1. Dibujar líneas paralelas a 2 mm de distancia de la recta dada. 2. Dibujar líneas perpendiculares y a 45º a 2 mm de distancia de la recta dada.

(1)

IB

I

Introducción al Dibujo Técnico

GP

1.

Dibujar líneas paralelas a 2 mm de distancia de la recta dada.

2.

Dibujar líneas perpendiculares y a 45º a 2 mm de distancia de la recta dada.

3.

Dibujar mediante líneas paralelas y perpendiculares una cuadrícula y reproducir el motivo celta dado.

4.

Dibujar mediante líneas paralelas y perpendiculares una cuadrícula y realizar un motivo celta . r s t r s t

(2)

1.

Dibujar una composición a partir de un motivo celta sobre una cuadrícula. Introducción al Dibujo Técnico

(3)

1.

RECTA PARALELA A UNA RECTA

LUGAR GEOMÉTRICO (LG)

: conjunto de puntos del plano que cumplen todos la misma condición o tienen la

misma propiedad.

CIRCUNFERENCIA: LG de los puntos del plano que equidistan una distancia llamada radio de un punto fijo llamado centro.

2.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

3.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

APLICACIÓN: circunferencias tangentes a una recta de radio dado.

APLICACIÓN: circunferencias que pasan por dos puntos.

APLICACIÓN: circunferencias tangentes a los lados del ángulo.

LUGAR GEOMÉTRICO (LG)

de los puntos del plano que equidistan de una recta dada (r).

r

r=10 mm

A B

A

B

LUGAR GEOMÉTRICO (LG)

de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento (AB).

LUGAR GEOMÉTRICO (LG)

de los puntos del plano que equidistan de los lados de un ángulo (r,s)

r d=15 mm r r s s O O IB I

(4)

L

UGAR GEOMÉTRICO (LG):

conjunto de puntos del plano que cumplen todos la misma condición o tienen la misma propiedad.

1.

Hallar los puntos situados en las rectas dadas “r” y “s”, que equidisten de los puntos dados “P” y “Q”.

r Q P B C A s

1.

Trazar el lugar geométrico que diste 10 mm de la circunferencia que pasa por los puntos dados A, B, C. Trazados Geométricos Fundamentales

(5)

1.

ENTRE DOS PUNTOS, d (A,B)

DISTANCIA: longitud más corta entre dos elementos geométricos.

3.

DE UN PUNTO A UNA CIRCUNFERENCIA, d (A, Cc)

2.

ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA, d (A, r).

4.

DE UNA RECTA A UNA CIRCUNFERENCIA, d (r, Cc)

5.

ENTRE DOS RECTAS PARALELAS, d (r, s)

6.

ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS, d (CB, Cc)

A B A r A C B=C r r _s C IB I

(6)

1.

Trazar y acotar en milímetros las distancias entre cada par de elementos geométricos. DISTANCIA: longitud más corta entre dos elementos geométricos.

B r

C A

2.

Señalar todos los puntos que se encuentran a la vez a 18 mm de la recta “r” y a 30 de la recta “s”.

r s

(7)

1.

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO RECTO. Ángulos de 90º, 60º y 30º.

ÁNGULO: es la porción de plano comprendido entre dos semirrectas, lados, que parten de un mismo punto, O, llamado

vértice.

SENTIDO DE GIRO: el sentido positivo es el contrario a las agujas del reloj, negativo el sentido horario... DESIGNACIÓN: AOB,

ô

3.

ÁNGULO DE 75º, 37º 30’

2.

ÁNGULOS DE 60º y 120º

5.

ÁNGULO DE 112º 30’

4

DIVISIÓN DE UN ÁNGULO RECTO Ángulos de 90ºº, 67º 30’, 45º, 22º 30’.

6.

ÁNGULO DE 135º’ O O O O O O IB I

(8)

1.

CONSTRUCCIÓN DEL RECTÁNGULO ÁUREO DADO EL LADO MENOR

PROPORCIÓN ÁUREA: nombre que se dió en el siglo XIX a la proporción obtenida mediante división de un segmento en lo que Euclides llamó media y extrema razón

“Se dice que un segmento recto ha sido dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es al segmento mayor, lo que éste es al segmento menor”

a a+m m a

En el Renacimiento, Fra Luca Pacioli la llamó Proportio Divina y Leonardo da Vinci la llamó Sección Áurea

Número de Oro O = 1,618

2.

DESARROLLO DEL RECTÁNGULO DE SECCIÓN DE ORO. ESPIRAL LOGARÍTMICA. =

(9)

1.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES AB=70 mm.

TEOREMA DE THALES: si dos rectas coplanarias “r” y “s” , son cortadas por una serie de rectas

paralelas, los segmentos determonados en ellas son proporcionales.

PROPORCIÓN: igualdad entre dos razones.

3.

CUARTA PROPORCIONAL DE TRES SEGMENTOS DADOS. a=35 mm, b= 20 mm, c= 15 mm.

2.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES. AB=80 mm, a= 35 mm, b=25, c=10 mm.

4.

TERCERA PROPORCIONAL DE DOS SEGMENTOS DADOS. a= 35 mm, b= 20 mm.

5.

MEDIA PROPORCIONALDE DOS SEGMENTOS DADOS. a=50 mm, b= 20 mm.

IB

I

(10)

ESCALA: es la relación o cociente entre las magnitudes del dibujo y las dimensiones reales del

objeto

d medidas del objeto en el dibujo

r medidas del objeto en la realidad

CLASES: De reducción: e<1 Natural: e=1 De ampliación: e>1 = = 0

4.

ESCALA GRÁFICA. e=1/200 0

5.

ESCALA GRÁFICA e=1/2500 0

6.

3.

2.

ESCALA GRÁFICA e=15/7

1.

0

(11)

ESCALA INTERMEDIA: para pasar un dibujo realizado a una escala a otra diferente.

e

final =

e

dibujo x

e

intermedia

1.

Dibujar a escala e=1/20 el dibujo dado a e=1/50. Acotación.

IB

I

(12)

1.

Dibujar a escala e=1/100 la planta de la vivienda de J.L. Sert y explicar gráficamente las relaciones geométricas que justifican el proyecto.

0

3.

(13)

1.

SEGMENTOS IRRACIONALES

SEGMENTOS IRRACIONALES: obtención gráfica de dimensiones correspondientes a 2, 3, 4, 5....

IB

I

(14)

DESCOMPOSICIÓN ARMÓNICA MEDIANTE RECTÁNGULOS DINÁMICOS.

Realizar el análisis armónico de las tres plantas arquitectónicas representadas, dibujando a doble escala las figuras e indicando un esquema dinámico de sus proporciones.

(15)

DESCOMPOSICIÓN ARMÓNICA MEDIANTE RECTÁNGULOS DINÁMICOS.

Realizar el análisis armónico de las tres plantas arquitectónicas representadas, dibujando a doble escala las figuras e indicando un esquema dinámico de sus proporciones.

IB

I

(16)

1.

ARCO CAPAZ DE 75º DEL SEGMENTO AB=70 mm. Ángulo construido con el compás.

G-M

2.

CUARTA PROPORCIONAL DE TRES SEGMENTOS DADOS. a=30 mm, b= 20 mm, c= 15 mm.

4.

DIBUJAR UN RECTÁNGULO DE LADOS a=50 mm y b = a 5 mm.

3.

CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS. Señalar y definir el LG.

5.

DIBUJAR EL RECTÁNGULO ANTERIOR A ESCALA e= 4/3. Definición de escala.

(17)

1.

ARCO CAPAZ DE 112º DEL SEGMENTO AB=70 mm. Ángulo construido con el compás.

G-M

2.

TERCERA PROPORCIONAL DE LOS SEGMENTOS DADOS. a=30 mm, b= 20 mm

4.

DIBUJAR UN cuadrado de lado= 35 3 mm.

3.

que pasa por los puntos dados A, B, C

Trazar el lugar geométrico que diste 10 mm de la circunferencia .

5.

DIBUJAR la escala gráafica e= 1/5. Definición de escala.

0

IB

I

GP

Trazados Geométricos Fundamentales EJERCICIOS

B

C A

(18)

TRIÁNGULO: superficie plana limitada por tres rectas (a, b, c) que se cortan dos a dos en puntos llamados vértices (A, B, C)..

PROPIEDADES FUNDAMENTALES:

- A mayor ángulo se opone mayor lado.

- Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. -La suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre 180º.

CLASIFICACIÓN TENIENDO EN CUENTA LA MAGNITUD RELATIVA DE SUS LADOS

EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

a=b=c a=b=c a=b=c

P Í G O S O L O N

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA AMPLITUD DE SUS ÁNGULOS

RECTÁNGULO ACUTÁNGULO OBTUSÁNGULO

Â=90º Â, B, C< 90º Â >90º

TRIÁNGULOS

(19)

ALTURAS (ha, hb, hc): son las perpendiculares bajadas a cada lado desde el vértice opuesto. ORTOCENTRO (H): punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.

TRIÁNGULO ÓRTICO: triángulo órtico de un triángulo dado es aquel cuyos vértices son los pies de las alturas del triángulo.

P Í G O S O L O N

MEDIATRICES (Ma, Mb, Mc): trazadas a los lados del triángulo.

CIRCUNCENTRO (C): punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo.

TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO: triángulo complementario de un triángulo dado es aquel cuyos vértices son los puntos medios

MEDIANAS (ma, mb, mc): segmento que une el punto medio

de un lado con el vértice opuesto.

BARICENTRO (B): punto donde se cortan las tres medianas

de un triángulo. Está a 2/3 del vértice correspondiente.

BISECTRICES (ba, bb, bc): de los ángulos del triángulo.

INCENTRO (I): punto donde se cortan las tres bisectrices de

los ángulos internos de un triángulo.

TRIÁNGULOS. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES

IB

I

(20)

P Í G O S O L O N

TRAZAR TODAS LAS RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO DADO.

TRIÁNGULOS

(21)

P Í G O S O L O N

1.- Construir un TRIÁNGULO dados: a=100; h =45; h =40a b

2.- Construir un TRIÁNGULO dados: Â=112º30'; c=60; r=15 de la circunferencia inscrita

TRIÁNGULOS

IB

I

(22)

P Í G O S O L O N

1.- Construir un TRIÁNGULO dados: a=104; m =73; m =88a b

1.- Construir un TRIÁNGULO cuyo triángulo órtico es el MNP.

M N

P

TRIÁNGULOS

(23)

P Í G O S O L O N

DIBUJAR UN TRIÁNGULO DADOS: Â=37º30’, a=60 mm, ha=50 mm. a.- Clasificación del triángulo hallado.

b.- Trazar y nombrar todos los puntos notables.

TRIÁNGULOS

IB

I

(24)

P Í G O S O L O N

DIBUJAR UN TRIÁNGULO DADOS: Â=90º, mediana ma=40 mm, radio círculo circunscrito r=50 mm. a.- Clasificación del triángulo hallado.

b.- Trazar y nombrar todos los puntos notables.

TRIÁNGULOS

(25)

P Í G O S O L O N

1.- Construir un TRIÁNGULO dados: a=100; h =45; Â=75ºa

a. Definir y trazar el ORTOCENTRO . b. Clasificación del triángulo hallado.

2.- Construir un TRIÁNGULO dado su triángulo órtico MNP a. Definición de Triángulo órtico

TRIÁNGULOS IB I

GP

M N P EJERCICIOS

(26)

2.- Construir un TRIÁNGULO dados: =112º30'; c=60; r=15 de la circunferencia inscrita a. Definir y trazar el INCENTRO.

b. Clasificación del triángulo hallado. Â

TRIÁNGULOS

GP

EJERCICIOS

1.- Construir un TRIÁNGULO dados: a=90; m =75; m =90c b

a. Definir y trazar el BARICENTRO b.Clasificación del triángulo hallado

(27)

2.- Construir un TRIÁNGULO dados: B=112º30'; a=75; r=17 de la circunferencia inscrita a. Definir y trazar el INCENTRO.

b. Clasificación del triángulo hallado.

TRIÁNGULOS

IB

I

GP

EJERCICIOS

1.- Construir un TRIÁNGULO dados la altura sobre el lado a, la mediana sobre el lado a y el lado b: ha=45; m =60; b=90a

a. Definir y trazar el BARICENTRO b.Clasificación del triángulo hallado

(28)

CUADRILÁTERO: superficie plana limitada por cuatro rectas. Polígonos de cuatro lados, cuatro ángulos y dos diagonales.

- La suma de sus ángulos es 360º.

- Un cuadrilátero es inscriptible cuando la sus ángulos opuestos son suplementarios (suman 180º)

CUADRADO

P Í G O S O L O N ALTURAS: LADOS: ÁNGULOS: DIAGONALES: INSCRIPTIBLE:

RECTÁNGULO

ALTURAS: LADOS: ÁNGULOS: DIAGONALES: INSCRIPTIBLE:

ROMBO

ROMBOIDE

ALTURAS: LADOS: ÁNGULOS: DIAGONALES:

PARALELOGRAMO:

lados paralelos dos a dos, ángulos opuestos iguales. Las diagonales se cortan en el punto medio.

(29)

ISÓSCELES

P Í G O S O L O N ALTURAS: LADOS: ÁNGULOS: DIAGONALES: INSCRIPTIBLE:

RECTÁNGULO

ESCALENO

BIISÓSCELES

TRAPECIOS:

sólo dos de sus lados son paralelos

TRAPEZOIDE:

los lados opuestos no son paralelos

IB

I

(30)

P Í G O S O L O N

CUADRADO dado el lado: l=40 mm CUADRADO conocida la suma de la diagonal y el lado: d + l = 80 mm.

RECTÁNGULO dada la diagonal y el semiperímetro: d=50 mm, p=75 mm.

RECTÁNGULO dada la suma y la diferencia de los lados: S=70 mm, D=20 mm.

ROMBO dada la diagonal y un ángulo: AB=60 mm, Â=67º30’.

ROMBO dado el lado y el radio del círculo inscrito: l=35, r=12 mm.

(31)

P Í G O S O L O N

ROMBO dado el ángulo entre sus lados y el radio del círculo inscrito:

Â=60º, r=12 mm.

TRAPECIO RECTÁNGULO dada la base mayor, la altura y una diagonal: AB=60 mm, h=35mm,

TRAPECIO RECTÁNGULO conocidas la base, la altura y el ángulo opuesto a ambas:

AB=50mm, h=35mm, D=112º30’.

TRAPECIO ISÓSCELES dadas la base mayor, la altura y la diagonal: AB=50mm, h=35mm, d=45mm.

TRAPECIO ISÓSCELES dadas la base mayor, la altura y la paralela media a las bases. AB=50mm, h=35mm, GH=40mm.

ROMBOIDE dadas sus dos diagonales y el ángulo comprendido entre las mismas:

d1=40 mm, d2=60 mm, Ô=60º.

IB

I

(32)

P Í G O S O L O N

TRAPECIO ESCALENO conociendo sus cuatro lados: AB=60mm, BC=35mm, CD=30mm, DA=32mm.

TRAPEZOIDE BIISÓSCELES dado un lado, una diagonal y uno de los ángulos desiguales: AD=60mm, AB=40mm, Â=30º.

TRAPECIO conocido dos lados no básicos y el radio del círculo inscrito: AD=40mm, CB=30mm, r=13 mm.

TRAPEZOIDE conociendo sus cuatro lados y una diagonal: AB=60mm, BC=35mm, CD=30mm, DA=32mm, BD=55mm.

TRAPEZOIDE conociendo sus cuatro lados y la altura sobre uno de ellos: AB=60mm, BC=35mm, CD=30mm, DA=32mm, BD=55mm,

hAB=30 mm

TRAPEZOIDE BIISÓSCELES conociendo un ángulo, y los lados: Â=60º, AB=30mm, BC=45mm,

(33)

P Í G O S O L O N

CUADRADO conociendo una diagonal d=60 mm

ROMBO dada la altura y la diagonal: h=40mm y d1=80mm.

RECTÁNGULO conociendo un lado y una diagonal L=65 mm., D=79 mm.

IB

I

GP

POLÍGONOS CUADRILÁTEROS

TRAPEZOIDE BIISÓSCELES conociendo un los lados y la diagonal:

(34)

P Í G O S O L O N

ROMBO dada la altura y el ángulo Â: h=40 mm, Â=105º.

TRAPECIO ISÓSCELES dadas las dos bases y la altura: a=65mm, b=40mm y h=40 mm.

I

GP

CUADRILÁTEROS

CUADRADO conocida la suma de la diagonal y el lado: d + l = 80 mm.

RECTÁNGULO dada la diagonal y el semiperímetro: d=50 mm, p=75 mm.

NOMBRE

(35)

POLÍGONO: figura plana limitada por una línea quebrada cerrada.

Si el polígono tiene todos los lados iguales se llama equilátero, si son iguales todos sus ángulos equiángulo y si son iguales lados y ángulos los polígonos son regulares. Polígono irregular es el que no cumple ambas condiciones.

P Í G O S O L O N

TRIÁNGULO EQUILATERO / HEXÁGONO(l=r)

CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA CUADRADO / OCTÓGONO

PENTÁGONO / DECÁGONO HEPTÁGONO

MÉTODO GENERAL

C

IB I

(36)

POLÍGONO ESTRELLADOS: el número de polígonos estrellados que tiene un polígono regular es igual a los números primos con el

menores que su mitad.

P Í G O S O L O N PENTÁGONO

CONSTRUCCIONES DE POLÍGONOS REGULARES DADO EL LADO

HEXÁGONO (l=r)

MÉTODO GENERAL

PENTÁGONO ESTRELLADO HEPTÁGONO ESTRELLADO

C C

A B

B A

(37)

P Í G O S O L O N

PENTÁGONO DADO EL LADO. MÉTODO PARTICUALR. LADO=25 mm _{HEPTÁGONO DADO EL LADO. MÉTODO GENERAL. LADO AB= 20 mm.}

ENEÁGONO DADO EL RADIO. MÉTODO GENERAL. R= 25 mm _{DECÁGONO ESTRELLADO}

POLÍGONOS REGULARES

IB

I

(38)

RECTIFICACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA: determinar sobre una línea recta la longitud de una circunferencia. P Í G O S O L O N

ARCO MENOR DE 90º _{ARCO DE 90º}

RECTIFICACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA. 360º O

O

RECTIFICACIÓN DE CIRCUNFERENCIA

GP

O

ARCO MENOR DE 180º _{ARCO MAYOR DE 180º}

(39)

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE TANGENCIA

• ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA: la recta es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de tangencia.

• DE CIRCUNFERENCIAS ENTRE SI: los centros están alineados con el punto de tangencia.

- TANGENTES EXTERIORES: la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios,d(O1, O2)=r1+r2

- TANGENTES INTERIORES: la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios, d(O1, O2)=r1-r2

P Í G O S O L O N

RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES EN UN PUNTO TANGENTES DESDE UN PUNTO EXTERIOR

TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS

TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS A C1 C2 C C C1 C2 T TANGENCIAS IB I

GP

TANGENCIAS Y ENLACES

(40)

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE TANGENCIA

• ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA: la recta es perpendicular al radio de la circunferencia en el punto de tangencia.

• DE CIRCUNFERENCIAS ENTRE SI: los centros están alineados con el punto de tangencia.

- TANGENTES EXTERIORES: la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios,d(O1, O2)=r1+r2

- TANGENTES INTERIORES: la distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios, d(O1, O2)=r1-r2

P Í G O S O L O N

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SI Y A RECTAS DADAS

P C r r C1 C2 C P C C T s C T

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO QUE PASE POR UN PUNTO P Y SEA TANGENTE A OTRA DADA

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A OTRAS DOS DADAS

r

CIRCUNFERENCIAS DE RADIO DADO QUE PASE POR UN PUNTO P Y SEA TANGENTE A OTRA DADA

r

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A OTRA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA

CIRCUNFERENCIA QUE PASE POR UN PUNTO P Y SEA TANGENTE A OTRA DADA EN UN PUNTO T

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA Y A UNA RECTA EN UN PUNTO T

TANGENCIAS

(41)

La determinación de enlaces entre curvas y rectas o de rectas entre sí es fundamental para el dibujo técnico. Todos los casos de tangencias pueden transformarse en enlaces.

P Í G O S O L O N r C

ENLACE DE DOS RECTAS PERPENDICULARES ENLACE BAJO UN ÁNGULO CUALQUIERA

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS MEDIANTE DOS CUADRANTES DE DISTINTO RADIO

ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS MEDIANTE DOS ARCOS FORMANDO GOLA

ENLACE DE UNA CIRCUNFERENCIA Y UNA RECTA CONOCIENDO EL PUNTO P DE UNIÓN CON ESTA ÚLTIMA.

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA Y A UNA RECTA EN UN PUNTO T C P r S S r ENLACES IB I

GP

(42)

La determinación de enlaces entre curvas y rectas o de rectas entre sí es fundamental para el dibujo técnico. Todos los casos de tangencias pueden transformarse en enlaces.

P Í G O S O L O N r r G

ENLACE DE DOS CIRCUNFERENCIAS MEDIANTE UN ARCO DE FORMA CÓNCAVA

ENLACE DE FORMA CONVEXA

ENLACE INTERCALADO ENLACE INTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA Y

EXTERIOR A OTRA

r

CURVAS SOBRE UNA POLIGONAL

C C1 C2 C1 C2 C1 C2 C1 C2 r r A B D E F ENLACES

GP

(43)

P Í G O S O L O N O2

ÓVALO DE TRES PARTES ÓVALO DE CUATRO PARTES

OVOIDE RECTO OVOIDE CASO GENERAL

CARPANEL REBAJADO CARPANEL PERALTADO

A B A B A B A B C D O1 A B C A B C

ÓVALOS, OVOIDES Y CARPANELES

IB

I

(44)

P Í G O S O L O N

ESPIRAL DE DOS CENTROS PASO = 10 mm

ESPIRAL DE TRES CENTROS PASO = 15 mm

ESPIRAL DE CUATRO CENTROS PASO = 20 mm

ESPIRAL DE SEIS CENTROS PASO = 30 mm.

P/2 P/3

P/4 P/6

ESPIRALES

(45)

P Í G O S O L O N

ENLACE INTERIOR A C1 Y EXTERIOR A C2

ADAPTAR UNA POLIGONAL A LA CURVA Y RESOLVER POR ENLACES

C1 C2

r

ESPIRAL DE TRES CENTROS PASO = 15 mm O2 A B C D O1 OVOIDE CASO GENERAL

C P

C T

TANGENCIAS

IB

I

(46)

P Í G O S O L O N APLICACIONES

GP

(47)

P Í G O S O L O N APLICACIONES IB I

GP

(48)

P Í G O S O L O N APLICACIONES

GP

(49)

P Í G O S O L O N

RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS C1 C2 TANGENCIAS IB I

GP

C

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA Y A UNA RECTA EN UN PUNTO T r S T P C T

P

s r

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A UNA RECTA Y QUE PE POR UN PUNTO P

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE TANGENCIA. DEFINICIONES Y DIBUJOS.

(50)

P Í G O S O L O N

RECTAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS C1 C2 TANGENCIAS

GP

C

CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA DADA Y A UNA RECTA EN UN PUNTO T r S T P C T

P

s r

CIRCUNFERENCIA DE RADIO DADO TANGENTE A UNA RECTA Y QUE PE POR UN PUNTO P

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE TANGENCIA. DEFINICIONES Y DIBUJOS.

(51)

ELIPSE. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS ELIPSE. CONSTRUCCIÓN POR AFINIDAD

ELIPSE . MÉTODO DE LOS 8 PUNTOS TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO

CONSTRUCCIÓN POR DIÁMETROS CONJUGADOS OBTENCIÓN DE LOS EJES REALES A PARTIR DE DIÁMETROS CONJUGADOS

A B A B

ELIPSE, HIPÉRBOLA, PARÁBOLA

D IB I

GP

CURVAS CÓNICAS C D C D A B A B C D C D E F E F G H G H O O O O O O

HIPÉRBOLA. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS PARÁBOLA. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS

A B

C

D

V O

(52)

1. (2.5 p).ELIPSE. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS.

Trazar una tangente por un punto

4. (2.5 p)OBTENCIÓN DE LOS EJES REALES A PARTIR DE DIÁMETROS CONJUGADOS. Dibujar la elipse por afinidad

A B Nombre

GP

C D

E

_F

G

O

3. (2.5 p)HIPÉRBOLA EQUILÁTERA. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS.

2. (2.5 p)PARÁBOLA. CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS.

A B C D F O O

(53)

IGUALDAD: dos figuras son iguales cuando superpuestas coinciden en todos sus elementos: misma forma, igual disposición relativa e idéntica magnitud.

CONSTRUIR UN POLÍGONO IGUAL A OTRO

IGUALDAD, SEMEJANZA, EQUIVALENCIA

GP

A B C D E F A B A B

a. Por copia de ángulos b. Por triangulación

IGUALDAD: dos figuras son iguales cuando superpuestas coinciden en todos sus elementos: misma forma, igual disposición relativa e idéntica magnitud.CONSTRUIR UN POLÍGONO IGUAL A OTRO

SEMEJANZA: dos figuras son semejantes cuando teniendo igual forma sus dimensiones son distintas.

Los diversos elementos que en las figuras semejantes se corresponden se denominan elementos homólogos y son proporcionales entre si.

HOMOTECIA: Dado un punto fijo O tomado como centro, se dice que dos puntos A y A’ son homotéticos respecto a O, cuando la razón de sus distancias es constante, es decir:

A B C D E F A B C D E F O OA’ OA =K

EQUIVALENCIA: dos figuras son equivalentes cuando con distinta forma, tienen iguales su superficie CONSTRUIR UN POLÍGONO EQUIVALENTE A OTRO

D

B

T

I

A C D E A B C

(54)

GP/ TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS / HOMOLOGÍA Y AFINIDAD GP

# HOMOLOGÍA.

Se dice que los puntos A, B, y C de una figura F son homólogos de los puntos A’, B’ y C’ de una figura F’cuando se cumplen las siguientes condiciones:

1º. Estar en línea recta con el punto fijo O , llamado centro de homología.

(O-A- A’), (O-B- B’) y (O-C-C’) están en línea recta.

2º. Que las rectas homólogas se cortan en puntos de una recta fija llamada eje de homología.

(AB)-(A’B’) se cortan en el punto 1, (BC)-(B’C’) se cortan en el punto 2, (AC)-(A’C’) se cortan en el punto 3.

PUNTOS DOBLES, aquellos que son homólogos de sí mismos. El centro de homología es un punto doble (o=o’) y todos los puntos del eje son dobles (1=1’, 2=2’, 3=3’).

RECTAS DOBLES, aquellas que unen dos puntos homólogos con el centro de simetría(OA- O’A’), (OB- O’B’) y (OC-O’C’)

RECTAS LÍMITES, cada una de las rectas (RL y R’L’) lugar geométrico de los puntos homólogos del infinito de cada figura

homóloga

# DETERMINACIÓN DE UNA HOMOLOGÍA.

Para que una homología quede determinada, es necesario conocer además de una de las figuras dadas los siguientes elementos:

1º El eje, el centro y un punto homólogo cualquiera de la figura dada. 2º El eje, el centro y la recta límite de la figura dada.

3º El eje, la recta límite y el punto homólogo de uno cualquiera de la figura dada

EJE RL R’L’ d d o EJE RL R’L’ d o d 0=0’ CENTRO DE HOMOLOGÍA A A’ C B B’ C’ 1=1’ _2=2’ _3=3’ F F’ r r’ s’ s t t’ RL R’L’ M’ 8 M M’ S 8 S 8 S’ d d EJE DE HOMOLOGÍA

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GP/ TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS / HOMOLOGÍA Y AFINIDAD GP B T 0=0’ CENTRO DE HOMOLOGÍA A A’ C B F 0=0’ CENTRO DE HOMOLOGÍA A’ B’ C’ F’ RL EJE DE HOMOLOGÍA

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GP/ TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS / HOMOLOGÍA Y AFINIDAD GP

# AFINIDAD

La afinidad es un caso particular de la homología, cuando el centro de ésta se considera situado en el infinito, por lo que todas las rectas que antes concurrían en el centro de homología son ahora paralelas entre si, pudiendo ser oblicuas, perpendiculares o paralelas al eje de afinidad.

La afinidad queda definida por su eje, la dirección y la relación de afinidad. Sean los puntos A y B y sus afines

A’ y B’. Las rectas AB y A’B’ se han de cortar en un punto doble (1=1’) del eje de afinidad. La dirección de afinidad

tomada sobre el eje es el ángulo formado por las rectas paralelas AA’ y BB’ con el eje de afinidad. Se denomina razón de afinidad a la relación: = = -r

Se considera el eje como origen de distancias y por tanto, cuando las figuras se encuentran situadas en un mismo lado del eje la razón de afinidad es positiva; si se encuentran a distinto lado la razón es negativa.

#

SIMETRÍA RESPECTO DE UN EJE . Caso particular de la afinidad en donde la dirección de afinidad es normal (90º)

y la razón de afinidad es (r =-1)

HOMOTECIA. Cuando el eje de homología se aleja al infinito, las rectas homólogas han de cortarse en el infinito,

luego resultan paralelas. Los ángulos resultan iguales y los segmentos proporcionales. A la razón de proporcionalidad se le denomina razón de homotecia (k)..

TRASLACIÓN. El centro de homología y el eje se encuentran en el infinito, resultando las figuras iguales y los

segmentos homólogos paralelos.

A M A’M’ B’N’ B N A A’ C B’ 1=1’ r r’ EJE DE AFINIDAD O 8 O 8 N M A A’ C C’ B B’ F F’ O 8 O 8 O 8 A B F A’ C’ B’ F’ O 8 O 8 O 8 0 A C F B A’ B’ F’ O 8 C’ B F F’

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1. Dadas las proyecciones diédricas de la pirámide oblícua de base ABCD y vértice V: a. Sección que produce el plano P por homología

b. Verdadera magnitud de la sección por afinidad.

GD SD/ SECCIONES 0 a b c c’ a’ _b’ v v’ P P’ B T d d’

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IGUALDAD: dos figuras son iguales cuando superpuestas coinciden en todos sus elementos: misma forma, igual disposición relativa e idéntica magnitud.

CONSTRUIR UN POLÍGONO IGUAL A OTRO

IGUALDAD, SEMEJANZA, EQUIVALENCIA

GP

A B C D E F A B A B

a. Por copia de ángulos b. Por triangulación SEMEJANZA: dos figuras son semejantes cuando teniendo igual forma sus dimensiones son distintas.

Los diversos elementos que en las figuras semejantes se corresponden se denominan elementos homólogos y son proporcionales entre si.

HOMOTECIA: Dado un punto fijo O tomado como centro, se dice que dos puntos A y A’ son homotéticos respecto a O, cuando la razón de sus distancias es constante, es decir:

A B C D E F A B C D E F O OA’ OA =K

EQUIVALENCIA: dos figuras son equivalentes cuando con distinta forma, tienen iguales su superficie CONSTRUIR UN POLÍGONO EQUIVALENTE A OTRO

C D

E C

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GP

B

T

# SIMETRÍA RESPECTO DE UN EJE .

# TRASLACIÓN. Vector de traslación V

B A C B A C O

# GIRO. Ángulo de giro= 60º

B A C O B A C V

# SIMETRÍA RESPECTO DE UN CENTRO.

(60)

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS GP

# DADA LA FIGURA ( F ), realizar las siguientes transformaciones consecutivas:

1º. Dibujar la figura semejante de razón K=- 3/2 y centro (O ): (F )1 1

2º. Trasladar (F ) según el vector dado: (F )1 2

3º. Girar (F ) un ángulo de 30º respecto al centro dado P: (F )2 3

4º. Dibujar una simetría de (F ) respecto al eje E: (F )3 4

O B A C V D E P

F

E