CLASE # 3 Coeficientes de Fourier y Simetrías de Onda

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#

# 1010 COMPETENCIA:

COMPETENCIA: Manejar los Manejar los conceptconceptos de ESPECTROS DE os de ESPECTROS DE AMPLITUD Y FAMPLITUD Y FASE.ASE. TTema: ema: SIMETRÍAS DE SIMETRÍAS DE ONDA ONDA Y Y CÁLCULO DE CÁLCULO DE COEFICIENCOEFICIENTES TES DE DE FOURIER.FOURIER.

CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER 

CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER 

En la

En la clase

clase anterior

anterior trabajamos

trabajamos la de

la definición

finición de

de SERIE DE

SERIE DE FOURIER

FOURIER para un

para una onda

a onda o señ

o señal

al

  periódica.

  periódica. Esta

Esta definición

definición fue obtenida

fue obtenida por 

por  J.B.J. FOURIER

 J.B.J. FOURIER, , un

un investigador

investigador francés

francés del

del siglo

siglo

XIX,

XIX, que

que trabajaba

trabajaba sobre

sobre el

el flujo

flujo de

de calor.

calor.

Seg

Según

ún la

la def

defini

inició

ción

n de

de la

la SER

SERIE

IE DE

DE FOU

FOURIE

RIER,

R,

cual

cualquie

quier

r seña

señal l peri

periódic

ódicaa

pued

puede

e ser 

ser 

representada

representada como

como la

la suma

suma de:

de:

Un

Un valor

valor constante (llamado

constante (llamado nivel

nivel DC),

DC), más

más una

una sumatoria

sumatoria

infinita

infinita de

de ondas

ondas coseno

coseno (llamados

(llamados ARMONICOS

ARMONICOS COSENO),

COSENO), más

más una

una sumatoria

sumatoria infinita

infinita de

de

ondas seno

ondas seno (llamados

(llamados ARMONICOS SENO).

ARMONICOS SENO).

Est

Estos armó

os armónic

nicos en

os en el sen

el seno

o y

y co

cosen

seno,

o, ti

tiene

enen

n una ca

una carac

racte

terís

rístic

tica

a es

espec

pecial

ial, , su

sus

s res

respec

pecti

tivas

vas

frecuencias angulares:

frecuencias angulares:

nn

, , son

son múltiplos

múltiplos enteros

enteros de

de la

la frecuencia

frecuencia angular

angular fundament

fundamental

al

00

de

de la

la señal

señal original,

original, o

o sea

sea que:

que:

w

w

nn

==

nn **

w

w

00

. Dónde

. Dónde

nn representa a todos los números

representa a todos los números

enteros

enteros positivos

positivos. .

Lo

Lo que

que introduce

introduce la

la idea

idea de

de que,

que, una

una señal

señal periódica

periódica con

con una

una frecuencia

frecuencia

angular

angular fundamenta

fundamentall w

w

00

, tiene

, tiene intrínsecame

intrínsecamente

nte contenidas

contenidas, , frecuencias angulares que están

frecuencias angulares que están

armónicamente

armónicamente relacionadas entre sí.

relacionadas entre sí.

Recordemo

Recordemos

s la

la definición para

definición para una

una señal

señal periódica

periódica cualquiera,

cualquiera, llamada

llamada  f (t):

 f (t):

+∞

+∞

 f (t)

 f (t) ==

aa

00

++

{{

[[

aa

nn

* Cos (

* Cos (

nn

00

t t ) ]

) ]

++

[[

 b

 b

nn

* Sen (

* Sen (

nn

00

t t )

) ]]

}}

nn = 1

= 1

O

O lo

lo que

que es

es lo

lo mismo,

mismo, por que

por que

w

w

nn

==

nn **

w

w

00

::

+∞

+∞

 f (t)

 f (t) ==

aa

00

++

{{

[[

aa

nn

* Cos (

* Cos (

nn

t t ) ]

) ]

++

[[

 b

 b

nn

* Sen (

* Sen (

nn

t t )

) ]]

}}

nn = 1

= 1

Para

Para una

una señal

señal periódica

periódica  f (t)

 f (t) en p

en particular

articular, , el

el período

período

T

T es

es conocido

conocido y su frec

y su frecuencia a

uencia angular 

ngular 

fundamental

fundamental w 

00

también es

también

es conocida

conocida por

por que

que se

se puede

puede calcular

calcular por

por fórmula.

fórmula.

Pero,

Pero,

¿¿

Cómo

Cómo

 podemos

 podemos calcular

calcular los

los respectivos

respectivos valores

valores de

de

aa

00

 , ,

aa

nn

 , ,

bb

nn

??

 . .

L

Los valores de

os valores de

aa

00

,,

aa

nn

,,

 b

 b

nn

conocidos c

conocidos como los COEFICIE

omo los COEFICIENTES DE FOURIER,

NTES DE FOURIER, pueden ser 

pueden ser 

calculados utilizando fórmulas que más adelante se detallan.

calculados utilizando fórmulas que más adelante se detallan.

(2)

#

# 1010

SIMETRÍAS DE ONDA

SIMETRÍAS DE ONDA

Son propi

Son propiedadeedades interess interesantes de laantes de las ondas o funcs ondas o funciones periones periódiciódicas as que que permipermiten simpten simplificalificar r la evalula evaluación de loación de loss llamados COEFICIENTES DE FOURIER 

llamados COEFICIENTES DE FOURIER 

:: aa

00

, , aa

nn

,, bb

nn ..

 SIMETRÍA PAR:

 SIMETRÍA PAR:

Se dice que una señal periódicaSe dice que una señal periódica  f(t) f(t) tiene tiene SIMETRIA SIMETRIA PPAR, AR, cuando cuando cumple cumple la la siguientesiguiente condición:

condición: Para Para unun t t  dadodado , ,

 f ( 

 f ( t t )

) =

= f f (

( -- t t  ).

).

 SIMETRÍA IMPAR:

 SIMETRÍA IMPAR:

Se dice que una señal periódicaSe dice que una señal periódica  f(t) f(t) tiene tiene SIMETRIA SIMETRIA IMPIMPAR, AR, cuando cuando cumple cumple lala siguiente

siguiente condición: condición: Para Para unun t t  dadodado , ,

f ( 

f ( t t )

) =

= -- f ( -

f ( - t t ).

).

 SIMETRÍA DE MEDIA ONDA

 SIMETRÍA DE MEDIA ONDA::

Se dice que una señal periódicaSe dice que una señal periódica  f(t) f(t) tiene SIMETRIA MEDIA ONDA,tiene SIMETRIA MEDIA ONDA, cuando

cuando cumple cumple la sla siguiente iguiente condición: condición: Para Para unun t t dadodado , ,

f ( 

f (  t t  ) =

) = --  f ( 

 f (  t t  +

+ { 

{ T

T/2

/2  } ).

  } ).

 EJEMPLO 1

 EJEMPLO 1:: ¿ Qué tipo de simetría de

¿ Qué tipo de simetría de onda tiene la siguiente señal

onda tiene la siguiente señal f ( t )

f ( t ) ??

• Evaluemos primero si tieneEvaluemos primero si tieneSIMETRÍA PAR:SIMETRÍA PAR: Si la Si la tiene, tiene, debe cumplir debe cumplir la condiciónla condición::

f (

f ( t )

t ) =

= f (

f ( - t

- t ).

).

Sele

Seleccionccionamos amos un un tiempotiempo t t  arbitrariamentearbitrariamente para evaluar la condición, esto puede hacerse por que lapara evaluar la condición, esto puede hacerse por que la condición,

condición, debe cumplirsdebe cumplirse para e para todo el todo el dominio. dominio. Sin Sin embargo, embargo, la recomendala recomendación es ción es que se que se utilicenutilicen t t  talestales que

que coincidan coincidan con con valores valores máximos máximos o o mínimos mínimos de la de la funciónfunción

 f.

 f.

Seleccionemos:

Seleccionemos: tt = = (( л/2л/2 )) Evaluamos la

Evaluamos la función función para esepara ese t,t, observando la gráficaobservando la gráfica

::

 f ( 

 f ( t t )) =

=  f ( 

 f ( л/2

л/2  )

 )

=

= 55

Evaluamos

Evaluamos también también la la función función para para elel - t- t ::

 f 

 f ( 

( -t 

-t  )

 ) ==  f ( 

 f ( --

л/2

л/2   ) = -

  ) = -55

Preguntém

Preguntémonos

onos si

si la

la señal

señal  f ( t )

 f ( t ) cumple la condición:

cumple la condición:

¿¿  f 

 f ( 

( t t  )

 ) =

=  f 

 f ( 

( - t 

- t  )

 ) ??

¿¿  f ( 

 f ( л/2

л/2  )

 ) =

=  f 

 f ( 

( --

л/2

л/2  )

 ) ??

¿

¿ 5 =

5 = -

- 5 ?

5 ? NO!!!

NO!!!

La

La

respuesta es querespuesta es que NO NO  se cumple la condición se cumple la condición

, , por

por lo

lo tanto

tanto  f ( t )

 f ( t )

NO

NO tiene simetría PAR.

tiene simetría PAR.

• Evaluemos ahora si tieneEvaluemos ahora si tieneSIMETRÍA IMPAR,SIMETRÍA IMPAR, si la tiene debe cumplir la condiciónsi la tiene debe cumplir la condición::

 f 

 f ( 

( t t  )

 ) =

= -- f ( 

 f ( -t 

-t  )

 ) . .

Seleccionamos un tiempo

Seleccionamos un tiempo t t arbitrariamente para evaluar la condición,arbitrariamente para evaluar la condición,:: Seleccionemos:

Seleccionemos: tt = = 3 [3 [л/2л/2 ]] Evaluamos la

Evaluamos la función función para esepara ese t,t, observando la gráfica:observando la gráfica:

 f

 f ( 

( t t )) =

=  f

 f ( 

(  3 [ 

3 [ л/2

л/2 ] 

 ]  )

 ) =

= -- 55

Evaluamos

Evaluamos también también la la función función para para elel - t- t ::

 f

 f ( 

(  - t 

- t  )

 ) ==  f

 f ( 

(  -

- 3 [ 

3 [ 

л/2

л/2 ]]  )

 ) =

= 55

Preguntém

Preguntémonos

onos si

si la

la señal

señal  f ( t )

 f ( t ) cumple la condición:

cumple la condición: ¿¿  f 

 f (

( t t  )

 ) =

= --  f 

 f  ( - t 

( - t  )

 ) ??

¿¿  f 

 f  ( 3[ 

( 3[ л/2

л/2]] )) =

= --  f 

 f  ( - 3[ 

( - 3[ л/2

л/2 ]] )

 ) ??

¿

¿ - 5

- 5 =

= -

- (

( 5

5 )

) ?

? SI!!!

SI!!!

La

La

respuesta es querespuesta es que SI  SI  se cumple la condición se cumple la condición

, por lo tanto

, por lo tanto  f ( t )

 f ( t )

SI

SI tiene

tiene simetría IMP

simetría IMPAR

AR !!.

!!.

f = f ( t )

f = f ( t )

t (seg)

t (seg)

-5 -5 л/2 л/2 2л 2л -л/2 -л/2 -л -л -2л -2л 55 3л/2 3л/2 - 3л/2 - 3л/2 5л/25л/2

T =

T =

2л seg.2л seg.

(3)

#

# 1010

COEFICIENTES DE

COEFICIENTES DE FOURIER

FOURIER SEGÚN LAS

SEGÚN LAS SIMETRÍAS DE

SIMETRÍAS DE ONDA

ONDA

f

f ( ( t t ): ): Señal Señal periódica.periódica. d

d : : Punto Punto de de inicio inicio del del período período seleccionado.seleccionado. T:

T: VValor alor del del período período de de la la señal f señal f ( ( t t ) ) ..

nn

::

VValor de la alor de la frecuencia angular del armónico número frecuencia angular del armónico número n.n. wwnn == nn ** ww00..

COEFICIENTE

COEFICIENTES P

S PARA

ARA ONDAS

ONDAS SIN NINGÚN TIPO DE SIMETRÍA

SIN NINGÚN TIPO DE SIMETRÍA DETECTADA

DETECTADA::

( d + T ) ( d + T )

aa

00

=

= (( 11

)

) **

∫∫

f

f (

( t t )

) dt

dt

T

T

dd ( d + T ) ( d + T )

aa

nn

=

=

(( 22

)

) **

∫∫

f ( t ) * Cos (

f ( t ) * Cos (

nn

t t )

) dt

dt

;;

Para todas las n.

Para todas las n.

T

T

dd

( d + T ) ( d + T )

 b

 b

nn

=

=

(( 22

)

) **

∫∫

f ( t ) * Sen (

f ( t ) * Sen (

nn

t t )

) dt

dt

;;

Para todas las n.

Para todas las n.

T

T

dd

COEFICIENTE

COEFICIENTES

S P

PARA

ARA ONDAS

ONDAS CON

CON SIMETRÍA

SIMETRÍA P

PAR:

AR:

( ( d d + + {T/2} {T/2} ))

aa

00

=

= (( 22

)

) **

∫∫

f

f (

( t t )

) dt

dt

T

T

dd ( d + {T/2} ) ( d + {T/2} )

aa

nn

=

= (( 44

)

) **

∫∫

f (

f ( t )

t ) *

* Cos (

Cos (

nn

t t )

) dt

dt

;;

Para todas las n.

Para todas las n.

T

T

dd

 b

 b

nn

=

= 00

;;

Para todas las n.

Para todas las n.

COEFICIENTES PARA ONDAS CON SIMETRÍA IMPAR:

COEFICIENTES PARA ONDAS CON SIMETRÍA IMPAR:

aa

00

=

=

00

aa

nn

=

=

00

;;

Para todas las n.

Para todas las n.

( d + {T/2} ) ( d + {T/2} )

 b

 b

nn

=

= (( 44

)

) **

∫∫

f (

f ( t )

t ) *

* Sen (

Sen (

nn

t t )

) dt

dt

;;

Sólo

Sólo para l

para las

as n im

n impares.

pares.

T

T

dd

 b

 b

nn

=

=

00

;;

Para las n pares.

Para las n pares.

CONSULTA:

CONSULTA: PPara

ara la pró

la próxima cl

xima clase,

ase, averigüe

averigüe cuales

cuales son l

son las fór

as fórmulas q

mulas que per

ue permiten c

miten calcular 

alcular 

los coeficientes de

los coeficientes de fourier:

fourier:

aa

00

 , ,

aa

nn

 , ,

bb

nn

 ,

 , para l

para las

as señales

señales periódicas

periódicas que ti

que tienen S

enen SIMETRÍA D

IMETRÍA DE 

MEDIA ONDA.

MEDIA ONDA.

(4)

#

# 1010

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DE FOURIER 

EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DE FOURIER 

 EJEMPLO 1

 EJEMPLO 1::

Considere la siguiente señal periódica

Considere la siguiente señal periódica V ( t 

V ( t ),

), que no

que no tiene ninguna

tiene ninguna simetría

simetría

de

de onda

onda conocida.

conocida. Calcule

Calcule la

la SERIE DE

SERIE DE FOURIER corr

FOURIER correspondiente a

espondiente a V

V (

( t t )

) hasta

hasta n=3.

n=3.

Recordemos que la f

Recordemos que la fórmula generali

órmula generalizada para las SERIES DE FOU

zada para las SERIES DE FOURIER

RIER es:

es:

+∞

+∞

 f(t)

 f(t) ==

aa

00

++

{{

[[

aa

nn

* Cos (

* Cos (

nn

00

t t ) ]

) ]

++

[[

 b

 b

nn

* Sen (

* Sen (

nn

00

t t )

) ]]

}}

nn = 1

= 1

  Nuestra

  Nuestra función función no se no se llamallama

 f(t)

 f(t)

sinosino

V( t )

V( t )

y y tiene tiene unauna w w 00 = (= ( л л/2/2) ) (rad/s(rad/seg) eg) == 1.571.57 (rad/seg). (rad/seg). Como Como elel

  problema nos

  problema nos limita la limita la representación representación hastahasta n=3n=3, , entonces entonces la la fórmula fórmula de de la la SERIE SERIE DE DE FOURIER FOURIER puede puede re- re-escribirse como

escribirse como

::

33

V(t)

V(t) ==

aa

00

++

{{

[[

aa

nn

* Cos (

* Cos (

nn

**

1.57

1.57

**

t t ) ]

) ]

++

[[

 b

 b

nn

* Sen (

* Sen (

n *1.57

n *1.57* t 

* t )

) ]]

}}

nn = 1

= 1

V(t)

V(t) ==

aa

00

++ [[

aa

11

* Cos (

* Cos (

11

**

1.57

1.57

**

t t )

) ]

] +

+ [[

aa

22

* Cos (

* Cos (

2*1.57*

2*1.57* t t )

) ]

] ++ [[

aa

33

* Cos (

* Cos (

3*1.57*

3*1.57* t )

t ) ]]

+

+ [[

 b

 b

11

* Sen (

* Sen (

1*1.57*

1*1.57* t t )

) ]

] +

+ [[

 b

 b

22

* Sen (

* Sen (

2*1.57*

2*1.57* t ) ] + [

t ) ] + [

 b

 b

33

* Sen (

* Sen (

3*1.57*

3*1.57* t t )

) ]]

Observe que en las SE

Observe que en las SERIES DE FOURIERIES DE FOURIER, R, después de reemplazar el después de reemplazar el valor de lavalor de la

00

,,

lo único que queda pendientelo único que queda pendiente

  por

  por calcular, calcular, son son loslos

COEFICIENTES DE FOURIER:

COEFICIENTES DE FOURIER:

aa

00

, , aa

nn

,, bb

nn.. Para ello se utilizan las fórmulasPara ello se utilizan las fórmulas

según s

según sea la ea la simetría de simetría de onda. onda. En este En este caso particcaso particular comoular como

V(t)

V(t)

no tiene no tiene simetrías de simetrías de onda, onda, utilizamos la utilizamos la tabla detabla de fórmulas para las funciones que no tienen simetría de onda.

fórmulas para las funciones que no tienen simetría de onda. Para

Para utilizar utilizar las las fórmulas, fórmulas, previamente previamente es es necesario necesario definir definir el el punto punto de de inicioinicio dd  para el período, para el período, luego calcular luego calcular 

el

el

( d + T )

( d + T )

,, y y encontrar la encontrar la ecuación qecuación que corresponde ue corresponde a laa la

 f ( t )

 f ( t ) == V (t

V (t

)) en el intervalo de integraciónen el intervalo de integración

::

1.

1. Arbit

Arbitraria

rariament

mente esco

e escogemos u

gemos un punt

n punto de ini

o de inicio de

cio del perío

l período:

do:

dd =

= 00

22.. Y

Ya

a qquuee

T

T =

= 4

4 seg.,

seg., puede calcularse

puede calcularse entonces:

entonces:

( d + T )

( d + T )

= = 0 +0 +44 == 44

3.

3. Y

Y obse

observand

rvando e

o el in

l interv

tervalo

alo de

de inte

integrac

gración,

ión, enco

encontram

ntramos

os que

que la

la seña

señal l V

V ( t

( t ) ti

) tiene

ene como

como

ecuaciones

ecuaciones, , a

a las

las siguiente

siguientes

s rectas

rectas que

que tienen

tienen pendiente

pendiente igual

igual a

a cero

cero y

y solo

solo tienen

tienen

intercepto con el eje vertical:

intercepto con el eje vertical:

entre :

entre :

0 < t < 1

0 < t < 1, ,

: :

V

V ==

V

V (

( t t )

) ==

10

10 voltios.

voltios.

entre :

entre :

1 < t < 4

1 < t < 4, ,

: :

V

V ==

V

V (

( t t )

) ==

00 voltios.

voltios.

 Para enco

 Para encontrar el nive

ntrar el nivel DC de la

l DC de la señal periód

señal periódica

ica V ( t )

V ( t ) usamos la

usamos la fórmula:

fórmula:

V =

V = V

V t

t

V

Voollttiiooss..

tt

sese .. 10 voltios 10 voltios 11 44 55 88 99

T

(5)

# # 1010 ( d + T ) ( d + T ) 4 4 44

aa

00

=

= (( 11

)

) **

∫∫

f ( t )

f ( t ) dt

dt ==

((

1 ) **

1 )

∫∫

V(t)

V(t) dt

dt ==

((

1 )

1 ) **

∫∫

10

10 dt

dt

T

T

dd

44

00

44

00 11 44 1 1 11

aa

00

= 0.25

= 0.25

**

{ ∫

{ ∫

10

10 dt

dt

++

∫∫

00 dt

dt

}}

=

= (

( 0.25*10

0.25*10 )

) **

∫∫

dt =

dt =

2.5

2.5 **

{{

tt

}}

0 0 1 1 0 0 00

aa

00

=

= 2.5

2.5 *

* { 1

{ 1 – 0 }

– 0 } =

= 2.5

2.5 *

* {

{ 1

1 }

} =

= 2.5

2.5

aa

00

= 2.5 voltios. ;

= 2.5

voltios. ;

Este

Este es

es el

el nivel

nivel DC

DC de

de la

la señal

señal V

V (

( t

t ).

).

Si

Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar  el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando

comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>a0=0.25*int(10,t,0,1); >>a0=0.25*int(10,t,0,1); >>pretty(a0) >>pretty(a0) •

 Para

 Para encontrar

encontrar los co

los coeficientes

eficientes

aa

nn

se utiliza la

se utiliza la siguiente fórmula:

siguiente fórmula:

( d + T ) ( d + T )

aa

nn

=

=

(( 22

)

) **

∫∫

f ( t ) * Cos (

f ( t )

* Cos (

nn

t t )

) dt

dt

;;

Se cumple Para todas las n.

Se cumple Para todas las n.

T

T

dd

 Entonces,

 Entonces, para el

para el caso en

caso en que

que n=1

n=1 tenemos:

tenemos:

44

aa

11

=

=

(( 22

)

) **

∫∫

V ( t )

V ( t ) * Cos (

* Cos (

11

t t )

) dt

dt

;;

Se cumple para la n = 1.

Se cumple para la n = 1.

44

00

11 44

aa

11

=

=

0.5

0.5

**

{{

∫∫

10

10 * Cos (

* Cos (

11

*1.57*

*1.57* t t )

) dt

dt

+

+ ∫∫

00 * Cos (

* Cos (

11

*1.57*

*1.57* t t )

) dt

dt

}}

0

0 11

1

1 11

aa

11

=

=

0.5

0.5

**

{{

∫∫

10

10 * Cos (

* Cos (1.57*

1.57* t t )

) dt

dt

}}

= 0.5*

= 0.5*10

10 **

∫∫

Cos (

Cos (1.57*

1.57* t t )

) dt

dt

0

0 00

1

1 1 1 11

aa

11

=

= 5 *

5 *

∫∫

Cos (

Cos (

1.57*

1.57* t t ) ) dt

dt =

= 5

5 **

{{

Sen (1.57*

Sen (

1.57* t t ))

}}

=

= 3.18

3.18 **

{{

Sen (

Sen (1.57*

1.57* t t ))

}}

00

1.57

1.57

00 00

aa

11

= 3.18 *

= 3.18 *

{{

Sen (

Sen (1.57*

1.57* 1 )

1 )

-- Sen (

Sen (1.57*

1.57* 0 )

0 )

}}

= 3.18

= 3.18

aa

11

= 3.18 voltios. ;

= 3.18

voltios. ;

Esta es la amplitud del ARMONIC

Esta es la amplitud

del ARMONICO número 1 en

O número 1 en el coseno.

el coseno.

Si

Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar  el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando

comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>a1=0. 5*int(10*cos(1.57*t),t,0,1); >>a1=0. 5*int(10*cos(1.57*t),t,0,1); >>pretty(a1) >>pretty(a1)

 Entonces,

(6)

#

# 1010

44

aa

22

=

=

(( 22

)

) **

∫∫

V ( t )

V ( t ) * Cos (

* Cos (

22

t t )

) dt

dt

;;

Se cumple Para la n = 2.

Se cumple Para la n = 2.

44

00

11 44

aa

22

=

=

0.5

0.5

**

{{

∫∫

10

10 * Cos (

* Cos (

22

*1.57*

*1.57* t t )

) dt

dt

+

+ ∫∫

00 * Cos (

* Cos (

22

*1.57*

*1.57* t t )

) dt

dt

}}

0

0 11

1

1 11

aa

22

=

=

0.5

0.5

**

{{

∫∫

10

10 * Cos (

* Cos (

3.14 

3.14 

** t t )

) dt

dt

}}

=

= 0.5*10

0.5*10 **

∫∫

Cos (

Cos (

3.14 

3.14 

** t t )

) dt

dt

0

0 00

1

1 1 1 11

aa

22

=

= 5 *

5 *

∫∫

Cos (

Cos (

3.14*

3.14* t t ) dt = 5 *

) dt = 5 *

{{

Sen (

Sen (3.14*

3.14* t t ))

}}

=

= 1.59

1.59 **

{{

Sen (

Sen (3.14*

3.14* t t ))

}}

00

3.14

3.14

00 00

aa

22

= 1.59 *

= 1.59 *

{{

Sen (

Sen (3.14*

3.14* 1 )

1 )

-- Sen (

Sen (3.14*

3.14* 0 )

0 )

}}

=

= 00

aa

22

= 00 voltios. ;

=

voltios. ;

Esta es la amplitud del ARMONIC

Esta es la amplitud

del ARMONICO número 2 en el

O número 2 en el coseno.

coseno.

Si

Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar  el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando

comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>a2=0. 5*int(10*cos(3.14*t),t,0,1); >>a2=0. 5*int(10*cos(3.14*t),t,0,1); >>pretty(a2) >>pretty(a2)

 Entonces,

 Entonces, para el

para el caso en

caso en que

que n=3

n=3 tenemos:

tenemos:

44

aa

33

=

=

(( 22

)

) **

∫∫

V ( t )

V ( t ) * Cos (

* Cos (

33

t t )

) dt

dt

;;

Se cumple Para la n=3.

Se cumple Para la n=3.

44

00

Defina

Defina y

y realice

realice USTED

USTED esta

esta integral

integral y

y deberá

deberá obtener

obtener como

como resultado

resultado ::

aa

33

=

=

-1.06

-1.06 voltios.

voltios.

;

;

Esta es

Esta

es la

la amplitud

amplitud del

del ARMONICO

ARMONICO número

número 3

3 en

en el

el coseno.

coseno.

 El resumen de los coeficientes

 El resumen de los coeficientes

aa

00

 y

 y

aa

nn

calculados

calculados hasta

hasta n

n =

= 3,

3, es

es el

el siguiente:

siguiente:

aa00 = 2.5= 2.5 voltios. ;voltios. ; Es Es nivel nivel DC DC de de la la señal señal V V ( ( t t ).).

aa11 = 3.18= 3.18 voltios. ;voltios. ; Es la amplitud del ARMONICO número 1 en el Es la amplitud del ARMONICO número 1 en el coseno.coseno.

aa22 = = 00 voltios. ;voltios. ; Es la amplitud del ARMONICO número 2 en el Es la amplitud del ARMONICO número 2 en el coseno.coseno.

(7)

#

# 1010

 Para

 Para encontrar

encontrar los co

los coeficientes

eficientes

bb

nn

se utiliza la

se utiliza la siguiente fórmula:

siguiente fórmula:

( d + T ) ( d + T )

 b

 b

nn

=

=

(( 22

)

) **

∫∫

f ( t ) * Sen (

f ( t ) * Sen (

nn

t t )

) dt

dt

;;

Se cumple Para todas las n.

Se cumple Para todas las n.

T

T

dd

 Entonces,

 Entonces, para el

para el caso en

caso en que

que n=1

n=1 tenemos:

tenemos:

44

 b

 b

11

=

=

(( 22 )

) **

∫∫

V

V ( t ) * Sen (

( t ) * Sen (

11

t t )

) dt

dt

;;

Se cumple Para la n = 1.

Se cumple Para la n = 1.

44

00 44

 b

 b

11

=

=

0.5

0.5**

{{

∫∫

V

V ( t ) * Sen (

( t ) * Sen (

1*1.57* 

1*1.57* 

t t )

) dt

dt

}}

00 1 1 44

 b

 b

11

=

=

0.5

0.5**

{{

∫∫

10

10 * Sen (

* Sen (

1.57* 

1.57* 

t t )

) dt

dt

++

∫∫

00 * Sen (

* Sen (

1.57* 

1.57* 

t t )

) dt

dt

}}

0

0 11

1

1 11

 b

 b

11

=

=

0.5

0.5* 10 *

* 10 *

{{

∫∫

Sen (

Sen (

1.57* 

1.57* 

t t )

) dt

dt

}}

=

= 5 *

5 *

{{

-- Cos (

Cos (

1.57

1.57 * t )

* t )

}}

00

1.57

1.57

00

 b

 b

11

==

-- 3.18 *

3.18 *

{{

Cos (

Cos (

1.57

1.57 * 1 )

* 1 )

-- Cos (

Cos (

1.57

1.57 * 0 )

* 0 )

}}

=

= - 3.18

- 3.18 **

{{

0

0 -

- 11

}}

bb

11

= 3.18

= 3.18 voltios.

voltios. ;;

Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.

Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.

Si

Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar  el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando

comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>b1=0. 5*int(10*sin(1.57*t),t,0,1); >>b1=0. 5*int(10*sin(1.57*t),t,0,1); >>pretty(b1) >>pretty(b1)

 Entonces,

 Entonces, para el

para el caso en

caso en que

que n=2

n=2 tenemos:

tenemos:

44

 b

 b

22

=

=

(( 22

)

) **

∫∫

V

V ( t ) * Sen (

( t ) * Sen (

22

t t )

) dt

dt

;;

Se cumple Para la n = 2.

Se cumple Para la n = 2.

44

00 44

 b

 b

22

=

=

0.5

0.5**

{{

∫∫

V

V ( t ) * Sen (

( t ) * Sen (

2*1.57* 

2*1.57* 

t t )

) dt

dt

}}

00 1 1 44

 b

 b

22

= 0.5

= 0.5

**

{{

∫∫

10

10 * Sen (

* Sen (

3.14

3.14

t t )

) dt

dt

++

∫∫

00 * Sen (

* Sen (

3.14*

3.14*

t t )

) dt

dt

}}

0

0 11

1

1 11

 b

 b

22

=

=

0.5

0.5* 10 *

* 10 *

{{

∫∫

Sen (

Sen (

3.14* 

3.14* 

t t )

) dt

dt

}}

=

= 5 *

5 *

{{

-- Cos (

Cos (

3.14 * t )

3.14

* t )

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(8)

#

# 1010

 b

 b

22

==

-- 1.59 *

1.59 *

{{

Cos (

Cos (

3.14 * 1 )

3.14

* 1 )

-- Cos (

Cos (

3.14

3.14 * 0 )

* 0 )

}}

= 3.18

= 3.18

bb

22

= 3.18

= 3.18 voltios.

voltios. ;;

Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.

Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.

Si

Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar  el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando

comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>b2=0. 5*int(10*sin(3.14*t),t,0,1); >>b2=0. 5*int(10*sin(3.14*t),t,0,1); >>pretty(b2) >>pretty(b2)

 Entonces,

 Entonces, para el

para el caso en

caso en que

que n = 3

n = 3 tenemos:

tenemos:

44

 b

 b

33

=

=

(( 22

)

) **

∫∫

V

V ( t ) * Sen (

( t ) * Sen (

33

t t )

) dt

dt

;;

Se cumpl

Se cumple

e Para la

Para la n =

n = 3.

3.

44

00

Realice U

Realice USTED STED esta integraesta integral l y deberá y deberá obtener como obtener como resultado :resultado :

bb

33

=

=

1.06

1.06 voltios. ;

voltios. ;

Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.

Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.

 El resumen de los coeficientes

 El resumen de los coeficientes b

 b

nn

calculados

calculados hasta

hasta n

n =

= 3

3 es

es el

el siguiente:

siguiente:

bb

11

= 3.18

= 3.18 voltios.

voltios. ;; Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.

Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.

bb

22

= 3.18

= 3.18 voltios.

voltios. ;; Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.

Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.

bb

33

= 1.06

= 1.06 voltios. ;

voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.

Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.

Todos estos cálculos nos llevaron a encontrar los valores de los COEFICIENTES de la SERIE DE FOURIER, ahora Todos estos cálculos nos llevaron a encontrar los valores de los COEFICIENTES de la SERIE DE FOURIER, ahora

aa

00

 ,

 , aa

nn

 , , bb

nn.,.,  son   son conocidos conocidos hastahasta n = 3n = 3 y podemos ry podemos reemplazarlos eemplazarlos en la SERen la SERIE DE FIE DE FOURIER OURIER correcorrespondientespondiente

a la función

a la función

V (t)

V (t)

así:así:

V(t)

V(t) ==

aa00 ++ [ a[ a11* Cos (* Cos (1*1.57*1*1.57* t t ) ) ] ] + + [ [ aa22* Cos (* Cos (2*1.57*2*1.57* t ) t ) ] ] + [ + [ aa33* Cos (* Cos (3*1.57*3*1.57* t ) t ) ]]

+

+ [ b[ b11* Sen (* Sen (1*1.57*1*1.57* t t ) ) ] ] + + [ [ bb22* Sen (* Sen (2*1.57*2*1.57* t t ) ) ] ] + + [ [ bb33* Sen (* Sen (3*1.57*3*1.57* t t ) ) ]]

V(t)

V(t) == 2.52.5 ++ [[ 3.183.18 * Cos (* Cos (1.57*1.57* t ) ] + [t ) ] + [00 * Cos (* Cos (3.14* t ) 3.14*t ) ] ] + [+ [-1.06-1.06 * Cos (* Cos ( 4.71*4.71* t ) t ) ]] +

+ [[3.183.18 * Sen (* Sen (1.57*1.57* t ) t ) ] + ] + [[3.183.18 * Sen (* Sen ( 3.14*3.14* t ) t ) ] + ] + [[1.061.06* Sen (* Sen (4.71* t t ) 4.71* ) ]] Observe la

Observe la gráfica correspondiente gráfica correspondiente a la a la SERIE DSERIE DE FOURIEE FOURIER R para la para la función función V ( V ( t ) t ) , , hasta hasta n = n = 3:3:

Esta

Esta es es una una pobre pobre representación representación de de V(t), V(t), pero pero será será cada cada vez vez mejor, mejor, cuantos cuantos más más armónicos armónicos se se incluyan incluyan en en lala construcción

(9)

#

# 1010

ORIEN

ORIENT

TACIÓN P

ACIÓN PARA S

ARA SU T

U T.I.

.I. DE 6

DE 6 HORA

HORAS CORRESPO

S CORRESPONDIENT

NDIENTE A

E A

ÉSTA SEMANA:

ÉSTA SEMANA:

1.

1.

Realice Realice como como repaso repaso los los dosdos Talleres de InicioTalleres de Inicio correspondientes correspondientes a a métodos métodos de de integración, integración, queque se

se encuentran encuentran “colgados” “colgados” en en la la página página web web deldelITMITM (www.itm.edu.co)(www.itm.edu.co).. El procedimiento paraEl procedimiento para “descolgarlos”

“descolgarlos” es el es el siguiente:siguiente: Programas de Formación Programas de Formación Tecnología de Telecomunicaciones. Tecnología de Telecomunicaciones. Matemáticas Especiales. Matemáticas Especiales. T

Talleres alleres 4 y 5 4 y 5 de Inicio.de Inicio.

2.

2.

Repase Repase los procedimientos los procedimientos y y métodos métodos de integración: de integración: por por SUSTITUCION, y SUSTITUCION, y por por PPARTEARTES, enS, en cualquier

cualquier libro libro de de Cálculo. Cálculo. Y Y busque busque ayuda ayuda con con los los docentesdocentes ASESORESASESORES que el ITM haque el ITM ha   programado

  programado para para USTED, USTED, en en horarios horarios que que aparecen aparecen publicados publicados en en la la Decanatura Decanatura de de CienciasCiencias Básicas.

Básicas.

3.

3.

Consulte en un libro cualquiera de ANÁLISIS DE REDES o de Consulte en un libro cualquiera de ANÁLISIS DE REDES o de ANALISIS DE FOURIER, ANALISIS DE FOURIER, sobresobre ejemplos de calculo de los

ejemplos de calculo de loscoeficientes de fouriercoeficientes de fourier

4.

4.

Realice Realice el el TTaller aller de de PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELRESUELTOSTOS

TPR 

TPR 

CLASE # 3,CLASE # 3, sobre sobre cálcucálculo lo dede coeficientes de fourier 

coeficientes de fourier ..

5.

5.

Realice Realice el el TTaller sobre aller sobre PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTPROPUESTOS.OS.

TPP

TPP

CLASE # 3.CLASE # 3. Puede Puede utilizar utilizar laslas salas:

salas: G-305, G-305, H-401, H-401, H-402, Laboratorio H-402, Laboratorio de de Física del H Física del H primer primer piso, en piso, en sus sus horarios horarios dede Atención

Atención a a Estudiantes. Estudiantes. Este Este trabajo trabajo debe debe entregarlo entregarlo la la próxima próxima clase.clase.

BIBLIOGRAFÍA:

BIBLIOGRAFÍA:

• Cualquier libro de Cualquier libro de ANÁLISIS DE ANÁLISIS DE REDES REDES para estudiar ejemplos para estudiar ejemplos de análisis de de análisis de Fourier, Fourier, por ejemplopor ejemplo

el d

el de VAN Ve VAN VALKENBURG.ALKENBURG.

• ANÁLISIS DE FOURIER. Hsu Hwei.ANÁLISIS DE FOURIER. Hsu Hwei.

• Cualquier Cualquier libro de libro de Cálculo Cálculo para rpara repasar epasar integrales.integrales. •

• Manual Manual del del Estudiante Estudiante Software Software MAMATLAB, TLAB, se se consigue consigue en en la la biblioteca biblioteca del del ITM.ITM. •

• Help Help sobre sobre el cel comandoomando syms.syms. •

• Help Help sobre sobre el cel comandoomando int ( ).int ( ). •

• Help Help sobre sobre el cel comandoomando  plot( ). plot( ).

• MANUAL BMANUAL BÁSICO DE MAÁSICO DE MATLAB. TLAB. Prof: Dayron ArboleProf: Dayron Arboleda. da. Se consigue en DOBLE Se consigue en DOBLE CLICK.CLICK. •

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