FILTRO DE EXCENTRICIDAD BASADO EN MORFOLOGÍA MATEMÁTICA PARA IMÁGENES MULTIDIMENSIONALES MORPHOLOGICAL ECCENTRICITY FILTER FOR MULTIDIMENSIONAL IMAGES

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FILTRO DE EXCENTRICIDAD BASADO EN MORFOLOGÍA

MATEMÁTICA PARA IMÁGENES MULTIDIMENSIONALES

MORPHOLOGICAL ECCENTRICITY FILTER FOR

MULTIDIMENSIONAL IMAGES

Mathematics Subject Classification: 68U10 (primary) Language of presentation: Español

AUTHOR: Wuilian Torres

Centro de Procesamiento Digital de Imágenes, Instituto de Ingeniería, Aptdo 40200, Caracas, Venezuela.

and

Laboratorio de Computación Gráfica y Geometría Aplicada, Escuela de Matemática, Facultad de Ciencias. Universidad Central de Venezuela. Caracas, Venezuela

wuiliantor@gmail.com

CO-AUTHORS: Miguel Martín, Centro de Física Molecular y Médica, Escuela de Física, Facultad de Ciencias. Universidad Central de Venezuela. Caracas, Venezuela

Marco Paluszny, Escuela de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia. Sede Medellín. Colombia.

and

Laboratorio de Computación Gráfica y Geometría Aplicada, Escuela de Matemática, Facultad de Ciencias. Universidad Central de Venezuela. Caracas, Venezuela.

Giovanni Figueroa, Laboratorio de Computación Gráfica y Geometría Aplicada, Escuela de Matemática, Facultad de Ciencias. Universidad Central de Venezuela. Caracas, Venezuela.

Resumen

Se presenta en este trabajo un filtro morfológico para imágenes multidimensionales que hemos denominado de excentricidad, que permite el procesamiento preliminar de imágenes que serán objeto de una segmentación. Para validar los resultados alcanzados se utilizan imágenes obtenidas por resonancia magnética (RM) del cerebro utilizadas en la identificación y caracterización de tumores. El filtro propuesto se basa en la Morfología Matemática, la cual es una técnica no lineal para el análisis de imágenes que presta especial interés a las relaciones topológicas y la geometría de los elementos presentes en la imagen. Los operadores morfológicos son funciones definidas sobre un retículo completo, donde todos los subconjuntos del espacio definido por la imagen cumplen con relaciones de orden delimitadas por un supremo y un ínfimo. Esta condición es cumplida por las imágenes bidimensionales, no así por las imágenes multidimensionales donde la definición del supremo y del ínfimo es ambigua.

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El filtro de excentricidad es un filtro morfológico que se aplica en imágenes multidimensionales donde cada píxel se representa por un vector en el espacio N dimensional, donde N corresponde a la dimensión de la imagen. El filtro actúa sobre cada píxel considerando sus vecinos, la vecindad es definida a partir de un elemento de referencia con características geométricas conocidas denominado elemento estructurante. El parámetro utilizado definir la relación de orden en las imágenes multidimensionales es la excentricidad, calculado a partir de las distancias entre los píxeles incluidos en el elemento estructurante. El pixel con menor excentricidad se aproxima al centroide de la nube de píxeles, mientras que el de mayor excentricidad corresponderá al pixel más alejado en la periferia de la nube.

Abstract

In this paper we propose a morphological filter for the identification of tumoral lesions in brain. It is based en magnetic resonance relaxation times and we refer to it as the eccentricity filter. Mathematical morphology is a non-linear technique for the analysis of images where the topological relations and geometric spatial structures are relevant. The morphological operators are functions defined in a complete lattice, i.e. each subset has a supremum and an infimum. In the case of grayscale images the infimum and the supremum are given by the gray intensity. This is not the case for multidimensional images.

The eccentricity filter [2] is a morphological filter defined in the multidimensional images where each pixel is represented by a vector in the N space, where N if the dimension of image, namely the number of grayscale images associated to each physical slice. The filter acts on each pixel and his neighbors included in a referenced geometrical space denominated structuring element. The eccentricity of a pixel is calculated by considering the distances between the pixels in the structuring element, the pixel with least eccentricity is close to the centroid of a cloud of pixels. For pixels near the periphery of the cloud the eccentricity is higher.

The eccentricity filer was applied to brain multi-echo magnetic resonance T2-weighted that generate a sequence of echo images whose value is dependant of the amount of water in the tissue. This preliminary processing facilitates the segmentation of normal and tumor tissues in the brain.

Introducción

La segmentación de imágenes multidimensionales, como las obtenidas por resonancia magnética (RM) o las adquiridas por los satélites de observación terrestre, es una herramienta de gran utilidad en el análisis de imágenes para la extracción de información. En general, antes de proceder a la segmentación se hace un procesamiento preliminar para reducir el ruido asociado al sistema de adquisición de la imagen o simplificar la imagen para homogeneizar las regiones presentes en ella. Sin embargo, en la práctica, cuando se consideran imágenes multidimensionales generalmente se considera de manera independiente cada uno de sus canales produciendo una nueva imagen en la cual se pierde la relación entre los píxeles. Esta modificación puede traer como consecuencia la perdida, en la imagen obtenida, de la propiedad física que caracteriza el objeto bajo análisis, como puede ser el caso de la firma espectral en las imágenes satelitales o el tiempo de relajación asociado a los tejidos en las imágenes de RM.

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Para evitar este inconveniente se propone un filtro basado en Morfología Matemática (MM) para el procesamiento preliminar de la imagen multidimensional, que tiene como característica no introducir modificaciones en el píxel y considerar la relación espacial que tiene con su vecindad.

La Morfología Matemática es una herramienta que permite alcanzar este objetivo pero son necesarias algunas consideraciones para extender sus fundamentos a las imágenes multidimensionales. En particular, se introduce la definición de excentricidad como una medida de distancia asociada a los operadores morfológicos. Para validar los conceptos aquí propuestos se muestran los resultados obtenidos al aplicar los operadores morfológicos en imágenes de RM del cerebro.

Morfología matemática multidimensional

La morfología matemática es una técnica no lineal para el análisis espacial de imágenes donde las relaciones topológicas y la geometría de los objetos presentes en la imagen son los parámetros que caracterizan el objeto bajo análisis [1]. En sus inicios los operadores morfológicos fueron definidos para imágenes binarias e inmediatamente se extendieron a las imágenes bidimensionales monocromáticas o en tonos de gris. La MM define dos operadores elementales: la erosión y la dilatación. La erosión trata de identificar los objetos de la imagen que pueden contener un elemento de referencia con propiedades geométricas conocidas, llamado elemento estructurante (EE). La erosión identifica el píxel de menor valor dentro de la vecindad definida por el EE. La dilatación es el operador dual que identifica el píxel de mayor valor. Los subconjuntos que conforman la imagen deben constituir un retículo completo caracterizado satisfacer condiciones de orden y poseer un ínfimo y un supremo. Las imágenes bidimensionales o en tonos de gris se ajustan a este requerimiento.

La erosión (ε) y la dilatación (δ) utilizando un EE B centrado en un píxel x de una imagen bidimensional f se expresan de la siguiente manera:

Las imágenes multidimensionales o multicanales corresponden a un arreglo de m imágenes bidimensionales, comúnmente llamadas canales, definidas sobre un mismo dominio espacial.

Cada píxel de la imagen multidimensional se representa por un vector cuyos componentes corresponden al nivel digital de cada uno de los canales. La figura 1 muestra los ocho canales de una imagen obtenida por RM.

Generalmente el procesamiento de las imágenes multidimensionales se hace independientemente sobre cada canal, lo que en la práctica introduce inconvenientes pues se modifica la relación entre los píxeles intra-canal y en consecuencia la posibilidad de perder el significado del fenómeno físico que le dió origen al introducir nuevos valores inexistentes en la imagen original.

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Figura 1. Imágenes multieco T2 obtenidas por Resonancia Magnética

En las imágenes de RM estamos interesados en caracterizar los tejidos de acuerdo al tiempo de relajación de cada píxel, la figura 2 muestra la gráfica del tiempo de relajación de la magnetización para varios tejidos de la imagen, localizados en la imagen de la izquierda por una marca, la gráfica de la derecha muestra la variación del píxel en cada uno de los ocho canales.

Figura 2. Tiempo de relajación de algunos tejidos presentes en la imagen

Filtro de excentricidad

En la literatura se han desarrollado algunas técnicas de ordenamiento para extender la MM a imágenes tri-dimensionales, como las imágenes en color, la selección del principio para el ordenamiento está orientada por la aplicación a realizar sobre la imagen [2]. En este trabajo, estamos interesados en el análisis de imágenes de RM donde se debe conservar la relación entre los píxeles de los distintos canales para no modificar el tiempo de relajación. En el filtro de excentricidad que se propone, la relación de orden de los píxeles que se encuentran dentro del EE se define por la distancia de cada uno de los píxeles respecto al resto de los píxeles, la expresión utilizada es la siguiente:

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Donde dist es la distancia entre dos vectores N-dimensionales expresada por:

Alternativamente, Plaza, A. [3] propone como medida de distancia entre dos píxeles al ángulo entre el vector que los representa, y verifica que esta medida cumple las condición de un retículo completo.

La figura 3a representa los vectores asociados a los píxeles dentro del elemento estructurante B, la figura 3b muestra las distancias dist asociadas a un píxel en particular, el pixel p es el más cercano al centroide y el píxel t el más alejado en la periferia de la nube de píxeles.

Los operadores de erosión y dilatación para imágenes multidimensionales se definen de la siguiente forma:

La erosión sobre imágenes multidimensionales corresponde a un filtro de excentricidad que reemplaza cada píxel por el más cercano al centroide entre los vecinos definidos por el EE. La figura 4a presenta un detalle de la imagen correspondiente al tercer eco de RM, las figuras 4b y 4c muestran el resultado de la erosión y la dilatación respectivamente utilizando como elemento estructurante un cuadrado de 5x5 píxeles. En la figura 4d se representan las relajaciones de los píxeles que se encuentran dentro del elemento estructurante en una posición particular, se destaca con un símbolo cuadrado el píxel resultante de la erosión y con un círculo el de la dilatación. El filtro de excentricidad tiene como efecto homogeneizar las regiones presentes en la imagen facilitando la segmentación. La dilatación destaca los bordes entre los elementos presentes en la imagen.

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Fig 4a. Tercer eco Fig 4b. Erosión Fig 4c. Dilatación Fig 4d. Ejemplo de un píxel

A partir de los operadores morfológicos básicos se definen funciones morfológicas como el gradiente (diferencia entre la dilatación y la erosión), la apertura (erosión seguida de dilatación) y la clausura (dilatación seguida por erosión). La figura 5 muestra alguno de los resultados obtenidos.

Figura 5a. Gradiente Figura 5b. Apertura Figura 5c. Clausura

Conclusión

El procesamiento de imágenes multidimensionales considerando el carácter vectorial de los píxeles que la conforman puede ser de gran importancia en aplicaciones donde es necesario preservar la variable física que le dio origen. Hemos presentado una extensión de la morfología matemática a imágenes multidimensionales introduciendo como criterio de ordenamiento una medida de distancia asociada a la excentricidad de los píxeles dentro del elemento estructurante.

Los operadores morfológicos básicos de erosión, dilatación, gradiente, apertura y clausura muestran el potencial de aplicaciones en el preprocesamiento de imágenes con fines de segmentación. Las aplicaciones en imágenes de RM han servido de base a este desarrollo, pero es previsible su utilidad en la segmentación de imágenes satelitales.

Bibliografía

[1] P. Soille, Morphological Image Analysis, Principles and Applications, Springer, Berlin, 1998.

[2] Ortiz, Francisco. Procesamiento morfológico de imágenes en color. Aplicación a la recosntrucción geodésica. Tesis Doctoral Universidad de Alicante. 2002

[3] Antonio Plaza, Hyperspectral Data Exploitation: Theory and Applications, chapter13. John Wiley and Sons, Inc. Edited by Chen-I Chang. Chap. 13, 2007

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