Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo
Orden con Coeficientes Constantes.
La ecuación de segundo orden con coeficientes constantes se escribe como:
2 2 d y dy p q y f x p y q son constantes dx dx Si f x
es igual a cero entonces se dice que la ecuación es homogénea.
2 2 0 . . . . 1 d y dy p q y dx dx Teorema1:Si y y1 es una solución de la ecuación homogénea, entonces ya y1 también será una solución de dicha ecuación, donde a es un factor constante.
Demostración:
Si ya y1 es una solución de (1) entonces
2 1 1 1 2 0 d ay d ay p q ay dx dx
Como a es constante podemos escribir:
2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 d y d y d y d y a a p a q y a p q y dx dx dx dx a Como se satisface la igualdad el teorema queda demostrado.
Teorema2:
Si y y1 y y y2 son soluciones de la ecuación (1) entonces y1y2 también será una solución de (1).
Demostración: Sustituyendo y1y2 en la ecuación (1):
2 1 2 1 2 1 2 2 0 d y y d y y p q y y dx dx Como la derivada es un operador lineal, podemos escribir la ecuación anterior como:
2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 d y d y d y d y p p q y q y dx dx dx dx Agrupamos a la derecha los términos que contienen y1 y a la derecha los que contienen y2:
2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 d y d y d y d y p q y p q y dx dx dx dx Como se cumple la igualdad entones el teorema queda demostrado.
Definición 1:
Dos soluciones particulares de la ecuación 1 se denominan linealmente dependientes si una de ellas puede obtenerse multiplicando la otra por un factor constante. En caso contrario las soluciones serán linealmente independientes.
Teorema3:
Si y y1 y y y2 son soluciones particulares de la ecuación (1) y además son linealmente independientes, entonces la solución general de (1) puede escribirse como yc y1 1c y2 2. Demostración: Sustituyendo yc y1 1c y2 2 en la ecuación (1):
2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 0 0 0 0 d c y c y d c y c y d y dy p q y p q c y c y dx dx dx dx d c y d c y d c y d c y p q c y p q c y dx dx dx dx d y dy d y dy c c p c q y c c p c q y dx dx dx dx d y dy d y c p q y c dx dx dx
2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 dy p q y dx c c Definición 2:
Las soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) tienen la forma:
em x
y ……. (2) Si (2) es una solución de (1) entonces:
2
em x em x em x
y ym ym Sustituyendo estas expresiones en (1):
2 2 2 2 0 0 0 e e e e m x m x m x m x d y dy p q y m p m q dx dx m pm q Para que esta última igualdad se cumpla la única posibilidad es que: 2
0 m pm q
A esta expresión le llamaremos ecuación característica.
Si resolvemos la ecuación característica mediante la fórmula general tenemos lo siguiente: 2 4 2 p p q m
Las soluciones de esta ecuación pueden ser de tres tipos: 1. Si 2
4 0
p q las raíces serán reales y diferentes. En tal circunstancia la solución general de la ecuación (1) quedará expresada como:
1 2 1e 2e m x m x yc c 2. Si 2 4 0
p q las raíces serán reales y repetidas. Para formar la solución general de la ecuación (1) se considera:
1e 2 e
m x m x yc c x 3. Si 2
4 0
p q las raíces serán imaginarias m1 a bi m2 a bi La solución quedará expresada como 1e 2e
a bi x a bi x
yc c .
En cursos de análisis matemático se demuestra que ex i cosxisenx y
ex i cosxisenx. Sustituyendo estas expresiones en la solución general podemos establecer que si las raíces de la ecuación característica son imaginarias, la solución de (1) será:
1 2
ea x cos sen
Ejemplo 1: Obtenga la solución de la siguiente ED. y y 6 0
Solución:
La ecuación característica asociada a la ecuación diferencial es m2 m 6 0. Los valores de m se obtienen con la fórmula general:
2
1 1 4 6 1 25 1 5 2 2 2 m m m 1 2 1 5 1 5 3 2 2 2 m m Como las raíces son reales y diferentes la solución de la ecuación diferencial
será 3 2 1e 2e x x yc c . 3 2 1 2 6 0 . . . e x e x Ec Dif y y Sol y c c
Ejemplo 2: Obtenga la solución de la siguiente ED: y2y y 0
Solución:
Procedemos a obtener la ecuación característica 2
2 1 0
m m . La solución de esta ecuación es m1m2 1. Como las raíces son reales e iguales la solución quedara expresada como 1e 2 e
x x yc c x . 1 2 2 0 . . . e x e x Ec Dif y y y Sol y c c x
Ejemplo 3: Obtenga la solución de la siguiente ED: y2y2y0
Solución: La ecuación característica es 2 2 2 0 m m y su solución:
2 1 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 i m m m m i m i Por lo que a 1 y b1. La solución quedara expresada como:
1 2
1 2
ea x cos sen e x cos sen
y c bxc bx y c xc x
1 2
2 2 0 . . . e x cos sen Ec Dif y y y Sol y c x c x Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. y2y3y0 Solución: 3 1e 2e x x yc c 2. y4y4y0 Solución: 2 2 1e 2 e x x yc c x 3. y2y8y0 Solución: 4 2 1e 2e x x yc c
4. y2y5y0 Solución: yexc1cos
2x c2sen
2x 5. y6y9y0 Solución: 3 3 1e 2 e x x yc c x 6. y3y7y0 Solución: 1 5
1 2 18 2 2 18 . e x cos . sen . y c x c x 7. y y 20y0 Solución: 4 5 1e 2e x x yc c 8. y4y16y0 Solución: 2
1 3 46 2 3 46 ex cos . sen . y c x c x 9. y y 3y0 Solución: 2
1 1 66 2 1 66 ex cos . sen . y c x c x 10. 1 4 0 y y y Solución: 0 207 1 207 1 2 . . e x e x y c cUNIVERSIDAD DEL MAR
MATEMÁTICAS II
ALUMNO: ________________________________________________ TAREA # 12
Fecha de entrega: 23 de abril.
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. y5y6y0 Solución: yc1e3xc2e2x
2. y3y0 Solución: yc1e3xc2
3. y10y4y0 Solución: yc1e0 42. xc2e9 58. x
4. 4y10y4y0 Solución: yc1e0 5. xc2e2x
5. y2y y 0 Solución: yc1exc x2 ex
6. y4y8y0 Solución: ye2x
c1sen2xc2cos2x
7. y9y0 x0 y2 y6 Solución: yc1e3xc2e2x 8. y3y2y0 x0 y1 y3 Solución: y5ex4e2x 9. 2y5y6y0 Solución: 54
1 1 199 2 1 199 e x sen . cos . y c xc x 10. y5y3y0 Solución: yc1e0 697. xc2e4 303. xEcuaciones Diferenciales Reductibles a una Ecuación
de Segundo Orden con Coeficientes Constantes.
Ecuaciones de la Forma: 2 0 p q y y y x x ……
Las ecuaciones de este tipo se pueden reducir a una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes usando el siguiente cambio de variable:
i) z lnx dz d
lnx
1 x dz dxdx dx x
ii) dy dy dz dy dy 1
dx dz dx dx dz x por la regla de la cadena.
iii) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 v u d y d dy d dy dy d dy dx dx dx dx dz x dz x x dx dz dy d dy dy d y x dz x x dz dz x dz x dz
Sustituyendo estas expresiones en :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 dy d y p dy q dy d y p dy q y y x dz x dz x dz x x x dz x dz x dz x Multiplicamos por 2
x toda la ecuación y agrupamos términos:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 1 0 dy d y p dy q dy d y dy y x x p q y x dz x dz x dz x dz dz dz d y dy p q y dz dz Esta última ecuación constituye una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes, con variable independiente z. Después de resolver la ecuación diferencial, la solución quedará expresada en términos de z, por lo que hay que volver a la variable original haciendo zln x.
Ejemplo 4: Obtenga la solución de la siguiente ED: y 4 y 22 y 0
x x
Solución:
La ecuación diferencial asociada en términos de z es:
2 2 2 2 1 0 2 4 1 2 0 2 3 2 0 d y dy d y dy d y dy p q y y y dz dz dz dz dz dz Y la ecuación característica que resulta es m23m 2 0, que tiene por solución m1 2 y m2 1.La solución de la ED en términos de z resulta: 2
1e 2e
z z
yc c . Regresando a la variable original:
2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 ln ln ln ln e z e z e x e x e x e x y c c y c c y c c c c c c x y c x c x y y x x x 2 1 2 2 4 2 0 . . . Ec Dif y y y x x c c x Sol y x
Ejemplo 5: Obtenga la solución de la siguiente ED: y 3 y 12 y 0
x x
Solución:
La ecuación diferencial asociada en términos de z es:
2 2 2 2 1 0 2 3 1 0 2 2 0 d y dy d y dy d y dy p q y y y dz dz dz dz dz dz Y la ecuación característica que resulta es 22 1 0
m m , que tiene por solución m1m2 1.
La solución de la ED en términos de z resulta: yc1ezc z2 ez. Regresando a la variable original:
1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ln ln e ln e e ln e ln ln ln x x x x y c c x y c c x y c x c x x c c x c c x y y x x x 2 1 2 3 1 0 . . ln . Ec Dif y y y x x c c x Sol y x Ejemplo 6: Obtenga la solución de la siguiente ED: y 1 y 12 y 0
x x
Solución:
La ecuación diferencial asociada en términos de z es:
2 2 2 2 1 0 2 1 1 0 2 0 d y dy d y dy d y p q y y y dz dz dz dz dz Y la ecuación característica que resulta es 21 0
m , que tiene por solución 1 , 2
m i m i.
La solución de la ED en términos de z resulta:
0
1 2 1 2
e x cos sen cos sen
y c zc z yc zc z. Regresando a la variable original:
1cos 2sen 1cos ln 2sen ln yc zc z yc x c x
2 1 2 1 1 0 . . . cos ln sen ln Ec Dif y y y x x Sol y c x c x Ejercicios
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. y 2 y 32 y 0 x x Solución:
3 2 1cos 0 866. ln 2sen 0 866. ln yx c x c x 2. y 4 y 22 y 0 x x Solución: 1 0 56 2 3 56 . . c y c x x 3. y 5 y 62 y 0 x x Solución: 4 73 1 27 1 2 . . yc x c x 4. 2y 10 y 82 y 0 x x Solución: 1 2 2 c c lnx y x 5. y 2 y 32 y0 x x Solución: 3 79 1 2 0 79 . . C y C x xUNIVERSIDAD DEL MAR
MATEMÁTICAS II
ALUMNO: ________________________________________________ TAREA # 13
Fecha de entrega: 23 de abril.
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. y 6 y 92 y 0 x x Solución: 2. y 4 y 42 y 0 x x Solución: 3. y 2 y 12 y 0 x x Solución: 4. y 2 y 22 y 0 x x Solución: 5. y 2 y 102 y 0 x x Solución: 6. y 92 y 0 x Solución: 7. y 42 y 0 x Solución: 8. y 2 y 0 x Solución: 9. y 3 y 22 y 0 x x Solución: 10. y 1 y 0 x Solución: