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Los Polígonos, Propiedades Y Construcciones.: TEMA. 34

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TEMA. 34.

TEMA. 34.

LOS POLÍGONOS, PROPIEDADES Y CONSTRUCCIONES.

LOS POLÍGONOS, PROPIEDADES Y CONSTRUCCIONES.

1. DEFINICIÓN Y TIPOS DE POLÍGONOS.

1. DEFINICIÓN Y TIPOS DE POLÍGONOS.

DEFINICIÓN. DEFINICIÓN. Polígono

Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. Línea poligonal

Línea poligonal  es la figura formada por varios segmentos no pertenecientes a la  es la figura formada por varios segmentos no pertenecientes a la misma recta. Se considera cerrada cuando su principio y final coinciden.

misma recta. Se considera cerrada cuando su principio y final coinciden. ELEMENTOS GENERALES DE UN POLÍGONO.

ELEMENTOS GENERALES DE UN POLÍGONO. LADOS: Son los segmentos que forman el polígono. LADOS: Son los segmentos que forman el polígono. VÉRTICES: Intersección o extremos de los lados. VÉRTICES: Intersección o extremos de los lados.

DIAGONALES. Segmentos determinados por cada dos vértices no consecutivos. Fig. DIAGONALES. Segmentos determinados por cada dos vértices no consecutivos. Fig. 11 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS.

EQUILÁTERO: Si tiene todos sus lados iguales. Fig. EQUILÁTERO: Si tiene todos sus lados iguales. Fig. 22 EQUIÁNGULO: Si todos sus ángulos son iguales. Fig. EQUIÁNGULO: Si todos sus ángulos son iguales. Fig. 22 REGULAR. Equilátero y equiángulo.

REGULAR. Equilátero y equiángulo.

REGULAR ESTRELLADO: Se obtiene uniendo según un paso determinado sus REGULAR ESTRELLADO: Se obtiene uniendo según un paso determinado sus vértices.

vértices.

CONVEXO: Cuando el polígono queda a un lado de la prolongación de uno de sus CONVEXO: Cuando el polígono queda a un lado de la prolongación de uno de sus lados. Fig.

lados. Fig. 33

CÓNCAVO: Repartido a ambos lados de la prolongación de alguno de sus lados. Fig. CÓNCAVO: Repartido a ambos lados de la prolongación de alguno de sus lados. Fig. 4.4.

2. TRIÁNGULOS.

2. TRIÁNGULOS.

DEFINICIÓN Y DESIGNACIÓN. DEFINICIÓN Y DESIGNACIÓN.

Superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a Superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos.

dos.

Los puntos de intersección de estas rectas se denominan Los puntos de intersección de estas rectas se denominan vértices y se designan en mayúscula, los segmentos entre vértices vértices y se designan en mayúscula, los segmentos entre vértices lados y se designan en minúscula, igual al vértice opuesto. Fig. lados y se designan en minúscula, igual al vértice opuesto. Fig. 55

Son polígonos convexos con sus diagonales coincidiendo con Son polígonos convexos con sus diagonales coincidiendo con los lados.

los lados. PROPIE

PROPIEDADES DADES FUNDAMENTALES.FUNDAMENTALES.

1. Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que 1. Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. b-c<a<b+c.

su diferencia. b-c<a<b+c.

2. Si tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también 2. Si tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales. Si a=b,

son iguales. Si a=b, ==..

3. A mayor lado se opone siempre mayor ángulo. 3. A mayor lado se opone siempre mayor ángulo.

4. La suma de los ángulos de cada vértice es siempre igual a 4. La suma de los ángulos de cada vértice es siempre igual a 180º.

180º. CLA

CLASIFICACIÓN DSIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.E LOS TRIÁNGULOS. SEGÚN LOS LADOS

SEGÚN LOS LADOS

-EQUILÁTERO. Si tiene sus tres lados iguales (a=b=c). Fig. 6. -EQUILÁTERO. Si tiene sus tres lados iguales (a=b=c). Fig. 6. -ISÓSCELES. Si tiene dos lados iguales (c=b). Fig.7

(2)

-ESCALENO. Ningún lado igual a otro. Fig.8 -ESCALENO. Ningún lado igual a otro. Fig.8

SEGÚN LOS ÁNGULOS. SEGÚN LOS ÁNGULOS.

-ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son agudos. Fig.9 -ACUTÁNGULO. Los tres ángulos son agudos. Fig.9 -RECTÁNGULO. Si tiene un ángulo recto. Fig.10 -RECTÁNGULO. Si tiene un ángulo recto. Fig.10 -OBTUSÁNGULO. Si tiene un ángulo obtuso. Fig.11. -OBTUSÁNGULO. Si tiene un ángulo obtuso. Fig.11.

RECTAS NOTABLES Y

RECTAS NOTABLES Y CENTRCENTROS DEL TRIÁNGULO.OS DEL TRIÁNGULO.

-ORTOCENTRO. Punto donde se cortan sus alturas.

-ORTOCENTRO. Punto donde se cortan sus alturas.  Al Al tutu rara  es la  es la perpendicular de un vértice a su lado opuesto. Fig.

perpendicular de un vértice a su lado opuesto. Fig. 1212

-CIRCUNCENTRO. Punto donde se cortan las

-CIRCUNCENTRO. Punto donde se cortan las mediatricesmediatrices  de los lados. Es  de los lados. Es centro de la circunferencia circunscrita del triángulo (contiene a sus vértices). Fig.13

centro de la circunferencia circunscrita del triángulo (contiene a sus vértices). Fig.13 -BARICENTRO. Punto donde se cortan las medianas.

-BARICENTRO. Punto donde se cortan las medianas. MedianasMedianas  son los  son los segmentos que van de los vértices a los puntos medios de los lados opuestos. El segmentos que van de los vértices a los puntos medios de los lados opuestos. El baricentro es el centro de gravedad del triángulo y se encuentra respecto de los vértices a baricentro es el centro de gravedad del triángulo y se encuentra respecto de los vértices a 2/3 de la mediana correspondiente. Fig.

2/3 de la mediana correspondiente. Fig. 1414

-INCENTRO. Punto donde se cortan las

-INCENTRO. Punto donde se cortan las bisectricesbisectrices  de los ángulos del  de los ángulos del triángulo. Es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tangente a sus lados). Fig. triángulo. Es centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tangente a sus lados). Fig. 1155

TRIÁNGULOS NOTABLES. TRIÁNGULOS NOTABLES.

-TRIÁNGULO ÓRTICO. Triángulo Órtico de un triángulo dado es el que -TRIÁNGULO ÓRTICO. Triángulo Órtico de un triángulo dado es el que tiene como vértices los pies de las alturas del triángulo dado. Fig.

tiene como vértices los pies de las alturas del triángulo dado. Fig. 1616

-TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO. Triángulo Complementario de un -TRIÁNGULO COMPLEMENTARIO. Triángulo Complementario de un triángulo dado es el que tiene como vértices los puntos medios de los lados del triángulo triángulo dado es el que tiene como vértices los puntos medios de los lados del triángulo dado. Fig.

dado. Fig. 1717

-TRIÁNGULO PODAR. Triángulo Podar de un triángulo dado es el que tiene -TRIÁNGULO PODAR. Triángulo Podar de un triángulo dado es el que tiene como vértices los pies de las perpendiculares trazadas a los lados del triángulo desde un como vértices los pies de las perpendiculares trazadas a los lados del triángulo desde un punto P definido. Fig.

(3)

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS.

El número de datos necesario para poder construir cualquier polígono es 2n-3, siendo n El número de datos necesario para poder construir cualquier polígono es 2n-3, siendo n el número de lados del polígono. En el caso de los triángulos, el número de datos preciso el número de lados del polígono. En el caso de los triángulos, el número de datos preciso es por tanto 3.

es por tanto 3.

A veces los datos no se dan directamente sino que van implícitos en la propia definición A veces los datos no se dan directamente sino que van implícitos en la propia definición del triángulo o polígono a resolver, por ejemplo triángulo equilátero dato lado, lleva del triángulo o polígono a resolver, por ejemplo triángulo equilátero dato lado, lleva implícitos los tres lados y tres ángulos por lo que tenemos datos de sobra.

implícitos los tres lados y tres ángulos por lo que tenemos datos de sobra.

Son innumerables los ejercicios que pueden plantearse de construcción de polígonos y Son innumerables los ejercicios que pueden plantearse de construcción de polígonos y triángulos, resolveremos aquí algunos a modo de ejemplo.

triángulos, resolveremos aquí algunos a modo de ejemplo.

1. Conociendo los tres lados.

1. Conociendo los tres lados. Tomamos uno como base y hacemos centro en susTomamos uno como base y hacemos centro en sus

extremos con radios iguales a los otros dos lados, describiendo arcos que son los lugares extremos con radios iguales a los otros dos lados, describiendo arcos que son los lugares geométricos de los extremos, donde se corten tenemos el vértice buscado. Fig.

geométricos de los extremos, donde se corten tenemos el vértice buscado. Fig. 1919

2. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido.

2. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido. Fig.Fig. 2020 3. Conocidos dos ángulos y el lado comprendido.

3. Conocidos dos ángulos y el lado comprendido. Fig.Fig. 2121 4. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

4. Dados dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Se dibuja el ángulo y ladoSe dibuja el ángulo y lado

contigüos

contigüos   y -a-, con centro en el extremo opuesto C, trazamos un arco de radio igual al  y -a-, con centro en el extremo opuesto C, trazamos un arco de radio igual al

segundo lado conocido b. El ejercicio puede tener 2 soluciones (vértices A y A’) si el lado segundo lado conocido b. El ejercicio puede tener 2 soluciones (vértices A y A’) si el lado -b- es mayor que la altura de C, 1 si son iguales y no tener solución si es menor. Fig.

b- es mayor que la altura de C, 1 si son iguales y no tener solución si es menor. Fig. 2222

5. Dados do

5. Dados dos ángulos y s ángulos y un lado opuesto un lado opuesto a uno a uno de de ellos.ellos. Se traza el arco capaz delSe traza el arco capaz del

ángulo opuesto

ángulo opuesto . Fig.. Fig. 2323

6. Dados un lado, el ángulo opuesto y la altura correspondiente entre este lado y 6. Dados un lado, el ángulo opuesto y la altura correspondiente entre este lado y ángulo.

ángulo.

Se dibuja el lado -a-, se le traza el arco capaz de

Se dibuja el lado -a-, se le traza el arco capaz de   y una paralela a distancia la altura  y una paralela a distancia la altura

dada -h-. Donde esta paralela y el

dada -h-. Donde esta paralela y el arco se arco se corten tenemos el corten tenemos el vértice buscvértice buscado. ado. DosDos soluciones si la altura es secante respecto al arco, una si es tangente y ninguna si es soluciones si la altura es secante respecto al arco, una si es tangente y ninguna si es exterior. Fig.

exterior. Fig. 2424

7. Dados un lado, y su altura y mediana correspondientes.

7. Dados un lado, y su altura y mediana correspondientes. Dibujamos el lado -a- y unaDibujamos el lado -a- y una

paralela a este a

paralela a este a la altura dada -h-. la altura dada -h-. Con centro en su punto medio Con centro en su punto medio trazamos un arco trazamos un arco ddee radio igual a la mediana dada. Donde ambos lugares geométricos se corten tenemos el radio igual a la mediana dada. Donde ambos lugares geométricos se corten tenemos el

(4)

vértice buscado. Dos soluciones, una o ninguna según sea la paralela de la altura secante, vértice buscado. Dos soluciones, una o ninguna según sea la paralela de la altura secante, tangente o exterior al arco de la mediana respectivamente. Fig.

tangente o exterior al arco de la mediana respectivamente. Fig. 2525

8. Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos. 8. Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos.

Dibujamos el segmento dado como Dibujamos el segmento dado como suma de catetos (b+c) y trazamos, por uno suma de catetos (b+c) y trazamos, por uno de sus extremos D, una semirrecta que de sus extremos D, una semirrecta que forme con él 45º. En su otro extremo C forme con él 45º. En su otro extremo C hacemos centro para trazar un arco de hacemos centro para trazar un arco de radio igual a la magnitud conocida de la radio igual a la magnitud conocida de la hipotenusa -a-.

hipotenusa -a-.

Donde la semirrecta y el arco se corten Donde la semirrecta y el arco se corten tenemos el vértice B (o B’) del triángulo tenemos el vértice B (o B’) del triángulo buscado. Desde el trazamos una recta buscado. Desde el trazamos una recta perpendicular al segmento DC obteniendo perpendicular al segmento DC obteniendo el vértice A y, por tanto, el cateto menor el vértice A y, por tanto, el cateto menor -c-y la longitud del cateto ma-c-yor -a-. Fig. 26. y la longitud del cateto mayor -a-. Fig. 26.

De tomar el punto de intersección B’, la De tomar el punto de intersección B’, la solución será simétrica a la obtenida.

solución será simétrica a la obtenida.

Observese que el triángulo ABD es isósceles y Observese que el triángulo ABD es isósceles y rectángulo por lo que los segmentos AD y BA tienen rectángulo por lo que los segmentos AD y BA tienen igual longitud.

igual longitud.

9. Construir un triángulo rectángulo dada la 9. Construir un triángulo rectángulo dada la hipotenusa y la diferencia de catetos.

hipotenusa y la diferencia de catetos.

Se resuelve de igual modo que el ejercicio anterior. Se resuelve de igual modo que el ejercicio anterior. Fig.27

Fig.27

3. CUADRILÁ

3. CUADRILÁTEROS

TEROS..

DEFINICIÓN, ELEMENTOS Y DESIGNACIÓN. DEFINICIÓN, ELEMENTOS Y DESIGNACIÓN.

Se llama cuadrilátero a toda figura poligonal cerrada compuesta por cuatro lados. Los Se llama cuadrilátero a toda figura poligonal cerrada compuesta por cuatro lados. Los puntos de intersección de los lados se denominan vértices y se designan con letra puntos de intersección de los lados se denominan vértices y se designan con letra mayúscula e igual a la del lado contigüo, en minúscula. Los

mayúscula e igual a la del lado contigüo, en minúscula. Los segmentos que unen dos vértices opuestos se denominan segmentos que unen dos vértices opuestos se denominan diagonales, un cuadrilátero solo tiene dos diagonales, cada diagonales, un cuadrilátero solo tiene dos diagonales, cada una divide al cuadrilátero en dos triángulos.

una divide al cuadrilátero en dos triángulos.

La suma de los ángulos de un cuadrilátero es de 360º. La suma de los ángulos de un cuadrilátero es de 360º. Fig. Fig. 28.28. CLASIFICACIÓN. CLASIFICACIÓN. PARALELOGRAMOS. PARALELOGRAMOS. Tiene

Tienen sus lados opuestos paralelos, sus ángulosn sus lados opuestos paralelos, sus ángulos

opuestos son iguales y las diagonales se cortan en su punto medio. opuestos son iguales y las diagonales se cortan en su punto medio.

-RECTÁNGULOS. Sus lados opuestos son iguales, desiguales los contiguos y todos sus -RECTÁNGULOS. Sus lados opuestos son iguales, desiguales los contiguos y todos sus ángulos rectos. Fig.

ángulos rectos. Fig. 2929

-ROMBOS. Sus cuatro lados son iguales. Sus ángulos opuestos iguales, desiguales los -ROMBOS. Sus cuatro lados son iguales. Sus ángulos opuestos iguales, desiguales los contiguos. Fig.

contiguos. Fig. 3030

-CUADRADOS. Los cuatro lados iguales y sus ángulos rectos. Fig. -CUADRADOS. Los cuatro lados iguales y sus ángulos rectos. Fig. 3131

-ROMBOIDES. Sus lados opuestos son iguales, desiguales los contiguos. Sus ángulos -ROMBOIDES. Sus lados opuestos son iguales, desiguales los contiguos. Sus ángulos opuestos iguales, desiguales los contiguos. Fig.

(5)

TRAPECIOS. TRAPECIOS.

Tienen dos lados paralelos que se denominan

Tienen dos lados paralelos que se denominan basesbases, siendo la altura la distancia entre, siendo la altura la distancia entre ambas. Se denomina

ambas. Se denomina paralela mediaparalela media al segmento que une los puntos medios de los lados al segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. Fig.

no paralelos. Fig. 3333

-RECTÁNGULO. Tiene dos ángulos rectos. Fig. -RECTÁNGULO. Tiene dos ángulos rectos. Fig. 3434

-ISÓSCELES. Los dos lados no paralelos son iguales. Fig. -ISÓSCELES. Los dos lados no paralelos son iguales. Fig. 3535 -ESCALENO. Sus lados presentan magnitudes escalonadas. Fig. -ESCALENO. Sus lados presentan magnitudes escalonadas. Fig. 3636

TRAPEZOIDES. TRAPEZOIDES.

No tienen ningún par de lados paralelos. No tienen ningún par de lados paralelos.

-BIISÓSCELES. Los lados contiguos son iguales dos a dos. Los -BIISÓSCELES. Los lados contiguos son iguales dos a dos. Los ángulos opuestos son iguales. Fig.

ángulos opuestos son iguales. Fig. 3737

-ESCALENO. Sus lados presentan magnitudes escalonadas. Fig. -ESCALENO. Sus lados presentan magnitudes escalonadas. Fig. 3838

CONSTRUCCIÓN DE CUADRILÁTEROS. CONSTRUCCIÓN DE CUADRILÁTEROS.

El número de datos necesarios para poder resolver la construcción de polígonos es de El número de datos necesarios para poder resolver la construcción de polígonos es de 2n -3, en los cuadriláteros será de 5.

2n -3, en los cuadriláteros será de 5.

Atendiendo a sus diagonales, pueden descomponerse en triángulos y resolverse desde Atendiendo a sus diagonales, pueden descomponerse en triángulos y resolverse desde la resolución previa de estos triángulos.

la resolución previa de estos triángulos. PARALELOGRAMOS.

PARALELOGRAMOS.

1. Construcción del cuadrado conociendo: 1. Construcción del cuadrado conociendo:

 A. El

 A. El lado.lado. Fig. 39Fig. 39 B. La diagonal.

B. La diagonal. Mediante arco capaz de 90º. Fig. 40 Mediante arco capaz de 90º. Fig. 40 C. El radio de la circunferencia circunscrita.

C. El radio de la circunferencia circunscrita. La diagonal es igual al diámetro de laLa diagonal es igual al diámetro de la circunferenci

circunferencia a circunscrita. Fig.circunscrita. Fig. 4141

2. Construcción del paralelogramo rectángulo conociendo la diagonal y un lado.

2. Construcción del paralelogramo rectángulo conociendo la diagonal y un lado. Fig. 42Fig. 42 3. Construcción del rombo conociendo un lado y el ángulo contiguo.

3. Construcción del rombo conociendo un lado y el ángulo contiguo. Fig.Fig. 4343

4. Construcción del romboide conociendo un lado, el ángulo contiguo y una diagonal. 4. Construcción del romboide conociendo un lado, el ángulo contiguo y una diagonal. Fig.44

(6)

TRAPECIOS. TRAPECIOS.

1. Construcción del trapecio rectángulo, conociendo la base mayor, el lado oblicuo y el 1. Construcción del trapecio rectángulo, conociendo la base mayor, el lado oblicuo y el ángulo comprendido entre ambos.

ángulo comprendido entre ambos. Fig.Fig. 4545

2. Construcción del trapecio isósceles conociendo las bases y la altura.

2. Construcción del trapecio isósceles conociendo las bases y la altura. Fig.Fig. 4646 3. Construcción del trapecio escaleno conociendo sus cuatro lados.

3. Construcción del trapecio escaleno conociendo sus cuatro lados. Fig.Fig. 4747

TRAPEZOIDES. TRAPEZOIDES.

1. Construcción del trapezoide biisósceles conociendo los lados desiguales y el ángulo 1. Construcción del trapezoide biisósceles conociendo los lados desiguales y el ángulo comprendido.

comprendido. Fig.Fig. 4848

2. Construcción del trapezoide escaleno conociendo sus cuatro lados y la altura sobre 2. Construcción del trapezoide escaleno conociendo sus cuatro lados y la altura sobre uno de ellos. AB, base, h sobre AB.

uno de ellos. AB, base, h sobre AB. Fig.Fig. 4949

4. POLÍGONOS REGU

4. POLÍGONOS REGULA

LA RES.

RES.

ELEMENTOS.

ELEMENTOS.

-CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA. Circunferencia que pasa por los vértices del -CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA. Circunferencia que pasa por los vértices del polígono.

polígono.

-CIRCUNFERENCIA INSCRITA. Circunferencia tangente a los lados del polígono. -CIRCUNFERENCIA INSCRITA. Circunferencia tangente a los lados del polígono.

-CENTRO: El centro de las dos circunferencias antedichas es a su vez, centro del -CENTRO: El centro de las dos circunferencias antedichas es a su vez, centro del polígono.

polígono.

-RADIO: Distancia del centro a un vértice, radio de la circunferencia circunscrita. -RADIO: Distancia del centro a un vértice, radio de la circunferencia circunscrita.

(7)

-APOTEMA. Radio de la

-APOTEMA. Radio de la

circunferencia inscrita del polígono o circunferencia inscrita del polígono o perpendicular del centro a un lado del perpendicular del centro a un lado del polígono.

polígono.

-PERÍMETRO. Suma de las

-PERÍMETRO. Suma de las

longitudes de los lados. longitudes de los lados.

-LADO: Une dos vérttices -LADO: Une dos vérttices consecutivos. Su mediatriz pasa por el consecutivos. Su mediatriz pasa por el centro del polígono.

centro del polígono.

-DIAGONAL. Une dos vértices no -DIAGONAL. Une dos vértices no consecutivos, su mediatrriz pasa por el consecutivos, su mediatrriz pasa por el centro

centro del del polígono. polígono. Fig. Fig. 5050

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.

REGULARES.

1. POLÍGONOS QUE ADMITEN REPRESENTACIÓN EXACTA. 1. POLÍGONOS QUE ADMITEN REPRESENTACIÓN EXACTA.

 A.

 A. ConCon ococ ienien do do el el raradidi o.o. 1º. 3, 6, 12 LADOS. Fig. 1º. 3, 6, 12 LADOS. Fig. 5151 2º. 4, 8, 16 LADOS. Fig. 2º. 4, 8, 16 LADOS. Fig. 5252 3º. 5, 10 LADOS. Fig. 3º. 5, 10 LADOS. Fig. 5353

(8)

B. Conociendo el lado. B. Conociendo el lado. 1º. 5 LADOS. Figs. 1º. 5 LADOS. Figs. 54 A y B54 A y B 2º. 3, 6, 12 LADOS. Figs. 2º. 3, 6, 12 LADOS. Figs. 55 A, B y C.55 A, B y C. 3º. 4, 8, 16 LADOS. Fig. 3º. 4, 8, 16 LADOS. Fig. 56 A, B y C56 A, B y C

(9)

C. Conociendo la altura. C. Conociendo la altura.

-5 LADOS. -5 LADOS.

Dibujamos una recta, y le trazamos una perpendicular, a partir de ella llevamos la altura Dibujamos una recta, y le trazamos una perpendicular, a partir de ella llevamos la altura dada h obteniendo así los puntos dada h obteniendo así los puntos A y C.

A y C.

Con centro en A y radio A-C Con centro en A y radio A-C trazamos un arco que determina trazamos un arco que determina los ponutos N y B sobre la recta los ponutos N y B sobre la recta tomada.

tomada.

Calculamos la mediatriz del Calculamos la mediatriz del segmento N-A y trazamos un arco segmento N-A y trazamos un arco con centro en su punto medio M y con centro en su punto medio M y radio M-B hasta cortar en E a la radio M-B hasta cortar en E a la mediatriz.

mediatriz.

Trazamos el segmento E-N y a Trazamos el segmento E-N y a este una recta paralela C-F por el este una recta paralela C-F por el

punto C. Esta paralela es

punto C. Esta paralela es

diagonal del polígono. diagonal del polígono.

El segmento F-A tiene de El segmento F-A tiene de magnitud la mitad del lado magnitud la mitad del lado

buscado del pentagono.

buscado del pentagono.

Calculamos el simétrico de F Calculamos el simétrico de F respecto de A-C y obtenemos el punto G siendo F-G un lado del pentágono buscado.

respecto de A-C y obtenemos el punto G siendo F-G un lado del pentágono buscado. Conocido el lado A-C y el vértice C podemos construir el polígono. Fig.

Conocido el lado A-C y el vértice C podemos construir el polígono. Fig. 5757 2. POLÍGONOS QUE NO ADMITEN REPRESENTACIÓN EXACTA.

2. POLÍGONOS QUE NO ADMITEN REPRESENTACIÓN EXACTA.

 A.

 A. ConCon ococ ienien do do el el radrad io io r.r.

1º. 7, 14 LADOS. Trazamos un diámetro A-B y en uno de sus extremos un arco de radio 1º. 7, 14 LADOS. Trazamos un diámetro A-B y en uno de sus extremos un arco de radio R dado, obteniendo la cuerda M-N sobre la circunferencia. La magnitud MN/2 (X-M) es el R dado, obteniendo la cuerda M-N sobre la circunferencia. La magnitud MN/2 (X-M) es el valor del lado del HEPTÁGONO. Fig.

valor del lado del HEPTÁGONO. Fig. 58 A58 A

2º-9 LADOS. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre si. Con centro en los 2º-9 LADOS. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre si. Con centro en los extremos de uno de ellos (A-B), trazamos dos arcos de radio R en un mismo sentido, que extremos de uno de ellos (A-B), trazamos dos arcos de radio R en un mismo sentido, que cortan a la circunferencia en M y N. Con centro en A y B y radios B-M y A-N, trazamos dos cortan a la circunferencia en M y N. Con centro en A y B y radios B-M y A-N, trazamos dos arcos que se cortan en Ñ. Con centro en Ñ y radio B-Ñ, trazamos un arco que corta al arcos que se cortan en Ñ. Con centro en Ñ y radio B-Ñ, trazamos un arco que corta al diámetro D-C en X, el segmento D-X es igual a la magnitud del lado del ENEÁGONO. Fig. diámetro D-C en X, el segmento D-X es igual a la magnitud del lado del ENEÁGONO. Fig. 58

58 BB

3º-11 LADOS. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre si, A-B y C-D. Con centro 3º-11 LADOS. Trazamos dos diámetros perpendiculares entre si, A-B y C-D. Con centro en B y radio R trazamos un arco que corta a la circunferencia en M. Con centro en D y radio en B y radio R trazamos un arco que corta a la circunferencia en M. Con centro en D y radio R, trazamos otro arco que corta a la circunferencia en N. Con centro en M y radio M-N R, trazamos otro arco que corta a la circunferencia en N. Con centro en M y radio M-N trazamos un arco que corta al diámetro A-B en Ñ. La distancia N-Ñ es igual a la magnitud trazamos un arco que corta al diámetro A-B en Ñ. La distancia N-Ñ es igual a la magnitud del lado del polígono. Fig.

del lado del polígono. Fig. 58 C.58 C.

B. Conociendo el lado. Ab. B. Conociendo el lado. Ab.

1º. 7 LADOS. Prolongamos el segmento dado J-I en cualquier sentido y trazamos un 1º. 7 LADOS. Prolongamos el segmento dado J-I en cualquier sentido y trazamos un arco de centro en I y radio I-J que corta en S a la prolongación del segmento I-J y en N a arco de centro en I y radio I-J que corta en S a la prolongación del segmento I-J y en N a su mediatriz. Con centro en S y radio B-N (B=punto medio del segmento I-J), trazamos un su mediatriz. Con centro en S y radio B-N (B=punto medio del segmento I-J), trazamos un arco que corta al trazado anteriormente en G.

(10)

I-G es lado del heptágono, su mediatriz cortará a la mediatriz de I-J en el centro de la I-G es lado del heptágono, su mediatriz cortará a la mediatriz de I-J en el centro de la circunferencia circunscrita que trazaremos para llevar el lado a lo largo de ella. Fig.

circunferencia circunscrita que trazaremos para llevar el lado a lo largo de ella. Fig. 59 A.59 A. 2º. 9 LADOS. Trazamos la mediatriz deL lado dado K-L. Con centro en K o L y radio K-L 2º. 9 LADOS. Trazamos la mediatriz deL lado dado K-L. Con centro en K o L y radio K-L trazamos un arco que corta en X a la mediatriz. Con centro en X y el mismo radio trazamos trazamos un arco que corta en X a la mediatriz. Con centro en X y el mismo radio trazamos otro arco que corta en Y a la mediatriz. Con centro en Y y el mismo radio trazamos otro arco otro arco que corta en Y a la mediatriz. Con centro en Y y el mismo radio trazamos otro arco que corta en A a la mediatriz.

que corta en A a la mediatriz.

A-K es diagonal del polígono, su mediatriz determina sobre la mediatriz de I-J el centro A-K es diagonal del polígono, su mediatriz determina sobre la mediatriz de I-J el centro O de su circunferencia circunscrita que trazaremos para, sobre ella, llevar 9 veces el lado O de su circunferencia circunscrita que trazaremos para, sobre ella, llevar 9 veces el lado dado. Fig. dado. Fig. 59 B.59 B. 3. MÉTODOS GENERALES. 3. MÉTODOS GENERALES. Conociendo el radio r. Conociendo el radio r.

Trazamos la circunferencia de radio R y dividimos su diámetro A-B en un número de Trazamos la circunferencia de radio R y dividimos su diámetro A-B en un número de partes igual al número de lados que tenga el polígono que queramos dibujar, en el ejemplo partes igual al número de lados que tenga el polígono que queramos dibujar, en el ejemplo

7. Con centro en A y B trazamos dos arcos de radio A-B, en el mismo sentido, que se 7. Con centro en A y B trazamos dos arcos de radio A-B, en el mismo sentido, que se cortan en N. Desde N unimos mediante una recta con la segunda división de A-B y cortan en N. Desde N unimos mediante una recta con la segunda división de A-B y obtenemos en su corte con la circunferencia el punto C. El segmento AC es lado del obtenemos en su corte con la circunferencia el punto C. El segmento AC es lado del

polígono buscado. Fig. polígono buscado. Fig. 6161

Conociendo el lado AB. Conociendo el lado AB.

Con centro en A y B y radio A-B trazamos dos arcos que se cortan en O

Con centro en A y B y radio A-B trazamos dos arcos que se cortan en O66  sobre la  sobre la

mediatriz de A-B. Con centro en O

mediatriz de A-B. Con centro en O66  y radio A-O  y radio A-O66, trazamos un arco que corta en O, trazamos un arco que corta en O1122 a a lala

mediatriz. mediatriz.

Dividimos el segmento O

Dividimos el segmento O66-O-O1212en en 6 6 partes obtepartes obteniendo niendo OO77, , OO88, , OO99, , OO1100 Y Y OO1111. Si seguimos. Si seguimos

graduando la mediatriz con esta unidad obtenemos O

graduando la mediatriz con esta unidad obtenemos O1133, O, O1414, etc.. por encima y O, etc.. por encima y O55, , OO44.. por .. por 

debajo de O

(11)

Todos estos puntos calculados son centros de las circunferencias circunscritas de los Todos estos puntos calculados son centros de las circunferencias circunscritas de los polígonos que llevan su número. Trazamos la deseada y distribuimos el lado A-B por ella, polígonos que llevan su número. Trazamos la deseada y distribuimos el lado A-B por ella, en el ejemplo el heptágono. Esta construcción es aproximada. Fig.

en el ejemplo el heptágono. Esta construcción es aproximada. Fig. 6060

POLÍGONOS ES

POLÍGONOS ESTRELL

TRELLADOS.

ADOS.

CONCEPTO Y ELEMENTOS ESPECÍFICOS. CONCEPTO Y ELEMENTOS ESPECÍFICOS.

Si una circunferencia se divide en

Si una circunferencia se divide en nn  partes y se unen sucesivamente estas divisiones  partes y se unen sucesivamente estas divisiones (vértices), se obtiene un polígono regular convexo según hemos visto, pero si se unen de (vértices), se obtiene un polígono regular convexo según hemos visto, pero si se unen de dos en dos, de 3 en 3, etc.., estos vértices, los polígonos resultantes son cóncavos y dos en dos, de 3 en 3, etc.., estos vértices, los polígonos resultantes son cóncavos y estrellados.

estrellados.

-GÉNERO.g: Se denomina así al número de cuerdas o lados del polígono estrellado. -GÉNERO.g: Se denomina así al número de cuerdas o lados del polígono estrellado. El género coincide con el número de vértices del polígono por lo que un polígono El género coincide con el número de vértices del polígono por lo que un polígono estrellado se denomina igual que uno convexo (Con un género 5, pentágono estrellado = estrellado se denomina igual que uno convexo (Con un género 5, pentágono estrellado = pentágono).

pentágono).

-PASO.p: Número de divisiones de la circunferencia, que comprende cada lado del -PASO.p: Número de divisiones de la circunferencia, que comprende cada lado del polígono estrellado.

polígono estrellado.

-ESPECIE.e: En base al paso se establecen diversas especies, 1ª especie, si se unen -ESPECIE.e: En base al paso se establecen diversas especies, 1ª especie, si se unen los vértices de dos en dos, de 2ª especie si lo hacemos de 3 en 3 etc..

los vértices de dos en dos, de 2ª especie si lo hacemos de 3 en 3 etc..

POLÍGONOS ESTRELLADOS DE LOS CONVEXOS. POLÍGONOS ESTRELLADOS DE LOS CONVEXOS.

El número de polígonos estrellados que tiene un polígono regular convexo es el El número de polígonos estrellados que tiene un polígono regular convexo es el número de cifras primas con

número de cifras primas con él menoreél menores de su mitad.s de su mitad.

Estas cifras primas nos indican además el paso del polígono y por tanto su especie. Estas cifras primas nos indican además el paso del polígono y por tanto su especie.

Por ejemplo

Por ejemplo  en el  en el pentágonopentágono  dividimos 5 por dos (5/2 = 2.5) y observamnos que el  dividimos 5 por dos (5/2 = 2.5) y observamnos que el

número 2 es menor que la mitad de 5 (2.5) y primo de 5 pues 5 no es divisible entre él. número 2 es menor que la mitad de 5 (2.5) y primo de 5 pues 5 no es divisible entre él.

Podemos deducir por tanto que el pentágono tiene un solo polígono extrellado, y no Podemos deducir por tanto que el pentágono tiene un solo polígono extrellado, y no solo eso sino que, además, su paso es 2 (se van tomando los vértices de 2 en 2) pues 2 solo eso sino que, además, su paso es 2 (se van tomando los vértices de 2 en 2) pues 2 es el número primo resultante de la operación. El polígono así obtenido será por tanto de es el número primo resultante de la operación. El polígono así obtenido será por tanto de 1ª especie.

1ª especie.

Hexágono:

Hexágono:  6/2 = 3; 3, 2 y 1 no son primos de 6 pues los tres lo dividen sin generar   6/2 = 3; 3, 2 y 1 no son primos de 6 pues los tres lo dividen sin generar 

decimales. El hexágono no tiene ningún polígono estrellado pues de su mitad a 0 no tiene decimales. El hexágono no tiene ningún polígono estrellado pues de su mitad a 0 no tiene primos.

primos.

Heptágono:

Heptágono:  7/2   7/2 = 3= 3.5. Los .5. Los números 3 y 2 son los primos de 7. El heptnúmeros 3 y 2 son los primos de 7. El heptágono ágono tiene tiene dosdos

polígonos estrellados (dos primos) de pasos 2 y 3, o especies 1ª y 2ª. polígonos estrellados (dos primos) de pasos 2 y 3, o especies 1ª y 2ª.

CONSTRUCCIÓN. CONSTRUCCIÓN.

El triángulo no tiene polígono estrellado. El triángulo no tiene polígono estrellado. El cuadrado no tiene polígono estrellado. El cuadrado no tiene polígono estrellado. El pentágono uno de 1ª especie.

El pentágono uno de 1ª especie. El hexágono ninguno.

El hexágono ninguno.

El heptágono dos, de 1ª y 2ª especie. El heptágono dos, de 1ª y 2ª especie. El octógono uno, de 2ª especie.

El octógono uno, de 2ª especie. El eneágono dos, de 1ª y 2ª especie. El eneágono dos, de 1ª y 2ª especie.

El decágono uno, de 2ª especie, falla la regla: Tenemos 10/2 = 5, los números 4 y 3 El decágono uno, de 2ª especie, falla la regla: Tenemos 10/2 = 5, los números 4 y 3 son primos y menores que su mitad si bién solo podremos trazar un polígono estrellado de son primos y menores que su mitad si bién solo podremos trazar un polígono estrellado de 2ª especie.

2ª especie.

Con once vértices 4 polígonos estrellados, de 1ª, 2ª, 3ª y 4ª especie. Con once vértices 4 polígonos estrellados, de 1ª, 2ª, 3ª y 4ª especie.

El dodecágono un estrellado, uniendo sus vértices de 5 en 5 o 4ª especie. Fig. El dodecágono un estrellado, uniendo sus vértices de 5 en 5 o 4ª especie. Fig. 6262

(12)

Fig. 58. Fig. 58.

RELACIÓN ÁUREA ENTRE LOS POLÍGONOS ESTRELLADOS Y LOS CONVEXOS RELACIÓN ÁUREA ENTRE LOS POLÍGONOS ESTRELLADOS Y LOS CONVEXOS CORRESPONDIENTES.

CORRESPONDIENTES.

EQUIVALENCIAS.

EQUIVALENCIAS.

(13)
(14)

Índice Índice 1. DE

1. DEFIFININICIÓCIÓN Y N Y TITIPOPOS DE POLS DE POLÍGOÍGONOSNOS... ... ... ... ... ... ... ... 11

DEFINICIÓN...1

DEFINICIÓN...1

EL ELEMEEMENTNTOS GENOS GENERERALALES DE UN POLÍES DE UN POLÍGOGONONO.... ... ... ... ... ... ... ... ... 11

CL CLASASIFIFICICACACIÓIÓN DE LON DE LOS POLS POLÍGÍGONONOSOS... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 11

2. 2. TRTRIÁIÁNGNGULULOSOS.. ...1...1

DE DEFIFININICICIÓN ÓN Y Y DEDESISIGNGNACACIÓIÓN.N. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11

PR PROPOPIEDIEDADADES ES FUFUNDNDAMAMENENTATALESLES.... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11

CL CLASASIFIFICICACACIÓIÓN N DE LOS TRIDE LOS TRIÁNÁNGUGULOLOS.S... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 11

SE SEGÚGÚN N LOLOS S LALADODOSS ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11

SEGÚN LOS ÁNGULOS...2

SEGÚN LOS ÁNGULOS...2

RE RECTCTAS NOTAS NOTABABLELES S Y Y CECENTRNTROS DEL TRIÁOS DEL TRIÁNGNGULULO.O. ... ... ... ... ... ... ... 22

TR TRIÁIÁNGNGULULOS OS NONOTATABLBLESES.. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22

CO CONSNSTRTRUCUCCICIÓN ÓN DE DE TRTRIÁIÁNGNGULOULOS.S. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 33

3. CUADRILÁTEROS...4

3. CUADRILÁTEROS...4

DE DEFIFININICICIÓNÓN, , ELELEMEEMENTNTOS OS Y Y DEDESISIGNGNACACIÓIÓN.N... ... ... ... ... ... ... ... .... 44

CL CLASASIFIFICICACACIÓIÓN.N. ...4...4

PARALELOGRAMOS...4

PARALELOGRAMOS...4

TR TRAPAPECECIOIOS...S... 55

TRAPEZOIDES...5

TRAPEZOIDES...5

CO CONSNSTRTRUCUCCICIÓN ÓN DE DE CUCUADADRIRILÁLÁTERTEROSOS... ... ... ... ... ... ... ... ... 55

PARALELOGRAMOS...5

PARALELOGRAMOS...5

TR TRAPAPECECIOIOS...S... 6 6  TRAPEZOIDES...6 

TRAPEZOIDES...6 

4. 4. POLPOLÍGOÍGONOS NOS REGREGULULAREARES.S. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 66

EL ELEMEMENENTOTOS...S... 66

CO CONSNSTRTRUCUCCICIÓN ÓN DE DE POLPOLÍGÍGONONOS OS REREGUGULALARERES...S... ... ... ... ... ... ... ... 77

1. PO 1. POLÍGOLÍGONOS QNOS QUE AUE ADMIDMITEN RTEN REPREPRESEESENTANTACIÓCIÓN EXN EXACTACTA...A... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 7 7  A. A. ConoConocienciendo do el el radiradio.o. ...7...7

B. Conociendo el lado...8

B. Conociendo el lado...8

C. C. ConoConocienciendo do la la altualtura.ra. ...9....9

2. PO 2. POLÍGOLÍGONOS QNOS QUE NO UE NO ADMADMITEITEN REN REPREPRESENSENTACTACIÓN EIÓN EXACXACTA.TA. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 99

A. Conociendo el radio r...9

A. Conociendo el radio r...9

B. B. ConoConocienciendo do el el ladolado. . Ab.Ab. ...9...9

3. MÉTODOS GENERALES... 10

3. MÉTODOS GENERALES... 10

Conociendo el radio r...10

Conociendo el radio r...10

Cono Conocieciendo ndo el el lado lado AB...AB...10...10

POL

POLÍGOÍGONOS NOS ESTESTRELRELLADLADOS.OS... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1111 CO

CONCNCEPTEPTO Y ELEMO Y ELEMENENTOS ETOS ESPESPECÍCÍFICFICOS...OS... ... ... ... ... ... ... ... .. 1111 PO

POLÍLÍGOGONONOS S ESTESTRERELLALLADODOS S DE LOS DE LOS COCONVNVEXEXOSOS.... ... ... ... ... ... ... ... 1111 CO

CONSNSTRUTRUCCCCIÓNIÓN... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1111 RELACIÓN ÁUREA ENTRE LOS POLÍGONOS ESTRELLADOS Y LOS CONVEXOS

RELACIÓN ÁUREA ENTRE LOS POLÍGONOS ESTRELLADOS Y LOS CONVEXOS CO

CORRRRESPESPONDONDIENIENTESTES... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1212 EQ

Referencias

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