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ejercicios resueltos del circulo de mohr

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Academic year: 2021

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(1)

PROBLEMAS DE CÍRCULO DE MOHR

20. Una barra uniforme de sección 6x9cm esta sometida a una fuerza de tracción axial de 54000kg en cada uno de sus extremos determinar la tensión cortante máxima en la barra

Datos: A=6x9cm2 P=5400Kg. 5400kg 5400kg σx = P/A σy =0 σx = 5400kg/6x9cm2

xy =0 σx = 1000 Kg/ cm2 Cortante máximo: máx= ± 2 2 2 xy y x J         máx  = ±√ (5400-0)2/2+02

t

max= ±500 Kg/ cm2

(2)

21. En el problema 20 determinar la tensión normal y cortante que actual que actúan en un plano inclinado de 20º con la línea de acción de las cargas axiales.

Datos: =20º σx = 1000 Kg/ cm2 σy =0 xy

=0 Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2 )/2+xySen2 σn =( (1000+ 0) /2)-((1000-0) Cos40º )/2+0 Sen40º Esfuerzo cortante:

t= Sen2

(σx- σy)/2+xyCos2

t= Sen40º(1000- 0)/2+0 Cos40º

σn =116.98 Kg/ cm2

t= 321.39 Kg/ cm

2

(3)

22. Una barra cuadrada de 2 centímetros de lado esta sometida a una carga de compresión axial de 2.24 kg. Determinar las Tensiones Normal y cortante que actúan en un plano inclinado Ѳ=30º respecto a la línea de acción de las cargas axiales. La barra es lo suficientemente corta para poder despreciar la posibilidad de pandeo. Datos: L=2cm P=-2240kg =30º 2240kg 2240kg σx = P/A σy =0 σx = -2240kg/2x2cm2

xy=0 σx = -560 Kg/ cm2 Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2)/2+xy Sen2 σn =( (-560+ 0) /2)-((-560-0) Cos60º )/2+0 Sen60º Esfuerzo cortante:

t= Sen2

(σx- σy)/2+xyCos2

t= Sen60º(-560- 0)/2+0 Cos60º

σn =-140 Kg/ cm2

t= -242.49 Kg/ cm

2

(4)

23. Resolver nuevamente el problema 22 utilizando el círculo de Mohr. Datos: σx = -560 Kg/ cm2 σy =0 xy

=0 θ=30º MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=-280 R=280 a = (σx - σy)/2 2θ=60º a=280 b=

xy=0 DEL GRÁFICO: σn =280Sen60º

t= 280Cos60º

σn =242.49 Kg/ cm2

t= -140 Kg/ cm

2 C=-280 O 2 280 280Sen60º sn,t

s

min=-560

s

max=0

t

s

(5)

24. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones , σx = 210 Kg/ cm2, σy =0, xy=280 Kg/ cm

2 , determinar

analíticamente las tensiones normal y cortante que existen en un plano inclinado =45ºcon el eje X.

Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 xy  =280 Kg/ cm2 =45º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2)/2+xy Sen2 σn =( (210+ 0) /2)-((210-0) Cos90º )/2+280 Sen90º Esfuerzo cortante:

t= Sen2

(σx- σy)/2+xyCos2

t= Sen90º(210- 0)/2+280 Cos90º

σn =385 Kg/ cm2

t= 105 Kg/ cm

2

(6)

25. Determinar analíticamente, para el elemento del Problema 24, las tensiones principales y sus direcciones, así como las máximas tensiones cortantes y las direcciones de los planos en que tiene lugar. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 xy  =280 Kg/ cm2 =45º

a) Calculando los esfuerzos principales:

σmax =( (210+ 0) /2)+ √ ((210- 0) /2+280 2

σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 2

b) Hallamos las direcciones:

Tan2p=-2x280/210 2p=-2.667 IIQ, IVQ 90º-2p=20.554 2p1=20.554+90º 2p2=20.554+270º p1=55º16´ p2=145º16´ XY y x y x 2 2 2 , 1 2 2                  σmax =404.04 Kg/ cm2 σ min=-194.04 Kg/ cm2 y x xy       2 tan2 p

(7)

c) Cortante máximo: máx

= ± 2 2 2 xy y x J         máx

= ±√ (210-0)2/2+2802 Tan2c=(σx- σy)/2

xy

t

max= ±299.04 Kg/ cm2 c=10º16´41”

(8)

26. Resolver nuevamente el Problema 25 utilizando el círculo de Mohr. Datos: σx = 210 Kg/ cm2 σy =0 xy

=280 Kg/ cm2 =45º MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=105 R=299.04 a = (σx - σy)/2 a=280 b=

xy=280 280 DEL GRÁFICO: Sen2c=105/299 2c=20.55 2p=20.55+90º 210 R=299 105 C=105 O sx,txy

s

min

=-194

s

max

=404.04

t

s

sy,txy 2qp1 2qp2 2qc 280 tmax=299.04kg/cm² tmax=-299.04kg/cm²

(9)

2p=110.55

27. Un elemento plano de un cuerpo esta sometido a las tensiones indicadas en la Figura adjunta. Determinar analíticamente:

a) Las tensiones principales y sus direcciones.

b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos en que tienen lugar.

Datos:

280 kg/cm2

210kg/cm2 210kg/cm2

280 kg/cm2

σx =-210 kg/cm2

xy=-280 kg/cm2 σy = 0

a) Calculando los esfuerzos principales:

σmax =( (-210+ 0) /2)+ √ ((-210- 0) /2+-280 2

σmin =( (210+ 0) /2)-√ ((210- 0) /2+280 2

Hallamos las direcciones:

Tan2p=-2x-280/-210 2p=-69.44 IIQ, IVQ 90º-2p=20.554 2p1=20.554+90º 2p2=20.554+270º XY y x y x 2 2 2 , 1 2 2                  σmax =194.04Kg/ cm2 σ min-404.04Kg/ cm2 y x xy       2 tan2 p

(10)

p1=55º16´ p2=145º16´ b) Cortante máximo: máx

= ± 2 2 2 xy y x J         máx

= ±√ (-210-0)2/2+-2802 Tan2c=(σx- σy)/2

xy

28. Para el elemento del Problema 27. Determinar las tensiones normal y cortante que actúan en un plano inclinado 30º con el eje X Datos: σx =-210 kg/cm2

xy=-280 kg/cm2 σy = 0 =30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2)/2+xy Sen2 σn =( (-210+ 0) /2)-((-210-0) Cos60º )/2+280 Sen60º Esfuerzo cortante:

t= Sen2

(σx- σy)/2+xyCos2

t= Sen60º(-210- 0)/2+-280 Cos60º

t

max= ±299.04 Kg/ cm2 c=10º16´41” σn =-294.99 Kg/ cm2

t= -230 Kg/ cm

2

(11)

29. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560kg/cm2,

σy =560 kg/cm2 y determinar analíticamente la tensión cortante

máxima que existe en el elemento. Datos: σx =560 kg/cm2

xy=0 σy =560 kg/cm2 Cortante máximo: máx= ± 2 2 2 xy y x J         máx  = ±√ 560-560)2/2+02

30. ¿Qué forma adopta el círculo de Mohr para las solicitaciones descritas en el problema 29? Datos: σx =560 kg/cm2

xy=0 σy =560 kg/cm2 MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=560 R=0 a = (σx - σy)/2 a=0 b= xy=0

El circulo forma un punto que esta ubicado en el eje horizontal a 560 del origen.

t

max= 0 O

t

s

C=560

(12)

31. Un elemento plano esta sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2

y σy =-560 kg/cm2. Determinar analíticamente la tensión cortante

máxima que existe en el elemento. ¿Cuál es la dirección de los planos en que se producen las máximas tensiones cortantes?

Datos: σx =560 kg/cm2

xy=0 σy =-560 kg/cm2 Cortante máximo: máx= ± 2 2 2 xy y x J         máx  = ±√ 560--560)2/2+02 Tan2c=(σx- σy)/2

xy

32. Para el problema 31 determinar analíticamente las tensiones Normal y Cortante que actúan en un plano inclinado un ángulo de 30º con el eje x. Datos: σx =560 kg/cm2

xy=0 σy =-560 kg/cm2 =30º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2)/2+xy Sen2 σn =( (560+ -560) /2)-((560--560) Cos60º )/2+0 Sen60º

t

max= ± 560 kg/cm2 2c=45º σn =-280 Kg/ cm2

(13)

Esfuerzo cortante:

t= Sen2

(σx- σy)/2+xyCos2

t= Sen60º(560--560)/2+0 Cos60º

33. Dibujar el circulo de Mohr para un elemento plano sometido a las tensiones σx =560 kg/cm2 y σy =-560 kg/cm2. Determinar el círculo

de Mohr, las tensiones que actúan en un plano inclinado 20º con el eje X. Datos: σx =560 kg/cm2

xy=0 σy =-560 kg/cm2 =20º MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=0 R=560 a = (σx - σy)/2 a=560 b= xy=0 2=40º DEL GRÁFICO:

t =560sen40º

σn =560cos40º

t= 484.974 Kg/ cm

2 sy,

t

xy sx,

t

xy R=560 O=centro

t

s

560 -560 40º sn t

t =-359.961 kg/cm

2 σn =-428.985kg/cm2

(14)

34. Un elemento plano extraído de una envuelta cilíndrica delgada, sometido a torsión, soporta las tensiones cortantes representada en la figura, determinar las tensiones principales que existen en el elemento y las direcciones de los planos en que se producen.

560 kg/cm2 560kg/cm2 560 kg/cm2 560 kg/cm2 Datos: σx =0

xy=560 kg/cm2 σy =0

Calculando los esfuerzos principales:

σmax =( (0+ 0) /2)+ √ ((0- 0) /2+560 2 σmin =( (0+ 0) /2)-√ ((0- 0) /2+560 2 DEL GRÁFICO: 2p=45º XY y x y x 2 2 2 , 1 2 2                  σmax =560 Kg/ cm2 σ min=-560 Kg/ cm2 O=centro

t

s

560 -560 sy,txy sx,txy 2qp

(15)

35. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la figura determinar analíticamente.

a) Las tensiones principales y sus direcciones.

b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 560 kg/cm2 560kg/cm2 1400 kg/cm2 1400 kg/cm2 560 kg/cm2 560 kg/cm2 840 kg/cm2 Datos: σx =1400 kg/cm2

xy=-560 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2

a) Calculando los esfuerzos principales:

σmax =( (1400+ 840) /2)+ √ ((1400- 840) /2+-560 2

σmin =( (1400+ 840) /2)-√ ((1400- 840) /2+-560 2

b) Hallamos las direcciones:

Tan2p=-2x-560/1400-840 2p1=+63.435 (IIQ, IVQ) 2p2=+63.435 2p1=+63.435 +180º XY y x y x 2 2 2 , 1 2 2                  σmax =1746.099 Kg/ cm2 σ min=493.901 Kg/ cm2 y x xy       2 tan2 p p2=31º43´03” p1=121º46´57”

(16)

c) Cortante máximo: máx

= ± 2 2 2 xy y x J         máx

= ±√ (1400-840)2/2+-5602 Tan2c= (σx- σy)/2

xy Tan2c= (1400- 840)/2(-560) 2c=-26.565 (IIQ, IVQ) 90º-26.565 /2

t

max= ±626.099 Kg/ cm2 c=76º43´03”

(17)

36. Resolver nuevamente el Problema 35 utilizando el círculo de Mohr. Datos: σx =1400 kg/cm2

xy=-560 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2 MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=1120 R=626.099 a = (σx - σy)/2 a=280 b= xy=-560 O

s

min

=493.9kg/cm²

s

max

=1746.099kg/cm²

(1400,-560) (8400,560) 2qc C=1120

t

s

tmax=626.099kg/cm² -560 2qp

(18)

37. Considerar nuevamente el problema 35. Determinar analíticamente las tensiones normal y cortante en un plano inclinado un ángulo de 20º con el eje X.

Datos: σx =1400 kg/cm2

xy=-560 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2 =20º Esfuerzo normal: σn =( (σx+ σy) /2)-((σx- σy) Cos2)/2+

xy Sen2 σn =( (1400+ 840) /2)-((1400-840) Cos40º )/2+-560 Sen40º Esfuerzo cortante:

t= Sen2

(σx- σy)/2+xyCos2

t= Sen40º(1400-840)/2+-560 Cos40º

σn =-280 Kg/ cm2

t= -249 Kg/ cm

2

(19)

38. Resolver nuevamente el Problema 34 utilizando el círculo de Mohr. Datos: σx =1400 kg/cm2

xy=-560 kg/cm2 σy = 840 kg/cm2 =20º MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=1120 R=626.099 a = (σx - σy)/2 2=40º a=280 b= xy=-560 C=1120

t

s

tmax=626.099kg/cm² -560 O

s

min

=493.9kg/cm²

s

max

=1746.099kg/cm²

(1400,-560) (8400,560) 40º a

s

t

b 560 626.099 b senb=560/626.099 b=63.435 b=63.435 a=23.435 626.099sena 626.099 626.099cosb a=23.435 626.099sena=249 626.099cosb=574.45

t

=249kg/cm²

s

=R-574.45+493.9

s

=545.54kg/cm² 560 626.099 b senb=560/626.099 b=63.435 b=63.435 a=23.435 626.099sena 626.099 626.099cosb a=23.435 626.099sena=249 626.099cosb=574.45

t

=249kg/cm²

s

=R-574.45+493.9

s

=545.54kg/cm²

(20)

39. Un elemento plano esta sometido a las tensiones indicadas en la figura, determinar analíticamente.

a) Las tensiones principales y sus direcciones

b) Las tensiones cortantes máximas y las direcciones de los planos que actúan. 840 kg/cm2 700 kg/cm2 700kg/cm2 560 kg/cm2 560 kg/cm2 700kg/cm2 700 kg/cm2 840 kg/cm2 Datos: σx =-560 kg/cm2

xy=700 kg/cm2 σy = -840 kg/cm2

a) Calculando los esfuerzos principales:

σmax =( (-560+-840) /2)+ √ ((-560--840) /2+700 2

σmin =( -560+-840) /2)-√ ((-560--840) /2+700 2

b) Hallamos las direcciones:

Tan2p=-2x-700/-560--840 2p=-78.69 (IIQ, IVQ) 90º-78.69=11.3099 2p1=11.3099+90º 2p2=11.3099+270º XY y x y x 2 2 2 , 1 2 2                  σmax =13.863 Kg/ cm2 σ min=-1413.863 Kg/ cm2 y x xy       2 tan2 p p1=50º39´18” p2=140º39´18”

(21)

c) Cortante máximo: máx

= ± 2 2 2 xy y x J         máx

= ±√ (-560--840)2/2+7002 Tan2c= (σx- σy)/2

xy Tan2c= (-560--840)/2(700) 2c=11.3099 (IIQ, IVQ)

t

max= ±713.863 Kg/ cm2 c=5º39´17.88”

(22)

40. Repetir el problema 39 utilizando el círculo de Mohr. Datos: σx =-560 kg/cm2

xy=700 kg/cm2 σy = -840 kg/cm2 MOHR -CENTRO -RADIO C= σx+ σy) /2 R2=a2+b2 C=-700 R=713.86 a = (σx - σy)/2 a=140 b= xy=700 C=-700 O 2 R=713.86

s

min

=-1413.86

s

max

=13.86

t

s

tmax=713.86kg/cm² tmax=-713.86kg/cm²

s

y,

t

xy

s

x,

t

xy 840 700 2qc 2qp

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