Concreto Armado (Diseño a Flexión) Vigas.pdf

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(1)

Diseño de Estructuras de Concreto

Reforzado

Diseño a Flexión (Vigas)

INSTRUCTOR: ING. Joel Curreri

(2)

Unidad 2

Estructuras de Concreto Armado

Diseño a Flexión (Vigas)

Diseño de Estructuras

de Concreto Armado

(3)
(4)

Estructuras de Concreto Armado.

Comportamiento Estructural

(5)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

Elementos Sometidos a Flexión Pura

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

Flexión en Vigas de Concreto Reforzado.

Las vigas de concreto simple son ineficientes como elementos sometidos a flexión debido a que la resistencia a la tracción en flexión es una pequeña fracción de la resistencia a compresión. En consecuencia, estas vigas fallan en el lado sometido a tracción a cargas bajas mucho antes de que se desarrolle la resistencia completa del concreto en el lado de compresión.

Por la razón anterior se colocan barras de acero de refuerzo en el lado sometido a tracción, tan cerca como sea posible de la fibra extrema de la viga.

Esta acción conjunta de los dos materiales se garantiza si se impide su deslizamiento, lo que se logra mediante la utilización de barras corrugadas con su alta resistencia por adherencia en la interface Acero – Concreto, y si es necesario, mediante anclajes especiales en los extremos de las barras.

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

Nomenclatura de una Viga de Concreto reforzado.

h: Altura o peralte de la sección transversal de la viga

b: base de la sección transversal de la viga

d: Altura útil de la sección transversal de la viga. As: Área de Acero a Tracción As’: Área de Acero a Compresión r: Recubrimiento de Diseño

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

En el transcurso del ensayo se presentan las siguientes etapas:

Vigas Sometidas a Cargas Bajas. Punto 1. M=0 a M=Magrietamiento

Mientras que el máximo esfuerzo de tracción en el concreto Fct sea

menor que el modulo de rotura , todo el concreto resulta efectivo para resistir los esfuerzos de compresión a un lado y de tracción al otro costado del eje neutro.

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

En el transcurso del ensayo se presentan las siguientes etapas:

Vigas Sometidas a Cargas Bajas.

Punto 1. M=0 a M=Magrietamiento

El refuerzo se deforma la misma cantidad que el concreto adyacente y también esta sometido a esfuerzos de tracción.

En esta etapa, todos los esfuerzos en el concreto son de pequeña magnitud y proporcionales a las deformaciones, es decir, se cumple la ley de Hooke.

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

En el transcurso del ensayo se presentan las siguientes etapas:

Vigas Sometidas a Cargas Moderadas. (Sección Fisurada o Agrietada) Punto 2. M=Magrietamiento a M=Mtrabajo (Elástico)

Esto ocurre desde el inicio del agrietamiento hasta alcanzar esfuerzos de

trabajo en el acero o en el concreto.

El diagrama de deformaciones unitarias se mantiene recto.

El diagrama Esfuerzos – Deformaciones del concreto se curva un poco. El modulo de elasticidad del concreto varia muy poco (disminuye).

Con el aumento del momento, las grietas aumentan en número, se

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

En el transcurso del ensayo se presentan las siguientes etapas:

Vigas Sometidas a Cargas Moderadas. (Sección Fisurada o Agrietada) Punto 2. M=Magrietamiento a M=Mtrabajo (Elástico)

Sección Fisurada o Agrietada

El concreto pierde toda la capacidad de resistir tracción por lo que el acero le corresponde resistir toda la tracción.

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Flexión Pura.

En el transcurso del ensayo se presentan las siguientes etapas:

Vigas Sometidas a Cargas Moderadas. (Sección Fisurada o Agrietada) Punto 3. M=Mtrabajo (Elástico) a M=Mcedente

En este punto el acero alcanza la deformación cedente (ξy) y el esfuerzo cedente (Fy), mientras que en el concreto se tiene ξc menor que la deformación ultima y (Fc) es menor que el esfuerzo ultimo

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Flexión Pura.

En el transcurso del ensayo se presentan las siguientes etapas:

Vigas Sometidas a Cargas Ultimas. (Sección Fisurada o Agrietada) Punto 4. M=Mcedente a M=Multimo

A partir del punto 3 el acero de refuerzo cede y su deformación (ξs) aumenta por encima de (ξy).

Las deformaciones (ξc) y (ξs) siguen aumentando hasta que en el concreto se alcanza la deformación ultima (ξcu) y ocurre la falla final por aplastamiento del concreto.

El esfuerzo y las deformaciones aumentan en forma correspondiente y desaparece la proporcionalidad

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

En el transcurso del ensayo se presentan las siguientes etapas:

Vigas Sometidas a Cargas Ultimas. (Sección Fisurada o Agrietada) Punto 4. M=Mcedente a M=Multimo

La relación no lineal entre el esfuerzo y deformación unitaria que sigue es la determinada por la curva esfuerzo deformación unitaria del concreto.

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

Al finalizar el ensayo se construye:

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Flexión Pura.

Modos de Falla de una Viga de Concreto reforzado

La viga puede fallar de 2 maneras:

 El acero de refuerzo se estira debido a los esfuerzos a tracción de manera

que entra en cedencia produciendo grietas considerables y deflexiones

importantes en la viga. El concreto alcanza su esfuerzo máximo a compresión

a una carga un poco mayor que la que produce la cedencia del acero y la

pieza falla.

Esta falla es gradual y esta precedida por signos visibles de peligro, se conoce como falla a tracción o falla por cedencia del acero.

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Flexión Pura.

Modos de Falla de una Viga de Concreto reforzado

La viga puede fallar de 2 maneras:

 La otra manera de producirse la falla es si se emplean grandes cantidades

de refuerzo o cantidades normales de acero de muy alta resistencia, la

resistencia del concreto puede agotarse antes de que el acero comience a

ceder. El concreto falla por aplastamiento cuando las deformaciones unitarias

son tan grandes que destruyen su integridad.

La falla a compresión debida al aplastamiento del concreto es repentina, de naturaleza casi explosiva y ocurre sin ningún aviso.

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Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

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Teoría de Rotura o Estado Limite de Agotamiento Resistente.

El diseño por rotura se fundamenta en la predicción de la carga que ocasiona la falla del elemento en estudio y analiza el modo de colapso del mismo.

Los factores de seguridad son aplicados a las cargas o solicitaciones y a las resistencias nominales de los elementos.

Momento Fuerza Axial 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑜 𝑆𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 . 𝐹𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑎𝑐𝑖 ó𝑛 = 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑡𝑒𝑜𝑟𝑖𝑐𝑎 . 𝐹𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟𝑎𝑐𝑖 ó𝑛 Corte 𝑀𝑢 ≤ ∅𝑀𝑛 𝑉𝑢 ≤ ∅𝑉𝑛 𝑃𝑢 ≤ ∅𝑃𝑛

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

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Factor de Seguridad

Se definen dos tipos de factor de seguridad en las estructuras de concreto armado: Factor de seguridad en las cargas aplicadas y factor de seguridad en la resistencia del elemento estructural.

El factor de seguridad en las cargas aplicadas consiste en la mayoración de éstas con valores indicados en el Cap. 9 de la Norma Fondonorma 1753-2006.

El factor de seguridad en la resistencia consiste en limitar la resistencia de diseño según el tipo de solicitación, con valores contenidos en el mismo Cap. 9 de la Norma.

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Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

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Extracto de la Norma Fondonorma 1753-2006

9.3 SOLICITACIONES PARA EL ESTADO LÍMITE DE AGOTAMIENTO RESISTENTE

Las solicitaciones sobre la estructura, sus miembros y nodos para el Estado Límite de Agotamiento Resistente, U, se determinarán con base en las hipótesis de solicitaciones que produzcan el efecto más desfavorable, el cual puede ocurrir cuando una o más solicitaciones están actuando simultáneamente, por lo que deben estudiarse las combinaciones de la Tabla 9-3. Cuando la solicitación pueda cambiar de sentido, se tendrán en cuenta en todas las combinaciones posibles, cambiando los signos de manera consistente.

TABLA 9-3 COMBINACIONES DE SOLICITACIONES PARA EL ESTADO LÍMITE DE AGOTAMIENTO RESISTENTE U = 1.4 (CP + CF) (9-1) U = 1.2 ( CP +CF + CT ) + 1.6 (CV + CE) + 0.5 CVt (9-2) U = 1.2 CP + 1.6 CVt + (γ CV ó ± 0.8 W) (9-3) U = 1.2 CP ± 1.6 W + γ CV + 0.5 CVt (9-4) U = 1.2 CP + γ CV ± S (9-5) U = 0.9 CP ± 1.6 W (9-6) U = 0.9 CP ± S (9-7) U = 0.9 CP ± 1.6 CE (9-8)

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Factor es de Reducción

de Resistencia

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Teoría de Rotura o Estado Limite de Agotamiento Resistente.

FLEXIÓN

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Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Teoría de Rotura o Estado Limite de Agotamiento Resistente.

Hipótesis Fundamentales de Teoría de Rotura.

1. El concreto no resiste esfuerzos a tracción.

2. Se considera válida la Hipótesis de Navier, que indica que una sección plana permanece plana después de aplicar carga: en efecto, las deformaciones unitarias en una sección son linealmente proporcionales a la distancia hasta el eje neutro.

3. Existe adherencia perfecta entre el acero de refuerzo y el concreto que lo rodea.

4. El esfuerzo en el acero antes de alcanzar la cedencia es igual al producto de su módulo de elasticidad por su deformación unitaria. Para deformaciones mayores a la de cedencia, el esfuerzo en el refuerzo será independiente de la deformación e igual a Fy. Esta hipótesis refleja el modelo elasto-plástico de la curva esfuerzo-deformación del acero que asume el código del ACI.

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Teoría de Rotura o Estado Limite de Agotamiento Resistente. Hipótesis Fundamentales de Teoría de Rotura.

5. El agotamiento resistente o falla de la pieza ocurre cuando el concreto alcanza su deformación máxima útil, que según la Norma Fondonorma es del 3/1000 (εcu=0,003).

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Secciones Controladas.

Fondonorma 1753-2006 10.2.6 Secciones controladas

Las secciones de concreto se clasificarán en: secciones controladas por compresión, secciones controladas por tracción y secciones de transición, según se especifica a continuación.

a) Secciones controladas por compresión: Las secciones están controladas por

compresión cuando la deformación neta a tracción en el acero de refuerzo más deformado a tracción es εs ≤ εy y a la vez el concreto en compresión alcanza su deformación máxima εcu = 0,003.

b) Secciones controladas por tracción: Las secciones están controladas por tracción

cuando la deformación neta a tracción en el acero de refuerzo más deformado a tracción

εs ≥ 0,005, al mismo tiempo que el concreto a compresión alcanza su deformación

máxima de εcu = 0,003.

c) Secciones en transición: Las secciones están en una zona de transición entre las

secciones controladas por compresión y las controladas por tracción cuando la deformación neta a tracción del acero de refuerzo extremo traccionado está comprendido entre εs = εy y εs = 0,005.

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Grafica Momento Vs Curvatura de un miembro sometido a flexión con un porcentaje adecuado de acero de refuerzo.

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Ductilidad:

Capacidad de una estructura, elemento estructural o sección de incursionar en rango inelástico de deformación.

La ductilidad es una propiedad muy importante en una estructura que debe resistir efectos sísmicos, ya que elimina la posibilidad de una falla súbita de tipo frágil y además, pone en juego una fuente adicional de amortiguamiento.

La ductilidad, puede medirse de diversas maneras; la más frecuente es a través del cociente entre la curvatura última Φu, que es la correspondiente al momento máximo que puede resistir la sección Mu, y la curvatura cedente Φy, que se alcanza cuando el acero de refuerzo a tracción entra en cedencia.

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Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Según la cantidad de acero longitudinal con que esta reforzada la pieza, esta puede ceder o no antes de que se alcance la carga máxima.

Cuando el acero cede, el comportamiento del miembro es dúctil, es decir, se producen deflexiones considerables antes del colapso final. En este caso se dice que la viga es subreforzada.

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Por otra parte, si la cantidad de acero longitudinal de tracción es grande, este no cede antes del aplastamiento y se dice entonces que la viga es

sobrereforzada.

Puede suceder que el miembro alcance su resistencia precisamente cuando el acero de refuerzo empieza a ceder. En este caso se dice que la viga alcanza una falla balanceada.

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Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Definición de secciones Rectangulares

Una sección rectangular es toda sección cuya área sometida a compresión

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Existe siempre el Equilibrio Interno

fcu : distribución uniforme de esfuerzos que sustituye a la distribución parabólica (es un valor medio de esfuerzo)

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

β1 : Coeficiente de forma, es un parámetro que relaciona el área del

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

β2 : Es un parámetro que simplifica el área de la parábola en un triangulo y

un rectángulo con un valor constante de 0.42.

β3 : Es un parámetro que relaciona del concreto en una viga con respecto a

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

C : Fuerza Resultante a Compresión

T : Fuerza Resultante a Tracción en el Acero de Refuerzo

Del Equilibrio Interno C = T se obtiene una ecuación para determinar la

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Mn : Momento Nominal Es la resistencia teórica de la sección a flexión.

(Momento Resistente)

Como Mt y Mc son iguales puedo escoger cualquiera de los dos.

𝑀

𝑛

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 . (1 −

0.59 .𝐴𝑏 .𝑑 .𝐹′𝑠 .𝐹𝑦 𝑐

)

𝑀

𝑐

= 𝐶 . 𝑗

𝑢

. 𝑑

𝑀

𝑡

= 𝑇 . 𝑗

𝑢

. 𝑑

𝑀

𝑛

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑗

𝑢

. 𝑑

𝑀

𝑛

= 𝑇 . 𝑗

𝑢

. 𝑑

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

ρ : Cuantía Geométrica de la sección, representa el porcentaje de acero que

tiene una sección transversal de concreto. Área de Acero a tracción

Parámetros:

𝜌 =

𝐴

𝑠

𝑏 . 𝑑

Área útil de la sección de Concreto

𝑀

𝑛

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 . (1 −

0.59 .𝜌 .𝐹𝑦

𝐹′𝑐

)

Otra Forma de expresar, toda en función de la cuantía:

𝑀

𝑛

= 𝜌 . 𝑏 . 𝐹

𝑦

. 𝑑

2

. (1 −

0.59 .𝜌 .𝐹𝑦

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

ω : Cuantía Mecánica de la sección, relaciona las áreas de acero y en

concreto así como las resistencias y da una idea sobre el

comportamiento de una sección sometida a flexión. Parámetros:

𝜔 =

𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

𝑏 . 𝑑 . 𝐹′

𝑐

𝜔 =

𝜌 . 𝐹

𝑦

𝐹′

𝑐

𝑀

𝑛

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 . (1 − 0.59 . ω)

𝑀

𝑛

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑗

𝑢

. 𝑑

𝑗

𝑢

= (1 − 0.59 . ω)

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

ACI 𝜔 = 𝜌 . 𝐹𝑦 𝐹′𝑐

𝑗

𝑢

= (1 − 0.59 . ω)

Ecuaciones de Diseño: Teoría de Rotura

𝑀

𝑢

≤ ∅ 𝑀

𝑛

𝑀

𝑢

= ∅ . 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑗

𝑢

. 𝑑

𝜌 = 𝐴𝑠 𝑏 . 𝑑

Otras Ecuaciones de Diseño:

𝑀

𝑢

= 𝑘 . 𝐹′

𝑐

. 𝑏 . 𝑑

2

𝑘 = ∅ . 𝜔 . (1 − 0.59 . 𝜔)

Ecuación para determinar altura útil de la sección:

𝑀𝑢 = ∅ . 𝜌 . 𝑏 . 𝐹𝑦 . 𝑑2 . (1 − 0.59 . 𝜌 . 𝐹𝑦 𝐹′ 𝑐 ) 𝑑 ≥ 𝑀𝑢 ∅ . 𝜌 . 𝑏 . 𝐹𝑦 . (1 − 0.59 . 𝜌 . 𝐹 𝐹 𝑦 𝑐 )

∅ = 0.90

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Tabla de K, ju y w

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Otra modalidad de falla puede ocurrir en vigas con muy poco refuerzo. Si la resistencia a la flexión de la sección fisurada es menor que el momento que produce el agrietamiento de la sección no fisurada con anticipación, la viga va a fallar de inmediato y sin ningún aviso de peligro una vez que se

forme la primera grieta a flexión.

Área de Acero Mínimo (Asmin):

Para protegerse contra este tipo de falla se puede establecer un limite inferior

para la cuantía de acero igualando el momento de agrietamiento, calculado a partir del modulo de rotura del concreto, con la resistencia de la sección fisurada.

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Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Cuantías Mínimas: Cuantías Máximas:

𝜌

𝑚í𝑛

=

14

𝐹

𝑦

𝜔

𝑚í𝑛

= 𝜌

𝑚í𝑛

𝐹

𝑦

𝐹′

𝑐

𝜔

𝑚í𝑛

=

14

𝐹′

𝑐

ρmín : Cuantía Geométrica Mínima

ωmín : Cuantía Mecánica Mínima

ρmáx : Cuantía Geométrica Máxima ρmáx

0.75 . ρb

0.50 . ρb

Zona No Sísmica

Zona Sísmica

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Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Cuantías Máximas:

ωmáx : Cuantía Mecánica Máxima

ωmáx

0.75 . ωb

0.50 . ωb

Zona No Sísmica

Zona Sísmica

ωb : Cuantía Mecánica Balanceada.

Condición Satisfactoria de Diseño:

𝜌

𝑚í𝑛

≤ 𝜌

𝑟𝑒𝑎𝑙

≤ 𝜌

𝑚á𝑥

𝜔

𝑚í𝑛

≤ 𝜔

𝑟𝑒𝑎𝑙

≤ 𝜔

𝑚á𝑥

El cumplimiento de esta condición garantiza que la sección sea subreforzada, es decir, que la deformación en el acero de refuerzo es mayor a la cedente, cuando la pieza alcanza su agotamiento resistente (Falla).

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Falla Balanceada:

ρb : Cuantía Geométrica Balanceada.

Cuantías Balanceadas:

ωb : Cuantía Mecánica Balanceada.

𝜌𝑏 = 0.85 . 𝛽1. 𝐹′𝑐 𝐹𝑦 . 6300 6300 + 𝐹𝑦 𝜔𝑏 = 0.85 . 𝛽1 . 6300 6300 + 𝐹𝑦

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Se presentan dos (2) tipos de diseño estructural relativos al tema desarrollado del diseño y análisis de Secciones Rectangulares con Acero a

Tracción o Secciones Simplemente Armadas. Conocidas las características de

los materiales concreto F´c , el acero de refuerzo Fy y las cargas o en su defecto las solicitaciones de momento flector Mu, los dos tipos de ejercicios

de análisis que se pueden desarrollar, tales como:

 Diseño estructural

En este tipo del ejercicio de diseño estructural, conocido el momento último de diseño Mu, el diseñador tiene que determinar la geometría representada

por: Ancho b, Altura útil d, Altura total h, Área de acero a tracción As,

Detallado del acero de refuerzo representado por cantidad y diámetros.

 Revisión Estructural

En este tipo de ejercicio de revisión estructural, conocidas las características

geométricas b, d, h y As, le diseñador tiene que determinar la capacidad

resistente de la sección simplemente armada o momento flector de diseño último Mu.

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Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Con el objetivo de desarrollar métodos sencillos de calculo, los reglamentos

de construcción recurren a hipótesis simplificadoras en las cuales se fija un

valor de la deformación unitaria máxima útil del concreto y donde se definen

diagramas idealizados de los esfuerzos de compresión, de tal manera que el

área del diagrama de esfuerzos y la posición de la resultante de compresión sean semejantes a las que corresponderían a una distribución real.

La norma permite el uso de cualquier diagrama de esfuerzo en la sección,

ya se rectangular, triangular, trapezoidal, parabólico u otro, siempre que,

haya una concordancia un los resultados de los ensayos que se realicen

en de laboratorio.

Sin embargo, las normas han sugerido específicamente la utilización de la

distribución rectangular equivalente de esfuerzos o también llamado sólido

rectangular equivalente de esfuerzos.

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Se permite asumir un diagrama rectangular de esfuerzo equivalente al

verdadero diagrama como el que va a generarse en la sección, siempre que se cumpla con lo siguiente:

 Se supone que el concreto desarrolla un máximo esfuerzo de compresión

uniformemente distribuido de 0.85.F’c)

 Este esfuerzo se ubica en la zona comprimida de la sección, en todo el

ancho útil b hasta una distancia medida desde La fibra mas comprimida, tal que :

Donde c = Profundidad del eje neutro.

 La componente de fuerza a compresión del concreto C se ubicará a la

mitad de la distancia a, por considerarse la distribución de esfuerzos como un sólido rectangular de esfuerzos.

Bloque Rectangular de Esfuerzos Equivalentes (Bloque Rectangular de Withney)

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

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Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Bloque Rectangular de Esfuerzos Equivalentes (Bloque Rectangular de Withney)

Igualando las Resultantes de Compresión del caso real de esfuerzos con el

caso rectangular:

𝐶 = 𝛽

1

. 𝛽

3

. 𝐹′

𝑐

. 𝑏 . 𝑐

𝐶 = 0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏 . 𝑎

Diagrama Real de Esfuerzo

Diagrama Rectangular de Esfuerzo

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Bloque Rectangular de Esfuerzos Equivalentes (Bloque Rectangular de Withney)

C : Fuerza Resultante a Compresión

𝐶 = 0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏 . 𝑎

T : Fuerza Resultante a Tracción

𝑇 = 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

Del Equilibrio Interno C = T se obtiene una ecuación para determinar la

altura del bloque rectangular equivalente.

𝑎 =

𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Bloque Rectangular de Esfuerzos Equivalentes (Bloque Rectangular de Withney)

Mn : Momento Nominal Es la resistencia teórica de la sección a flexión. (Momento Resistente)

𝑀

𝑛

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑎

2

ACI Teoría de Rotura

𝑀

𝑢

≤ ∅ 𝑀

𝑛

𝑀

𝑢

= ∅ . 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑎

2

∅ = 0.90

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Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Si la sección de una viga se limita a causa de consideraciones arquitectónicas u otras restricciones , puede ocurrir que el concreto no sea capaz de

desarrollar la fuerza necesaria de compresión para resistir el momento

actuante. En este caso, se adiciona refuerzo en la zona de compresión, dando

como resultado una viga que se denomina doblemente reforzada.

Sin embargo, existen situaciones en las que se utiliza el refuerzo a

compresión por razones diferentes de las de resistencia. Se ha encontrado

que incluir algún acero en la zona de compresión reduce las deflexiones a

largo plazo del elemento.

Las vigas doblemente reforzadas tienen acero a tracción (As) y a compresión (As’ ) , junto los bordes superior e inferior de la sección transversal , y con ello se incrementa su ductilidad y su capacidad resistente en relación a las vigas

(56)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Usualmente en las vigas doblemente reforzada se diseña únicamente el acero de refuerzo, ya que sus dimensiones están dadas a priori en el diseño.

Para saber si una sección transversal debe estar simple o doblemente armada

se debe verificar las siguientes condiciones:

 

0.18 .

𝐹′

𝑐

𝐹

𝑦

≤ 𝜌

𝑟𝑒𝑎𝑙

≤ 𝜌

𝑚á𝑥

0.18 ≤ 𝜔

𝑟𝑒𝑎𝑙

≤ 𝜔

𝑚á𝑥

𝜌

𝑟𝑒𝑎𝑙

> 𝜌

𝑚á𝑥

 Armar simple verificando

deflexiones

 Armar doble para tener una

sección dúctil

Se debe armar doble o aumentar las

dimensiones de la sección

Si una viga posee acero a compresión y la cuantía geométrica se la

armadura a tracción (ρ) es menor o igual a la (ρmáx), se puede calcular la

(57)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

(58)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

(59)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción y a Compresión, ambos alcanzan el esfuerzo de Cedencia.

C : Fuerza Resultante a Compresión

T : Fuerza Resultante a Tracción

Del Equilibrio Interno C = T se obtiene una ecuación para determinar la

altura del bloque rectangular equivalente. As: Área de Acero a tracción

𝐴

𝑠

> 𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠

′ + 𝐴

𝑠

𝐶 = 0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏 . 𝑎 + 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

𝑇 = 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

𝑎 =

𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠

′ . 𝐹

𝑦

0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏

(60)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción y a Compresión, ambos alcanzan el esfuerzo de Cedencia.

Altura del bloque rectangular equivalente en función de las cuantías.

ρ : Cuantía Geométrica de la sección a tracción.

Área de Acero a tracción

𝜌 =

𝐴

𝑠

𝑏 . 𝑑

Área útil de la sección de Concreto

𝜌′ =

𝐴

𝑠

𝑏 . 𝑑

Área de Acero a Compresión

Área útil de la sección de Concreto

Ρ’ : Cuantía Geométrica del acero a compresión.

𝑎 =

𝜌 − 𝜌′ . 𝐹

𝑦

. 𝑑

0.85. 𝐹′

𝑐

(61)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción y a Compresión, ambos alcanzan el esfuerzo de Cedencia.

El Momento Resistente total puede visualizarse como la suma de dos partes:

𝑀

𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 𝑀

𝑛1

+ 𝑀

𝑛2

Mn1 : Lo proporciona el par conformado por la fuerza en el acero a compresión

As ‘ y la fuerza de un área equivalente del acero a tracción.

Mn2 : Es la contribución del acero restante a tracción que actúa con el concreto

a compresión.

𝑀

𝑛1

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 − 𝑑′

𝑀

𝑛2

= 𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠

′ . 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑎

2

𝑀

𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 − 𝑑′ + 𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠

′ . 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑎

2

(62)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción y a Compresión, ambos alcanzan el esfuerzo de Cedencia.

ACI

Teoría de Rotura

𝑀

𝑢

≤ ∅ 𝑀

𝑛

∅ = 0.90

𝑀

𝑢

= ∅ 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 − 𝑑′ + 𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠

′ . 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑎

2

(63)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción y a Compresión, ambos alcanzan el esfuerzo de Cedencia. Cuantías Máximas:

ρmáx : Cuantía Geométrica Máxima para secciones doblemente reforzada.

ρmáx

0.75 . ρb + ρ’

0.50 . ρb + ρ’

Zona No Sísmica

Zona Sísmica

ρb : Cuantía Geométrica Balanceada de una sección simplemente armada .

ρb

ρb

ρb : Cuantía Geométrica Balanceada para secciones doblemente reforzada.

𝜌

𝑏

=

0.85 . 𝛽

1

. 𝐹′

𝑐

𝐹

𝑦

.

6300

(64)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción y a Compresión, ambos alcanzan el esfuerzo de Cedencia. Cuantía Balanceada:

ρb : Cuantía Geométrica Balanceada para secciones doblemente reforzada.

(65)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción y a Compresión, ambos alcanzan el esfuerzo de Cedencia.

También debemos obtener la cuantía mínima que asegurar la cedencia del

acero a compresión en el momento de la rotura.

𝜌 𝑚í𝑛 = 0.85 . 𝛽1. 𝐹′𝑐 𝐹𝑦 . 𝑑′ 𝑑 . 6300 6300 − 𝐹𝑦 + 𝜌′

Si la cuantía geométrica de la armadura a tracción es mayor al valor de

cuantía mínima se producirá cedencia del acero a compresión y si esta es

menor a la cuantía máxima se producirá cedencia del acero a tracción.

𝜌

𝑚í𝑛

≤ 𝜌

𝑟𝑒𝑎𝑙

≤ 𝜌

𝑚á𝑥

Si la cuantía de acero a tracción es menor que la máxima y es menor que la

cuantía mínima, entonces el acero a tracción se encuentra cediendo cuando ocurre la falla, pero el acero a compresión no, por lo que deben desarrollarse nuevas ecuaciones para este caso.

(66)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción cediendo y el acero a Compresión por debajo del esfuerzo de Cedencia.

fs

(67)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción cediendo y el acero a Compresión por debajo del esfuerzo de Cedencia.

C : Fuerza Resultante a Compresión

T : Fuerza Resultante a Tracción

Del Equilibrio Interno C = T se obtiene una ecuación de segundo grado

para determinar la profundidad del eje Neutro.

𝑇 = 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

𝐶 = 0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏 . 𝑎 + 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑠

0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏 . 𝛽

1

. 𝑐

2

+ 𝐴

𝑠

. 𝐸

𝑠

. 𝜀

𝑐𝑢

− 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

. 𝑐 − 𝐴

𝑠

. 𝐸

(68)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción cediendo y el acero a Compresión por debajo del esfuerzo de Cedencia.

El Momento Resistente total puede visualizarse como la suma de dos partes:

𝑀

𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 𝑀

𝑛1

+ 𝑀

𝑛2

𝑀

𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑠

′. 𝑑 − 𝑑′ + 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

− 𝐴

𝑠

′. 𝐹

𝑠

. 𝑑 −

𝑎

2

𝑀

𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑠

′. 𝑑 − 𝑑′ + 0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏 . 𝑎 . 𝑑 −

𝑎

2

ACI Teoría de Rotura

𝑀

𝑢

≤ ∅ 𝑀

𝑛

∅ = 0.90

𝑀

𝑢

= ∅ 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑠

′. 𝑑 − 𝑑′ + 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑦

− 𝐴

𝑠

′. 𝐹

𝑠

. 𝑑 −

𝑎

2

𝑀

𝑢

= ∅ 𝐴

𝑠

. 𝐹

𝑠

′. 𝑑 − 𝑑′ + 0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏 . 𝑎 . 𝑑 −

𝑎

2

(69)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción cediendo y el acero a Compresión por debajo del esfuerzo de Cedencia. 𝜌 𝑚í𝑛 = 0.85 . 𝛽1. 𝐹′𝑐 𝐹𝑦 . 𝑑′ 𝑑 . 6300 6300 − 𝐹𝑦 + 𝜌′

Si la cuantía de acero a tracción es menor que la cuantía mínima, el eje neutro

esta suficientemente alto de manera que el esfuerzo del acero a compresión en

la falla es menor que el esfuerzo de cedencia.

𝜌

𝑏

= 𝜌

𝑏

+ 𝜌

.

𝐹

𝑠

𝐹

𝑦

ρb : Cuantía Geométrica Balanceada para secciones doblemente reforzada.

(70)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones Rectangulares doblemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Acero a tracción cediendo y el acero a Compresión por debajo del esfuerzo de Cedencia.

𝜌

𝑚í𝑛

≤ 𝜌

𝑟𝑒𝑎𝑙

≤ 𝜌

𝑚á𝑥

Cuantías Máximas:

ρmáx : Cuantía Geométrica Máxima para secciones doblemente reforzada. ρmáx

0.75 . ρb + ρ’ . Fs‘/Fy

0.50 . ρb + ρ’ . Fs‘/Fy

Zona No Sísmica

Zona Sísmica

ρb : Cuantía Geométrica Balanceada de una sección simplemente armada .

ρb

ρb

Garantiza que el acero a tracción

(71)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Este tipo de estructuras se presentan comúnmente en concreto armado sobre todo en los sistemas de vigas y losas. En algunos casos, ambos

elementos son vaciados simultáneamente según recomendaciones del ACI

(ACI-6.4.6). En otros se vacía primero las vigas y luego las losas, tomando

previsiones para que se comporten como una unidad. En ambos casos, la

losa colabora con la viga para resistir las cargas aplicadas y es conveniente tomar en cuenta esta ayuda, analizándola como una sección T.

También es usual encontrar este tipo de sección en elementos

prefabricados, cuando se quiere proveer a la sección de un área adicional

de concreto que dé mayor resistencia en la zona comprimida. Esto se consigue a través del ala de la sección T.

(72)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

(73)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Las secciones T y L son vigas con un ala a compresión de ancho b, la cual colabora con el nervio de la viga a resistir los momentos exteriores

solicitantes.

La sección transversal de la viga que resulta tiene forma de T o L en vez

(74)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

El ala en compresión puede ser parte de una losa ó placa de espesor hf vaciada monolíticamente con la viga o bien un ensanchamiento superior

del nervio para formar una viga T o L aislada.

Vigas T Aisladas.

Las alas otorgan un área adicional de compresión. En este caso se exige:

(75)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Viga Interior y Losa ó Vigas T No Aisladas.

Las losas contribuyen efectivamente a resistir las cargas aplicadas sobre las vigas. La magnitud de la contribución depende básicamente de la

distancia entre vigas, su ancho y condiciones de apoyo, la relación entre el

espesor de la losa y el peralte de la viga, etc.

Si se efectúa un corte en el sistema viga-losa, aproximadamente al centro de la luz, se aprecia la distribución de esfuerzos de compresión. Se

observa claramente que los esfuerzos se incrementan cerca de las vigas y

disminuyen conforme se alejan de ellas. Para simplificar el análisis el

código del ACI propone un ancho efectivo de losa en el cual se distribuyen

esfuerzos de compresión uniformes y cuyo efecto es similar al comportamiento real observado (ACI-8.10.2, 8.10.3, 8.10.4).

(76)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Viga Interior y Losa ó Vigas T No Aisladas.

(77)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Viga Interior y Losa ó Vigas T No Aisladas.

Para el caso en que el ala a compresión forme parte de una losa o placa de entrepiso, el ancho efectivo del ala debe cumplir los siguientes

requisitos: (Art. 8.9.1. Fondonorma 1753-2006).

(78)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Viga Perimetral y Losa ó Vigas L No Aisladas.

En vigas L, con el ala a un solo lado de la sección, el ancho de

colaboración debe cumplir: (Art. 8.9.1. Fondonorma 1753-2006).

(79)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Una sección T sometida a flexión puede trabajar de tres maneras:

 La primera es bajo un momento flector negativo, la compresión se

presenta en la zona inferior y su distribución será rectangular, es decir, se comporta como una viga rectangular y se diseñara como una sección rectangular. Para este caso la sección se analizará como una sección rectangular de ancho bw.

(80)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

 La segunda se presenta si el momento flector es positivo y a ≤ hf . Esta

corresponde también a una distribución rectangular de la compresión, por lo que se comporta como una viga rectangular y se diseñara como una sección rectangular. Para este caso la sección se analizará como una sección rectangular de ancho b.

(81)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T y L simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

 Si la sección está sujeta a un momento positivo y a > hf , entonces se

observará el tercer tipo de comportamiento. La zona en compresión de la

viga tendrá la forma de T y las expresiones que se deducirán en seguida

deben ser utilizadas. En este tercer caso no es necesario que se verifique

la condición que c > hf , basta con que a > hf, del mismo modo que no

importa la forma de la sección por debajo del eje neutro con tal que la

sección comprimida tenga la forma de T.

(82)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Análisis de una sección T con falla dúctil.

Al igual que en el estudio de secciones con acero en compresión, el efecto

final se dividirá en dos situaciones. La primera corresponde a la compresión

en las alas de la sección y la segunda a la compresión en el alma.

(83)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Análisis de una sección T con falla dúctil.

Mn1 : Lo proporciona el par conformado por la fuerzas en compresión en el

concreto de los salientes del patín y la fuerza de un área ficticia del

(84)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Análisis de una sección T con falla dúctil.

C : Fuerza Resultante a Compresión T : Fuerza Resultante a Tracción

Del Equilibrio Interno C = T se obtiene una ecuación para determinar el

área de acero ficticio.

Mn1 :

𝐶 = 0.85. 𝐹′

𝑐

. ℎ

𝑓

. 𝑏 − 𝑏

𝑤

𝑇 = 𝐴

𝑠𝑓

. 𝐹

𝑦

𝐴

𝑠𝑓

=

0.85. 𝐹′

𝑐

. ℎ

𝑓

. 𝑏 − 𝑏

𝑤

𝐹

𝑦

Mn1 : Momento Resistente Nominal 1.

𝑀

𝑛1

= 𝐴

𝑠𝑓

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑓

2

(85)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Análisis de una sección T con falla dúctil.

Mn2: Lo proporciona el par conformado por la fuerzas en compresión en

el concreto del alma y la fuerza de un área restante del acero a

(86)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Análisis de una sección T con falla dúctil.

C : Fuerza Resultante a Compresión T : Fuerza Resultante a Tracción

Del Equilibrio Interno C = T se obtiene una ecuación para determinar la

altura del bloque rectangular equivalente.

Mn2 :

Mn2 : Momento Resistente Nominal 2.

𝐶 = 0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏

𝑤

. 𝑎

𝑇 = 𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠𝑓

. 𝐹

𝑦

𝑎 =

𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠𝑓

. 𝐹

𝑦

0.85. 𝐹′

𝑐

. 𝑏

𝑤

𝑀

𝑛2

= 𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠𝑓

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑎

2

(87)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Análisis de una sección T con falla dúctil.

El Momento Resistente total de una sección T puede visualizarse como la suma de dos partes:

𝑀

𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 𝑀

𝑛1

+ 𝑀

𝑛2 ACI Teoría de Rotura

𝑀

𝑢

≤ ∅ 𝑀

𝑛

∅ = 0.90

𝑀

𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 𝐴

𝑠𝑓

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑓

2

+ 𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠𝑓

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑎

2

𝑀

𝑢

= ∅ 𝐴

𝑠𝑓

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑓

2

+ 𝐴

𝑠

− 𝐴

𝑠𝑓

. 𝐹

𝑦

. 𝑑 −

𝑎

2

(88)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Análisis de una sección T con falla dúctil.

ρ : Cuantía Geométrica de la sección a tracción.

Área de Acero a tracción

Área útil de la sección de Concreto

Área de Acero ficticio

Área útil de la sección de Concreto

Ρ’ : Cuantía Geométrica del acero ficticio.

Cuantías:

𝜌 =

𝐴

𝑠

𝑏

𝑤

. 𝑑

𝜌

𝑓

=

𝐴

𝑠𝑓

𝑏

𝑤

. 𝑑

Cuantía Mínima:

𝜌

𝑚í𝑛

=

14

𝐹

𝑦

(89)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Análisis de una sección T con falla dúctil.

(90)

Estructuras de Concreto Armado (Vigas).

Diseño de Vigas de Concreto Reforzado

Secciones T simplemente armadas sometidas a Flexión Pura.

Análisis de una sección T con falla dúctil.

Cuantías Máximas:

ρmáx : Cuantía Geométrica Máxima para secciones T.

ρmáx

0.75 . ρb + ρf

0.50 . ρb + ρf

Zona No Sísmica

Zona Sísmica

ρb : Cuantía Geométrica Balanceada de una sección simplemente armada .

ρb

ρb

ρb : Cuantía Geométrica Balanceada para secciones T.

𝜌

𝑏

=

0.85 . 𝛽

1

. 𝐹′

𝑐

𝐹

𝑦

.

6300

6300 + 𝐹

𝑦

(91)

Estructuras de Concreto Armado.

Diseño Estructural Reflexión:

¡LAS ESTRUCTURAS NO SE

COMPORTAN COMO SE

DISEÑAN, SINO COMO SE

CONSTRUYEN.!

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