Balance de masa en sistemas coordenados
Supongamos unos cristales de permanganato
de potasio en un vaso con agua. Las moléculas disueltas del cristal difunden lentamente desde la región de alta concentración en el fondo,
tendiendo a convertir uniforme la
concentración (Proporcional a la intensidad del color) con el tiempo. Este tipo de difusión se debe al movimiento errático de las moléculas y se denomina difusión molecular.
De otra parte, la corriente de humo que sale
desde una chimenea en un día con mucho viento, el humo se dispersa en la atmósfera debido a las fluctuaciones de velocidad y dirección del viento: se llama Dispersión o Difusión Turbulenta.
Es común observar que siempre que
existe una falta de equilibrio de un producto en un medio, la naturaleza tiende a redistribuirlo hasta que se establece un “equilibrio” o “igualdad”. Con frecuencia, a esta tendencia se le menciona como la fuerza impulsora,
mecanismo que se encuentra detrás de muchos fenómenos de transporte que
Si se define la cantidad de un producto por
unidad de volumen como la concentración del mismo, puede decirse que el flujo de un producto siempre se presenta en la dirección de la concentración decreciente; es decir, desde la región de alta concentración hacia la de baja concentración (figura).
Siempre que existe diferencia de concentración de una cantidad física en un medio, la naturaleza tiende a igualar las cosas al forzar un flujo desde la región de alta concentración hacia la de baja.
El producto sencillamente ocurre en el curso de la
redistribución y, de este modo, el flujo es un proceso de
difusión. La razón del flujo de un producto es
proporcional al gradiente de concentración, dC/dx (el
cual representa el cambio en la concentración C por unidad de longitud en la dirección x del flujo) y al área A normal a la dirección de ese flujo, y se expresa como
Gasto (Área normal) (Gradiente de concentración)
o bien
Aquí, la constante de proporcionalidad kdif es el coeficiente de difusión del medio, el cual es una
medida de la rapidez con la que se difunde un producto en ese medio; se tiene también el signo negativo para hacer que el flujo en la dirección positiva sea una cantidad positiva (nótese que dC/dx es una
cantidad negativa, ya que la concentración decrece
en la dirección del flujo).
La transferencia de masa puede ocurrir en los líquidos y en los sólidos, al igual que en los gases. Por ejemplo, llega un momento en el que una taza de agua que se deja en un cuarto se evapora, como resultado de que las moléculas de agua se difunden hacia el aire (transferencia de masa
líquida a gaseosa). Un trozo de CO2 sólido (hielo seco) también se hace más pequeño con el
transcurso del tiempo, ya que sus moléculas de CO2 se difunden hacia el aire (transferencia de
masa sólida a gaseosa). Con el tiempo, una cucharada de azúcar en una taza de café se mueve
hacia arriba y lo endulza, aunque las moléculas de azúcar son mucho más pesadas que las de agua; igualmente, las moléculas de un lápiz de color introducido en un vaso de agua se difunden hacia ésta, como se evidencia por la dispersión gradual del color en esa agua (transferencia de
masa sólida a líquida). Por supuesto, también puede ocurrir la transferencia de masa de un gas
hacia un líquido o hacia un sólido, si la concentración de éstos es más alta en la fase gaseosa. Por ejemplo, una pequeña fracción del O2 que se encuentra en el aire se difunde hacia el agua y satisface las necesidades de oxígeno de los animales marinos. La difusión del carbono hacia el hierro en el curso del cementado, el dopado de los semiconductores para transistores y la migración de moléculas dopadas en los semiconductores a alta temperatura son ejemplos de procesos de difusión de sólido a sólido.
Otro factor que influye en el proceso de difusión es el espaciamiento molecular. En general, entre mayor sea éste, más alta es la razón de difusión. Por lo tanto, lo típico es que la razón de difusión sea mucho más alta en los gases que en los líquidos, y mucho más alta en éstos que en los sólidos. Los coeficientes de difusión en las mezclas gaseosas son unos cuantos órdenes de magnitud más grandes que los correspondientes a las soluciones líquidas o sólidas.
Algunos ejemplos de transferencia de masa que comprenden un líquido y/o un
Difusión de masa. Ley de Fick
La ley de Fick de la difusión, propuesta en 1855,
afirma que la razón de difusión de una especie química en el espacio de una mezcla gaseosa (o de una solución líquida o sólida) es proporcional al gradiente de concentración de esa especie en ese lugar. Aunque una concentración más elevada para una especie significa más moléculas de ella por unidad de volumen, la concentración de una especie puede expresarse de varias maneras. A continuación, se describen dos formas comunes.
1. Base másica
En una base másica, la concentración se
expresa en términos de densidad (o concentración de masa), la cual es la masa por unidad de volumen. Si se considera un
volumen pequeño V en un lugar dentro de la
mezcla, las densidades de una especie
(subíndice i) y de la mezcla (sin subíndice) en
Por lo tanto, la densidad de una mezcla en un lugar es igual a la suma de las densidades de sus constituyentes en ese lugar. La concentración de masa también
puede expresarse en forma adimensional en términos de la fracción de masa, w, como
Nótese que la fracción de masa de una especie varía
entre 0 y 1, y la conservación de la masa requiere que la suma de las fracciones de masa de los constituyentes de una mezcla sea igual a 1. Es decir, Σwi = 1. Asimismo,
obsérvese que, en general, la densidad y la fracción de masa de un constituyente en una mezcla varían con el lugar, a menos que los gradientes de concentración sean cero.
Base molar
En una base molar, la concentración se
expresa en términos de concentración molar
(o densidad molar), la cual es la cantidad de
materia, en kmol, por unidad de volumen. Una
vez más, si se considera un volumen pequeño
V en un lugar dentro de la mezcla, las
concentraciones molares de una especie (subíndice i) y de la mezcla (sin subíndice) en
Por lo tanto, la concentración molar de una mezcla en un lugar es igual a la suma de las concentraciones molares de sus constituyentes en ese lugar. La concentración molar también puede expresarse en forma adimensional en términos de la
fracción molar y como
Una vez más, la fracción molar de una especie varía entre 0 y 1, y la suma de las fracciones molares de los constituyentes de una mezcla es la unidad, Σyi= 1.
La masa m y el número de moles, N, de una sustancia están
relacionados entre sí por m = NM (o, para una unidad de volumen, ρ = CM), en donde M es la masa molar (también llamada peso molecular) de la sustancia. Esto es de esperarse, puesto que la
masa de 1 kmol de la sustancia es M kg, por lo que la masa de N
kmol es NM kg. Por lo tanto, las concentraciones de masa y molar
donde M es la masa molar de la mezcla, la cual puede determinarse a partir de
Las fracciones de masa y molar de la
especie i de una mezcla están
Procedimiento para balance
de transferencia de masa.
a) Se aplica un balance de materia a una
envoltura delgada perpendicular a la dirección del transporte de materia, con el fin de obtener una ecuación diferencial de primer orden, cuya integración conduce a la distribución de la densidad de flujo de materia.
b) Se sustituye en esta expresión la relación entre la densidad de flujo de materia y el gradiente de concentración, obteniéndose una ecuación diferencial de segundo orden para el perfil de concentración. Las constantes de integración se determinan a partir de las condiciones límite que fijan la concentración y la densidad de flujo de materia en las superficies que confinan el sistema.
Balance de materia aplicados
a una envoltura: condición
límite.
En este tema se resuelven los problemas de difusión
aplicando un balance de materia, para una determinada especie química, a una delgada envoltura de sólido o fluido.
La ley de la conservación de la materia puede expresarse
de la siguiente forma:
La ley de conservación de la materia puede, por supuesto,
expresarse también en moles. La especie química A puede entrar o salir del sistema en virtud de la difusión o del movimiento global del fluido. Por otra parte, la especie A también se puede formar o destruir a causa de reacciones químicas homogéneas.
Aplicando un balance de materia a una envoltura de espesor finito, de acuerdo con la ecuación 17.1-1 y haciendo tender luego las dimensiones del sistema hacia un valor infinitamente pequeño, se obtiene una ecuación diferencial, cuya solución conduce a la distribución de la especie A en el sistema. Al integrar la ecuación diferencial aparecen constantes de integración, que han de evaluarse utilizando condiciones límite, y que son muy semejantes a las que se han empleado en el transporte de energía.
a) La concentración en una superficie puede estar especificada, por ejemplo, xA=XA0
b) La densidad de flujo de materia en una superficie puede también estar determinada (si se conoce la relación NA/NB, el gradiente de concentración está fijado); por ejemplo, NA=NA0.
c) Si la difusión tiene lugar en un sólido, puede ocurrir que la sustancia A pase desde la superficie del sólido hasta la corriente de fluido que la rodea, de acuerdo con la ecuación NA0=kc(CA0-CAf) (17-1-2)
En la que NA0 es la densidad de flujo de materia en
la superficie, CA0 es la concentración en la superficie, CAf es la concentración en la corriente del fluido, y la constante de proporcionalidad kc es un coeficiente de transferencia de materia.
d) La velocidad de la reacción química en la
superficie puede ser especificada. Por ejemplo, si la sustancia A desaparece en una superficie de acuerdo con una reacción química de primer orden, NA0= k1”CA; es decir, que la velocidad de desaparición en una superficie es proporcional a la concentración superficial, siendo la constante de proporcionalidad k1” una constante de velocidad de reacción química de primer orden.
Difusión a través de una
película gaseosa estancada.
Consideremos el sistema de difusión que se
representa en la siguiente figura. El líquido A se está evaporando en el seno del gas B, e imaginemos que mediante un artificio es posible mantener el nivel del líquido en z=z1. La concentración de la fase gaseosa, expresada en fracción molar, exactamente en la interfase líquido-gas, es xA1. Se admite que la
concentración de A en la fase gaseosa es la
correspondiente al equilibrio 1 con el líquido de la interfase; es decir, que xA1 es la relación entre la presión de vapor de A y la presión total, pA(vap)/p,
suponiendo que A y B forman una mezcla gaseosa ideal. Finalmente, se supone que la solubilidad de B en el líquido A es despreciable.
Por la parte superior del tubo (para z=z2) circula
lentamente una corriente de mezcla gaseosa A-B cuya concentración es xA2, de forma que la fracción molar de A en la parte superior de la columna permanece
constante e igual a XA2.Se supone que todo el sistema se mantiene a temperatura y presión constantes, y que los gases A y B se comportan como ideales.
Difusión de A en estado estacionario a través de B inmóvil. El gráfico indica la forma en que se distorsiona el
perfil de
concentración debido a la difusión de A.
Cuando el sistema alcanza el estado
estacionario, existe un movimiento neto de A alejándose de la superficie de
evaporación, mientras que el vapor B permanece estacionario. Por lo tanto,
puede utilizarse la expresión para NAz
correspondiente a la ecuación 17.0-1,
Difusión a través de una
Difusión con reacción
heterogénea lenta
Difusión con reacción química
homogénea
Difusión en una película
líquida descendente.
Absorción de burbujas
ascendentes de un gas.
Difusión y reacción química en el interior de un catalizador poroso: El factor de eficacia