2. Derivació de funcions de vàries variables

(1)

C`

alcul 2

2. Derivaci´

o de funcions de v`

aries variables

Dept. de Matem`atica Aplicada I

www.ma1.upc.edu

Universitat Polit`ecnica de Catalunya 19 febrer 2013

Copyleft c 2012

Reproducció permesa sota els termes de la llicència de documentació lliure GNU

(2)

Definici´o 1 (Derivades parcials de funcions de2 variables) Sigui f una funci´o

f : A⊆ R2

−→ R

(x, y) _7→ f(x, y), (1)

amb A_{⊆ R}2_{. Les derivades parcials de f respecte de x i respecte de} y en(x0, y0)∈ A, v´enen donades, respectivament, pels l´ımits: ∂f ∂x(x0, y0) = limh→0 f(x0+ h, y0)− f(x0, y0) h = limx→x0 f(x, y0)− f(x0, y0) x_{− x}0 , ∂f ∂y(x0, y0) = limh→0 f(x0, y0+ h)− f(x0, y0) h = limy→y0 f(x0, y)− f(x0, y0) y_{− y}0 , (2) quan aquests l´ımits existeixen i s´on finits.

(3)

Figura 1: Les derivades parcials donen les pendents de les tangents en les direccions dels eixos.

(4)

C`

alcul de les derivades parcials

Proposici´o 2 (Derivades parcials com derivades de funcions

d’1 variable)

Quan els l´ımits de la def.1existeixen, llavors: ∂f ∂x(x0, y0) = d dx[f (x, y0)]x=x0 i ∂f ∂y(x0, y0) = d dy[f (x0, y)]y=y0. (3) Exemple 1

Derivades parcials de f(x, y) = xey sin x _en_(x 0, y0) = π 2,0 : ∂f ∂x π 2,0 = d dx[f (x, 0)]x=π 2 = d dx xe0·sin x x=π 2 = d dx[x]x=π 2 = 1, ∂f ∂y π 2,0 = d dy h f π 2, y i y=0= d dy h π 2e yi y=0= π 2.

(5)

Funcions derivades parcials

Si estenem la idea de la prop. 2 al c`alcul de lesfuncions derivades parcialsde f (x, y), podem calcular

∂f

∂x(x, y) derivant respecte de x, tractant y com si fos una constant. ∂f

∂y(x, y) derivant respecte de y, tractant x com si fos una constant.

Aix´ı, per la funci´o de l’exemple1

f (x, y) = xey sin x, tindr´ıem:

∂f

∂x(x, y) = e y sin x

+ xyey sin xcos x, ∂f

∂y(x, y) = xe y sin x

sin x.

Remarquem que aquestes regles de derivaci´o es poden aplicar quan sabem que aquestes derivades parcials existeixen (per exemple, aplicant els criteris de generaci´o).

(6)

Derivades de funcions de

n variables i m

com-ponents

Vector de derivades parcials Considerarem la funci´o:

f : A_{⊆ R}n

−→ Rm

x= (x1, . . . , xn) 7→ f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)), essent A un conjunt obert. Sigui x0 = (x01, . . . , x0n) ∈ A. Suposem que totes les derivades parcials primeres de totes les funcions de f existeixen en x0. Denotem per,

∂f ∂xi (x0) = _∂f 1 ∂xi (x0), . . . , ∂fm ∂xi (x0) > (4) el vector de derivades parcials de f en x0 respecte de xi per i = 1, 2, . . . , n.

(7)

Definici´o 3 (Matriu jacobiana)

Anomenarem matriu jacobiana de la funci´o f en x0a la matriu m× n que t´e per columnes els vectors de derivades parcials (4) de f , i. e.,

Df(x0) =             ∂f1 ∂x1 (x0) ∂f1 ∂x2 (x0) · · · ∂f1 ∂xn (x0) ∂f2 ∂x1 (x0) ∂f2 ∂x2 (x0) · · · ∂f2 ∂xn (x0) .. . ... . .. ... ∂fm ∂x1 (x0) ∂fm ∂x2 (x0) · · · ∂fm ∂xn (x0)             (5) Exemple 2

C`alcul de la matriu jacobiana de f(x, y) = (ex+y_{+ y, y}2_x,_cos(xy2_)): ∂f ∂x(x, y) = (e x+y_{, y}2_, −y2_sin(xy2₎₎>_, ∂f ∂y(x, y) = (e x+y_{+ 1, 2xy,} −2xy sin(xy2₎₎>_.

(8)

Amb la quan cosa, la matriu jacobiana resulta, (x, y)_{∈ R}2 7→ Df(x, y) =   e x+y _ex+y_{+ 1} y2 _2xy −y2_sin(xy2₎ −2xy sin(xy2₎   Remarca 1

La idea és que la matriu jacobiana juga el mateix paper geomètric que la derivada d’una funció d’1 variable de cara a aproximar f (x) per una varietat linealentorn de x = x0.

Quan treballem amb funcions de n variables amb n > 1, però, tot és complica i no sempre que una funció té derivades parcials en un punt admet pla tangent (i. e., és “aproximable” per una varietat lineal) en el punt.

M´es encara:

Per funcions d’1 variable: ∃ f0_(x

0)⇒ f cont´ınua en x0.

Per funcions de dos variables: si∃∂f

∂x(x0, y0) i∃ ∂f

∂y(x0, y0),no´es cert necess`ariament quef sigui cont´ınua en (x0, y0). Veure exemple3.

(9)

Exemple 3 Sigui la funci´o: f(x, y) =    xy x2_{+ y}2, (x, y)6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0). (6)

Es comprova (exercici) que les seves funcions derivades parcials s´on:

∂f ∂x(x, y) =    y3 − x2_y (x2_{+ y}2₎2, (x, y)6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) ∂f ∂y(x, y) =    x3 − xy2 (x2_{+ y}2₎2, (x, y)6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0).

Veiem que existeixen ∂f ∂x(0, 0),

∂f

∂y(0, 0), tot i que f no ´es cont´ınua en(x, y) = (0, 0). Per qu`e?

(10)

Definici´o 4 (Funcions de classe C1₎

Sigui f : A ⊆ Rn

−→ Rm_{, A obert. Direm que “f ´}_{es de classe C}1 en A” o “f ´es C1_{en A” i escriurem f}

∈ C1_{(A) sii existeixen totes les} derivades parcials primeres de f en A i a m´es s´on funcions cont´ınues en A.

Exemple 4

La funci´o de l’exemple 2 ´es de classe C1 en tot R2. Ho denotem escrivint f ∈ C1

(R2_).

La funció de l’exemple3és C1en R2\ {(0, 0)} però no és C1en (0, 0). Escrivim f ∈ C1

(R2_{\ {(0, 0)}).}

Proposici´o 5

f _{∈ C}1(A) =⇒ f ´es cont´ınua en A(f ∈ C0 (A)).

Observaci´o: notem que: f _{6∈ C}0

(11)

Proposició 6 Sigui f: A_{⊆ R}n −→ Rm_{, A obert, f} ∈ C1_{(A), x} 0∈ A. Llavors: lim x→x0 x∈Rn kf(x) − f(x0)− Df(x0)· (x − x0)k kx − x0k = 0, on_{kak =}pa2 1+· · · + a2kés la norma euclidiana de a= (a1, . . . , ak)∈ Rk i Df(x0)· (x − x0) és el producte de matriu per vector.

Remarca 2

Interpretació geomètrica: Això vol dir que la varietat lineal n-dimensio-nal:

T (x) = f (x0) + Df (x0) · (x − x0)

aproxima a f (x) quan x → x0més ràpidament que la distància kx−x0k tendeix a zero.

T (x) ´es la varietat (lineal) tangent a f (x) en x = x0.

Es diu que f ´es diferenciableen x = x0 i que Df (x0) n’´es la seva matriu diferencial.

(12)

Direm llavors que T (x) ´esl’aproximaci´o linealde f entorn de x = x0 i escriurem:

f (x) ≈ f (x0) + Df (x0) · (x − x0), quan x → x0.

Exemple 5

Per una funci´o de dues variables z= f (x, y), tenim: f(x, y)_{≈ f(x}0, y0) +

∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) + ∂f

∂y(x0, y0)(y− y0), que és la parametrització del pla tangent a la gràfica de z = f (x, y) en(x0, y0).

(13)

Derivades parcials d’ordre superior

Per fixar idees, considerarem una funci´o de dues variables com (1). Si: _∃∂f

∂x i ∃ ∂f ∂y en A,

llavors podem preguntar-nos, aquestes funcions admeten, al seu torn derivades parcials i definir aix´ı les sevesderivades parcials segones:

∂2_f ∂x2 = ∂ ∂x _∂f ∂x ; ∂ 2_f ∂y∂x = ∂ ∂y _∂f ∂x ; ∂2_f ∂x∂y = ∂ ∂x _∂f ∂y ; ∂ 2_f ∂y2 = ∂ ∂y _∂f ∂y ;

Notem que en la definici´o de les derivades ∂ 2_f

∂x∂y actua1

er_{la derivada} m´es cap a la dreta.

(14)

Exemple 6

Considerem la funci´o de dues variables f(x, y) = x3_{+ xy + y sin x:}

∂f ∂x = 3x 2 + y + y cos x =          ∂2_f ∂x2 = ∂f ∂x _∂f ∂x = 6x− y sin x ∂2f ∂y∂x= ∂ ∂y _∂f ∂x = 1 + cos x ∂f ∂y = x + sin x =          ∂2_f ∂x∂y = ∂ ∂x _∂f ∂y = 1 + cos x ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y _∂f ∂y = 0 Remarca 3

En principi, les derivades creuades ∂ 2_f

∂x∂y són diferents, però veurem (proposició 10) que, per funcions prou “regulars”, coincideixen.

(15)

Derivades parcials d’ordre superior

Podem estendre la noci´o de derivades parcials segones a derivades par-cials d’ordre m qualsevol. Per exemple: si f= f (x, y, z), llavors

∂5_f ∂x∂y2_∂x∂z = ∂ ∂x _∂ ∂y _∂ ∂y _∂ ∂x _∂f ∂z . Com abans, notem que1er_{actua la derivada m´}_{es cap a la dreta.}

Definici´o 7 (Funcions de classe Ck₎

Sigui f: A⊆ Rn

−→ Rm_{amb A obert.}

(i) Direm que f ∈ Ck_{(A), k ≥ 1, sii f ´}_{es cont´ınua en A, f admet}_totes_les derivades parcials d’ordre ≤ k en A i totes aquestes derivades parcials s´on cont´ınues en A.

(ii) f ∈ C0_{(A) (´}_{o f ∈ C(A)) sii f ´}_{es cont´ınua en A.} (iii) f ∈ C∞(A) sii f ´es Ck(A) en A per tot k ≥ 0.

(16)

Proposici´o 8 C0(A)⊇ C1 (A)⊇ C2 (A)⊇ · · · ⊇ Ck (A)⊇ · · · ⊇ C∞_(A) (russian dolls!). Proposici´o 9

Les funcions elementals (polinomis, exponencials trigonomètriques) i les seves composicions són funcions C∞en els seus dominis de definició.

Exemple 7

La funci´o f (x, y) = x3_{+ xy + y sin x de l’exemple}₆_´_{es de classe C}∞ en tot R2. La funci´o: f (x, y) = x sin y + y 2 ex x2_{+ y}4_cos2_x, ´ es C∞ en R2_{\ {(0, 0)}.}

(17)

Proposici´o 10 (Coincid`encia de derivades creuades)

(i) Enunciat cl`assic: si f (x, y) ´es C2 en A, llavors: ∂2f

∂x∂y = ∂2f ∂y∂x en A.

(ii) Versi´o general: Si f : A ⊆ Rn

−→ R ´es Ck_{(A), llavors totes les seves} derivades parcials creuades d’ordre ≤ k s´on coincidents si involucren les mateixes variables el mateix nombre de vegades.

Exemple 8 Si f= f (x, y, z), f ∈ C4_{, llavors:} ∂4f ∂x2_∂y∂z = ∂4f ∂x∂y∂x∂z = ∂4f ∂y∂x2_∂z = . . . , etc. Usarem la notaci´o: ∂ 4_f

∂x2_∂y∂z, per denotar aquesta derivada 4arta, tot agrupant les variables repetides.

(18)

Exercici 1

Calculeu les derivades parcials segones de la funci´o:

f(x, y) =    xyx 2 − y2 x2_{+ y}2, (x, y)6= (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0). Soluci´o:

Per(x, y)_{6= (0, 0) podem aplicar els criteris de generaci´o i aplicar les} regles de derivaci´o: ∂f ∂x(x, y) =− y5 − 4 x2_y3 − x4_y (x2_{+ y}2₎2 , (x, y)6= (0, 0)

En canvi, per(x, y) = (0, 0), no podem aplicar aquestes regles i hem de calcular les derivades aplicant directament la definici´o1:

∂f ∂x(0, 0) = limh→0 f(0 + h, 0)− f(0, 0) h = limh→0 0− 0 h = 0,

(19)

D’altra banda, és fàcil veure que, debut a la simetr´ıa que presenta aquesta funció:

∂f

∂y(x, y) =− ∂f

∂x(y, x), per tot(x, y)∈ R

2_. ₍₇₎

Amb la qual cosa, les funcions derivades parcials primeres v´enen donades per: ∂f ∂x(x, y) =    −y 5 − 4 x2_y3 − x4_y (x2_{+ y}2₎2 , (x, y)6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) ∂f ∂y(x, y) =    −x y 4_{+ 4 x}3_y2 − x5 (x2_{+ y}2₎2 , (x, y)6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0).

Es comprova que aquestes funcions s´_{on cont´ınues en tot R}2_{. En efecte,} per(x, y) _{6= (0, 0) es pot aplicar la prop.} 9, mentre que per afirmar que s´on cont´ınues al(0, 0) s’ha de demostrar expl´ıcitament (exercici!) que: lim (0,0) ∂f ∂x(x, y) = 0 = ∂f ∂x(0, 0)

(20)

De la mateixa manera es calculen les derivades parcials segones. Com abans, per (x, y) _{6= (0, 0) es poden aplicar les regles de derivació,} mentre que per(x, y) = (0, 0) hem d’aplicar la definició1a les funcions derivades parcials primeres. Això és:

∂2f ∂x2(0, 0) = lim_h→0 ∂f ∂x(0 + h, 0)− ∂f ∂x(0, 0) h = lim(0,0) 0− 0 h = 0 ∂2f ∂y∂x(0, 0) = limh→0 ∂f ∂x(0, 0 + h)− ∂f ∂x(0, 0) h = lim(0,0) −h5_/h4 − 0 h =−1 ∂2_f ∂x∂y(0, 0) = limh→0 ∂f ∂y(0 + h, 0)− ∂f ∂y(0, 0) ∂h = lim(0,0) h5_/h4 − 0 h = 1 ∂2_f ∂y2(0, 0) = lim_h→0 ∂f ∂y(0, 0 + h)− ∂f ∂y(0, 0) h = lim(0,0) 0− 0 h = 0. Amb la qual cosa, lesfuncions derivades parcials segoness´on:

(21)

∂2_f ∂x2(x, y) =    4xy3 3y 2 − x2 (x2_{+ y}2₎3, (x, y)6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) ∂2_f ∂y∂x(x, y) =    x6+ 9x4_y2 − 9x2_y4 − y6 (x2_{+ y}2₎3 , (x, y)6= (0, 0) −1, (x, y) = (0, 0) ∂2f ∂x∂y(x, y) =    x6_{+ 9x}4_y2 − 9x2_y4 − y6 (x2_{+ y}2₎3 , (x, y)6= (0, 0) 1, (x, y) = (0, 0) ∂2_f ∂y2(x, y) =    −4x3_y 3x 2 − y2 (x2_{+ y}2₎3, (x, y)6= (0, 0) 0, (x, y) = (0, 0) Notem que:

Totes les derivades parcials segones són cont´ınues per tot (x, y) 6= (0, 0), però cap d’elles és cont´ınua a l’origen, ja que cap dels l´ımits:

lim (0,0)

∂2_f

∂x2(x, y), _(0,0)lim ∂2_f

∂y∂x(x, y), (0,0)lim ∂2_f

∂x∂y(x, y), (0,0)lim ∂2_f ∂y2(x, y) existeix; com es comprova, per exemple, per l´ımits direccionals.

(22)

Per tant f ∈ C2

(R2_{\ {(0, 0)}).}

En consequència, com que les derivades parcials segones no són cont´ınues en (x, y) = (0, 0), no es pot aplicar la proposició 10 en aquest punt i, per tant, no tenim garantida la igualtat de les derivades parcials creuades a l’origen. De fet, tal com hem calculat dalt, resulta:

∂2_f

∂y∂x(0, 0) = −1 6= ∂2_f

(23)

La regla de la cadena

Cas d’1 variable: Si f , g s´on derivables, llavors: d dx[(g◦ f)] (x) = g 0_{(f (x))f}0_(x). Exemple 9 Si f(x) = x2 _{y g(x) = exp(x) = e}x_{; tenim:} f0(x) = 2x, g0(x) = exp(x) = ex_, d’on: d dx[(g◦ f)] (x) = g 0_{(f (x))f}0_{(x) = exp(x}2₎ · 2x = 2xex2_. Resultat que podr´ıem haver obtingut directament:

(g_{◦ f)(x) = g(f(x)) = exp(x}2_{) = e}x2

(24)

Per al cas de funcions de varies variables C1podem generalitzar aquesta expressió al càlcul de les matrius de derivades parcials de la composició de funcions substituint el producte de nombre pel de matrius. Teorema 11 (Regla de la cadena)

Siguin les funcions

f : A_{⊆ R}n _{−→ R}m

x= (x1, . . . , xn) 7→ f(x) = (f1(x), . . . , fm(x)), A obert, f _{∈ C}1(A), i

g: B _{⊆ R}m

−→ Rk

u= (u1, . . . , um) 7→ g(u) = (g1(u), . . . , gk(u)), B obert, g_{∈ C}1_{(B). Sigui x} 0∈ A t. q. f(x0)∈ B. Llavors: D(g_{◦ f)(x}0) | {z } matriu k × n = Dg(f (x0)) | {z } matriu k × m · Df(x0) | {z } matriu m × n

(25)

Exemple 10 Siguin les funcions:

f(x, y) = (cos y + x2,ex+y, x_{− y),} g(u, v) = (eu2

, u_{− sin v).} Si definim,

h(u, v) = (f◦ g)(u, v). Calculeu, usant la regla de la cadena, Dh(0, 0).

Dh(0, 0) = D(f_{◦ g)(0, 0)} = Df (g(0, 0))· Dg(0, 0) = g(0,0)=(1,0) Df(1, 0)· Dg(0, 0). Df(x, y) = 

ex+y2x − sin y_ex+y

1 ₋₁   , Dg(u, v) =2ueu 2 0 1 _{− cos v} Dh(0, 0) =  2e 0e 1 ₋₁  0 0 1 ₋₁ =   0e _−e0 −1 1   . (8)

(26)

On, recordem, que si h(u, v) = (h1(u, v), h2(u, v), h3(u, v)), llavors: Dh(0, 0) =         ∂h1 ∂u (0, 0) ∂h1 ∂v (0, 0) ∂h2 ∂u (0, 0) ∂h2 ∂v (0, 0) ∂h3 ∂u (0, 0) ∂h3 ∂v (0, 0)         . (9) Exercici 2

Trobeu una f´ormula expl´ıcita per a h(u, v). Soluci´o

h(u, v) =cos(u− sin v) + e2u2

,eeu2+u−sin v,eu2− u + sin v. ...i ara podr´ıem calculardirectamentles derivades parcials de h= f◦g al punt(0, 0):

(27)

∂h1 ∂u(0, 0) = d du cos u + e2u2 _u=0= − sin u + 2ue2u2 _u=0= 0, ∂h1 ∂v (0, 0) = d dv(cos(− sin v) + 1)

_v=0= sin(− sin v) cos v _v=0= 0, ∂h2 ∂u(0, 0) = d du eeu2_+u _u=0= 2ueu2 + 1eeu2_+u _u=0= e, ∂h2 ∂v (0, 0) = d dv e 1−sin v _v=0= −e 1−sin v_{cos v} v=0=−e, ∂h3 ∂u(0, 0) = d du eu2 − u _u=0= 2ueu2 − 1 _u=0=−1, ∂h3 ∂v (0, 0) = d dv(1 + sin v) _v=0 = cos v _v=0= 1.

(28)

aleshores, la corresponent matriu de derivades parcials ´es, d’acord amb (9): Dh(0, 0) =   0e −e0 −1 1  

la qual (òbviament!) coincideix amb (8). Notem, però, que aixó és precisament el que tractem d’evitar amb la regla de la cadena...

Derivada d’una funci´o composta com derivada d’una

“substitu-ci´o de variables”

Idea: podem mirar-nos la derivada d’una funci´o composta com la

deri-vació de la substitució de les variables d’una funció per funcions d’unes noves varibles, quan es deriva respecte d’aquestes noves variables. Exemple 11

Siguin les funcions: f = f (x, y, z) y g = (g1(u, v), g2(u, v), g3(u, v)). Considerem la funci´o composta:

(29)

Veiem que, la composició de funcions consisteix en substituir, a la funció f , les seves varibles x, y, z per les funcions components de la funció g:

x= g1(u, v), y= g2(u, v), z= g3(u, v). Abusant de la notaci´o, sovint s’escriu:

x= x(u, v), y= y(u, v), z= z(u, v) i aplicar´ıem la regla de la cadena, tot fent:

∂h

∂u(u, v) = ∂f

∂x(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂x ∂u(u, v) +∂f

∂y(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂y ∂u(u, v) +∂f

∂z(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂z ∂u(u, v),

(30)

∂h

∂v(u, v) = ∂f

∂x(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂x ∂v(u, v) +∂f

∂y(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂y ∂v(u, v) +∂f

∂z(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ∂z ∂v(u, v).

(11)

Per ex., si: f(x, y, z) = x2_{+ y}2

− z i g(u, v) = (u2_{v, v}2_,_e−uv_{); llavors:} h(u, v) = (f_{◦ g)(u, v) = f(g(u, v)) = u}4_v2_{+ v}4

− e−uv. D’altra banda, si les components de g les escrivim com:

(31)

podem fer servir la regla de la cadena com a (10) i (11) per obtenir les derivades de h= f_{◦ g. Aix´ı:}

∂h

∂u(u, v) = 2x(u, v) ∂x

∂u(u, v) + 2y(u, v) ∂y ∂u(u, v)− 1 · ∂z ∂u(u, v) = 4u3_v2_{+ ve}−uv_, ∂h ∂v(u, v) = 2x(u, v) ∂x ∂v(u, v) + 2y(u, v) ∂y ∂v(u, v)− 1 · ∂z ∂v(u, v) = 2u4_v_{+ 4v}3_{+ ue}−uv_.

(32)

Teorema del valor mig (TVM)

Teorema 12 (TVM per a funcions d’1 variable)

Sigui f : [a, b]−→ R una funci´o cont´ınua en [a, b] i derivable en (a, b), llavors existeix un punt ξ_{∈ (a, b) tal que}

f(b)− f(a) = f0_(ξ)(b

− a). (12)

La f´ormula (12) es coneix comf´omula dels increments finits.

Remarca 4 (Interpretaci´o geom`etrica)

Existeix un punt intermig, ξ, de l’interval(a, b) de manera que la tan-gent a la gràfica de la funció y = f (x) pel punt Ξ = (ξ, f (ξ)) és parl.lela al segment que uneix els punts A= (a, f (a)) i B = (b, f (b)). Veure figura2.

Enunciarem el TVM per varies variables en el cas especial n= 2. La seva extensi´o per n >1 qualsevol ´es immediata (Teorema14).

(33)

Interpretaci´o geom`etrica del teorema 12 D Ξ C A B a b x y ξ

Figura 2: La tangent a la gràfica de la funció y = f (x) a l’interval I = [a, b] pel punt Ξ = (ξ, f (ξ)) (segment CD) és paral.lela a la corda AB que uneix els seus extrems.

(34)

Teorema 13 (TVM per a funcions de dues variables) Sigui la funci´o:

f : A_{⊆ R}2

−→ R

(x, y) 7→ z= f (x, y)

amb A obert i f_{∈ C}1(A); i siguin (x0, y0), (x1, y1) dos punts d’A de manera que el segment,

(x0, y0), (x1, y1) :={((1 − t)x0+ tx1,(1− t)y0+ ty1), 0≤ t ≤ 1} que els uneix estigui totalment contingut en A (veure figura3). Llavors existeix un punt(x∗_{, y}∗_{) d’aquest segment tal que:}

f(x1, y1)− f(x0, y0) = ∂f ∂x(x ∗_{, y}∗_)(x 1− x0) + ∂f ∂y(x ∗_{, y}∗_)(y 1− y0). (13) La f´ormula (13) es coneix com f´ormula dels increments finits per dues variables.

(35)

Interpretaci´o

La difer`encia entre els valors de la funci´o en dos punts distints:

f(x1, y1)− f(x0, y0), ve controlada per la difer`encia entre les coordenades dels punts,

(x1− x0) i (y1− y0), multiplicada per factors correctors que resulten ser les derivades parci-als en un punt intermig(x∗_{, y}∗_).

A

(x1, y1)

(x0, y0)

(ex0,ey0)

(ex1,ey1)

Figura 3: El segment que uneix els punts (x0, y0) i (x1, y1) està totalment inclòs al conjut A, mentre que part del segment que uneix els punts (_ex0,ye0) i (ex1,ye1) està fora del conjunt.

El teorema14que donem a continuació generalitza el teorema13per funcions reals de n variables, amb n >1 qualsevol. Posteriorment es discuteix l’aplicació del TVM alcontrol en la propagació d’errors a les fórmules.

(36)

Teorema 14 (Teorema del valor mig per funcions de n variables) Sigui f : A _{⊆ R}n

−→ R, amb A obert, una funció de classe C1_. Siguin x0= (x01, . . . , x0n), x1= (x11, . . . , x1n)∈ A dos punts pels quals x0, x1⊂ A. Llavors ∃ x∗= (x∗1, . . . , x∗n)∈ x0, x1, t. q.: f(x1)− f(x0) = n X i=1 ∂f ∂xi (x∗)(x1 i − x0i). (14) L’equació (14) es coneix com fórmula dels increments finits per funcions de n variables.

Aplicació: acotació dels errors de propagació a les fórmules Sovint hem de calcular una certa magnitud, z, la qual depèn d’altres n quantitats mesurades experimentalment: x1, . . . , xn; a partir d’una fórmula donada per una funció coneguda, f , i. e.:

z= f (x1, . . . , xn).

Siguinx¯1, . . . ,¯xnels valors exactes de x1, . . . , xnmentre que denotem e

x1±εx1, . . . ,xen±εxnels valors mesurats (xe1, . . . ,exn), juntament amb

(37)

De manera que: ¯

x1∈ [ex1− εx1,xe1+ εx1], . . . , ¯xn∈ [exn− εxn,exn+ εxn]. (15)

Sigui R el rectange n-dimensional format pel producte d’aquests inter-vals, i. e.:

R:= [ex1− εx1,xe1+ εx1]× · · · × [exn− εxn,exn+ εxn]⊂ R n_.

Per últim, suposem que la funció f és C1 _{en algun obert de e}_R ⊆ Rn_, amb R_{⊂ e}R i que les derivades parcials primeres de f estan acotades a R, i. e., que existeixen n quatitats positives M1, . . . , Mn t. q.:

∂f ∂x1 (x1, . . . , xn) ≤ M1, . . . , ∂f ∂xn (x1, . . . , xn) ≤ Mn, (16) per tot x= (x1, . . . , xn)∈ R. Remarca 5

(38)

Sota aquestes condicions, el teorema14 ens assegura que existeix un punt x∗= (x∗ 1, . . . , x∗n)∈ ex,x, t. q.:¯ f(¯x1, . . . ,x¯n)− f(ex1, . . . ,exn) = n X i=1 ∂f ∂xi (x∗1, . . . , x ∗ n)(¯xi− exi). (17) Remarca 6

Com que x∗ = (x∗1, . . . , x∗n) ∈ ex, ¯x de la Remarca5 es dedueix que tamb´e x∗= (x∗1, . . . , x

∗

n) ∈ R, amb la qual cosa, de (16), resulten les acotacions: ∂f ∂xi(x ∗ 1, . . . , x ∗ n) ≤ Mi, per i = 1, 2, . . . , n. De (15) es dedueixen les desigualtats:

|¯xi−xi| ≤ εxe i, per i = 1, 2, . . . , n.

A continuaci´o, prenent valor absolut en (17) i tenint en compte les observacions a la Remarca6, hom obt´e per l’error en z, εz:

(39)

εz:=|f(¯x1, . . . ,x¯n)− f(ex1, . . . ,exn)| = n X i=1 ∂f ∂xi (x∗1, . . . , x∗n)(¯xi− exi) ≤ n X i=1 ∂f ∂xi (x∗1, . . . , x∗n) |¯xi− exi| ≤ n X i=1 Miεxi= M1εx1+· · · + Mnεxn. (18) Exercici 3

El per´ıode d’oscil.lació d’un pèndol és T(`, g) = 2πp`/g, on ` és la seva longitud i g és l’acceleració de la gravetat. Per simplificar els càlculs, aproximeu π per3. Si

R={(`, g) ∈ R2_{: 0.64}

≤ ` ≤ 0.81, 9 ≤ g ≤ 10},

vegeu que∂T_∂` ≤ 5₄,∂T_∂g_≤ ₁₀1, en R. Useu aquestes acotacions i el teorema del valor mig per a funcions de dues variables per deduir que |T (0.8, 10) − 1.6| ≤ 0.3. (Indicaci´o: calculeu T (0.64, 9)).

(40)

Soluci´o: ∂T ∂` = 3 √_`g ⇒ ∂T ∂` ≤ √_0.643 _{× 9} =_0.81 = 10₈ =5₄, en R, ∂T ∂g =−3 √ ` √_g3 ⇒ ∂T ∂g ≤ 3 √ 0.81 √ 93 = 0.9 9 = 1 10, en R. D’altra banda, tenim que:

T(0.64, 9) = 6 r 0.64 9 = 6× 0.8 3 = 2× 0.8 = 1.6

i com que, clarament, el segment(0.64, 9), (0.8, 10) està inclòs al rec-tangle R, podem aplicar el TVM per dues varibles o, directament, la fórmula (18) —amb les acotacions de les derivades parcials calculades a dalt—, per obtenir:

|T (0.8, 10) − 1.6| = |T (0.8, 10) − T (0.64, 9)| ≤ 5₄× |0.8 − 0.64| +1 10×|10−9| = 5 4×0.16+ 1 10 = 5×0.04+0.1 = 0.3

(41)

F´

ormula de Taylor

Teorema 15 (F´ormula de Taylor per funcions de dues variables)

Sigui la funci´o:

f : A_{⊆ R}2

−→ R

(x, y) _7→ z= f (x, y) amb A obert, de classe Ck _{en A i sigui} _(x

0, y0) ∈ A. Llavors, si (x, y)_{∈ A ´es t. q. (x}0, y0), (x, y)⊂ A:

f(x, y) = Pk(x, y) + Rk(x, y), on:

Pk(x, y) ´es el polinomi de Taylorde grau k de f entorn de (x0, y0). Usualment es representa com un polinomi en (x − x0) i (y − y0).

(42)

Rk(x, y) ´es el reste (o residu o romanent) del desenvolupament, i veri-fica: lim (x0,y0) Rk(x, y) h p(x − x0)2_{+ (y − y0)}2ik = 0. Concretament:

(a) Perk = 1 teniml’aproximaci´o lineal: P1(x, y) = f (x0, y0)+

∂f

∂x(x0, y0)(x−x0)+ ∂f

∂y(x0, y0)·(y−y0). (19)

(b) Perk = 2 teniml’aproximaci´o quadr`atica: P2(x, y) = P1(x, y) + 1 2 ∂2_f ∂x2(x0, y0)· (x − x0) 2 + 2∂ 2_f ∂x∂y(x0, y0)· (x − x0)(y− y0) + ∂2_f ∂y2(x0, y0)· (y − y0) 2 (20)

(c) Perk > 1 tindrem, en general: Pk(x, y) = Pk−1(x, y)+ 1 k! k X j=0 k j ∂k_f ∂xk−j_∂yj(x0, y0)·(x−x0) k−j_(y−y 0)j on: k_j = k!

(43)

Exemple 12

Calculeu el desenvolupament de Taylor fins als termes d’ordre2 (inclo-sos) de la funci´o

f(x, y) = ex+y_cos(y), al voltant del punt(x0, y0) = 0,π₂.

Per trobar P2(x, y), hem de calcular les derivades parcials, ∂f ∂x(x, y) = e x+y cos(y), ∂f ∂y(x, y) = e x+y (cos(y)− sin(y)), ∂2f ∂x2(x, y) = e x+y_cos(y), ∂ 2_f ∂x∂y(x, y) = e x+y_(cos(y) − sin(y)), ∂2_f ∂y2(x, y) =−2e x+y_sin(y) i la funci´o, al punt(x, y) = 0,π 2 : f(0,π 2) = 0, ∂f ∂x(0, π 2) = 0, ∂f ∂x(0, π 2) =−e π 2 ∂2_f ∂x2(0, π 2) = 0, ∂2_f ∂x∂y(0, π 2) =−e π 2, ∂ 2_f ∂y2(0, π 2) =−2e π 2.

(44)

El desenvolupament buscat resulta finalment: f(x, y) =_−eπ2(y−π 2)− e π 2x(y−π 2)− e π 2(y−π 2) 2_{+ R} 2(x, y), (21) on hem aplicat (19), (20) i hem afegit el reste R2(x, y).

Tanmateix podem calcular el desenvolupament de Taylor “per gene-raci´o”, combinant (per sumes, productes, quocients, composicions,...) els desenvolupaments de funcions elementals. Aix´ı:

ex+y_{cos(y) = e}π 2exey−π2 cos(y−π 2 + π 2) =−e π 2exey−π2sin(y−π 2) =_−eπ2 1 + x +x2 2! + . . . × 1 + (y −π 2) + 1 2!(y− π 2) 2_{+ . . .} × (y − π 2)− 1 3!(y− π 2) 3_{+ . . .} =−eπ2 (y−π 2) + x(y− π 2) + (y− π 2) 2 + . . . =_−eπ2(y−π 2)− e π 2x(y−π 2)− e π 2(y−π 2) 2_{+ R} 2(x, y), desenvolupament que coincideix (21). Nota: observem que treballem amb els desenvolupaments formalment com si fossin polinomis i, al final, tallem a l’ordre desitjat afegint el reste.

(45)

Teorema 16

F´ormula de Taylor per funcions de n variables Sigui la funci´o: f : A_{⊆ R}n

−→ R

x= (x1, . . . , xn) 7→ f(x) = f (x1, . . . , xn)

(22)

amb A obert, f _{∈ C}k_{(A) (k}

≥ 1) i sigui: x0 = (x01, . . . , x0n) ∈ A. Llavors:

f(x) = Pk(x) + Rk(x), on

Pk(x) ´es el polinomi de Taylor de grau k de f entorn de x0. Rk(x) ´es el reste (o residu o romanent) d’ordre k, verificant:

lim x→x0 x∈Rn

Rk(x) kx − xokk = 0.

(46)

Concretament:

(a) Per k = 1, tenim l’aproximaci´o lineal: P1(x1, . . . , xn) = f (x01, . . . , x 0 n)+ n X i=1 ∂f ∂xi(x 0 1, . . . , x 0 n)·(xi−x 0 i), (23)

(b) Per k = 2, tenim l’aproximaci´o quadr`atica: P2(x1, . . . , xn) = P1(x01, . . . , x 0 n) + 1 2! n X i,j=1 ∂2_f ∂xi∂xj(x 0 1, . . . , x 0 n) · (xi− x 0 i)(xj− x 0 j). (24)

(c) Finalment, per k > 1 tindrem, en general: Pk(x1, . . . , xn) = Pk−1(x01, . . . , x0n) +1 k! n X i1,i2,...,ik=1 ∂k_f ∂xi1· · · ∂xik (x01, . . . , x0n)·(xi1−x 0 i1) · · · (xik−x 0 i_k).

(47)

Definici´o 17 (Vector gradient)

Sigui f una funci´o de n variables com (22) i de classe C1_{. Aleshores} definim el seuvector gradient en un punt x0 = (x01, . . . , x0n)∈ Rn, gradf (x0), com el vector que cont´e les seves derivades parcials de 1er. ordre en x0, i. e.: gradf (x0) = _∂f ∂x1 (x0), . . . , ∂f ∂xn (x0) > . (25) Remarca 7

Notem que, amb aquesta definici´o, l’aproximaci´o lineal (23) del teore-ma16es pot expressar com:

P1(x) = f (x0) +hgradf(x0), x− x0i , (26) essent, per u= (u1, . . . , un), v = (v1, . . . , vn)∈ Rn, hu, vi = n X i=1 uivi= u1v1+· · · + unvn i on escrivim: x_{− x}0= (x1− x01, . . . , xn− x0n)>.

(48)

Definici´o 18 (Matriu Hessiana)

Sigui f una funci´o de n variables com (22) i de classe C2_{. Aleshores} definim la sevamatriu hessianaen un punt x0= (x01, . . . , x

0 n)∈ R

n_, Hessf(x0), com la matriu que cont´e les seves derivades parcials segones en x0, i. e.: Hessf(x0) = _∂2_f ∂xi∂xj (x0) 1≤i≤n 1≤j≤n =              ∂2f ∂x2 1 (x0) ∂2f ∂x1∂x2 (x0) · · · ∂2f ∂x1∂xn (x0) ∂2_f ∂x1∂x2 (x0) ∂2_f ∂x2 2 (x0) · · · ∂2_f ∂x2∂xn (x0) .. . ... . .. ... ∂2_f ∂x1∂xn (x0) ∂2_f ∂x2∂xn (x0) · · · ∂2_f ∂x2 n (x0)              .

(49)

Remarca 8

Notem que, amb la definició18, l’aproximació quadràtica (24) del te-orema16es pot expressar com:

P2(x) = P1(x) + 1 2hx − x0,Hessf(x0)· (x − x0)i = P1(x) + 1 2(x− x0) > · Hessf(x0)· (x − x0). (27)

(50)

Canvis de variables (1)

Motivaci´

o: coordenades polars

θ

X Y

r

(x, y) = P (r, θ)

Figura 4: Es tracta d’assignar, mitja¸cant una funci´o, P , a cada (r, θ), un punt del pl`a (x, y) i viceversa. Parlem doncs del canvi de varibles decoordenades polarsacoordenades cartesianesi, rec´ıprocament, P−1, decoordenades cartesianesacoordenades polars

(51)

Si definim el conjuts oberts de A, B_{⊂ R}2 _com:

A:= (0, +_{∞) × (−π, π),} (28)

B:= R2

\ {(x, y) ∈ R2_{: y = 0, x}

≤ 0}, (29)

llavors es comprova (exercici!) que la funci´o:

P : A _{−→ B}

(r, θ) _7→ (x, y) = P (r, θ) := (r cos θ, r sin θ). (30)

(1) Es de classe C´ ∞, i. e.: P ∈ C∞(A).

(2) P estableix una biyecci´o entre els oberts A i B de R2_{. Aix`}_{o ´}_{es: P ´}_es injectiva i

P (A) = {(x, y) ∈ R2: ∃ (r, θ) ∈ A amb P (r, θ) = (x, y)} =: B, (i. e., la imatge d’A per la funci´o P ´es el conjunt B).

(52)

(3) La seva inversa, P−1 P−1: B −→ A (x, y) 7→ (r, θ) = P−1(x, y) := px2_{+ y}2_{, 2 arctan} y x +px2_{+ y}2 ! , ´ es C∞, i. e.: P−1∈ C∞ (B).

Aleshores P estableix un canvi de varibles C∞(de coordenades polars a cartesianes) entre els oberts A i B. Veure figura5.

Generalitzaci´o: canvis de variables Ck

La definició 19que donem tot seguit és una generalització d’aquestes idees. Aix´ı, un canvi de variables Ck _{entre dos oberts A, B}

⊆ Rn _´_es una bjecci´o f : A −→ B de classe Ck _{en A, k}

≥ 1, amb inversa f−1 : B−→ A de classe Ck _{en B. De vegades es diu que f estableix}

undifeomorfismeCk _(k

≥ 1) entre A i B:

(53)

Y X θ π r −π P (r, θ) (x, y) = P (r, θ) A B

Figura 5:La funció P donada per (30) és una bijecció C∞_{entre els oberts A, B ⊆ R}2_definits per (28) i (29); amb inversa, P−1, també de classe C∞.

(54)

Canvis de variables (2)

Definici´o 19 (Canvis de Variables)

Donats dos oberts A, B_{⊆ R}n_{, direm que f ´}_{es un}_{canvi de variables} Ck _{entre A i B sii:} (i) f : A ⊆ Rn−→ Rn ´ es Ck en A, k ≥ 1. (ii) f és injectiva i f (A) := {x ∈ Rn: ∃ x ∈ A amb y = f (x)} = B, (i. e. B és la imatge d’A per la funció f ).

(iii) f−1: B ⊆ Rn−→ Rn ´

es Cken B.

Interpretaci´o:

La definici´o 19simplement diu que la transformaci´o f “deforma” de

(55)

Remarca 9

Observem que si f és un canvi de variables, llavors els determinant de les matrius jacobianes de f i de f−1són no nuls. En efecte, a partir de la identitat (f−1◦ f )(x) = f−1(f (x)) = x, x ∈ A; derivant per la regla de la cadena, s’obté:

Df−1(f (x)) · Df (x) = In=⇒ det Df−1(f (x)) det Df (x) = 1 i si posem y = f (x), llavors ´es clar que:

det Df (y) 6= 0 i det Df (x) 6= 0.

En general no és fàcil determinar si f és un canvi de variables entre un domini arbitrari A i la seva imatge, ja que pot ser complicat demostrar tant la injectivitat de f com caracteritzar la imatge d’A per f . L’únic cas “senzill” és per transformacions afins de la forma

f (x) = a + M x,

on a ∈ Rn, M ∈ Mn(R). Aleshores, si det M 6= 0 la transformaci´o f ´

es invertible i la seva inversa ve donada per: f−1(y) = M−1(y − a).

(56)

En el cas general, tenim un resultat de car`acter local: elteorema de la funci´o inversa, que ens permet, sota certes condicions, establir quan f ´

es localment injectiva (i. e., en un entorn d’un punt donat) i per tant defineix un canvi de coordenades entre un entorn del punt i la seva imatge.

Teorema 20 (Teorema de la funci´o inversa)

Sigui la funci´o:

f : A_{⊆ R}n

−→ Rn

x _7→ y= f (x),

A obert, f _{∈ C}k(A), k ≥ 1, x0 ∈ A. Si det Df(x0) 6= 0, llavors ∃ r > 0 t. q.: (a) f : Dr(x0) ⊂ Rn−→ Rn ´ es injectiva. (b) Si B = f (Dr(x0)), llavors ∃ f−1: B ⊂ Rn−→ Rn , inversa local de f , verificant: (b.1) f−1_{∈ C}k_(B). (b.2) (f−1 ◦ f)(x) = f−1_{(f (x)) = x,} ∀ x ∈ Dr(x0). (b.3) Df−1_{(f (x)) = (Df (x))}−1_, ∀ x ∈ Dr(x0).

(57)

Remarca 10

Notem que (b.3) es dedueix de (b.2) derivant per la regla de la cadena. Remarca 11

El valor de r >0 del teorema20pel qual f és injectiva en Dr(x0) pot ser petit. D’altra banda, el teorema no ens diu com calcular f−1, només justifica l’existència d’inversa local. L’únic punt del qual disposem informació precisa és del punt imatge de x0, y0= f (x0):

f−1(x0) = y0, Df−1(y0) = (Df (x0))−1.

En particular, si denotem per M= Df (x0), llavors l’aproximaci´o lineal de f−1 en un entorn de y0 queda:

(58)

Exemple 13

Si f(x, y) = (sin x + cos y, cos x_{− sin y), discutiu l’exist`encia d’inversa} local de f , t. q.: f−1(√2, 0) = (π 4, π 4). f−1(√2, 0) = (π 4, π 4)⇔ f( π 4, π 4) = ( √ 2, 0)

i llavors, si volem provar l’exisrt`encia d’inversa en un entorn de(u, v) = (√2, 0), haurem d’aplicar el Teorema a la funci´o f en(x, y) = (π

4, π 4). f ∈ C∞(R2) (directament, aplicant els criteris de generaci´o).

D’altra banda: det Df (π₄,π₄) = ∂f1 ∂x( π 4, π 4) ∂f1 ∂y( π 4, π 4) ∂f2 ∂x( π 4, π 4) ∂f2 ∂y( π 4, π 4) = cosπ₄ − sinπ 4 − sinπ 4 − cos π 4 = √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 = −1 2− 1 2 = −1 6= 0.

(59)

A m´es f(π 4,

π 4) = (

√

2, 0). Aleshores, pel teorema20 _{∃ f}−1, inversa local de f entorn de(√2, 0). De manera m´es precisa,_{∃ r > 0 t. q.:}

(a) f : Dr(π₄,π₄) −→ R2´es injectiva. (b) Si B = f (Dr(π 4, π 4)), llavors: ∃ f−1: B −→ R2 (u, v) 7→ (x, y) = f−1(u, v), verificant: (b.1) f−1 ∈ C∞_(B), (b.2) f−1_{(f (x, y)) = (x, y),} ∀ (x, y) ∈ Dr(π₄,π₄). En particular: f−1(√2, 0) = f−1(f (π 4, π 4)) = ( π 4, π 4). (b.3) Df−1_{(f (x, y)) = (Df (x, y))}−1_, ∀ (x, y) ∈ Dr(π₄,π₄). En particular: Df−1(√2, 0) = Df−1(f (π 4, π 4)) = (Df ( π 4, π 4)) −1 =   √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2   −1 =   √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2  .

(60)

L’aproximació lineal de f−1 _{en un entorn de}₍√_{2, 0) s’obté aplicant la} fórmula (31) de la Remarca11i resulta:

f−1(u, v)_≈   π 4 π 4   +   √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2    u− √ 2 v_{− 0}   =   π 4 + √ 2 2 u₋ √ 2 2 − √ 2 2 v π 4 − √ 2 2 u₋ √ 2 2 − √ 2 2 v   =   π 4 − 1 2+ √ 2 2 u− √ 2 2 v π 4 + 1 2− √ 2 2 u− √ 2 2 v   .

(61)

Exemple 14 (Aplicació pràctica del teorema de la funció inversa: sistemes d’equacions no lineals)

Suposarem, per simplificar, n= 2, per`o les mateixes idees s’apliquen en el cas n dimensional en general.

Suposem que tenim dues equacions NL en(x, y) de la forma: f1(x, y) = u0

f2(x, y) = v0

(32) on (u0, v0) s´on valors donats. Suposem que coneixem una soluci´o del sistema (32) donada per (x, y) = (x0, y0). Ens preguntem si, en modificar el valors de(u0, v0) i considerar el sistema

f1(x, y) = u∗ f2(x, y) = v∗

(33) amb(u∗, v∗) propers a (u0, v0), podem afirmar que el nou sistema té solució única, propera a(x0, y0). El Teorema20ens diu que si f1i f2 són funcions almenys C1 i el determinant jacobià de f:= (f1, f2),

(62)

det _∂(f 1, f2) ∂(x, y) (x0, y0) = ∂f1 ∂x(x0, y0) ∂f1 ∂y(x0, y0) ∂f2 ∂x(x0, y0) ∂f2 ∂y(x0, y0) 6= 0, aleshores, per (u∗, v∗) suficientment propers a (u0, v0), les equaci-ons (33) admeten una solició única,(x∗, y∗), propera a (x0, y0). Veure figura6. A més, tenim l’aproximació lineal

x∗ y∗ ≈ x0 y0 + _∂(f 1, f2) ∂(x, y) (x0, y0) −1 u∗− u0 v∗− v0 . Remarca 12 (Notaci´o)

Si f = (f1, f2, . . . , fm) : A⊆ Rn−→ Rmamb A obert ´es derivable i x0 = (x01, x02, . . . , x0n)∈ A, denotem la matriu jacobiana (5) de f en x0 per: Df(x0) = ∂(f1, f2, . . . , fm) ∂(x1, x2, . . . , xn) (x0 1, x 0 2, . . . , x 0 n).

(63)

Dr(x0, y0) B = f (Dr(x0, y0)) f f−1 (x∗, y∗) = f−1(u∗, v∗) (u0, v0) = f (x0, y0) r (x0, y0) (u∗, v∗)

Figura 6: f |_{Dr (x0,y0)} extableix una bijecció entre la bola de radi Dr(x0, y0) i la seva imatge B = f (Dr(x0, y0)). Per tant, si (u∗, v∗) és suficientment proper a (u0, v0) com per (u∗, v∗) ∈ B, llavors (x∗, y∗) = f−1(u∗, v∗) és la solució (única) del sistema (33).

(64)

Exercici 4

El sistema d’equacions en(x, y) donat per: x4+ y4 _{= 2} x2_{− y}2 = 0

t´e per soluci´o (x, y) = (1, 1). Si considerem ara les equacions: x4_{+ y}4 _{= u}

x2

− y2 _{= v}

(34) comproveu que si els valors de(u, v) són suficientment propers a (2, 0), llavors el sistema (34) tindrà una solució única,(x, y), propera a (1, 1). Doneu l’aproximació lineal d’aquesta solució per (u, v) = (1.8, 0.1) i compareu-la amb la solució exacta.

(65)

Soluci´o:

Definim les funcions:

f1(x, y) := x4+ y4 f2(x, y) := x2− y2 ´

Es clar que f := (f1, f2) : R2 −→ R2 ´es una funci´o de classe C2 en tot R2_{. D’altra banda:}

det _∂(f 1, f2) ∂(x, y) (1, 1) = ∂f1 ∂x(1, 1) ∂f1 ∂y (1, 1) ∂f2 ∂x(1, 1) ∂f2 ∂y (1, 1) = 42 ₋₂4 =−8 − 8 = −16 6= 0

Per tant, aplicant el Teorema 20, per (u, v) suficientment propers a (2, 0),∃ una ´unica soluci´o, (x∗, y∗), propera a (1, 1).

(66)

La seva aproximaci´o lineal ve donada per: x∗ y∗ ≈ 1 1 + _∂(f 1, f2) ∂(x, y) (1, 1) −1 u_{− 2} v_{− 0} = 1 1 + 4 4 2 −2 −1 u_{− 2} v_{− 0} = 1 1 −₁₆1 −2 −4 −2 4 u_{− 2} v_{− 0} =  1 + 1 8(u− 2) + 1 4v 1 +1 8(u− 2) − 1 4v   , (35)

on hem aplicat la fórmula (31) que apareix a la remarca11. Per últim, pels valors de (u, v) de l’enunciat, (u, v) = (1.8, 0.1), l’aproximació lineal de la solució segons (35) resulta:

(67)

Mentre que es calcula f`acilment que la soluci´o exacta buscada del sistema (34) amb(u, v) = (1.8, 0.1) ve donada per:

x∗= s v+√2u_{− v}2 2 = 0.998681513834526 . . . , y∗= s −v +√2u− v2 2 = 0.947293389650124 . . .