10.0
OBJETIVOS
10.1 INTRODUCCIÓN. CIRCUITOS LINEALES DE PRIMER ORDEN.
10.2 DESCARGA DE ELEMENTOS CARGADOS SOBRE UNA RESISTENCIA.
RESPUESTA DE UN CIRCUITO A ENTRADA CERO.
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR
FUENTES.
10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.
10.3.2 FUENTES DE CORRIENTE ALTERNA Y CONDICIONES INICIALES NULAS.
10.3.3 CIRCUITOS CON CONDICIONES INICIALES NULAS ALIMENTADOS CON
FUENTES QUE NO SON NI C.C. NI C.A.
•
Saber que es el orden de un circuito lineal y de que factores depende.
•
Comprender la importancia de la constante de tiempo en los circuitos
lineales de primer orden.
•
Aprender a calcular la constante de tiempo.
•
Indicar casos reales de circuitos de primer orden.
•
Diferencias en un circuito de primer orden las respuestas a entrada 0 y
estado 0.
•
Diferenciar entre respuesta natural y forzada de un circuito.
•
Conocer la respuesta completa de un circuito de primer orden.
3
Régimen Transitorio:
Cuando se produce un cambio en las
magnitudes de un circuito, tensión o corriente, decimos que el
circuito está en régimen transitorio. Al cambiar las condiciones de
un elemento de un circuito se pierde el régimen permanente, y tras
sucederse los cambios de tensión/ corriente se vuelve de nuevo al
equilibrio en otro régimen permanente. Al intervalo entre los dos
regimenes permanentes se le denomina régimen transitorio.
Circuitos de primer orden:
Los cambios en las magnitudes que se
dan durante el régimen transitorio se pueden representar mediante
una ecuación diferencial. Cuando en el circuito solo existen
elementos almacenadores de una sola naturaleza, la ecuación será
de primer orden, y decimos que el circuito es de primer orden.
) ( ) ( 1 d ) ( d t g t f t t f = ⋅ + τ
)
(
)
(
1
d
)
(
d
t
g
t
f
t
t
f
=
⋅
+
τ
C R⋅ = τ R L = τCircuitos RC:
Circuitos RL
R C i(t) i1(t) i2(t))
(
d
)
(
d
)
(
)
(
d
)
(
d
d
)
(
d
)
(
1
d
)
(
d
1
d
)
(
d
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
t
u
L
R
t
t
u
t
g
t
u
L
R
t
t
u
t
t
i
R
t
u
L
t
t
u
R
t
t
i
dt
t
u
L
R
t
u
t
i
t
i
t
i
R L⋅
+
=
⋅
+
=
⇒
⋅
+
=
⇒
+
=
+
=
∫
)
(
1
d
)
(
d
)
(
'
)
(
1
d
)
(
d
)
(
1
)
(
d
)
(
)
(
)
(
)
(
t
u
C
R
t
t
u
t
g
t
u
C
R
t
t
u
t
i
C
dt
t
u
C
R
t
u
t
i
t
i
t
i
R C⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
=
⋅
⇒
+
=
+
=
R/G L i(t) i1(t) i2(t)5
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
d
)
(
d
t
f
t
f
t
f
t
g
t
f
t
t
f
p h+
=
→
=
⋅
+
τ
La respuesta obtenida al resolver la ecuación diferencial tiene 2 componentes:
SOLUCION DE LA HOMOGENEA (f
h(t)) Y SOLUCIÓN PARTICULAR(f
p(t))
Respuesta en el periodo transitorio
) ( 1 0
k
)
(
0
)
(
1
d
)
(
d
t te
t
f
t
f
t
t
f
− ⋅ −⋅
=
→
=
⋅
+
ττ
)
(
)
(
t
f
t
f
p=
∞)
(
k
)
(
)
(
)
(
( ) 1 0t
f
e
t
f
t
f
t
f
=
h+
p=
⋅
−τ⋅ t−t+
∞Para obtener el valor de la constante k, emplearemos las condiciones iniciales:
) ( k ) ( k ) ( ) ( ) ( 0 0 0 1 0 0 0 0 f t f t f t e f t f t t t = → = h + p = ⋅ −τ⋅ + ∞ = + ∞
Respuesta en el nuevo
régimen permanente
) ( ) ( k =f t0 −f∞ t0(
( ) ( ))
( ) ) ( ( ) 1 0 0 0 t f e t f t f t f = − ∞ ⋅ −τ⋅t−t + ∞y
Solución:
Expresión más habitual de la solución:
(
)
1( )0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) (t f t f t f t e t t f = ∞ − ∞ − ⋅ −τ⋅ −
(
)
1 ( ) 0 0 0)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
f
t
f
t
e
t tf
=
∞−
∞−
⋅
−τ
⋅ −Para obtener la respuesta transitoria del circuitos de primer orden:
1. Se calcula el valor inicial: f(t
0).
2. Se obtiene la respuesta en régimen permanente final: f
∞
(t).
3. Se determina la respuesta en régimen permanente en el instante inicial: f
∞
(t
0)
4. Se define la constante de tiempo:
τ
.
Para determinar los valores iniciales de la tensión y la corriente se tendrá en
cuenta las características propias de la bobina y el condensador
-
El condensador no permite cambios bruscos de tensión:
-La bobina no permite cambios bruscos de corriente:
) ( ) (t0+ = u t0− uc c ) ( ) (t0+ = i t0− iL L
7
(
)
1( ) 0 0 0)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
f
t
f
t
e
t tf
=
∞−
∞−
⋅
−τ⋅ − R C U0=E 2 u(t) E/R i(t) t ζ 5ζLa corriente en el condensador
t d ) ( d ) ( 1 0 : ó ) ( 1 0 t d ) ( d : derivando d ) ( 1 ) ( · ) ( 0 0 t i t i RC t i C t i R t t i C U t i R t u t + = − = − = =∫
(
)
t RC t RC t RC e R E t i e R E t i e i i t i t i ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ∞ ∞ = − − = ⋅ − − = 1 1 ) 0 ( 1 ) ( 0 0 ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( R C U0=E t=0 E 1 2 + R C i(t) U0 U=0 u(t) + 0 < ∀t REGIMEN ESTACIONARIO: El condensador está cargado, en sus bornes tiene una tensión de valor U0=E VREGIMEN TRANSITORIO: El condensador comienza a descargarse sobre la resistencia. Se establece una circulación de corriente y una tensión en R igual a la tensión en C.
La ecuación que define el circuito en régimen transitorio se obtiene del circuito para t>0:
La ecuación se resuelve según la respuesta tipo.
RC
En el circuito del régimen transitorio se puede sustituir el condensador cargado por una fuente de tensión con el valor de la tensión del condensador en el instante t=0, en serie con un condensador descargado para obtener la ecuación que define el reg. transitorio.
0
≥ ∀t
Exponencial decreciente
0 d ) ( d ) ( ; d ) ( d ) ( d ) ( d ) ( ) ( ) ( = + − = − = = t t u RC t u t t u C R t u t t u C t i R t u t i
(
)
(
)
t RC t RC t RC Ee t u e E t u e u u t u t u ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ∞ ∞ = − − = ⋅ − − = 1 1 ) 0 ( 1 ) ( 0 0 ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( E u(t) tLa Tensión en el condensador
R C U0=E 2 u(t) La ecuación que define el circuito en régimentransitorio donde aparece como variable la tensión es la siguiente, obtenida a partir del circuito en régimen transitorio:
(
)
1( ) 0 0 0)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
f
t
f
t
e
t tf
=
∞−
∞−
⋅
−τ⋅ −RC
10.2 DESCARGA DE ELEMENTOS CARGADOS SOBRE UNA RESISTENCIA. RESPUESTA DE UN CIRCUITO A ENTRADA CERO. (2)
9
RL
R L I0=E/R t=0 E 1 2 u(t) + 2 R L I0=E/R 1 u(t) I0 R L 1 u(t) i(t) 0 < ∀t ∀t ≥0 REGIMEN PERMANENTE: La bobina está cargada, la corriente que circula por ella en el instante t=0 vale:I0=E/R. La tensión es nula en
bornes de la bobina.
REGIMEN TRANSITORIO: La bobina comienza a descargarse sobre la resistencia. Aparece tensión en bornes de la bobina.
En el circuito del régimen transitorio se puede sustituir la bobina cargada por una fuente de corriente con el valor de la corriente de la bobina en el instante t=0, en paralelo con una bobina descargada a fin de obtener la ecuación que define el reg. transitorio. t d ) ( d ) ( 0 : ó ) ( 1 0 t d ) ( d 1 : derivando d ) ( 1 ) ( ) ( 0 0 t u t u L R t u L t u R t t u L i R t u t i t + = + = − + = − =
∫
(
)
(
)
t L R t L R t L R e I R t u e I R t u e u u t u t u ⋅ − ⋅ − − ⋅ − ∞ ∞ ⋅ = ⋅ − − = ⋅ − − = 0 0 ) 0 ( ) ( 0 0 ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( Ri0 u(t) t ζ 5ζLa Tensión en bornes de la bobina
La ecuación que define el circuito en régimen transitorio se obtiene del circuito para t>0:0
d
)
(
d
)
(
;
d
)
(
d
)
(
·
d
)
(
d
)
(
)
(
·
)
(
=
+
=
−
=
−
=
t
t
i
t
i
L
R
t
t
i
L
t
i
R
t
t
i
L
t
u
t
i
R
t
u
I0 i(t)La corriente por la bobina
(
)
(
)
t L R t L R t L Re
I
t
i
e
I
t
i
e
i
i
t
i
t
i
⋅ − ⋅ − − ⋅ − ∞ ∞=
−
−
=
⋅
−
−
=
0 0 ) 0 ()
(
0
0
)
(
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
RL
La ecuación que define el circuito en régimen transitorio se obtiene del circuito para t>0:
(
)
1( ) 0 0 0)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
f
t
f
t
e
t tf
=
∞−
∞−
⋅
−τ⋅ −10.2 DESCARGA DE ELEMENTOS CARGADOS SOBRE UNA RESISTENCIA. RESPUESTA DE UN CIRCUITO A ENTRADA CERO. (4)
11
t
e
t
f
=
−
τ
⋅
1
A
)
(
Todas las funciones que se han obtenido en las descargas del condensador y
de la bobina tanto para tensiones como para corrientes son funciones
exponenciales decrecientes. Veamos como es su representación gráfica.
5
τ
A·e
-5=0,006A
τ
A·e
-1=0,36A
0
A
t
f(t)
Para valores mayores de
5
τ
se supone alcanzado
régimen permanente pues
el valor que toma la función
es insignificante.
f(t)
A
t
)
(
)
(
)
(
d
)
(
d
)
(
)
(
0
)
0
(
t
u
t
u
t
u
t
t
u
C
R
t
u
t
i
u
p h+
=
→
+
=
=
Homogénea:
t RC ht
k
e
u
t
t
u
t
u
RC
t
t
u
C
R
t
u
1 1)
(
:
homogénea
la
de
solución
la
donde
d
)
(
d
)
(
1
d
)
(
d
)
(
0
−=
+
=
+
=
Solución particular: u
p(t) la solución permanente
dependerá de la naturaleza de la fuente de alimentación.
circuito
R-C
Respuesta
+
=
R C u(t) t=0 i(t) iR(t) iC(t)El estado inicial cero significa que los elementos almacenadores no tienen energía
almacenada en el instante inicial.
13
Circuito R-L
)
(
)
(
)
(
d
)
(
d
)
(
·
)
(
0
)
0
(
t
i
t
i
t
i
t
t
i
L
t
i
R
t
u
i
p h+
=
→
+
=
=
Homogénea:
t L R ht
k
e
i
t
t
i
R
L
t
i
t
t
i
L
t
i
R
−=
+
=
+
=
1)
(
:
homogénea
la
de
solución
la
donde
d
)
(
d
)
(
d
)
(
d
)
(
·
0
Solución particular: i
p(t) la solución permanente
dependerá
de la naturaleza de la fuente de
alimentación.
Respuesta
+
R L t=0 u(t) uL(t) uR(t) i(t) + ≡ = + = − . permanante régimen del función En ) ( · ) ( ) ( ) ( ) ( · 1 1 t u e k t u t u t u t u p t RC h p h
I
R
k
I
R
e
k
u
RC·
·
·
0
)
0
(
1 0 · 1 1=
+
=
=
−I
R
e
k
t
u
(
)
·
RC·t·
1 1+
=
−Circuito R-C
En régimen permanente y c.c. el condensador es un interruptor abierto, así: u
p(t)=R·I
Sabemos que u(0)=0, lo utilizamos para determinar k
1el condensador no permite cambios
bruscos de tensión.
− = − ·t 1Así la expresión de la tensión:
RI u(t) R C U(t) t=0 iR(t) iC(t) i(t)=I
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (3) 10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(1)
15
Circuito R-C
− =RI e−RCt t u · 1 1 · ) (A partir de la expresión de la tensión se pueden obtener las corrientes:
RI u(t) t ζ 5ζ t RC CI
e
t
t
u
C
t
i
1·
)
(
d
)
(
d
·
)
(
=
=
− − = = −RCt R I e R t u t i · 1 1 · ) ( ) ( I i(t) t ζ 5ζ iR(t) iC(t)I
t
i
t
i
R(
)
+
C(
)
=
R C U(t) t=0 iR(t) iC(t) i(t)=I
≡
=
+
=
−.
permanente
régimen
Según
)
(
·
)
(
)
(
)
(
)
(
· 1t
i
e
k
t
i
t
i
t
i
t
i
p t L R h p hR
U
e
k
t
i
L t R+
=
1·
− ·)
(
Circuito R-L
En c.c. y régimen permanente la bobina es un interruptor cerrado:i
p(t)=U/R
R
U
k
R
U
e
k
i
L R−
=
+
=
=
− 1 0 · 1·
0
)
0
(
i(0)=0 con esta condición obtendremos k
1(
la bobina no admite cambios bruscos de i
)
Así la expresión de la corriente:
−Rt U · U/R i(t i(t)) R L t=0 u(t) uL(t) uR(t) i(t) +
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (5) 10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(3)
17
Circuito R-L
−
=
−L t Re
R
U
t
i
(
)
1
·A partir de la expresión de la corriente se pueden lograr las de las tensiones:
t L R L
U
e
t
t
i
L
t
u
=
=
·
−)
(
d
)
(
d
·
)
(
−
=
=
−L t R Rt
R
i
t
U
e
u
(
)
·
(
)
1
·U
t
u
t
u
R(
)
+
L(
)
=
U u(t) t ζ 5ζ uR(t) uL(t) U/R i(t i(t)) t ζ 5ζ u(t) R L t=0 uL(t) uR(t) i(t i(t)) +(
)
0
con
)
(
)
(
)
(
)
(
0 ) ( 1 0 0 0=
⋅
−
−
=
∞ ∞ − ⋅ −t
e
t
u
t
u
t
u
t
u
C C C C τ t t(
)
1( ) 0 0 0)
(
)
(
)
(
)
(
t
f
t
f
t
f
t
e
t tf
=
∞−
∞−
⋅
−τ⋅ −(
)
0
con
)
(
)
(
)
(
)
(
0 ) ( 1 0 0 0=
⋅
−
−
=
∞ ∞ − ⋅ −t
e
t
i
t
i
t
i
t
i
L L L L τ t tA partir de la ecuación de la solución se puede simplemente lograr las respuestas a los circuitos
tratados. Trabajando para ello con la tensión en el caso de circuito RC ya que el valor de la tensión
no experimenta cambios bruscos en el condensador y trabajando con la corriente en circuitos RL
donde la bobina no experimenta cambios bruscos de corriente. De esta forma serán conocidos
u
c(0) e i
L(0) respectivamente.
Ct
RI
u
∞(
)
=
t L U U U R U t i 1 ) ( − ∞ = R C U(t) t=0 iR(t) iC(t) i(t)=I u(t) R L t=0 uL(t) uR(t) i(t i(t)) +10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (7) 10.3.1 FUENTE DE ALIMENTACIÓN DE C.C. Y CONDICIONES INICIALES NULAS.(5)
19
=
e
−
⋅
t
t
f
τ
1
-1
A
)
(
Todas las funciones que se han obtenido en las cargas del condensador y de
la bobina con fuentes de c.c. tanto para tensiones como para corrientes son
funciones exponenciales crecientes. Veamos como es su representación
gráfica.
5
τ
0,994A
τ
0,64A
0
0
t
f(t)
Para valores mayores de
5
τ
se supone alcanzado
régimen permanente pues
el valor que toma la función
es prácticamente A.
f(t)
A
t
(
)
R
L
i
t
e
t
i
t
i
t
i
t
i
L t t L L L L=
=
=
⋅
−
−
=
∞ ∞ − ⋅ −τ
τy
0
)
0
(
,
0
donde
)
(
)
(
)
(
)
(
0 ) ( 1 0 0 0(
ω
ϕ
)
ω
ϕ ϕ−
=
=
=
+
=
∞ − ∠ ∠ ∠y
cos
2
)
(
A
º º º 0t
I
t
i
I
Z
U
L
j
R
U
I
En régimen permanente se trata de un circuito de c.a. por tanto:
(
)
( )
t L Re
I
t
I
t
i
(
)
=
2
cos
ω
−
ϕ
−
2
cos
−
ϕ
⋅
−Respuesta: función coseno + función
exponencial decreciente.
(
)
( ))
(
)
(
)
(
)
(
0 1 0 0 t te
t
f
t
f
t
f
t
f
− ⋅ − ∞ ∞−
−
⋅
=
τCircuito R-L
Respuesta: homg+part.
V cos 2 ) (t =U t =U∠0º u ω R L t=0 uL(t) uR(t) i(t i(t)) +~
Es preferible trabajar con la corriente por no permitir la bobina saltos bruscos de corriente así sabemos que: iL(0−)= iL(0+)= 0
10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (9)
21 t i L t u t eg t u t i R t u L R L L R d d ) ( ) ( ) ( ) ( · ) ( = − = =
Para obtener las tensiones del circuito podemos emplear la expresión de la
corriente:
sinusoidal exponencial resultante(
)
( )
t L R e I t I t i( )= 2cosω −ϕ − 2cos −ϕ ⋅ −· 1 A 1 j º 90 º º 90 º º º 0 = = = − = − ∠ ∠ − ∠ = ∠ − ∠ ∠ ω ω ω ϕ ϕ ϕ ϕ I C I I C U I Z E C R E I c V cos 2 ) (t =E t = E∠0º eg
ω
(
)
RC t u t e t u t u t u t u C t t C C C C = = = = ⋅ − − = ∞ ∞ − ⋅ − τ τ y 0 ) 0 ( , 0 : con ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 1 0 0 0En régimen permanente se trata de un circuito de c.a. por tanto: :
Respuesta: función coseno + función
exponencial decreciente.
(
)
( ))
(
)
(
)
(
)
(
0 1 0 0 t te
t
f
t
f
t
f
t
f
− ⋅ − ∞ ∞−
−
⋅
=
τCircuito R-C
uC(t) R t=0 i(t i(t))~
CRespuesta: homg+part.
Es preferible trabajar con la tensión por no permitir el condensador saltos bruscos de tensión así sabemos que:uc(0−)= uc(0+)= 0 10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (11)
23 t u C t i t u t eg t u c c c R d d · ) ( ) ( ) ( ) ( = − =
Para obtener otras variables del circuito podemos emplear la expresión de la tensión
conocida u
c(t):
sinusoidal exponencial resultante(
)
(
)
RCt c e C I t C I t u 1 º 90 cos 2 º 90 cos 2 ) ( ⋅ − − − − + = ϕ ω ϕ ω ωt
t
i
L
t
i
R
t
u
t
u
t
e
R Ld
)
(
d
)
(
·
)
(
)
(
)
(
=
+
=
+
t L Re
k
t
i
(
)
=
1 − 1 ... ' ' ' ) ( 0 1 2 +1 ∞ = + + + + + n n ne k k e k e k e k t iLa respuesta como en todos los casos anteriores es la suma de la respuesta de
la homogénea y la particular.
Solución de la homogénea:
Solución particular: Para obtener la solución del régimen permanente hay que
tener en cuenta que la respuesta permanente de una ecuación diferencial lineal
esta compuesta por términos proporcionales a la excitación y a sus sucesivas
derivadas.
Para el ejemplo:
e(t) =2t R=2ΩΩΩΩ L=0,5H t=0 eg(t)=2t uL(t) uR(t) i(t i(t))10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (13)
10.3.3 CIRCUITOS CON CONDICIONES INICIALES NULAS ALIMENTADOS CON FUENTES QUE NO SON NI C.C. NI C.A.( 1)
25
A
5
,
0
B
2
A
2
2
d
)
B
A
(
d
·
5
,
0
)
B
A
(
2
2
d
)
(
d
)
(
·
)
(
+
+
=
+
+
+
=
+
=
t
t
t
t
t
t
t
t
i
L
t
i
R
t
e
4
1
B
y
1
A
0
0,5A
2B
2
2A
−
=
=
=
+
=
4
1
4
1
4
1
0
0
0
)
0
(
con
4
1
)
(
1 1 0 · 4 1 4 1=
→
−
=
−
+
=
=
−
+
=
− −k
k
e
k
i
t
e
k
t
i
tPara el ejemplo:
B
A
0
2
2
)
(
2
)
(
2 1 0+
+
=
+
=
=
∞t
k
t
k
k
t
i
t
t
e
Para determinar los valores de A y B, vamos a sustituir esta expresión
obtenida en la ecuación diferencial:
Identificando
términos
Respuesta:
−
+
=
−4
1
4
1
)
(
t
e
4t
i
t
−
+
=
−4
1
4
1
)
(
t
e
4t
i
t)
(
)
(
d
)
(
d
)
(
t
i
R
t
u
t
t
i
L
t
u
R L⋅
=
=
Para determinar las tensiones también en este caso emplearemos la
expresión de la corriente:
Para nuestro ejemplo:
2
1
2
2
1
)
(
2
1
2
1
)
(
4 4−
+
=
+
−
=
− −t
e
t
u
e
t
u
t R t L R=2ΩΩΩΩ L=0,5H t=0 eg(t)=2t uL(t) uR(t) i(t i(t))10.3 RESPUESTA DE ELEMENTOS A ESTADO INICIAL CERO EXCITADOS POR FUENTES. (15)
10.3.3 CIRCUITOS CON CONDICIONES INICIALES NULAS ALIMENTADOS CON FUENTES QUE NO SON NI C.C. NI C.A.( 3)
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