2º EXAMEN PARCIAL. FÍSICA II. TEMAS 3 Y 4 (11/05/2016) Cuestión 1.- Considérense dos cables conductores largos sobre el plano de
esta hoja, que transportan corrientes de igual magnitud dirigidas hacia el encabezado de la misma. En un punto a mitad de camino entre los dos cables, el campo magnético:
a) está dirigido hacia el interior de la página b) se dirige al exterior de la página
c) se dirige al pie de la página
d) se dirige hacia una de las corrientes e) es nulo
Cuestión 2.- Dos cables largos 1 y 2 transportan corrientes antiparalelas
I1 e I2, con I2=2I1. Si F12 es la fuerza ejercida por la corriente 1 en el cable
2, y F21 la que ejerce la corriente 2 sobre el cable 1, se cumple:
a) F12=F21
b) F12=2F21
c) 2F12=F21
d) F12=4F21
e) 4F12=F21
Cuestión 3.- Un ciclotrón opera con protones a un frecuencia de 104 Hz.
¿Cuál sería la frecuencia si acelerase núcleos de helio? (Considérense los núcleos de helio formados por dos protones y dos neutrones).
a) 2·104 Hz
b) 4·104 Hz
c) 5·103 Hz
d) 2,5·103 Hz
e) 1,25·103 Hz
Cuestión 4.- Un alternador con un bobinado de 100 espiras produce una
f.e.m. de amplitud 12 V cuando se hace girar su núcleo a una velocidad angular de 60 rad/s. ¿Qué valor tomaría la amplitud si se duplicase el número de espiras y se redujese la velocidad a 20 rad/s?
a) 12 V b) 18 V c) 8 V d) 16V e) 8/3 V
0 1 2 3 0 2 4 6 8 B ( T ) x (m)
Cuestión 5.- Tres ondas planas monocromáticas de colores rojo, verde y
violeta, respectivamente, tienen la misma intensidad. ¿Cuál de ellas tiene un campo eléctrico más intenso?
a) la roja b) la verde c) la violeta
d) son iguales
e) no se puede saber
Cuestión 6.- En una región del espacio se tiene un campo eléctrico
oscilante E=(0.2 V/m) senωt, donde ω=500 rad/s. La amplitud de la corriente de desplazamiento a través de una superficie de área unitaria, ortogonal al campo eléctrico, será (recuérdese que εo=8,854·10-12 F/m):
a) 0 A b) 445 nA c) 445 µA d) 0,89 µA e) 0,89 nA Problema
Una espira cuadrada de 1 mm de lado se encuentra originalmente en reposo en el origen de coordenadas, con su plano ortogonal al eje Z. En el instante t=0 comienza a moverse a velocidad constante 𝑣𝑣⃗ = 1 𝑚𝑚/𝑠𝑠 𝑢𝑢����⃗ 𝑥𝑥
y se adentra en una región en que existe un campo magnético dirigido según el eje Z, y cuya magnitud varía de acuerdo con el gráfico
adjunto. Represéntese la fuerza electromotriz inducida en el circuito en función del tiempo (puede asumirse que, habida cuenta de las pequeñas dimensiones de la espira, B prácticamente toma el mismo valor en toda su superficie en cada instante).
Puntuación: Cada cuestión 1 punto (las respuestas incorrectas descuentan 0.2 puntos). Problema 4 puntos.
Respuestas
Cuestión 1
En el punto intermedio, de acuerdo con la expresión del campo magnético producido por una corriente filiforme, y puesto que las corrientes son iguales
𝐵𝐵�⃗ =2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑢𝑢�⃗𝜇𝜇0𝐼𝐼 𝜑𝜑
las magnitudes de los campos que generan los dos cables son iguales. Por otra parte, si utilizamos la regla mnemotécnica de la mano derecha, apuntando con el pulgar con la dirección y en el sentido del flujo de corriente, el resto de los dedos nos indica hacia dónde apunta el campo. Así, el cable a la izquierda del punto da lugar en este a un campo dirigido hacia el interior de la hoja, mientras que el cable a la derecha genera un campo dirigido hacia el exterior de la hoja.
Así pues, tenemos dos campos de igual magnitud y dirección, pero con sentidos opuestos. Por tanto, el campo neto es nulo.
Cuestión 2
Tal cual vimos, si se consideran dos conductores largos paralelos, la fuerza que ejerce el primero sobre cada unidad de longitud del segundo es
𝑑𝑑𝐹𝐹12 𝑑𝑑𝑙𝑙2 = 𝜇𝜇0 2𝜋𝜋 𝐼𝐼1𝐼𝐼2 𝑅𝑅
Recordemos que esa fuerza es atractiva si las corrientes fluyen en el mismo sentido, y repulsiva si son antiparalelas. No obstante, en cualquier caso, podemos ver en la expresión que si se intercambian los papeles jugados por los dos cables, la magnitud de dicha fuerza no cambia. Luego F12=F21.
Cuestión Respuesta 1 e 2 a 3 c 4 c 5 d 6 e
Cuestión 3
La frecuencia (lineal) de un ciclotrón es 𝜈𝜈 =1𝑇𝑇 =2𝜋𝜋𝑚𝑚𝑞𝑞𝐵𝐵
Por tanto, directamente proporcional a la carga de la partícula acelerada, pero inversamente proporcional a su masa. El núcleo de helio tiene el doble de la carga del protón y cuatro veces su masa, luego la frecuencia en la aceleración de los núcleos de helio será
𝜈𝜈′ = 1042
4 = 5 · 103 𝐻𝐻𝐻𝐻
Cuestión 4
Recordemos que la amplitud de la fem producida por un alternador es ℰ = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐵𝐵𝜔𝜔
donde ω es la velocidad angular de giro del núcleo, N el número de espiras del bobinado, B la magnitud del campo magnético y A la sección del bobinado. Por tanto, al duplicar el número de espiras, la amplitud se incrementa en un factor 2, pero al reducirse ω de 60 a 20 Hz, habríamos de dividir por tres. Así pues, la nueva fem tendrá por amplitud 12·2/3=8 V.
Cuestión 5
La intensidad de una onda electromagnética es 𝐼𝐼 =𝐸𝐸𝐵𝐵𝜇𝜇
0 =
𝐸𝐸2
𝑐𝑐𝜇𝜇0 = 𝑐𝑐𝜀𝜀0𝐸𝐸 2
Esta expresión es independiente de la frecuencia de la onda, de manera que los campos eléctricos serán de la misma intensidad.
Cuestión 6
La corriente de desplazamiento viene dada por 𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝜖𝜖0𝑑𝑑Φ𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝜖𝜖𝐸𝐸 0𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝐸𝐸𝑑𝑑 �⃗ · 𝑑𝑑𝑆𝑆⃗
El campo es ortogonal a la superficie e independiente de la posición, luego � 𝐸𝐸�⃗ · 𝑑𝑑𝑆𝑆⃗ = 0,2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝑑𝑑 · 1 = 0,2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝑑𝑑
Sustituyendo en la expresión de la corriente de desplazamiento, obtenemos 𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝜀𝜀0.𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (0,2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝑑𝑑) = (0,2 · 𝜔𝜔 · 𝜀𝜀0)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜔𝜔𝑑𝑑 = (0,2 · 500 · 8,854 · 10−12)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝜔𝜔𝑑𝑑
El resultado del producto entre paréntesis es 0,89·10-9 A = 0,89 nA. Resolución problema
La fem inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, es ℰ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑 = −𝑑𝑑Φ𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝐵𝐵𝑑𝑑 �⃗ · 𝑑𝑑𝑆𝑆⃗
Puesto que el plano de la espira es ortogonal al campo magnético presente, el producto escalar de la integral puede tomarse, más simplemente, como producto de módulos. Además, tal cual se sugiere en el enunciado, supondremos que B en cada instante prácticamente no varía dentro del área delimitada por la espira, por lo que nos quedará:
ℰ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑 = −𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝐵𝐵𝑑𝑑 (𝑥𝑥) · 𝑑𝑑𝑆𝑆 = −𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐵𝐵𝑑𝑑 (𝑥𝑥) · (10−3)2 = −10−6·𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐵𝐵𝑑𝑑 (𝑥𝑥)
Veamos cómo se expresaría el campo magnético en función de la posición: B(x < 1 m) = 0 T
B(1 m < x < 2 m) = (2x-2) T B(2 m < x < 5 m) = 2 T B(5 m < x < 7 m) = (7-x) T B(x > 7 m) = 0 T
Calculemos, por otro lado, la posición de la espira en función del tiempo: 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥0 + 𝑣𝑣 · 𝑑𝑑 = 0 + 1 · 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑
que está expresada directamente en metros.
Sabemos que sólo se generará la fem cuando varíe el flujo magnético con el tiempo. Por tanto, si analizamos la evolución en función de la posición, es claro que para los intervalos x < 1 m (t < 1 s); 2 m < x < 5 m (2 s < t < 5 s); y x > 7 m (t > 7 s), la fem inducida es nula. Para los otros dos tramos (o lapsos de tiempo) tendremos:
1 m < x < 2 m (1 s < t < 2 s)
ℰ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑 = −10−6· 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (2𝑑𝑑 − 2) = −2 · 10−6 𝑉𝑉
Así pues, y de acuerdo con la ley de Lenz, una fem que produce en esta región una corriente en el sentido del movimiento de las manecillas de un
reloj. Esta corriente a su vez produciría un campo magnético dirigido según el eje Z negativo, que tendería a compensar la variación del flujo magnético.
5 m < x < 7 m (5 s < t < 7 s)
ℰ𝑖𝑖𝑖𝑖𝑑𝑑 = −10−6·𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (7 − 𝑑𝑑) = 10−6 𝑉𝑉
En esta zona, la fem produciría una corriente en el sentido opuesto al movimiento de las manecillas. Dicha corriente generaría un campo magnético según el eje Z positivo, que se opondría a la disminución del flujo.
Pasamos finalmente a realizar la representación de la fem en función del tiempo en la gráfica adjunta:
