Semana 2b-2016-1 Tito Cinematica de La Particula

(1)

Dinámica 2016-1

Semana 2

Tema:

Cinemática de la Partícula en

Movimiento Absoluto en 3D

(2)

(3)

ˆ

R



Xi



Yj



Zk

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

ˆ

X Y Z

dX

dY

dZ

v

i

j

k

dt

v

Xi

Yj

Zk

v

v i

v j

v k













R

     

2 2 2 X Y Z

v



v



v



v

La ampliación de dos dimensiones (x,y) a tres dimensiones (x,y,z) no ofrece dificultad especial. Simplemente basta añadir la coordenada z y sus dos derivadas temporales a las expresiones bidimensionales, de forma que el vector de posición R, la velocidad v y la aceleración a se expresan de la siguiente manera: En el plano solo se consideran dos componentes X e Y

Vector Posición:

(4)

R

2 2 2 2 2 2

ˆ

d X

d Y

d Z

a

i

j

k

dt





ˆ

X Y Z X Y Z

a

Xi

Yj

Zk

a

v i

v j

v k

a

a i

a j

a k













     

2 2 2 X Y Z

a



a



a



a

Vector Aceleración:

(5)

(6)

MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, , Z)

La posición de la partícula P se define utilizando las coordenadas cilíndricas (a)

Descomponiéndose en términos de sus vectores unitarios:

e e k

ˆ ˆ

_r

,

_

,

ˆ

Siendo R el vector posición:

ˆ

r

R



re



zk

ˆ

_r

ˆ

dR

v

re

r e

zk

dt







2 2 2

(

)

ˆ

r

(

2 )

ˆ

dv

d R

a

r

e

r

e

zk

dt









r

v



r

v

_



r



v

_z



z

2 r

a

 

r



a

_



r





2 r



a

_Z



z

     

2 2 2 r z

v



v



v

_



v

     

2 2 2 r z

a



a



a

_



a

 Siempre se mide a partir del eje Positivo X

ˆ

_r

e

ˆk

(7)

Vr = 4,5962 m/s v = 6,128 m/s vZ = 3,8567 m/s ar = - 24,512 m/s2 a = 36,7698 m/s2 aZ = 0 m/s2

Respuestas con 4 decimales

truncado

Ejemplo 1

La barra OB gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante mientras que la corredera A sube por la barra con una rapidez constante Para el instante cuando  = /2 rad, determine:

4rad s/





6 /

S  m s

Obligatorio: Resolver por Coordenadas Cilíndricas

1.- La magnitud de la velocidad radial.(m/s) 2.- La magnitud de la velocidad

transversal.(m/s)

3.- La magnitud de la velocidad en el eje Z.(m/s)

4.- La magnitud de la aceleración radial.(m/s2)

5.- La magnitud de la aceleración transversal a.(m/s2)

6.- La magnitud de la aceleración en el eje Z.(m/s2)

(8)

R

S

r

z

40 50 2 S  m Solución:

S

r

z



Percibimos que el ángulo =40=cte.

Sabemos que S=2m,

_S



₆

_{m s}

_/

_S



₀

Se cumple:

.

40 r



S Cos



 

.

40

0 r



S Cos

 

S

0

0 

  



6.

40 r



Cos



Derivando respecto del tiempo:

Para S= 2m y =40:

2.

40 r



Cos



4,5962 /

r



m s

1,532

r



m

(9)

.

40 r



S Cos



Derivando respecto del tiempo la ecuación:

.

40 (0)

r



S Cos

 

S

r



0

De igual manera se procede con:

.Sen 40

z



S



.Sen 40

z



S



z



6.Sen 40

 

3,8567

m s

/

.Sen 40

z



S



z



0 2.Sen 40

1, 2855

z



 

m

También:

2 rad







_

_

₄

_{rad s}

_/

_

_cte

_

_

₀

Luego:

4,5962

/

r

v

 

r

m s

 

1,532 4

6,128

/

v

_



r





m s

3,8567

/

z

v

 

z

m s

2 2

0 1,532(4)

r

a

 

r



 

2 1,532(0)

2(4,5962)(4)

a

_



r





r







0

Z

a

 

z

2

24, 512

/

r

a

 

m s

2

36, 7696

/

a

_



m s

     

2 2 2 r z

v



v



v

_



v

8,5762

/

v



m s

     

2 2 2 r z

a



a



a

_



a

2

44,1909

/

a



m s

(10)

http://ssmundodesconocido.es/la-tierra-hueca-nuevas-y-sorprendentes-pruebas.html

http://francis.naukas.com/2015/08/26/el-video-youtube-de-la-ultima-boutade-de-hawking/

(11)

MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , )

Las expresiones de la posición y velocidad son fáciles; pero de la aceleración es mas complicada a causa de la geometría adicional necesaria. Obsérvese que el sentido del vector eR es el que tendría el movimiento del punto B, si R aumentara, pero

manteniendo constantes  y . Asimismo, el sentido de eθ, es el que tendría B si θ

aumentara, pero manteniéndose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el que tendría el movimiento de B si  aumentara pero manteniéndose constantes R y θ.

(12)

ˆ

_R

R



Re

(13)

ˆ

_R

R



Re

ˆ

R R R

dR

v

v e

Re

R Cos e

R e

dt

   

















Donde: R

v



R

v

_



R Cos





v

_



R



EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS

2 2 R

ˆ

R

ˆ

dv

d R

a

a e

dt

   





   

₂ ₂

 

2 R

v



v



v

_



v

_

(14)

Donde: ₂ ₂ ₂ R

a

 

R





R



Cos



2

(

)

2 Cos

d R

a

R

Sen

R

dt











_

_



_

_







2 2

1 d R

(

)

a

R

Sen Cos

R

dt



_

_







_

_







2

2 a

_



R Cos







R Cos







R



Sen



2

2 a

_



R





R





R



Sen Cos



   

₂ ₂

 

2 R

a



a



a

_



a

_ R

v



R

v

_



R Cos





v

_



R



(15)

VR = 6 m/s v = 6,128 m/s v = 0 aR = - 18,7783 m/s2 a = 36,7701 m/s2 a = 15,7569 m/s2

Obligatorio: Resolver por Coordenadas Esféricas

La barra OB gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante mientras que la corredera A sube por la barra con una rapidez constante Para el instante cuando  = /2 rad, determine:

Ejemplo 1

transversal.(m/s)

5.- La magnitud de la aceleración transversal a_.(m/s2)

(16)

6 /

R

v

 

R

m s

Utilizando el método de coordenadas esféricas tenemos:

V = 8.5764 m/s

S

2 rad







_

_

₄

_{rad s}

_/

_

_cte

_

_

₀

2

6 s

0 R



m

 

R

m

  

R

40

0

0 



   



2(4)

40 v

_



R Cos







Cos



0 v

_



R





6,1283

/

v

_



m s

6 /

R

v



m s

   

₂ ₂

 

2 R

v



v



v

_



v

_

(17)

a = 44,1922 m/s2 2 2 2 R

a

 

R





R



Cos



2

2 a

_



R





R





R



Sen Cos



2 2 2

0 2(0)

2(4 )

40

R

a

 



Cos



2

18, 7783

/

R

a



m s

2

2 a

_



R Cos







R Cos







R



Sen



2(6)(4)

40 2(0)

40 2(2)(4)(0)

40 a

_



Cos

 

Cos

 

Sen



2

36, 7701 /

a

_



m s

2

2(6)(0)

2(0)

2(4)

40

40 a

_





Sen



Cos



2

15, 7569

/

a

_



m s

   

₂ ₂

 

2 R

a



a



a

_



a

_

(18)

Transformacion de Coordenadas

Nos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un Sistema en base a otros conocidos.

Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando el algebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion:

Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:

ˆ

_r

e

ˆe

_

Haciendo una vista de Planta:



X

v

Y Z

v

r

v

_ Z

v

(19)



r

O

X

Y

X

v

Y

v



ˆ

_r

e

ˆe

_

0

r x y z

v



v Cos





v Sen





v

x v Cos



x v Sen



y v Cos



y v Sen



0

x y z

v

_

 

v Sen





v Cos





v

0

1

z x y z

v



ov



v



v

r

v

_ Z

v

Z

v

(20)

Donde:

cos

0 cos

0

1

r x y z z

v

sen

v

Sen

v



  

  

  

_{ }

  

  

  

  

  

  

  

(21)

]

][

[

]

[

v

₍

_r

_,

_

_,

_z

₎



T

_

v

₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎

 

















1

0

0 cos



Sen

sen

T

]

][

[

]

[

a

₍

_r

_,

_

_,

_z

₎



T

_

a

₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎

Siendo:

En forma similar:

En forma simplificada:

cos

0 cos

0

1

r x y z z

a

sen

a

Sen

a



  

  

  

_{ }

  

  

  

  

  

  

  

(22)

Transformacion de Coordenadas

]

][

[

]

[

v

₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎



T

_



1 v

₍

_r

_,

_

_,

_z

₎

Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:

]

][

[

]

[

a

₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎



T

_



1 a

₍

_r

_,

_

_,

_z

₎

 



















1

0

1



Sen

Cos

Sen

Cos

T

(23)

Transformacion de Coordenadas

]

][

[

]

[

v

₍

_R

_,

_

_,

_

₎



T

_

v

₍

_r

_,

_

_,

_z

₎

 



















Cos

Sen

Cos

T

0

1

0

Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:

]

][

[

]

(24)

Transformacion de Coordenadas

]

][

[

]

[

v

₍

_r

_,

_

_,

_z

₎



T

_



1 v

₍

_R

_,

_

_,

_

₎

 





















Cos

Sen

Cos

T

0

1

0

1

Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:

]

][

[

]

(25)

Transformacion de Coordenadas

Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:

 







































 

Cos

Sen

Cos

Sen

Cos

Sen

Cos

T

0 cos

cos

]

][

[

]

[

v

₍

_R

_,

_

_,

_

₎



T

_

T

_

v

₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎

]

][

[

]

[

a

₍

_R

_,

_

_,

_

₎



T

_

T

_

a

₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎

(26)

Transformacion de Coordenadas

Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:

  

















 





















Cos

Sen

Cos

Sen

Cos

Sen

Cos

T

0

1 1

]

][

[

]

[

a

₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎



T

_



1 T

_



1 a

₍

_R

_,

_

_,

_

₎

]

][

[

]

[

v

₍

_x

_,

_y

_,

_z

₎



T

_



1 T

_



1 v

₍

_R

_,

_

_,

_

₎

(27)

truncado

Ejemplo 1

La barra OB gira alrededor del eje Z con una velocidad angular constante mientras que la corredera A sube por la barra con una rapidez constante

Para el instante cuando  = /2 rad, utilizando transformación de Coordenadas, determine en coordenadas cilíndricas:

4rad s/





6 /

S  m s

transversal.(m/s)

5.- La magnitud de la aceleración transversal a.(m/s2)

(28)

6 /

R

v

 

R

m s

Utilizando el método de coordenadas esféricas tenemos:

V = 8.5764 m/s

S

2 rad







_

_

₄

_{rad s}

_/

_

_cte

_

_

₀

2

6 s

0 R



m

 

R

m

  

R

40

0

0 



   



2(4)

40 v

_



R Cos







Cos



0 v

_



R





6,1283

/

v

_



m s

6 /

R

v



m s

   

₂ ₂

 

2 R

v



v



v

_



v

_

(29)

a = 44,1922 m/s2 2 2 2 R

a

 

R





R



Cos



2

2 a

_



R





R





R



Sen Cos



2 2 2

0 2(0)

2(4 )

40

R

a

 



Cos



2

18, 7783

/

R

a

 

m s

2

2 a

_



R Cos







R Cos







R



Sen



2(6)(4)

40 2(0)

40 2(2)(4)(0)

40 a

_



Cos

 

Cos

 

Sen



2

36, 7701 /

a

_



m s

2

2(6)(0)

2(0)

2(4)

40

40 a

_





Sen



Cos



2

15, 7569

/

a

_



m s

   

₂ ₂

 

2 R

a



a



a

_



a

_

(30)

0, 766

0 0, 6427

0

1

0 0, 6427

0 0, 766

r R Z

v

  

 



 

 

  

_{ }

 

 

_{ }

 





















Cos

Sen

Cos

T

0

1

0

1

Utilizando el caso IV, de coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas: Velocidades

1

40

0

40

0

1

0

40

0

40 Cos

Sen

T

Sen

Cos



















 



_{ }

_











0

1

0

0 0, 766

0 0, 6

6

42 , 6427

0 0, 7

,128

6

3

0

6

7

r Z

v













 

_





 





 





 





0 v

_



6,1283

/

v

_



m s

6 /

R

v



m s

(6)

(6,1283)

0, 766

0 0,

64

2

7 (

0)

r

v







(6)

(6,1283

0,

6427

0 )

0, 766

(0)

Z

v





4,596

/

r

v



m s

(6)

(6,1283)

0

1

0 , 7

6

6 (

0)

v

_





_v

_6,1283

_{m s}

_/





3,8562

/

Z

v



m s

(31)

0, 766

0 0, 6427

0

1

0 0, 6427

0 0, 766

r R Z

a

  

 



 

 

  

_{ }

 

 

_{ }

Utilizando el caso IV, de coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas: Aceleraciones

0, 6427

0 0, 766

0

1

0 18, 7783

36,

0, 766

0 0, 642

7701

15 75

7 ,

69

r Z

a





 





 

_





 





 





 







( 18, 7783)

(36, 7701)

0, 766

0 0, 6427

(15, 7569)

r

a









( 18,7783)

(36,7701

0,6427

0 )

0,766

(15,7569)

Z

a







2

24, 5111

/

r

a

 

m s

( 18, 7783)

(36, 7701)

(15, 756

0

1

0

9 )

a

_

 



a





36, 7701

m s

/

2 2

0 /

Z

a

 

m s

2

18, 7783

/

R

a

 

m s

2

36, 7701 /

a

_



m s

2

15, 7569

/

a

_



m s

(32)

BLOQUE A

La Grúa Liebherr telescópica móvil de 10 m de largo en el instante mostrado, gira alrededor del eje vertical CD a razón constante de 3 rad/s y el extremo B se aleja de A (observe los detalles de la figura derecha) a razón constante de 0,2 m/s. Si  disminuye a razón constante de 2 rad/s. Para el instante mostrado cuando

 = 30, determine:

a.- La magnitud de la aceleración a_R de la arandela.(m/s2₎ b.- La magnitud de la aceleración a de la arandela.(m/s2₎ c.- La magnitud de la aceleración transversal a_ .(m/s2₎ d.- La magnitud de la aceleración a_X .(m/s2₎

e.- La magnitud de la aceleración a_Y de la arandela.(m/s2₎

f.- La magnitud de la aceleración aZ de la

arandela.(m/s2₎

g.- La magnitud de la aceleración de B.(m/s2₎

(33)

BLOQUE B

Para un tiempo corto, medido a partir del origen, la posición del extremo A (que no se muestra) de la base de la caja, esta se mueve en los polines transportadores, a largo de su trayectoria que está definida por las ecuaciones r = 20t (m), θ = 0.2t

(rad) y z = ―10 cos θ (m), donde t se mide en segundos. Para t = 5 s, determine:

a.- La magnitud de la velocidad de A en el eje X.(m/s) b.- La magnitud de la velocidad de A, en el eje Y.(m/s) c.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje X.(m/s2₎

d.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje Y.(m/s2₎

e.- La magnitud de la velocidad de A en el eje R.(m/s) f.- La magnitud de la velocidad de A, en el eje .(m/s) g.- La magnitud de la aceleración de A, en el eje R.(m/s2₎