Inferencia sobre la proporción poblacional
Ejercicio para practicar intervalos de confianza para la proporción poblacional.
1) Un político desea saber qué proporción de gente lo votará en las próximas elecciones, es por eso que lo ha contratado a usted para que realice el trabajo.
Se pide averiguar:
a) Qué tamaño de muestra debe tomarse si:
Se tiene como referencia un muestreo reciente en el que se dice que lo votaría el 30% de las personas.
Utilice 90% de confianza
b) Se toma la muestra calculada, la misma arroja un 40% de intención de voto. Estime con un 90% de confianza la proporción de personas que votarán a ese político.
Resolución:
a) Como ya se hizo un muestreo vamos a utilizar como p a los valores de la encuesta anterior.
p = 0.3 1-p = 0.7
n= {[Z 0.95 *√(0.3*0.7)]/0.03}2 n= 632 personas.
Respuesta: deberán evaluarse 632 personas.
Si el resultado no diera entero redondeo hacia arriba
b) Para resolver este ejercicio puedo usar cualquiera de los dos tamaños de muestra calculados.
Usando n = 632
p dado por el ejercicio = 0.4; q = 0.6 IC (P) = [p+/- Z 1-α/2 * √(p*q/n)] IC (P) = [0.4+/- Z 0.95* √(0.4*0.6/632)] IC (P) = [0.4+/- 1.645* √(0.4*0.6/632)]
IC (P) = [0.368; 0.432]
Respuesta: Con un 90% de confianza puede afirmarse que el porcentaje de votación de este candidato estará entre el 36.8 y 43.2 %.
Ejercicio modelo de test de hipótesis para la proporción poblacional Se va a cambiar una fotocopiadora por otra nueva que nos asegura que arruina menos del 5% de las copias. Antes de decidir la compra se toma una muestra de 500 impresiones de las cuales 22 están arruinadas y se desea que la probabilidad de comprar la máquina cuando arruine más del 5% de las hojas valga el 5%.
a) Indique la decisión sobre la compra de la máquina.
b) Considerando los datos de la muestra, cual es la probabilidad de comprar la máquina equivocadamente. Resolución: c p p CR p p
H
H
ˆ ˆ : 05 . 0 : 05 . 0 : 1 0 RD : Si Rechazo Ho, compro la máquina
n= 500 copias ^
r= 22 arruinadas p =22/500= 0.044 ^
CR= si p < 0.034 Rechazo la Ho
RD= si rechazo la Ho Compro la máquina. ^ P crit. = Po – Z1-α * n q p ˆˆ = 0.05 – 1.645. 500 95 . 0 * 05 . 0 = 0.034 ^ ^
Como p = 0.044> pc=0.034 no rechazo la Ho no aconsejo comprar la máquina. Conclusión: Puede decirse que no existe evidencia suficiente de que la fotocopiadora arruina menos del 5% de las copias por lo tanto no se aconseja la compra de la misma.
b) p-value = p (rechazar la Ho \ Ho es V \ datos de la muestra) ^
Ubico a p en el gráfico y busco su valor en la tabla de normal. Para eso debo estandarizar el valor. 62 . 0 61558 . 0 500 95 . 0 * 05 . 0 05 . 0 044 . 0 ˆ ˆ ˆ 0 n q p p Z
p
(O USANDO LA APP COMO EN CLASE) Z= (-0.62)
F(Z) = F(-0.62) = 0.26763 = p-value
Conclusión= La probabilidad de comprar la máquina equivocadamente es del 26,763%
1. Un candidato lo contrata para realizar un sondeo acerca de su imagen positiva. Realizaremos la estimación con un riesgo máximo del 5% de modo que la amplitud del intervalo no supere los 6 puntos porcentuales. Este candidato nos acerca los resultados de un sondeo similar de la semana anterior donde la imagen positiva era del 40%
a) ¿Qué tamaño de muestra debo considerar para la estimación?
b) Si finalmente se toma la muestra del punto a) y arroja una imagen positiva del 35%, ¿entre qué límites de confianza se encontrará el verdadero porcentaje de imagen positiva poblacional?
c) ¿cuántas personas más habría que encuestar para lograr el error muestral de la estimación anterior se reduzca al 70%?
RTAs: a) 1025 personas b) (0.3208 ; 0.3792) c) 1182 personas más
2. En una imprenta se está evaluando la posibilidad de cambiar una de las máquinas por otra más moderna, si es que puede asegurarse que producirá una menor proporción de impresiones falladas que la actual. De hecho se ha fijado la probabilidad de cambiar la máquina cuando produce 10% o más de impresiones falladas en un 5%. Antes de tomar una decisión se imprimen 100 hojas con la nueva máquina y 8 de ellas resultan con fallas en la impresión.
Considera que la información muestral arroja evidencia suficiente como para recomendar el reemplazo de la máquina actual por la nueva?
3. Una empresa que se dedica a la fabricación de autopartes, recibe reclamos en el 20% de sus unidades debido a fallas de torneado. Se está considerando cambiar el torno actual por otro más costoso pero más efectivo. A fin de tomar una decisión, se fabrican 500 unidades con el nuevo torno, encontrándose fallas en 80 de ellas.
Con un riesgo del 5% de tomar una decisión incorrecta, ¿aconsejaría adquirir el torno más costoso?
4. El porcentaje de instrucciones mal procesadas por una computadora debe ser como máximo del 5%. Si este porcentaje es significativamente superior, la máquina será enviada a servicio técnico. Periódicamente se llevan a cabo controles de la misma, siendo deseable que la probabilidad de remitirla incorrectamente a servicio técnico no supere el 10%.
a) En el último control sobre 500 instrucciones, 27 de ellas fueron mal procesadas. ¿Constituye esto evidencia suficiente para remitir la computadora a servicio técnico?
5. En un control efectuado en una fábrica de relojes sumergibles, se extrae una muestra de 120 relojes y se observa que 15 de ellos presentan un incorrecto sellado de la máquina lo cuál haría que el agua los arruine. Se desea probar que el porcentaje de relojes mal sellados no supera el 10%, establecido en las normas ISO 20005, y para ello se fija en un 10% la probabilidad de concluir erróneamente que aquel porcentaje supera dicho valor.
¿Hay evidencia de una violación de las normas ISO 20005?
6. En una empresa se estudia la posibilidad de incorporar un nuevo proceso con el fin de aumentar la proporción de piezas buenas del mismo. Actualmente el porcentaje de piezas buenas es del 85%. Para la toma de la decisión se tomó una muestra de 1000 piezas y se observó que 130 piezas presentaban algún defecto.
a) ¿Aconsejaría usted la incorporación del proceso asumiendo un riesgo del 5%? b) Estime el porcentaje de piezas defectuosas con el nuevo método.(N.C.=95%) 7. En una empresa dedicada a la fabricación de lápices se tiene en la actualidad un 3% de lápices defectuosos. Se estudia la posibilidad de incorporar una nueva formulación que disminuiría dicho porcentaje. Luego de realizar una prueba sobre 100 lápices creados con la nueva formula se encontró que 98 no eran defectuosos.
a) ¿Aconseja la implementación de la nueva formulación, asumiendo un riesgo del 5%?
b) Estime el porcentaje de lápices sin defecto.(N.C=90%)
8. Se desea establecer un sistema de muestreo periódico para controlar una máquina llenadora de envases de un líquido gaseoso. Se estipula que si más del 8% de los envases tienen líquido faltante (lo que se considera defectuoso), se parará el proceso de llenado para ajustarlo. Se establece en un 5% la probabilidad de parar el proceso innecesariamente (es decir, cuando trabaja con un 8% o menos de envases
defectuosos), y en un 2% el riesgo de no parar el proceso cuando el porcentaje de envases defectuoso es del 11%.
a) Se tomó la muestra y se encontró un 8.5% de envases defectuosos. ¿Qué decisión tomaría?
