menor (espira 2), φ m2 como la suma de dos partes, una proporcional a la corriente I 1 y otra proporcional a la corriente I 2 :

3.2.- Coeficiente de inducción mutua

Cuando dos o más circuitos están próximos uno al otro, el flujo magnético que atraviesa uno de ellos, no sólo depende de la corriente en este circuito, sino también de la corriente que circula por los circuitos próximos.

En las espiras de la figura el campo magnético en un punto P del espacio posee un componente debido a I1 y otro componente debido a I2. Estos campos son proporcionales a las corrientes que los producen. Podemos, pues escribir el flujo que atraviesa la espira menor (espira 2), φm2 como la suma de dos partes, una proporcional a la corriente I1 y otra proporcional a la

corriente I2: 1 21 2 2 2

L

I

M

I

m

=

+

φ

[6.26]

en donde L2 es la autoinducción de la espira 2 y M21 es un coeficiente de proporcionalidad denominado inductancia mutua de las dos espiras. La inductancia mutua depende de la forma y disposición geométrica entre ambas espiras. Puede escribirse una ecuación semejante para el flujo que atraviesa la espira mayor (espira 1): 2 12 1 1 1

L

I

M

I

m

=

+

φ

[6.27]

con lo que de forma compacta se puede escribir

























=













2 1 2 21 12 1 2 1

I

I

L

M

M

L

φ

φ

[6.28] esta matriz es simétrica y se cumple que M12 = M21.= M.

Si sólo circula intensidad por la espira 1 la relación entre el flujo que corta la espira 2 y la intensidad que circula por la espira 1 será:

1 21

2

M

I

m

=

φ

[6.29]

esta ecuación nos permite definir el coeficiente de inducción mutua como:

0 2 1 0 1 2 1 2= =













=













=

I m I m

I

I

M

φ

φ

[6.30]

I

1

I

2 d

r

1

r

₂

Si la intensidad que circula por la espira 1 es variable, el flujo magnético en la espira dos se modifica, por tanto en esta espira se inducirá una fuerza electromotriz. Como la inducción mutua de la espira es constante para una configuración geométrica dada de las dos espiras, la variación del flujo estará relacionada con la intensidad por:

dt

dI

M

dt

d

_{m2 1}

=

φ

[6.31] de acuerdo con la ley de inducción de Faraday, resulta:

dt

dI

M

dt

d

_m2

₌

₋

₁

−

=

φ

ε

[6.32]

Así pues, aparecerá una fem inducida en la espira 2 proporcional a la variación en el tiempo de la intensidad que circula por la espira 1.

Ejemplo. Determinar el coeficiente de inducción mutua entre dos solenoides coaxiales muy largos con N1 y N2 espiras apretadas y de igual longitud.

Para calcular el coeficiente de inducción mutua supondremos que sólo circula intensidad por el solenoide externo

El flujo que corta el solenoide 2 debido a la intensidad que pasa por el solenoide 1 es:

2 2 1 1 0 2 2 2 1 2 21

r

I

N

N

r

B

N

π

µ

π

φ

!

=

=

[6.33]

de forma que el coeficiente de inducción mutua es:

!

2 2 2 1 0 0 1 21 21 2

r

N

N

I

M

I

π

µ

φ

₌













=

= [6.34] También se puede calcular a partir del flujo que corta el solenoide externo debido al campo creado por el solenoide interno. En este caso

r

2

r

1

I

1

r

2

r

1

I

2

2 2 2 2 0 1 2 2 2 1 12

r

I

N

N

r

B

N

π

µ

π

φ

!

=

=

[6.35]

y el coeficiente de inducción mutua es, en este caso,

!

2 2 2 1 0 0 2 12 12 1

r

N

N

I

M

I

π

µ

φ

=













=

= [6.36] y como vemos se cumple que M12 = M21.

4.- Circuitos RL

4.1.- La bobina como elemento de circuito.

El solenoide (o bobina) se utiliza en los circuitos eléctricos como un dispositivo capaz de almacenar energía magnética. En este sentido cumple un papel análogo al condensador pero en el caso magnético. El símbolo, como elemento de circuito, de un dispositivo de este tipo es:

La característica tensión corriente de una bobina es la siguiente

dt

dI

L

V

V

dt

dI

L

⇒

_L

=

_ab

=

−

=

−

=

ε

ε

[6.37]

Las bobinas reales tienen, además, una pequeña resistencia eléctrica (se trata de varias vueltas de hilo conductor) que suele ser despreciable frente a las resistencias de los circuitos. En cualquier caso el comportamiento de una bobina real puede modelarse utilizando un circuito equivalente constituido por una bobina ideal de la misma inductancia que la bobina real en serie con una resistencia que represente la resistencia de la bobina real.

Las bobinas se pueden asociar en serie o en paralelo pudiéndose, también determinar la bobina equivalente.

Bobinas en serie

V

ab

< 0

0 > dt dI

a

b

V

ab

> 0

0 < dt dI

a

b

V

ab

= 0

0 = dt dI

a

b

R

L

Supongamos n bobinas conectadas en serie de forma que su separación permite despreciar los fenómenos de inducción mutua. En este caso se cumple que:

dt

dI

L

n i i n i i













−

=

=

∑

∑

= =1 1

ε

ε

[6.38] luego

∑

=

=

n i i eq

L

L

1 [6.39] Bobinas en paralelo

Supongamos, ahora, n bobinas conectadas en paralelo de forma que su separación permite despreciar los fenómenos de inducción mutua. En este caso se cumple que:

dt

dI

L

dt

dI

L

dt

dI

L

n n

−

=

=

−

=

−

=

2

....

2 1 1

ε

[6.40] como

∑

∑

∑

= = =

=

⇒

=

⇒

=

n i i eq n i i n i i

dt

L

L

dI

dt

dI

I

I

1 1 1

ε

ε

[6.41] tenemos finalmente que

∑

=

=

n i i eq

L

L

1

1

1

[6.42]

4.2.- Transitorios en circuitos RL.

El efecto de una bobina en un circuito es oponerse a las variaciones bruscas de la intensidad de corriente. Un circuito que contenga resistencias y bobinas se denomina circuito RL. Analizaremos, a continuación, el comportamiento de un circuito RL elemental al establecerse una corriente (transitorio de cierre).

Sea el circuito de la figura, al cerrar el interruptor comenzará a circular un corriente. Inicialmente habrá un gran incremento de la intensidad de corriente en el circuito lo que provocará un acusado fenómeno de inducción en la bobina. En un instante cualquiera se cumplirá que:

ε

R

L

i(t)

L

1

L

2

L

n

ε

1

ε

2

ε

n

L

1

L

2

L

n

I

1

I

2

I

n

I

( )

t

v

( )

t

v

_R

+

_L

=

ε

[6.43] de forma que:

dt

di

L

Ri

+

=

ε

[6.44]

Hemos obtenido una ecuación diferencial lineal de primer orden que nos permite determinar la intensidad que circula por el circuito en función del tiempo, en efecto, manipulando la ecuación [6.44] llegamos a,

dt

L

R

R

i

di

R

i

L

R

dt

di

dt

di

i

L

R

L

=

−











 −

⇒











 −

−

=

⇒

+

=

ε

ε

ε

[6.45]

integrando y sustituyendo los límites

( )

_{( )}

t

L

R

R

R

t

i

dt

L

R

R

i

di

t t i

−

=













−

−

⇒

−

=











 −

∫

∫

_ε

ln

_ε

ε

0 0 [6.46]

y, finalmente, tomando exponenciales en ambos miembros y despejando la intensidad:

( )

_











−

=

−Lt R

e

R

t

i

ε

1

[6.47]

Esta ecuación no proporciona la variación de la intensidad con el tiempo en el transitorio de cierre del circuito RL. La interpretación de este resultado es la siguiente: al comenzar a circular intensidad por la bobina se comienza a crear un campo magnético en la misma, lo que provoca que —por la Ley de inducción de Faraday— aparezca una fuerza electromotriz que se opone a este incremento. Esto provoca que, como se puede apreciar, la intensidad no crezca de forma instantánea sino que tarde un cierto tiempo en alcanzar su valor final. A mediad que va creciendo la intensidad al variación de la corriente es menor y la fem de la bobina va decreciendo. De hecho decrece de forma exponencial tal y como se obtiene a partir de [6.37]

( )

( )

t L R L

e

dt

t

di

L

t

v

=

=

ε

− [6.48]

Como en el caso de carga y descarga del condensador el tiempo necesario para que se establezca la corriente viene determinado por la constante de tiempo del circuito que en este caso vale:

R

L

=

En las figuras se muestran, gráficamente, las ecuaciones [6.47] y [6.48]

Resulta interesante analizar los comportamientos extremos de la bobina. En el instante inicial, tras cerrarse el interruptor, tendremos

(

₌

0

+

) (

_≈

1

₋

_e

−0

)

₌

0

R

t

i

ε

[6.45]

de forma que la bobina en el instante inicial no deja pasar ninguna intensidad por el circuito comportándose como una resistencia infinita (circuito abierto). Cuando haya transcurrido un largo tiempo desde el cierre del interruptor se cumplirá que,

(

)

(

)

R

e

R

t

i

t t

ε

ε

₋

τ

₌

=

∞

→

− ∞ →

1

lim

[6.46]

y por tanto la bobina no presenta ninguna oposición a la intensidad comportándose como un cortocircuito.

Para el transitorio de apertura, si en el circuito de la figura anulamos la fuente de tensión pasando el interruptor a la posición 2, la bobina mantendrá un cierto tiempo la corriente ya que, al no haber fuente de tensión, la intensidad disminuirá provocando la aparición de una fem en la bobina para mantener la intensidad constante.

i

L

R

dt

di

Ri

dt

di

L

v

_L

=

−

=

⇒

=

−

[6.47]

integrando esta ecuación diferencial

( )

_{( )}

t

L

R

R

t

i

dt

L

R

i

di

t t i R

−

=













⇒

−

=

∫

∫

_ε

ε

ln

0 [6.48] tomando exponenciales en ambos miembros,

( )

t L R

e

R

t

i

=

ε

− [6.49]

ε

/R

t

i(t)

ε

t

vL(t)

ε

R

L

i(t)

1 2

Ejemplo: Para el circuito de la figura R1 = R2 =100 Ω, L = 10 mH y ε =10 V. Determinar

la intensidad que proporciona la fuente en los siguientes casos: a) En el instante inicial tras cerrar el interruptor.

En este caso la bobina se comporta como una impedancia infinita que impide el paso de la corriente por la rama en la que se encuentra. El circuito equivalente es le que se indica en la figura.

Como la rama en la que se encuentra R2 está en circuito abierto no circulará ninguna intensidad y por tanto

A

V

R

R

I

0

.

05

200

10

2 1 0+

=

₊

=

_Ω

=

ε

b) Transcurrido un largo tiempo tras cerrar el interruptor.

Cuando ha transcurrido un largo tiempo la intensidad alcanza un valor constante y la bobina no produce ninguna fem.

En este caso, en el circuito equivalente la resistencia

R2 queda cortocircuitada. La intensidad proporcionada por le fuente será:

A

V

R

I

0

.

1

100

10

1

=

Ω

=

=

∞

ε

c) La constante de tiempo del circuito y la intensidad que circula por la bobina transcurridos 0.1 ms tras cerrar el interruptor.

Para poder evaluar esto hemos de llevar el circuito a la forma del circuito estudiado para analizar el transitorio de cierre. Si calculamos el circuito equivalente de Thèvenin a extremos de la bobina llegamos a:

Claramente

ε

_R

2

L

R

1

ε

_R

₂

R

1

ε

_R

₂

R

1

ε

_R

2

L

R

1

V

T

L

R

T

V

R

R

R

V

_T

5

2 1 2

₌

+

=

ε

;

=

Ω

+

=

50

2 1 2 1

R

R

R

R

R

_T La constante de tiempo es:

mS

H

R

L

2

.

0

50

10

2

=

Ω

=

=

−

τ

y la intensidad pedida es:

( )

(

e

)

V

e

mA

R

V

t

i

t T T

₁

₃₉

_.

₃

50

5

1

2 1

=













−

Ω

=

−

=

− τ −

5.- Energía magnética.

Calcularemos, a continuación, la energía puesta en juego al establecer la corriente en un circuito RL. En esto proceso se cumple la ecuación [6.44].

dt

di

L

Ri

+

=

ε

si multiplicamos ambos miembros por la intensidad que recorre el circuito:

dt

di

Li

i

R

i

=

2

+

ε

[6.50]

El primer miembro de esta ecuación representa el ritmo al que la batería proporciona energía al circuito. El primer sumando del segundo miembro es la energía disipada en forma de calor en la resistencia por unidad de tiempo. Finalmente el segundo sumando es el ritmo al que se almacena energía en la bobina. Este es el término que vamos a estudiar. Según [6.50] el aumento de energía magnética (

U

_m) en la bobina está dado por:

dt

di

Li

dt

dU

_m

=

[6.51]

La energía total almacenada en una bobina cuando es establece una corriente continua

I

en ella partiendo de cero se puede obtener integrando [6.51], en efecto:

2 2 1 0

LI

idi

L

dU

U

I m m

=

∫

=

∫

=

[6.52]

ε

R

L

i(t)

Ejemplo. Determinar cuál es la máxima energía magnética que puede almacenar por una bobina de 100 mH y resistencia 20Ω cuando por ella circula una intensidad de cuando está conectada a una tensión de 100 V.

El circuito planteado en este ejercicio es el que use muestra en la figura. La intensidad que circula por el mismo es:

100

5

20

V

I

=

=

A

Ω

La energía almacenada en la bobina es

(

)( )

2 2

1

1

0.2

5

2.5

2

2

m

U

=

LI

=

H

A

=

J

La expresión nos proporciona la energía magnética almacenada en la bobina y puede interpretarse como la energía empleada para establecer el capo magnético en la bobina. Podemos encontrar una expresión más general utilizando la expresión del campo en el interior de un solenoide de espiras apretadas (ecuación [5.39]) y la del coeficiente de autoinducción del solenoide (ecuación [6.24]). Según esto la energía que almacena un solenoide es:

(

)

2 2 0 2 2 0 2 0 0 0

1

1

2

2

2

m

B

nI

B

B

U

LI

n S

S

L

n S

n

µ

µ

µ

µ

µ

=







⇒

=

=

=







=

!

_

!

_

_

!

[6.53]

Dado que

ℓ

S es el volumen interior del solenoide, dividiendo la energía

calculada en la ecuación anterior por este volumen obtenemos la densidad de energía magnética (energía por unida de volumen) almacenada en función del módulo del campo magnético. 2 0

2

m m

dU

B

dV

η

µ

=

=

[6.54]

Como en el caso del campo eléctrico, esta expresión deducida a partir de un caso particular es general y se le puede dar una importante interpretación física. La energía gastada en establecer la corriente se ha almacenado en el espacio circundante, de modo que al volumen dV le corresponde una energía de ½ (B2/µ0)dV Esta interpretación resulta muy útil en el análisis de muchos procesos y se puede extender a campos eléctricos dependientes del tiempo.

100 V

20

Ω

100 mH

I

6.- Descarga oscilante de un condensador.

Analizaremos en este apartado qué ocurre cuando se pretende descargar un condensador en mediante un circuito en el que hay una autoinducción. Comenzaremos con el caso sencillo de un condensador y una bobina ideales (circuito LC).

En el circuito de la figura, supondremos que inicialmente el condensador está cargado. Cuando se cierre el interruptor comenzará a circular intensidad por el circuito lo que provocará que aparezca un campo magnético en la autoinducción.

Como consecuencia de aparecerá una fem que se oponga al aumento de flujo en la bobina. En cualquier instante se cumplirá que:

0

Q

dI

Q

dI

L

L

C

= −

dt

⇒

C

+

dt

=

[6.55]

que, teniendo en cuenta que

I

=

dQ dt

, se puede poner como:

2

2

0

Q

d Q

L

C

+

dt

=

[6.56]

y reordenando obtenemos finalmente:

2 2

1

0

d Q

Q

dt

+

LC

=

[6.57]

La expresión [6.57] es una ecuación diferencial lineal de segundo orden y no homogénea. La resolución de esta ecuación supera los límites de este curso, así que simplemente daremos el resultado que es,

( )

cos

(

)

Q t

=

A

ω δ

t

−

[6.58]

siendo

ω =

1

LC

. Esta es la solución general de la ecuación anterior y depende de dos constantes de integración indeterminadas (porque al haber términos en derivada segunda hay que integrar dos veces). Estas constantes A y δ se pueden determinar la imponiendo condiciones iniciales en [6.58]. En este caso imponemos que

(

0

)

0

;

(

0

)

0

Q t

=

=

Q I t

=

=

.

Esto nos lleva a las siguientes ecuaciones:

( )

0

cos

Q t

=

Q

ω

t

[6.59]

( )

0

sen

I t

= −

ω

Q

ω

t

[6.60]

las gráficas de estas funcionesson las que se muestran a continuación

En este circuito no hay ningún elemento disipativo (resistencia) de forma que la energía se debe conservar. Para comprobar esto simplemente hemos de calcular la energía del circuito:

2 2

1

2

2

T e m

Q

U

U

U

LI

C

=

+

=

+

[6.61]

y sustituyendo las ecuaciones [6.59] y [6.60], obtenemos,

2 2 2 2 2 0 0

1

cos

sen

2

2

T e m

Q

U

U

U

t

L Q

t

C

ω

ω

ω

=

+

=

+

[6.62]

y como

ω =

2

1

LC

tenemos finalmente que,

2 2 2 2 2 0

_cos

0

_sen

0

2

2

2

T

Q

Q

Q

U

t

t

C

ω

C

ω

C

=

+

=

[6.63]

con lo que comprobamos que la energía es constante.

Por tanto en el circuito LC se tiene una transferencia alternativa de energía entre la bobina y el condensador manteniéndose constante la energía total. Es

Q

0

t

Q(t)

t

I(t)

ω

Q

0

evidente que esto no ocurre en la realidad y los componentes (bobina, condensador y cables de conexión) tienen una cierta resistencia que provocará la pérdida una cierta cantidad de energía en forma de calor. Si tenemos en cuenta la resistencia tenemos un circuito RLC como el de la figura.

En este circuito se cumplirá que,

0

Q

dI

L

RI

C

+

dt

+

=

[6.64]

que se puede poner como,

2 2

1

0

d Q

R dQ

Q

dt

+

L dt

+

LC

=

[6.65]

En este caso aparece un término de disipación de energía debido a la resistencia, con lo que en cada ciclo se perderá parte de la energía del circuito extinguiéndose totalmente transcurrido un cierto tiempo. La expresión de la carga en función del tiempo es más compleja que en el caso anterior y tendrá la forma que se indica a continuación.

Por esto el condensador de descargará de forma oscilante. El tiempo que tarde en descargarse dependerá de la resistencia.

C

I

L

R

Q

0

t

Q(t)