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Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo Orden con Coeficientes Constantes.

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Academic year: 2021

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(1)

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Segundo

Orden con Coeficientes Constantes.

La ecuación de segundo orden con coeficientes constantes se escribe como:

 

2 2 d y dy p q y f x p y q son constantes dxdx 

Si f x

 

es igual a cero entonces se dice que la ecuación es homogénea.

 

2 2 0 . . . . 1 d y dy p q y dxdx  Teorema1:

Si yy1 es una solución de la ecuación homogénea, entonces ya y1 también será una solución de dicha ecuación, donde a es un factor constante.

Demostración:

Si ya y1 es una solución de (1) entonces

 

 

 

2 1 1 1 2 0 d ay d ay p q ay dxdx  

Como a es constante podemos escribir:

 

 

 

 

 

 

 

2 2 1 1 1 1 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 d y d y d y d y a a p a q y a p q y dx dx dx dx a               

Como se satisface la igualdad el teorema queda demostrado.

Teorema2:

Si yy1 y yy2 son soluciones de la ecuación (1) entonces y1y2 también será una solución de (1).

Demostración: Sustituyendo y1y2 en la ecuación (1):

2 1 2 1 2 1 2 2 0 d y y d y y p q y y dx dx      

Como la derivada es un operador lineal, podemos escribir la ecuación anterior como:

(2)

 

 

 

 

 

 

2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 d y d y d y d y p p q y q y dxdxdxdx   

Agrupamos a la derecha los términos que contienen y1 y a la derecha los que contienen y2:

 

 

 

 

 

 

2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 d y d y d y d y p q y p q y dxdx   dxdx     

Como se cumple la igualdad entones el teorema queda demostrado.

Definición 1:

Dos soluciones particulares de la ecuación 1 se denominan linealmente dependientes si una de ellas puede obtenerse multiplicando la otra por un factor constante. En caso contrario las soluciones serán linealmente independientes.

Teorema3:

Si yy1 y yy2 son soluciones particulares de la ecuación (1) y además son linealmente independientes, entonces la solución general de (1) puede escribirse como yc y1 1c y2 2. Demostración: Sustituyendo yc y1 1c y2 2 en la ecuación (1):

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 0 0 0 0 d c y c y d c y c y d y dy p q y p q c y c y dx dx dx dx d c y d c y d c y d c y p q c y p q c y dx dx dx dx d y dy d y dy c c p c q y c c p c q y dx dx dx dx d y dy d y c p q y c dx dx dx                                

 

 

2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 dy p q y dx c c              

(3)

Definición 2:

Las soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) tienen la forma:

em x

y ……. (2) Si (2) es una solución de (1) entonces:

2

em x em x em x

y  ymym Sustituyendo estas expresiones en (1):

2 2 2 2 0 0 0 e e e e m x m x m x m x d y dy p q y m p m q dx dx m pm q           

Para que esta última igualdad se cumpla la única posibilidad es que: 2

0 mpm q 

A esta expresión le llamaremos ecuación característica.

Si resolvemos la ecuación característica mediante la fórmula general tenemos lo siguiente: 2 4 2 p p q m  

Las soluciones de esta ecuación pueden ser de tres tipos: 1. Si 2

4 0

pq las raíces serán reales y diferentes. En tal circunstancia la solución general de la ecuación (1) quedará expresada como:

1 2 1e 2e m x m x ycc 2. Si 2 4 0

pq las raíces serán reales y repetidas. Para formar la solución general de la ecuación (1) se considera:

1e 2 e

m x m x ycc x 3. Si 2

4 0

pq las raíces serán imaginarias m1 a bi m2  a bi La solución quedará expresada como 1e  2e 

a bi x a bi x

yc  c  .

En cursos de análisis matemático se demuestra que ex icosxisenx y

ex icosxisenx. Sustituyendo estas expresiones en la solución general podemos establecer que si las raíces de la ecuación característica son imaginarias, la solución de (1) será:

1 2

ea x cos sen

(4)

Ejemplo 1: Obtenga la solución de la siguiente ED. y  y 6 0

Solución:

La ecuación característica asociada a la ecuación diferencial es m2  m 6 0. Los valores de m se obtienen con la fórmula general:

 

2

 

1 1 4 6 1 25 1 5 2 2 2 m     m    m   1 2 1 5 1 5 3 2 2 2 m      m   

Como las raíces son reales y diferentes la solución de la ecuación diferencial

será 3 2 1e 2e x x yc  c . 3 2 1 2 6 0 . . . e x e x Ec Dif y y Sol y cc     

Ejemplo 2: Obtenga la solución de la siguiente ED: y2y y 0

Solución:

Procedemos a obtener la ecuación característica 2

2 1 0

mm  . La solución de esta ecuación es m1m2 1. Como las raíces son reales e iguales la solución quedara expresada como 1e 2 e

x x yc  c x  . 1 2 2 0 . . . e x e x Ec Dif y y y Sol y cc x      

Ejemplo 3: Obtenga la solución de la siguiente ED: y2y2y0

Solución: La ecuación característica es 2 2 2 0 mm  y su solución:

 

2 1 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 i m m m m i m i                    

Por lo que a 1 y b1. La solución quedara expresada como:

1 2

1 2

ea x cos sen e x cos sen

yc bxc bxy  c xc x

1 2

2 2 0 . . . e x cos sen Ec Dif y y y Sol yc x c x     

(5)

Ejercicios

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. y2y3y0 Solución: 3 1e 2e x x yc  c 2. y4y4y0 Solución: 2 2 1e 2 e x x yc  c x  3. y2y8y0 Solución: 4 2 1e 2e x x yc  c

4. y2y5y0 Solución: yexc1cos

 

2xc2sen

 

2x

5. y6y9y0 Solución: 3 3 1e 2 e x x ycc x 6. y3y7y0 Solución: 1 5

1 2 18 2 2 18    . e x cos . sen . y c x c x 7. y y 20y0 Solución: 4 5 1e 2e x x yc  c 8. y4y16y0 Solución: 2

1 3 46 2 3 46 ex cos . sen . y c xc x 9. y y 3y0 Solución: 2

1 1 66 2 1 66 ex cos . sen . y  c xc x 10. 1 4 0 y yy Solución: 0 207 1 207 1 2   .. e x e x y c c

(6)

UNIVERSIDAD DEL MAR

MATEMÁTICAS II

ALUMNO: ________________________________________________ TAREA # 12

Fecha de entrega: 23 de abril.

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. y5y6y0 Solución: yc1e3xc2e2x

2. y3y0 Solución: yc1e3xc2

3. y10y4y0 Solución: yc1e0 42. xc2e9 58. x

4. 4y10y4y0 Solución: yc1e0 5. xc2e2x

5. y2y y 0 Solución: yc1exc x2 ex

6. y4y8y0 Solución: ye2x

c1sen2xc2cos2x

7. y9y0 x0  y2 y6 Solución: yc1e3xc2e2x 8. y3y2y0 x0  y1 y3 Solución: y5ex4e2x 9. 2y5y6y0 Solución: 54

1 1 199 2 1 199 e x sen . cos . yc xc x 10. y5y3y0 Solución: yc1e0 697. xc2e4 303. x

(7)

Ecuaciones Diferenciales Reductibles a una Ecuación

de Segundo Orden con Coeficientes Constantes.

Ecuaciones de la Forma: 2 0 p q y y y x x    …… 

Las ecuaciones de este tipo se pueden reducir a una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes usando el siguiente cambio de variable:

i) z lnx dz d

lnx

1 x dz dx

dx dx x

     

ii) dy dy dz dy dy 1

dxdz dxdxdz x por la regla de la cadena.

iii) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 v u d y d dy d dy dy d dy dx dx dx dx dz x dz x x dx dz dy d dy dy d y x dz x x dz dz x dz x dz                                            

Sustituyendo estas expresiones en :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 dy d y p dy q dy d y p dy q y y x dz x dz x dz x x x dz x dz x dz x                Multiplicamos por 2

x toda la ecuación y agrupamos términos:

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 1 0 dy d y p dy q dy d y dy y x x p q y x dz x dz x dz x dz dz dz d y dy p q y dz dz                      

Esta última ecuación constituye una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes, con variable independiente z. Después de resolver la ecuación diferencial, la solución quedará expresada en términos de z, por lo que hay que volver a la variable original haciendo zln x.

(8)

Ejemplo 4: Obtenga la solución de la siguiente ED: y 4 y 22 y 0

x x

  

Solución:

La ecuación diferencial asociada en términos de z es:

2 2 2 2 1 0 2 4 1 2 0 2 3 2 0 d y dy d y dy d y dy p q y y y dz   dz    dz   dz    dzdz   Y la ecuación característica que resulta es m23m 2 0, que tiene por solución m1 2 y m2  1.

La solución de la ED en términos de z resulta: 2

1e 2e

z z

yc  c  . Regresando a la variable original:

2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 ln ln ln ln e z e z e x e x e x e x y c c y c c y c c c c c c x y c x c x y y x x x                          2 1 2 2 4 2 0 . . . Ec Dif y y y x x c c x Sol y x     

Ejemplo 5: Obtenga la solución de la siguiente ED: y 3 y 12 y 0

x x

  

Solución:

La ecuación diferencial asociada en términos de z es:

2 2 2 2 1 0 2 3 1 0 2 2 0 d y dy d y dy d y dy p q y y y dz   dz    dz   dz    dzdz   Y la ecuación característica que resulta es 2

2 1 0

mm  , que tiene por solución m1m2  1.

La solución de la ED en términos de z resulta: yc1ezc z2 ez. Regresando a la variable original:

(9)

 

1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ln ln e ln e e ln e ln ln ln x x x x y c c x y c c x y c x c x x c c x c c x y y x x x                     2 1 2 3 1 0 . . ln . Ec Dif y y y x x c c x Sol y x     

Ejemplo 6: Obtenga la solución de la siguiente ED: y 1 y 12 y 0

x x

  

Solución:

La ecuación diferencial asociada en términos de z es:

 

2 2 2 2 1 0 2 1 1 0 2 0 d y dy d y dy d y p q y y y dz   dz    dz   dz    dz   Y la ecuación característica que resulta es 2

1 0

m   , que tiene por solución 1 , 2

mi m  i.

La solución de la ED en términos de z resulta:

0

1 2 1 2

e x cos sen cos sen

yc zc zyc zc z. Regresando a la variable original:

 

1cos 2sen 1cos ln 2sen ln yc zc zyc xc x

 

2 1 2 1 1 0 . . . cos ln sen ln Ec Dif y y y x x Sol y c x c x     

(10)

Ejercicios

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. y 2 y 32 y 0 x x    Solución:

3 2 1cos 0 866. ln 2sen 0 866. ln yxc xc x 2. y 4 y 22 y 0 x x    Solución: 1 0 56 2 3 56 . . c y c x x   3. y 5 y 62 y 0 x x    Solución: 4 73 1 27 1 2 . . yc xc x 4. 2y 10 y 82 y 0 x x    Solución: 1 2 2   c c lnx y x 5. y 2 y 32 y0 x x Solución: 3 79 1 2 0 79   . . C y C x x

(11)

UNIVERSIDAD DEL MAR

MATEMÁTICAS II

ALUMNO: ________________________________________________ TAREA # 13

Fecha de entrega: 23 de abril.

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. y 6 y 92 y 0 x x    Solución: 2. y 4 y 42 y 0 x x    Solución: 3. y 2 y 12 y 0 x x    Solución: 4. y 2 y 22 y 0 x x    Solución: 5. y 2 y 102 y 0 x x    Solución: 6. y 92 y 0 x    Solución: 7. y 42 y 0 x    Solución: 8. y 2 y 0 x   Solución: 9. y 3 y 22 y 0 x x    Solución: 10. y 1 y 0 x   Solución:

(12)

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