polar hasta el segmento OP
Plano de coordenadas polares.
Representación de puntos en coordenadas polares.
− 6 11 3, c 4 5 2 b 3 2, a π , , π π
En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. En coordenadas polares, no sucede así. Las coordenadas (r,θ ) y (r, 2π +θ ) representan el mismo punto.
COORDENADAS POLARES
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Asignación (1): Graficar los siguientes puntos en el sistema de coordenadas polares.
( )
− − − 6 5 2, f 2 3 2, e 6 3, d 4 7 3, c 4 2, b , 1π π π π π π aConversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares ó viceversa.
Transformación de coordenadas polares a rectangulares.
Dado el punto (r, θ ) = (2, π )
x = r.cos θ = 2cos π = – 2 y y = r.sen θ = 2sen π = 0
2 2 2 x y r sen r y r y sen r x r x x y + = = ⇒ = = ⇒ = = θ θ θ θ θ . cos . cos tan
Asignación (2): Transformar a coordenadas cartesianas los siguientes puntos.
− 6 , 1 6 13 , 2 π π b a 4 2 d 3 2 1 c π π , ,
Asignación (3): Transformar a coordenadas polares los siguientes puntos.
( )
(
)
(
2 3,2)
3 , 2 2 , 3 c b a −Gráficos de ecuaciones polares:
Una manera de trazar la grafica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas rectangulares para luego trazar la grafica de la ecuación rectangular.
Trazado de ecuaciones polares.
Rectas en coordenadas polares.
( )
( ) 2 r 4 1 3 r 1 3 r 2 2 = = + = + = 6 30 3 1 y x y 1 1 π θ θ θ = = = = − − º tan tan coordenadas polares es( )
= 6 2 r,θ ,π θ θ bsen a c r . cos . + = α θ =COORDENADAS POLARES
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Circunferencia en coordenadas polares.
Circunferencia con centro en el polo. Circunferencia que pasa por el polo.
GRAFICAS POLARES ESPECIALES
“Los Caracoles”
Caracol con rizo Cardioide
Recta vertical θ sec . k r = Recta horizontal θ csc . k r= Si la ecuación θ θ 2bsen a 2 r =± .cos ± . b = 0 Si la ecuación θ θ 2bsen a 2 r = ± .cos ± . a = 0
Caracol con hoyuelo Caracol convexo
“Curvas Rosas”
COORDENADAS POLARES
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LEMNISCATAS
LA NEFROIDE DE FREETH
Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien
CONCOIDES DE NICÓMENES
Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico en coordenadas polares de la concoide de Nicómenes:
Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos:
COORDENADAS POLARES
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Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando un número uno a la función. El mismo gráfico
veríamos si se le estuviera sumando uno a la función. El gráfico quedará así:
CISOIDE DE DIOCLES
Esta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicación del cubo. El gráfico aparece de esta forma:
PARÁBOLA
Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas
polares. Veamos el ejemplo:
ESPIRAL
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de
Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y
matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:
COORDENADAS POLARES
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Graficar el caracol con rizo r = 1 + 2cosθ
θ 0 π /3 π /2 2π /3 π 4π /3 3π /2 5π / 3
2 π
r 3 2 1 0 -1 0 1 2 3
Graficar en coordenadas polares las siguientes funciones. a) r = 4senθ con θ = {0,π /6, π /2, 5π /6, π }
b) r = 2 + 2cosθ con θ = {0, π /3, π /2, 2π /3, π , 4π /3, 5π /3, 2π } c) r = 1
COORDENADAS POLARES
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ÁREA DE UNA REGIÓN POLAR Área de un sector circular
El área de un sector circular es r2 2 1
Hallar el área de la región acotada por la circunferencia r = 3cos(x) y cardioide r = 1 + cos(x) Solucion. Circunferencia: r = 2a cosθ r = 3 cosθ a = 3/2 Cardioide: r = a + b cosθ r = 1 + 1 cosθ a/b = 1/1 = 1 Intersección Se iguala 3cosθ = 1 + cosθ 3cosθ - cosθ = 1 2cosθ = 1 θ = cos-1 (1/2) θ = 60º = π /3
COORDENADAS POLARES
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2. Hallar el área de
a) Primero determino la gráfica buscando los límites apropiados de integración: b) Se observa que la gráfica entre 0 y es la mitad de la gráfica total. Entonces
A2 = región comprendida en el intervalo
[0,π /3]
A1 = región comprendida en el intervalo [π /3,
π /2]
COORDENADAS POLARES
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2. Calcule el área de la región que se encuentra dentro de la cardioide con
ecuación y fuera del círculo con ecuación
Solución:
Primero se debe buscar la intersección entre las dos gráficas: (en el fondo, puntos en común). Así:
¿Cuándo es ? En
Como las dos gráficas se intersectan en los puntos y el elemento de área indicado aumenta de a . Usando la fórmula tenemos:
, impar Rosa de n-pétalos , par Rosa de 2n-pétalos
, imparRosa de n-pétalos (con un lazo simétrico en torno a , par Rosa de 2n-pétalos
Recta Recta
, Círculo de radio a través del polo y lemniscata
,
EJERCICIOS DE COODENADAS POLARES.
1. Hallar el área de un pétalo de la curva rosa dada por r = cos 2θ
R =
π
COORDENADAS POLARES
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2. Hallar el área de la región interior de r = 1 – sen θ , 0 ≤ θ ≤ 2π
R =
3π
2
Hallar el área de la region sombreada generada por la circunferencia r = 2, y la curva rosa r = 4sen 2θ
R = +
4 3 83π
Sugerencia: Determina el punto de interseccion. Y aplica la integral: π
(
θ
) ( )
θ
π4
sen
2
2
d
2 2 2 1 5 12 12]
[
−
∫
Luego el resultado se multiplica por 4 COORDENADAS POLARES
Transforma de coordenadas polares a rectangulares. o Dado el punto (r, θ ) = (2, π )
o Dado el punto (r, θ ) = (3/2, π /2)
o Dado el punto (r, θ ) = ( 2 , π /4)
o Dado el punto (r, θ ) = (5, 2π /3)
Transforma de coordenadas rectangulares a polares. o Dado el punto (x, y) = (4, 0)
Respuestas de graficas.
a.) b.) c.)
d.) e.) f.)
PROPUESTOS PARA PRACTICAR.
Graficar en coordenadas polares las siguientes funciones. r = 3 + 2cos θ r = 2 + 2cos θ r = 2 + 3cos θ r = 5sen(5θ ) r2 = 16cos(2θ ) r2 = 16sen(2θ ) Función: _____________________________ Función: _____________________________
COORDENADAS POLARES
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Función: _____________________________ Función: _____________________________