema de potencia modelado en PSS®E v.33, previo al análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal.

- Desarrollar la herramienta informática en Python, con una interfaz gráfica que facilite la utilización del programa; así como, la lectura e interpretación de resultados de una ma-nera adecuada.

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1.2 Metodología

El plan de trabajo para cumplir con los objetivos se constituye de cinco etapas. A continua-ción se describe cada una de ellas y se explica cómo se desarrolló:

- Etapa I: se realizó un estudio conceptual acerca del análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal, con el fin de establecer el marco teórico que sustentara el proyec-to. Para ello también fue necesario estudiar los diferentes modelos de elementos del SER como lo son generadores, líneas de transmisión, cargas y FACTs, y el impacto que éstos tienen en el análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal. Se estudió cómo y dónde se guarda la información en PSS®E, con el fin de tener acceso a los datos de entrada que son necesarios para llevar a cabo un análisis como el que se pretende.

- Etapa II: la segunda etapa consistió en recoger y asimilar los conocimientos necesa-rios para utilizar las herramientas de programación que permitieran el desarrollo del programa (entorno de desarrollo para programación orientada a objetos en Python y MATLAB®).

- Etapa III: en esta etapa se desarrolló el programa, lo cual permitió generar el código fuente que permitiera leer las condiciones iniciales de los estados y los resultados del flujo de potencia de PSS®E, y realizar el procesamiento necesario, previo a la aplicación de la metodología de análisis de estabilidad en pequeña señal, la cual fue implementada en una aplicación en MATLAB®, desarrollada en el proyecto: “Desarrollo e implementación en MATLAB® de una metodología para el análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal”.

- Etapa IV: la cuarta etapa consistió en la construcción de una interfaz gráfica que permitiera la fácil lectura e interpretación de los resultados obtenidos al ejecutar el programa y que realizara, de una manera transparente al usuario, la comunicación necesaria con el núcleo desarrollado en MATLAB®.

(27)

- Etapa V: Se validó la herramienta desarrollada comparando los resultados con los programas SISP y el módulo LSYSAN de PSS®E v.33 cuando entran en juego elementos como los AVRs, controladores de velocidad, PSSs, FACTs y los genera-dores de inducción, aplicando el análisis sobre el sistema de potencia de prueba de-finido en la Sección 6.2.2.

Por otra parte, vale la pena recalcar que este trabajo y el proyecto “Desarrollo e implemen-tación en MATLAB® de una metodología para el análisis de estabilidad dinámica en pe-queña señal”, propuesto por el estudiante Christian Rojas Rodríguez, son complementarios. Ambos proyectos fueron realizados simultáneamente y se delimitan de la siguiente forma:

1) ANALISER v1.0: Es la herramienta informática desarrollada en este proyecto. Pro-vee las capacidades para:

o realizar el procesamiento necesario de un escenario de operación modelado en PSS®E v.33, previo al análisis de estabilidad en pequeña señal.

o extraer las condiciones iniciales de los estados y los resultados del flujo de potencia desde PSS®E, haciéndolos usables por el núcleo de cálculo desa-rrollado en MATLAB®.

o Presentar los resultados de una manera práctica para el usuario

2) analiser.exe: Es el motor de cálculo en MATLAB® utilizado, desarrollado en el proyecto “Desarrollo e implementación en MATLAB® de una metodología para el análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal” que implementa la metodología de análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal propuesta.

(28)

5

CAPÍTULO 2: Desarrollo teórico

2.1 Análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal

Según Kundur, P (2004), la estabilidad dinámica en pequeña señal puede describirse como la habilidad de un sistema de potencia de mantenerse en sincronismo bajo pequeñas pertur-baciones, las cuales ocurren constantemente en el sistema por las variaciones entre la carga y la generación. Si se centrara la atención en la variación del par eléctrico de un determina-do generadetermina-dor del sistema, se tendría lo siguiente:

(2.1-1)

Donde la interacción entre la componente del par de sincronismo (Ts) y el par de amorti-guamiento (TD), define la respuesta del sistema según lo describe la Figura 2-1.

Figura 2-1. Respuesta del sistema ante pequeñas perturbaciones según sus componentes de sincronismo y amortiguamiento.

Considerando un análisis de estabilidad en pequeña señal, las perturbaciones son lo sufi-cientemente pequeñas para linealizar los modelos y ecuaciones que describen el sistema de potencia alrededor de un punto de operación, permitiendo así representar todo el sistema mediante un modelo en variables de estado como el siguiente:

(29)

̇ (2.1-2)

(2.1-3)

Donde:

= Vector de estados del sistema = Vector de salidas del sistema = Vector de entradas del sistema A = Matriz de estados del sistema B = Matriz de entradas

C = Matriz de salidas

D = Matriz de transición directa

La linealización permite evaluar la estabilidad local del sistema, cuando es sujeto a peque-ñas perturbaciones. De modo que si se le aplica la transformada de Laplace del MVE de las ecuaciones (2.1-2) y (2.1.3) y se encuentra la solución para la salida del sistema, se tiene:





adj( ) ( ) (0) ( ) ( ) det( ) s s s s s          I A y C x B u D u I A (2.1-4)

Donde se hace evidente que los polos de ∆y(s) corresponden a las raíces de la ecuación:

( ) (2.1-5)

Los valores de s que satisfacen esta ecuación son conocidos como los autovalores o modos de la matriz A, y poseen la siguiente forma general:

(2.1-6)

Donde,

(30)

parte real del autovalor y da el amortiguamiento de la respuesta.

parte imaginaria del autovalor y da la frecuencia de oscilación de la respuesta en rad/s. Para obtener la frecuencia de oscilación en Hertz, se recurre a la siguiente expresión:

(2.1-7)

El coeficiente de amortiguamiento estará dado por:

₍ ₎ (2.1-8)

Según lo expuesto por Kundur, P (1998) la respuesta del sistema será estable si los autovalores tienen parte real negativa, inestable si al menos uno tiene parte real positiva, y no se puede con-cluir nada acerca de la estabilidad, si tiene parte real igual a cero; todo esto basado en la teoría de

Lyapunov. De esta manera podrá evaluarse la estabilidad de un sistema a partir de los

autovalo-res que autovalo-resulten de la solución de la ecuación (2.1 5).

Para cualquier autovalor λi, podrá encontrarse un vector fila φi que satisfaga la siguiente

ecua-ción:

Este vector será llamado autovector derecho de A, asociado al autovalor λi.

Los autovectores permiten a su vez calcular los factores de participación, que cuantifican cuánto influye cada estado del sistema en los modos de oscilación, de manera que si un modo es inesta-ble se puede identificar cuáles generadores participan mayormente en esta inestabilidad, y se puede proceder a realizar las acciones necesarias para volver dicho modo estable o bien eliminar-lo. Posteriormente en este capítulo, se ampliará más sobre la forma de calcular los factores de participación.

(31)

En las siguientes secciones se describe la metodología necesaria para realizar la representa-ción del sistema como un modelo en variables de estado, y así poder aplicar los criterios de estabilidad introducidos en esta sección.

2.2 Reducción de la red eléctrica para análisis de estabilidad dinámica

Con la finalidad de llevar a cabo un análisis de estabilidad dinámica en sistemas de poten-cia multimáquina, es necesario representar el modelo del sistema de una manera convenien-te. A continuación se establecen los conceptos necesarios para alcanzar este fin.

Matriz de admitancias 2.2.1

Tal como lo indica Stevenson, W.D. (1996), las corrientes inyectadas a un sistema de po-tencia, pueden determinarse por la multiplicación de la matriz de admitancias y el vector de tensiones del sistema:

(2.2-1)

Donde Y es conocida como la matriz de admitancias, es el vector de tensiones de todas las barras del sistema e i es el vector de corrientes inyectadas al sistema de potencia (véase la Figura 2-2).

(32)

Figura 2-2. Componentes de un sistema eléctrico.

Debido a la naturaleza del modelado de un sistema eléctrico, cada una de las tensiones, co-rrientes y admitancias de la red que componen la ecuación (2.2-1) pueden ser expresadas como números complejos:

(2.2-2) (2.2-3) (2.2-4)

Donde , es utilizado para representar barras de generación (p = g), o bien, barras de carga (p = c). Por otra parte, es utilizado para identificar de manera orde-nada las barras de generación y m, las de carga. Se tiene entonces que la ecuación (2.2-1) puede escribirse de la siguiente forma:

[ ] [ ] (2.2-5)

(33)

[ ] [

] [ ] _(2.2-6)

Reducción de Kron 2.2.2

La metodología propuesta por Anderson, P.M., (1976), indica que asumiendo las cargas como impedancia constante (por lo tanto pasan a formar parte de la matriz de admitancias), no existiría inyección de corriente en los nodos de carga, en consecuencia la ecuación (2.2-6) puede escribirse como:

[ ] [

] [ ] (2.2-7)

Aplicando la reducción de Kron, pueden eliminarse los nodos que tienen corrientes inyec-tadas iguales a cero (Stevenson, W.D., 1996), obteniendo (véase la Figura 2-3):

[ ] [ ][ ] (2.2-8)

(34)

La ecuación (2.2-8) puede escribirse también como:

[ ] [ ][ ] (2.2-9)

La ecuación (2.2-9) relaciona las corrientes en terminales de los generadores en función de: - Las tensiones de todas las barras de generación del sistema y

- la matriz , que contiene implícitamente las características de la red de todo el sistema.

Matriz de transformación T 2.2.3

Las tensiones y corrientes de un generador pueden expresarse en función de diferentes refe-rencias (Anderson, P.M., 1976), dependiendo de dónde se necesite analizar las variables según las características del estudio. Analizando los generadores y sus relaciones con la red eléctrica que los interconecta, las tensiones y corrientes normalmente están medidas respec-to al de una barra de generación del sistema que ha sido respec-tomada como referencia y cuyo ángulo se localiza sobre el eje real del plano complejo, tal como se muestra en la Figura 2-4.

(35)

Por otra parte, si el interés es analizar la dinámica interna del generador, las variables pue-den expresarse en función las referencias dadas por los devanados del rotor (eje directo y eje de cuadratura), tal como se muestra en la Figura 2-5.

Figura 2-5. Eje directo y cuadratura

Tal como lo describe Anderson, P.M. (1976) (ver Figura 2-6), puede deducirse por inspec-ción que:

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) (2.2-10)

Figura 2-6. Relación entre ejes Real-Imaginario y ejes Directo-Cuadratura

(36)

La ecuación (2.2-10) puede escribirse como:

(2.2-11)

La ecuación (2.2-11) se cumple igualmente para las corrientes, de donde se obtiene:

(2.2-12)

Tomando en cuenta las ecuaciones (2.2-11) y (2.2-12), y extendiendo el concepto para un sistema de n-máquinas, se tiene:

̅ ̂ (2.2-13) ̅ ̂ (2.2-14) Donde: ̅ [ ] (2.2-15) ̂ [ ] (2.2-16) ̅ [ ] (2.2-17) ̂ [ ] (2.2-18)

(37)

1 2 0 0 0 0 0 0 n j j j e e e                 T (2.2-19)

Donde n es el número de generadores.

Es importante notar que se ha usado la barra ( ̅ ) para designar las variables que se encuen-tran referidas a los ejes Real e Imaginario; se ha usado el “sombrero” ( ̂ ) para las variables que se encuentran referidas a los ejes d y q de cada máquina; y además vale la pena notar que la matriz es una matriz diagonal y por lo tanto cumple con:

_(2.2-20)

Donde T* es la matriz conjugada de T.

Matriz de transformación M 2.2.4

Aplicando las ecuaciones (2.2-13) y (2.2-14) a la ecuación (2.2-9), se obtiene:

̂ ̂ (2.2-21)

Despejando la expresión de las corrientes en eje directo y cuadratura se tiene:

̂ ̂ (2.2-22)

Donde:

(2.2-23)

(38)

[ ] (2.2-24)

Y sustituyendo la ecuación (2.2-24) y (2.2-19) en la ecuación (2.2-23), se obtiene que:

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] (2.2-25)

Linealización de las corrientes inyectadas 2.2.5

Al obtener las expresiones de la matriz M se procede a linealizar la expresión (2.2-25) de la siguiente forma: [ ̂ ] [ ̂ ] [ ̂ ] [ ] [ ] (2.2-26) Reacomodando: [ ̂ ] [ ̂ ] [ ̂ ] (2.2-27) Donde:

̂ : es el vector de corrientes inyectadas linealizadas de generadores. ̂ : es el vector de tensiones terminales linealizadas de generadores. : es el vector de corrientes de generadores linealizadas.

(39)

La ecuación anterior se utilizará para sustituir las corrientes y tensiones terminales en los modelos en variables de estado de los generadores y las cargas, tal y como se mostrará en las siguientes secciones.

2.3 Ecuaciones del modelo de carga

Según describe Sánchez, D. (2002), un modelo de carga es una representación matemática que tiene como función definir las ecuaciones de potencia real y reactiva consumida, de tal modo que permitan describir el comportamiento de la misma lo más cercano posible a la realidad, cuando se ve sometida a diferentes perturbaciones. El modelo potencial simplifi-cado, que se presenta más adelante, puede modelar las principales características del com-portamiento de la carga en las subestaciones de Costa Rica y el resto del SER con suficiente precisión. Esta consideración hace innecesaria la incorporación de la componente dependiente de la frecuencia en el modelado completo de la carga.

Utilizando las ecuaciones planteadas por Kundur, P. (1998), se tiene:

[ ] [ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ] [ ] (2.3-1) Donde:

ir,i: Corriente de la carga, componentes real e imaginaria respecto a la barra de referencia

angular.

vr,i: Tensión de la carga, componentes real e imaginaria respecto a la barra de referencia. Pl,Ql: Potencia real y reactiva consumida por la carga.

(40)

‖ ‖ √ _(2.3-2)

( ) (2.3-3)

( ) (2.3-4)

Donde el subíndice 0, hace referencia a la condición inicial de la variable. Se obtiene en-tonces que: [ ] [ ] [ ] (2.3-5) Donde: (( ) ) (( ) ) (2.3-6) (( ) ) (( ) ) (2.3-7) (( ) ) (( ) ) (2.3-8) (( ) ) (( ) ) (2.3-9)

Vale la pena hacer notar que según sea el valor de los exponentes, la carga puede tener una característica de:

- impedancia constante (m = 2, n = 2). - corriente constante (m = 1, n = 1). - potencia constante (m = 0, n = 0).

(41)

O bien una combinación de todas las anteriores.

2.4 Modelado de generadores y modelos en variables de estado

Tal como lo desarrolla Anderson, P.M. (1976), existen diferentes modelos de la máquina síncrona que pueden describir el comportamiento de la misma. La complejidad de estos modelos depende de los efectos introducidos por los diferentes elementos que componen la máquina en el fenómeno a analizar.

Mun-Ong, C. (1998) indica que para el análisis de oscilaciones electromecánicas, como lo son las oscilaciones en pequeña señal, se utiliza el modelo transitorio debido a que las cons-tantes de tiempo del modelo (con rangos de 0.5 a 10 segundos), son semejantes a las de las constantes de tiempo de las oscilaciones electromecánicas estudiadas en un análisis en pe-queña señal (con rangos de 0.5 a 3 Hz).

Modelo transitorio en dos ejes 2.4.1

Como lo describe Anderson, P.M. (1976) y Mun-Ong, C. (1998), el modelo transitorio no toma en cuenta los devanados de amortiguamiento porque asume que no están activos; por lo tanto, las derivadas de los enlaces de flujo en eje directo y cuadratura son despreciables, así ̇ y ̇ .

Las ecuaciones del modelo son las siguientes (ver Nomenclatura para definición de varia-bles):

Ecuaciones algebraicas:

(2.4-1)

(42)

Ecuaciones diferenciales:

̇ ( ) (2.4-3)

̇ ( ) (2.4-4)

̇ [ ( ) ] (2.4-5)

̇ (2.4-6)

Tal como lo explica Mun-Ong, C. (1998), debido a que la tensión es utilizada para re-presentar el efecto de las corrientes dentro en el núcleo del rotor y es modelada como una fuente de excitación en el eje en cuadratura, puede despreciarse en la ecuación (2.4-4). Al linealizar las ecuaciones (2.2-3), (2.2-4), (2.2-5) y (2.2-6), y expresando todo el sistema como un modelo en variables de estado, se tiene:

Ecuaciones algebraicas linealizadas: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.4-7)

(43)

Ecuaciones diferenciales linealizadas: [ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ] [ ] (2.4-8) Donde: [

]: Vector de variables de estado linealizadas.

[

]: Vector de variables de entrada linealizadas.

(44)

Según la ecuación (2.2-27), las corrientes inyectadas por los generadores son una función de las variaciones en las tensiones terminales y los estados, permitiendo escribir la ecuación (2.4-8) como un modelo en variables de estado dependiente únicamente de los estados y las entradas del sistema. En las secciones posteriores se describirá en detalle cómo realizar esta sustitución.

Simplificación del modelo de dos ejes para máquinas de polos salientes 2.4.2

Tanto Anderson, P.M. (1976), como Mun-Ong, C. (1998), demuestran que para el caso de generadores de polos salientes y , simplificando el modelo de la máquina a las siguientes ecuaciones:

Ecuaciones algebraicas: (2.4-9) (2.4-10) Ecuaciones diferenciales: ̇ ( ) (2.4-11) ̇ [ ( ) ] (2.4-12) ̇ (2.4-13)

Al linealizar las ecuaciones (2.4-11), (2.4-12) y (2.4-13), y expresarlas como un modelo en variables de estado se tiene:

(45)

Ecuaciones algebraicas linealizadas: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.4-14)

Ecuaciones diferenciales linealizadas:

[ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ] [ ] (2.4-15)

Modelo transitorio clásico 2.4.3

Tal como lo describe Anderson, P.M. (1976), la representación de todas las máquinas con el mo-delo completo podría dificultar tanto el análisis como el tiempo de cálculo; por lo tanto, depen-diendo del análisis y los eventos a analizar, podrían realizarse simplificaciones aún mayores de las máquinas en el modelado. Una simplificación muy útil es la que origina el modelo transitorio clásico mostrado en la Figura 2-7.

(46)

Figura 2-7. Modelo transitorio clásico

Para utilizar este modelo se deben realizar las siguientes suposiciones (Anderson, P.M., 1976): 1. Tensión interna detrás de la reactancia transitoria es constante.

2. La potencia mecánica de entrada es constante.

3. El ángulo mecánico del rotor coincide con el ángulo de la tensión detrás de la reactancia tran-sitoria.

4. Se desprecia la saliencia del rotor de modo que: xd = xq = xs.

Con respecto a la primera suposición, Anderson, P.M. (1976) indica que se puede suponer cons-tante debido a que cuando pasan eventos repentinos en el sistema, los cambios entre la corriente de armadura y las corrientes del rotor hacen que los enlaces de flujo se mantengan casi constan-tes, y por lo tanto .

Partiendo del modelo presentado en la Figura 2-7 y despreciando el valor de la resistencia de ar-madura se tiene la siguiente ecuación:

'

' _t _s _t

E     v  jx i  (2.4-16)

Tanto , como , se encuentran medidos con respecto a la barra de referencia del sistema. Al pasar la ecuación (2.4-16), en componentes real e imaginario, a la ecuación (2.4-17) expresa-da en ejes directo y de cuadratura de la máquina, se tiene:

(47)

( ) ( ) (2.4-17) Se debe notar que , se encuentra sobre el eje en cuadratura. Luego, separando las

ecua-ciones en sus respectivos componentes se tiene: Ecuaciones algebraicas: (2.4-18) (2.4-19) Ecuaciones diferenciales: ̇ [ ] (2.4-20) ̇ (2.4-21)

Linealizando las ecuaciones (2.4-18), (2.4-19), (2.4-20) y (2.4-21), y tomando en cuenta que la componente de y que es constante, se obtiene:

Ecuaciones algebraicas linealizadas:

[ ] [ ] [ ] (2.4-22)

Ecuaciones diferenciales linealizadas:

[ ̇ ̇] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.4-23) Donde: [

] : Vector de cambio de las variables de estado. [

(48)

[ ] : Vector de corrientes de generador linealizadas (corrientes inyectadas al sistema). Según la ecuación (2.2-27), las corrientes inyectadas por los generadores son una función de las variaciones en las tensiones terminales y los estados, permitiendo escribir la ecuación (2.4-8) como un modelo en variables de estado dependiente únicamente de los estados y las entradas del sistema. En las secciones posteriores se describirá en detalle cómo realizar esta sustitución.

Acoplamiento de los modelos de generadores 2.4.4

Según la metodología expuesta por Anderson, P.M. (1976) para acoplar estos modelos de gene-rador a la ecuación (2.2-27), es necesario sumar la reactancia transitoria de eje directo y la resis-tencia de armadura a la matriz de admitancias, para así hacer que se cumpla:

̂ (2.4-24)

De manera que al sustituir la ecuación (2.2-27) en los modelos en variables de estado, todas las ecuaciones queden en función de las variables de estado. Toda esta reducción debe realizarse an-tes de proceder a realizar la reducción de Kron descrita en la ecuación (2.2-9). Lo anterior expli-ca por qué en las Figura 2-2 y Figura 2-3 no se describen dichas variables. El procedimiento anterior puede entenderse mejor en la Figura 2-8 y la Figura 2-9.

(49)

Figura 2-8. Sistema sin parámetros del generador incluidos en Y bus

Figura 2-9. Sistema con parámetros del generador incluidos en Y bus

Suponiendo un sistema de dos máquinas, cada una de ellas modelada por las ecuaciones (2.4-8) y (2.4-23), respectivamente, se tiene: [ ̇ ̇] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.4-25)

(50)

[ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.4-26)

Estos modelos pueden acoplar de la siguiente manera:

[ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.4-27)

Generalizando para un sistema de n-modelos de máquina diferentes, se puede escribir la ecua-ción (2.4-27) de la siguiente forma:

[ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.4-28)

(51)

Donde el subíndice 1 pertenece a las unidades modeladas con el modelo transitorio 1, el subíndice 2 a los representados con modelo transitorio 2, y el subíndice n, a los generadores representados con enésimo modelo transitorio.

2.5 Elaboración del MVE del sistema de potencia completo

Escribiendo la ecuación (2.2-27) como:

[ ̂] [ ] [ ̂] (2.5-1)

Luego sustituyendo la ecuación (2.4-24) en (2.5-1) se tiene:

[ ̂] [ ] [ ] (2.5-2) Por simplicidad y sin perder generalidad, la ecuación (2.4-28) puede escribirse sólo para dos má-quinas de la siguiente forma:

[ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.5-3)

Sustituyendo el vector del cambio de las corrientes de la ecuación (2.5-3) por el de la ecuación (2.5-2) se tiene:

(52)

[ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] (2.5-4)

Modificando la matriz , al sumarle a las filas los valores de correspondientes a y

se tiene: [ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (2.5-5)

Donde la matriz es la matriz que da los valores propios que determinan la estabilidad del sis-tema, alrededor del punto de operación donde fueron linealizadas las ecuaciones.

(53)

2.6 Metodología base para el análisis de estabilidad en pequeña señal

Al sintetizar en un diagrama, la metodología base para el análisis de estabilidad dinámica en pe-queña señal expuesta por Anderson, P.M, 1976, y presentada en las secciones anteriores, se ob-tiene la Figura 2-10.

Figura 2-10. Síntesis de metodología base para análisis de estabilidad dinámica en pequeña señal.

(54)

2.7 Modelado de controles del generador síncrono

Según Rogers, Graham (2000), cuando se aplica un análisis de estabilidad dinámica sobre un sis-tema de potencia, considerando únicamente sus generadores como elementos dinámicos, y repre-sentándolos por medio del modelo clásico, los resultados únicamente reflejarán los efectos de las oscilaciones fundamentales del sistema de potencia interconectado. Sin embargo, el uso de mo-delos más detallados de generador, así como la consideración de sus controles, permite un análi-sis menos fundamental, pero aun así muy importante, sobre el efecto de éstos en las oscilaciones electromecánicas del sistema.

A continuación se detallan aspectos importantes sobre el modelado de los controles para el análi-sis de estabilidad dinámica.

Control de tensión 2.7.1

El control de tensión de generadores es muy importante para lograr una operación segura de sis-temas de potencia interconectados. Sin embargo, la respuesta rápida de estos controles puede provocar que algunos modos de oscilación electromecánica se vuelvan inestables (Rogers, Graham, 2000). A continuación se describen dos modelos de AVR usados para representar con-troles reales, que han sido escogidos para formar parte de este proyecto, por las razones que se presentan más adelante.

2.7.1.1 Modelo SEXS

Consiste en un modelo genérico de AVR que representa la característica general de una amplia variedad de sistemas de excitación sintonizados.

(55)

Figura 2-11. Modelo SEXS

Este modelo es particularmente útil en aquellos casos en los que se desea representar un sistema de excitación y se desconoce su diseño. Este modelo tiene como entradas VREF (tensión de refe-rencia del AVR), Vs (tensión de salida de PSS) y Ec (tensión terminal del generador realimentada al AVR); la salida del AVR se nombra como EFD (conocida como tensión de excitación). La ganancia K, la constante de tiempo TE y los límites EMAX y EMIN, son representaciones básicas de la fuente de excitación. Mientras que las constantes de tiempo TA y TB, permiten el modelado básico del regulador de tensión (Siemens Power Technologies International, 2012).

2.7.1.2 Modelo EXST1

Este modelo tiene como finalidad la representación apropiada de sistemas de excitación donde la energía es provista a través de un transformador conectado a los terminales del generador, o bien a la barra auxiliar de la unidad, y es regulado por medio de un rectificador controlado. De esta manera, la tensión máxima que será capaz de proveer el sistema de excitación, podría verse limi-tada por la tensión en terminales del generador.

El modelo provee la capacidad de modelar la reducción de la ganancia transitoria por medio de dos vías: a través de las constantes de tiempo TB y TC (en cuyo caso KF sería normalmente igual

(56)

a cero), o bien mediante el lazo de realimentación, haciendo una escogencia adecuada de los pa-rámetros KF y TF. La ganancia del regulador de tensión, así como las constantes de tiempo del excitador, son representadas por medio de KA y TA, respectivamente. Las entradas y salidas son las mismas que para el modelo tipo SEX.

En muchos casos, el limitador de tensión que se encuentra después del segundo punto de suma (ver Figura 2-12), podría despreciarse. Sin embargo, el limitador de la tensión de campo deberá modelarse siempre, a menos que el excitador se alimente de una barra auxiliar.

Figura 2-12. Modelo EXST1

En la mayoría de los sistemas de excitación alimentados por medio de un transformador, el pa-rámetro KC es muy pequeño, permitiendo despreciar la componente que depende de la corriente de campo en la determinación de los límites asociados a éste (Siemens Power Technologies In-ternational, 2012).

Control de velocidad 2.7.2

La respuesta de los controladores de velocidad es lenta. Las constantes de tiempo asociadas a turbinas, tanto hidráulicas como de vapor, son muy grandes. Por esta razón, cuando se estudian los modos de inestabilidad locales, los controladores de velocidad juegan un papel despreciable.

(57)

Sin embargo, se ha encontrado que cuando sistemas aislados se interconectan por medio de co-nexiones débiles, se favorece la generación de oscilaciones de baja frecuencia, en las que los controladores de velocidad pueden jugar un papel importante (Rogers, Graham, 2000).

Figura 2-13. Modelo TGOV1

El modelo del controlador de velocidad presentado en la Figura 2-13, corresponde a un modelo básico utilizado para la representación de la acción del controlador de velocidad y la turbina en una máquina de vapor. La razón T2/T3 es igual a la fracción de la potencia que es desarrollada por la turbina de alta presión. T3 es la constante de tiempo del recalentador y T1 la del controla-dor de velocidad. Las entradas del modelo son la desviación de velocidad (∆ω) y la referencia de potencia; por otra parte, tiene como salida la potencia mecánica de entrada a la máquina (PMEC). Los límites VMAX y VMIN modelan los límites máximo y mínimo de apertura de la válvula de combustible. (Siemens Power Technologies International, 2012).

Estabilizadores de potencia 2.7.3

La función básica de un estabilizador de sistemas de potencia (PSS) es agregar amortiguamiento a las oscilaciones del rotor del generador, controlando su excitación por medio de señales

(58)

auxi-liares de estabilización. Según Kundur, P. (1998), el estabilizador debe generar una componente de par eléctrico en fase con las desviaciones de velocidad del rotor para proveer amortiguamien-to.

Se considerará el modelo de PSS presentado en la Figura 2-14. Este modelo es derivado de un estabilizador de propósito general propuesto por la IEEE en 1976. Permite el ingreso de dos se-ñales estabilizadoras, las cuales pueden ser: la desviación de la velocidad del rotor, la desviación de la frecuencia de la tensión terminal, la potencia eléctrica del generador, la potencia acelerante del generador, la tensión terminal, o bien su derivada (Siemens Power Technologies Internatio-nal, 2012).

Figura 2-14. Modelo IEE2ST

2.8 Cálculo de las matrices modales y factores de participación

Tal como lo indica Kundur, P. (1998) se pueden encontrar los autovectores por la derecha a par-tir de la matriz tal que cumplan que:

(59)

(2.8-1) [ ] (2.8-2)

Donde es una matriz de tamaño y es un vector de tamaño . Por otra parte, también se definen los autovectores por la izquierda, los cuales cumplen con:

(2.8-3)

[ ] (2.8-4)

Donde, es un vector de tamaño .

Si pertenecen al mismo autovalor, al multiplicar los autovectores por la derecha y por la izquier-da, se tiene:

(2.8-5)

Donde es siempre una constante. Si se normalizan todos los autovectores de una manera con-veniente, se tiene:

(2.8-6)

Reacomodando los autovectores por la derecha y por la izquierda se pueden obtener las matrices modales definidas a continuación:

[ ] (2.8-7)

[ ] (2.8-8)

(60)

[ ] [ ] (2.8-9)

es llamado el factor de participación del estado k en el modo i. Donde es el

elemento de la fila y columna de la matriz modal , y es el elemento de la fila y

co-lumna de la matriz modal

Como lo define Kundur, P. (1998), el factor de participación es una medida relativa de la partici-pación de la k-ésima variable de estado en el i-ésimo modo de oscilación, y viceversa. Dicho de otra manera, con los factores de participación se puede cuantificar cuáles generadores aportan en los modos de oscilación más críticos, para así proceder a aplicar los métodos necesarios para eliminar o minimizar dichos modos, y así poder estabilizar el sistema.