#
# 1010 COMPETENCIA:
COMPETENCIA: Manejar los Manejar los conceptconceptos de ESPECTROS DE os de ESPECTROS DE AMPLITUD Y FAMPLITUD Y FASE.ASE. TTema: ema: SIMETRÍAS DE SIMETRÍAS DE ONDA ONDA Y Y CÁLCULO DE CÁLCULO DE COEFICIENCOEFICIENTES TES DE DE FOURIER.FOURIER.
CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER
CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER
En la
En la clase
clase anterior
anterior trabajamos
trabajamos la de
la definición
finición de
de SERIE DE
SERIE DE FOURIER
FOURIER para un
para una onda
a onda o señ
o señal
al
periódica.
periódica. Esta
Esta definición
definición fue obtenida
fue obtenida por
por J.B.J. FOURIER
J.B.J. FOURIER, , un
un investigador
investigador francés
francés del
del siglo
siglo
XIX,
XIX, que
que trabajaba
trabajaba sobre
sobre el
el flujo
flujo de
de calor.
calor.
Seg
Según
ún la
la def
defini
inició
ción
n de
de la
la SER
SERIE
IE DE
DE FOU
FOURIE
RIER,
R,
cual
cualquie
quier
r seña
señal l peri
periódic
ódicaa
pued
puede
e ser
ser
representada
representada como
como la
la suma
suma de:
de:
Un
Un valor
valor constante (llamado
constante (llamado nivel
nivel DC),
DC), más
más una
una sumatoria
sumatoria
infinita
infinita de
de ondas
ondas coseno
coseno (llamados
(llamados ARMONICOS
ARMONICOS COSENO),
COSENO), más
más una
una sumatoria
sumatoria infinita
infinita de
de
ondas seno
ondas seno (llamados
(llamados ARMONICOS SENO).
ARMONICOS SENO).
Est
Estos armó
os armónic
nicos en
os en el sen
el seno
o y
y co
cosen
seno,
o, ti
tiene
enen
n una ca
una carac
racte
terís
rístic
tica
a es
espec
pecial
ial, , su
sus
s res
respec
pecti
tivas
vas
frecuencias angulares:
frecuencias angulares:
w
w
nn, , son
son múltiplos
múltiplos enteros
enteros de
de la
la frecuencia
frecuencia angular
angular fundament
fundamental
al
w
w
00de
de la
la señal
señal original,
original, o
o sea
sea que:
que:
w
w
nn==
nn **
w
w
00. Dónde
. Dónde
nn representa a todos los números
representa a todos los números
enteros
enteros positivos
positivos. .
Lo
Lo que
que introduce
introduce la
la idea
idea de
de que,
que, una
una señal
señal periódica
periódica con
con una
una frecuencia
frecuencia
angular
angular fundamenta
fundamentall w
w
00, tiene
, tiene intrínsecame
intrínsecamente
nte contenidas
contenidas, , frecuencias angulares que están
frecuencias angulares que están
armónicamente
armónicamente relacionadas entre sí.
relacionadas entre sí.
Recordemo
Recordemos
s la
la definición para
definición para una
una señal
señal periódica
periódica cualquiera,
cualquiera, llamada
llamada f (t):
f (t):
+∞
+∞
f (t)
f (t) ==
aa
00++
∑
∑
{{
[[
aa
nn* Cos (
* Cos (
nn
w
w
00t t ) ]
) ]
++
[[
b
b
nn* Sen (
* Sen (
nn
w
w
00t t )
) ]]
}}
nn = 1
= 1
O
O lo
lo que
que es
es lo
lo mismo,
mismo, por que
por que
w
w
nn==
nn **
w
w
00::
+∞
+∞
f (t)
f (t) ==
aa
00++
∑
∑
{{
[[
aa
nn* Cos (
* Cos (
w
w
nnt t ) ]
) ]
++
[[
b
b
nn* Sen (
* Sen (
w
w
nnt t )
) ]]
}}
nn = 1
= 1
Para
Para una
una señal
señal periódica
periódica f (t)
f (t) en p
en particular
articular, , el
el período
período
T
T es
es conocido
conocido y su frec
y su frecuencia a
uencia angular
ngular
fundamental
fundamental w
w
00también es
también
es conocida
conocida por
por que
que se
se puede
puede calcular
calcular por
por fórmula.
fórmula.
Pero,
Pero,
¿¿
Cómo
Cómo
podemos
podemos calcular
calcular los
los respectivos
respectivos valores
valores de
de
aa
00, ,
aa
nn, ,
bb
nn??
. .
L
Los valores de
os valores de
aa
00,,
aa
nn,,
b
b
nnconocidos c
conocidos como los COEFICIE
omo los COEFICIENTES DE FOURIER,
NTES DE FOURIER, pueden ser
pueden ser
calculados utilizando fórmulas que más adelante se detallan.
calculados utilizando fórmulas que más adelante se detallan.
#
# 1010
SIMETRÍAS DE ONDA
SIMETRÍAS DE ONDA
Son propi
Son propiedadeedades interess interesantes de laantes de las ondas o funcs ondas o funciones periones periódiciódicas as que que permipermiten simpten simplificalificar r la evalula evaluación de loación de loss llamados COEFICIENTES DE FOURIER
llamados COEFICIENTES DE FOURIER
:: aa
00, , aa
nn,, bb
nn ..SIMETRÍA PAR:
SIMETRÍA PAR:
Se dice que una señal periódicaSe dice que una señal periódica f(t) f(t) tiene tiene SIMETRIA SIMETRIA PPAR, AR, cuando cuando cumple cumple la la siguientesiguiente condición:condición: Para Para unun t t dadodado , ,
f (
f ( t t )
) =
= f f (
( -- t t ).
).
SIMETRÍA IMPAR:
SIMETRÍA IMPAR:
Se dice que una señal periódicaSe dice que una señal periódica f(t) f(t) tiene tiene SIMETRIA SIMETRIA IMPIMPAR, AR, cuando cuando cumple cumple lala siguientesiguiente condición: condición: Para Para unun t t dadodado , ,
f (
f ( t t )
) =
= -- f ( -
f ( - t t ).
).
SIMETRÍA DE MEDIA ONDA
SIMETRÍA DE MEDIA ONDA::
Se dice que una señal periódicaSe dice que una señal periódica f(t) f(t) tiene SIMETRIA MEDIA ONDA,tiene SIMETRIA MEDIA ONDA, cuandocuando cumple cumple la sla siguiente iguiente condición: condición: Para Para unun t t dadodado , ,
f (
f ( t t ) =
) = -- f (
f ( t t +
+ {
{ T
T/2
/2 } ).
} ).
EJEMPLO 1
EJEMPLO 1:: ¿ Qué tipo de simetría de
¿ Qué tipo de simetría de onda tiene la siguiente señal
onda tiene la siguiente señal f ( t )
f ( t ) ??
•
• Evaluemos primero si tieneEvaluemos primero si tieneSIMETRÍA PAR:SIMETRÍA PAR: Si la Si la tiene, tiene, debe cumplir debe cumplir la condiciónla condición::
f (
f ( t )
t ) =
= f (
f ( - t
- t ).
).
Sele
Seleccionccionamos amos un un tiempotiempo t t arbitrariamentearbitrariamente para evaluar la condición, esto puede hacerse por que lapara evaluar la condición, esto puede hacerse por que la condición,
condición, debe cumplirsdebe cumplirse para e para todo el todo el dominio. dominio. Sin Sin embargo, embargo, la recomendala recomendación es ción es que se que se utilicenutilicen t t talestales que
que coincidan coincidan con con valores valores máximos máximos o o mínimos mínimos de la de la funciónfunción
f.
f.
Seleccionemos:Seleccionemos: tt = = (( л/2л/2 )) Evaluamos la
Evaluamos la función función para esepara ese t,t, observando la gráficaobservando la gráfica
::
f (
f ( t t )) =
= f (
f ( л/2
л/2 )
)
=
= 55
EvaluamosEvaluamos también también la la función función para para elel - t- t ::
f
f (
( -t
-t )
) == f (
f ( --
л/2
л/2 ) = -
) = -55
Preguntém
Preguntémonos
onos si
si la
la señal
señal f ( t )
f ( t ) cumple la condición:
cumple la condición:
¿¿ f
f (
( t t )
) =
= f
f (
( - t
- t )
) ??
¿¿ f (
f ( л/2
л/2 )
) =
= f
f (
( --
л/2
л/2 )
) ??
¿
¿ 5 =
5 = -
- 5 ?
5 ? NO!!!
NO!!!
La
La
respuesta es querespuesta es que NO NO se cumple la condición se cumple la condición, , por
por lo
lo tanto
tanto f ( t )
f ( t )
NO
NO tiene simetría PAR.
tiene simetría PAR.
•
• Evaluemos ahora si tieneEvaluemos ahora si tieneSIMETRÍA IMPAR,SIMETRÍA IMPAR, si la tiene debe cumplir la condiciónsi la tiene debe cumplir la condición::
f
f (
( t t )
) =
= -- f (
f ( -t
-t )
) . .
Seleccionamos un tiempo
Seleccionamos un tiempo t t arbitrariamente para evaluar la condición,arbitrariamente para evaluar la condición,:: Seleccionemos:
Seleccionemos: tt = = 3 [3 [л/2л/2 ]] Evaluamos la
Evaluamos la función función para esepara ese t,t, observando la gráfica:observando la gráfica:
f
f (
( t t )) =
= f
f (
( 3 [
3 [ л/2
л/2 ]
] )
) =
= -- 55
EvaluamosEvaluamos también también la la función función para para elel - t- t ::
f
f (
( - t
- t )
) == f
f (
( -
- 3 [
3 [
л/2
л/2 ]] )
) =
= 55
Preguntém
Preguntémonos
onos si
si la
la señal
señal f ( t )
f ( t ) cumple la condición:
cumple la condición: ¿¿ f
f (
( t t )
) =
= -- f
f ( - t
( - t )
) ??
¿¿ f
f ( 3[
( 3[ л/2
л/2]] )) =
= -- f
f ( - 3[
( - 3[ л/2
л/2 ]] )
) ??
¿
¿ - 5
- 5 =
= -
- (
( 5
5 )
) ?
? SI!!!
SI!!!
La
La
respuesta es querespuesta es que SI SI se cumple la condición se cumple la condición, por lo tanto
, por lo tanto f ( t )
f ( t )
SI
SI tiene
tiene simetría IMP
simetría IMPAR
AR !!.
!!.
f = f ( t )
f = f ( t )
t (seg)
t (seg)
-5 -5 л/2 л/2 2л 2л -л/2 -л/2 -л -л -2л -2л 55 3л/2 3л/2 - 3л/2 - 3л/2 5л/25л/2T =
T =
2л seg.2л seg.#
# 1010
COEFICIENTES DE
COEFICIENTES DE FOURIER
FOURIER SEGÚN LAS
SEGÚN LAS SIMETRÍAS DE
SIMETRÍAS DE ONDA
ONDA
f
f ( ( t t ): ): Señal Señal periódica.periódica. d
d : : Punto Punto de de inicio inicio del del período período seleccionado.seleccionado. T:
T: VValor alor del del período período de de la la señal f señal f ( ( t t ) ) ..
w
w
nn::
VValor de la alor de la frecuencia angular del armónico número frecuencia angular del armónico número n.n. wwnn == nn ** ww00..COEFICIENTE
COEFICIENTES P
S PARA
ARA ONDAS
ONDAS SIN NINGÚN TIPO DE SIMETRÍA
SIN NINGÚN TIPO DE SIMETRÍA DETECTADA
DETECTADA::
( d + T ) ( d + T )
aa
00=
= (( 11
)
) **
∫∫
f
f (
( t t )
) dt
dt
T
T
dd ( d + T ) ( d + T )aa
nn=
=
(( 22
)
) **
∫∫
f ( t ) * Cos (
f ( t ) * Cos (
w
w
nnt t )
) dt
dt
;;
Para todas las n.
Para todas las n.
T
T
dd( d + T ) ( d + T )
b
b
nn=
=
(( 22
)
) **
∫∫
f ( t ) * Sen (
f ( t ) * Sen (
w
w
nnt t )
) dt
dt
;;
Para todas las n.
Para todas las n.
T
T
ddCOEFICIENTE
COEFICIENTES
S P
PARA
ARA ONDAS
ONDAS CON
CON SIMETRÍA
SIMETRÍA P
PAR:
AR:
( ( d d + + {T/2} {T/2} ))
aa
00=
= (( 22
)
) **
∫∫
f
f (
( t t )
) dt
dt
T
T
dd ( d + {T/2} ) ( d + {T/2} )aa
nn=
= (( 44
)
) **
∫∫
f (
f ( t )
t ) *
* Cos (
Cos (
w
w
nnt t )
) dt
dt
;;
Para todas las n.
Para todas las n.
T
T
ddb
b
nn=
= 00
;;
Para todas las n.
Para todas las n.
COEFICIENTES PARA ONDAS CON SIMETRÍA IMPAR:
COEFICIENTES PARA ONDAS CON SIMETRÍA IMPAR:
aa
00=
=
00
aa
nn=
=
00
;;
Para todas las n.
Para todas las n.
( d + {T/2} ) ( d + {T/2} )
b
b
nn=
= (( 44
)
) **
∫∫
f (
f ( t )
t ) *
* Sen (
Sen (
w
w
nnt t )
) dt
dt
;;
Sólo
Sólo para l
para las
as n im
n impares.
pares.
T
T
ddb
b
nn=
=
00
;;
Para las n pares.
Para las n pares.
CONSULTA:
CONSULTA: PPara
ara la pró
la próxima cl
xima clase,
ase, averigüe
averigüe cuales
cuales son l
son las fór
as fórmulas q
mulas que per
ue permiten c
miten calcular
alcular
los coeficientes de
los coeficientes de fourier:
fourier:
aa
00, ,
aa
nn, ,
bb
nn,
, para l
para las
as señales
señales periódicas
periódicas que ti
que tienen S
enen SIMETRÍA D
IMETRÍA DE
E
MEDIA ONDA.
MEDIA ONDA.
#
# 1010
EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DE FOURIER
EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DE FOURIER
EJEMPLO 1
EJEMPLO 1::
Considere la siguiente señal periódica
Considere la siguiente señal periódica V ( t
V ( t ),
), que no
que no tiene ninguna
tiene ninguna simetría
simetría
de
de onda
onda conocida.
conocida. Calcule
Calcule la
la SERIE DE
SERIE DE FOURIER corr
FOURIER correspondiente a
espondiente a V
V (
( t t )
) hasta
hasta n=3.
n=3.
Recordemos que la f
Recordemos que la fórmula generali
órmula generalizada para las SERIES DE FOU
zada para las SERIES DE FOURIER
RIER es:
es:
+∞
+∞
f(t)
f(t) ==
aa
00++
∑
∑
{{
[[
aa
nn* Cos (
* Cos (
nn
w
w
00t t ) ]
) ]
++
[[
b
b
nn* Sen (
* Sen (
nn
w
w
00t t )
) ]]
}}
nn = 1
= 1
Nuestra
Nuestra función función no se no se llamallama
f(t)
f(t)
sinosinoV( t )
V( t )
y y tiene tiene unauna w w 00 = (= ( л л/2/2) ) (rad/s(rad/seg) eg) == 1.571.57 (rad/seg). (rad/seg). Como Como elelproblema nos
problema nos limita la limita la representación representación hastahasta n=3n=3, , entonces entonces la la fórmula fórmula de de la la SERIE SERIE DE DE FOURIER FOURIER puede puede re- re-escribirse como
escribirse como
::
33
V(t)
V(t) ==
aa
00++
∑
∑
{{
[[
aa
nn* Cos (
* Cos (
nn
**
1.57
1.57
**
t t ) ]
) ]
++
[[
b
b
nn* Sen (
* Sen (
n *1.57
n *1.57* t
* t )
) ]]
}}
nn = 1
= 1
V(t)
V(t) ==
aa
00++ [[
aa
11* Cos (
* Cos (
11
**
1.57
1.57
**
t t )
) ]
] +
+ [[
aa
22* Cos (
* Cos (
2*1.57*
2*1.57* t t )
) ]
] ++ [[
aa
33* Cos (
* Cos (
3*1.57*
3*1.57* t )
t ) ]]
+
+ [[
b
b
11* Sen (
* Sen (
1*1.57*
1*1.57* t t )
) ]
] +
+ [[
b
b
22* Sen (
* Sen (
2*1.57*
2*1.57* t ) ] + [
t ) ] + [
b
b
33* Sen (
* Sen (
3*1.57*
3*1.57* t t )
) ]]
Observe que en las SE
Observe que en las SERIES DE FOURIERIES DE FOURIER, R, después de reemplazar el después de reemplazar el valor de lavalor de la
w
w
00,,
lo único que queda pendientelo único que queda pendientepor
por calcular, calcular, son son loslos
COEFICIENTES DE FOURIER:
COEFICIENTES DE FOURIER:
aa
00, , aa
nn,, bb
nn.. Para ello se utilizan las fórmulasPara ello se utilizan las fórmulassegún s
según sea la ea la simetría de simetría de onda. onda. En este En este caso particcaso particular comoular como
V(t)
V(t)
no tiene no tiene simetrías de simetrías de onda, onda, utilizamos la utilizamos la tabla detabla de fórmulas para las funciones que no tienen simetría de onda.fórmulas para las funciones que no tienen simetría de onda. Para
Para utilizar utilizar las las fórmulas, fórmulas, previamente previamente es es necesario necesario definir definir el el punto punto de de inicioinicio dd para el período, para el período, luego calcular luego calcular
el
el
( d + T )
( d + T )
,, y y encontrar la encontrar la ecuación qecuación que corresponde ue corresponde a laa laf ( t )
f ( t ) == V (t
V (t
)) en el intervalo de integraciónen el intervalo de integración::
1.
1. Arbit
Arbitraria
rariament
mente esco
e escogemos u
gemos un punt
n punto de ini
o de inicio de
cio del perío
l período:
do:
dd =
= 00
22.. Y
Ya
a qquuee
T
T =
= 4
4 seg.,
seg., puede calcularse
puede calcularse entonces:
entonces:
( d + T )
( d + T )
= = 0 +0 +44 == 443.
3. Y
Y obse
observand
rvando e
o el in
l interv
tervalo
alo de
de inte
integrac
gración,
ión, enco
encontram
ntramos
os que
que la
la seña
señal l V
V ( t
( t ) ti
) tiene
ene como
como
ecuaciones
ecuaciones, , a
a las
las siguiente
siguientes
s rectas
rectas que
que tienen
tienen pendiente
pendiente igual
igual a
a cero
cero y
y solo
solo tienen
tienen
intercepto con el eje vertical:
intercepto con el eje vertical:
entre :
entre :
0 < t < 1
0 < t < 1, ,
: :
V
V ==
V
V (
( t t )
) ==
10
10 voltios.
voltios.
entre :
entre :
1 < t < 4
1 < t < 4, ,
: :
V
V ==
V
V (
( t t )
) ==
00 voltios.
voltios.
•
•
Para enco
Para encontrar el nive
ntrar el nivel DC de la
l DC de la señal periód
señal periódica
ica V ( t )
V ( t ) usamos la
usamos la fórmula:
fórmula:
V =
V = V
V t
t
V
Voollttiiooss..
tt
sese .. 10 voltios 10 voltios 11 44 55 88 99T
# # 1010 ( d + T ) ( d + T ) 4 4 44
aa
00=
= (( 11
)
) **
∫∫
f ( t )
f ( t ) dt
dt ==
((
1 ) **
1 )
∫∫
V(t)
V(t) dt
dt ==
((
1 )
1 ) **
∫∫
10
10 dt
dt
T
T
dd44
0044
00 11 44 1 1 11aa
00= 0.25
= 0.25
**
{ ∫
{ ∫
10
10 dt
dt
++
∫∫
00 dt
dt
}}
=
= (
( 0.25*10
0.25*10 )
) **
∫∫
dt =
dt =
2.5
2.5 **
{{
tt
}}
0 0 1 1 0 0 00aa
00=
= 2.5
2.5 *
* { 1
{ 1 – 0 }
– 0 } =
= 2.5
2.5 *
* {
{ 1
1 }
} =
= 2.5
2.5
aa
00= 2.5 voltios. ;
= 2.5
voltios. ;
Este
Este es
es el
el nivel
nivel DC
DC de
de la
la señal
señal V
V (
( t
t ).
).
Si
Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando
comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>a0=0.25*int(10,t,0,1); >>a0=0.25*int(10,t,0,1); >>pretty(a0) >>pretty(a0) •
•
Para
Para encontrar
encontrar los co
los coeficientes
eficientes
aa
nnse utiliza la
se utiliza la siguiente fórmula:
siguiente fórmula:
( d + T ) ( d + T )
aa
nn=
=
(( 22
)
) **
∫∫
f ( t ) * Cos (
f ( t )
* Cos (
w
w
nnt t )
) dt
dt
;;
Se cumple Para todas las n.
Se cumple Para todas las n.
T
T
ddEntonces,
Entonces, para el
para el caso en
caso en que
que n=1
n=1 tenemos:
tenemos:
44
aa
11=
=
(( 22
)
) **
∫∫
V ( t )
V ( t ) * Cos (
* Cos (
w
w
11t t )
) dt
dt
;;
Se cumple para la n = 1.
Se cumple para la n = 1.
44
0011 44
aa
11=
=
0.5
0.5
**
{{
∫∫
10
10 * Cos (
* Cos (
11
*1.57*
*1.57* t t )
) dt
dt
+
+ ∫∫
00 * Cos (
* Cos (
11
*1.57*
*1.57* t t )
) dt
dt
}}
0
0 11
1
1 11
aa
11=
=
0.5
0.5
**
{{
∫∫
10
10 * Cos (
* Cos (1.57*
1.57* t t )
) dt
dt
}}
= 0.5*
= 0.5*10
10 **
∫∫
Cos (
Cos (1.57*
1.57* t t )
) dt
dt
0
0 00
1
1 1 1 11
aa
11=
= 5 *
5 *
∫∫
Cos (
Cos (
1.57*
1.57* t t ) ) dt
dt =
= 5
5 **
{{
Sen (1.57*
Sen (
1.57* t t ))
}}
=
= 3.18
3.18 **
{{
Sen (
Sen (1.57*
1.57* t t ))
}}
00
1.57
1.57
00 00aa
11= 3.18 *
= 3.18 *
{{
Sen (
Sen (1.57*
1.57* 1 )
1 )
-- Sen (
Sen (1.57*
1.57* 0 )
0 )
}}
= 3.18
= 3.18
aa
11= 3.18 voltios. ;
= 3.18
voltios. ;
Esta es la amplitud del ARMONIC
Esta es la amplitud
del ARMONICO número 1 en
O número 1 en el coseno.
el coseno.
Si
Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando
comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>a1=0. 5*int(10*cos(1.57*t),t,0,1); >>a1=0. 5*int(10*cos(1.57*t),t,0,1); >>pretty(a1) >>pretty(a1)
Entonces,
#
# 1010
44
aa
22=
=
(( 22
)
) **
∫∫
V ( t )
V ( t ) * Cos (
* Cos (
w
w
22t t )
) dt
dt
;;
Se cumple Para la n = 2.
Se cumple Para la n = 2.
44
0011 44
aa
22=
=
0.5
0.5
**
{{
∫∫
10
10 * Cos (
* Cos (
22
*1.57*
*1.57* t t )
) dt
dt
+
+ ∫∫
00 * Cos (
* Cos (
22
*1.57*
*1.57* t t )
) dt
dt
}}
0
0 11
1
1 11
aa
22=
=
0.5
0.5
**
{{
∫∫
10
10 * Cos (
* Cos (
3.14
3.14
** t t )
) dt
dt
}}
=
= 0.5*10
0.5*10 **
∫∫
Cos (
Cos (
3.14
3.14
** t t )
) dt
dt
0
0 00
1
1 1 1 11
aa
22=
= 5 *
5 *
∫∫
Cos (
Cos (
3.14*
3.14* t t ) dt = 5 *
) dt = 5 *
{{
Sen (
Sen (3.14*
3.14* t t ))
}}
=
= 1.59
1.59 **
{{
Sen (
Sen (3.14*
3.14* t t ))
}}
00
3.14
3.14
00 00aa
22= 1.59 *
= 1.59 *
{{
Sen (
Sen (3.14*
3.14* 1 )
1 )
-- Sen (
Sen (3.14*
3.14* 0 )
0 )
}}
=
= 00
aa
22= 00 voltios. ;
=
voltios. ;
Esta es la amplitud del ARMONIC
Esta es la amplitud
del ARMONICO número 2 en el
O número 2 en el coseno.
coseno.
Si
Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando
comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>a2=0. 5*int(10*cos(3.14*t),t,0,1); >>a2=0. 5*int(10*cos(3.14*t),t,0,1); >>pretty(a2) >>pretty(a2)
Entonces,
Entonces, para el
para el caso en
caso en que
que n=3
n=3 tenemos:
tenemos:
44
aa
33=
=
(( 22
)
) **
∫∫
V ( t )
V ( t ) * Cos (
* Cos (
w
w
33t t )
) dt
dt
;;
Se cumple Para la n=3.
Se cumple Para la n=3.
44
00Defina
Defina y
y realice
realice USTED
USTED esta
esta integral
integral y
y deberá
deberá obtener
obtener como
como resultado
resultado ::
aa
33=
=
-1.06
-1.06 voltios.
voltios.
;
;
Esta es
Esta
es la
la amplitud
amplitud del
del ARMONICO
ARMONICO número
número 3
3 en
en el
el coseno.
coseno.
El resumen de los coeficientes
El resumen de los coeficientes
aa
00y
y
aa
nncalculados
calculados hasta
hasta n
n =
= 3,
3, es
es el
el siguiente:
siguiente:
aa00 = 2.5= 2.5 voltios. ;voltios. ; Es Es nivel nivel DC DC de de la la señal señal V V ( ( t t ).).
aa11 = 3.18= 3.18 voltios. ;voltios. ; Es la amplitud del ARMONICO número 1 en el Es la amplitud del ARMONICO número 1 en el coseno.coseno.
aa22 = = 00 voltios. ;voltios. ; Es la amplitud del ARMONICO número 2 en el Es la amplitud del ARMONICO número 2 en el coseno.coseno.
#
# 1010
•
•
Para
Para encontrar
encontrar los co
los coeficientes
eficientes
bb
nnse utiliza la
se utiliza la siguiente fórmula:
siguiente fórmula:
( d + T ) ( d + T )
b
b
nn=
=
(( 22
)
) **
∫∫
f ( t ) * Sen (
f ( t ) * Sen (
w
w
nnt t )
) dt
dt
;;
Se cumple Para todas las n.
Se cumple Para todas las n.
T
T
ddEntonces,
Entonces, para el
para el caso en
caso en que
que n=1
n=1 tenemos:
tenemos:
44
b
b
11=
=
(( 22 )
) **
∫∫
V
V ( t ) * Sen (
( t ) * Sen (
w
w
11t t )
) dt
dt
;;
Se cumple Para la n = 1.
Se cumple Para la n = 1.
44
00 44b
b
11=
=
0.5
0.5**
{{
∫∫
V
V ( t ) * Sen (
( t ) * Sen (
1*1.57*
1*1.57*
t t )
) dt
dt
}}
00 1 1 44b
b
11=
=
0.5
0.5**
{{
∫∫
10
10 * Sen (
* Sen (
1.57*
1.57*
t t )
) dt
dt
++
∫∫
00 * Sen (
* Sen (
1.57*
1.57*
t t )
) dt
dt
}}
0
0 11
1
1 11
b
b
11=
=
0.5
0.5* 10 *
* 10 *
{{
∫∫
Sen (
Sen (
1.57*
1.57*
t t )
) dt
dt
}}
=
= 5 *
5 *
{{
-- Cos (
Cos (
1.57
1.57 * t )
* t )
}}
00
1.57
1.57
00b
b
11==
-- 3.18 *
3.18 *
{{
Cos (
Cos (
1.57
1.57 * 1 )
* 1 )
-- Cos (
Cos (
1.57
1.57 * 0 )
* 0 )
}}
=
= - 3.18
- 3.18 **
{{
0
0 -
- 11
}}
bb
11= 3.18
= 3.18 voltios.
voltios. ;;
Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.
Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.
Si
Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando
comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>b1=0. 5*int(10*sin(1.57*t),t,0,1); >>b1=0. 5*int(10*sin(1.57*t),t,0,1); >>pretty(b1) >>pretty(b1)
Entonces,
Entonces, para el
para el caso en
caso en que
que n=2
n=2 tenemos:
tenemos:
44
b
b
22=
=
(( 22
)
) **
∫∫
V
V ( t ) * Sen (
( t ) * Sen (
w
w
22t t )
) dt
dt
;;
Se cumple Para la n = 2.
Se cumple Para la n = 2.
44
00 44b
b
22=
=
0.5
0.5**
{{
∫∫
V
V ( t ) * Sen (
( t ) * Sen (
2*1.57*
2*1.57*
t t )
) dt
dt
}}
00 1 1 44b
b
22= 0.5
= 0.5
**
{{
∫∫
10
10 * Sen (
* Sen (
3.14
3.14
*
*
t t )
) dt
dt
++
∫∫
00 * Sen (
* Sen (
3.14*
3.14*
t t )
) dt
dt
}}
0
0 11
1
1 11
b
b
22=
=
0.5
0.5* 10 *
* 10 *
{{
∫∫
Sen (
Sen (
3.14*
3.14*
t t )
) dt
dt
}}
=
= 5 *
5 *
{{
-- Cos (
Cos (
3.14 * t )
3.14
* t )
}}
#
# 1010
b
b
22==
-- 1.59 *
1.59 *
{{
Cos (
Cos (
3.14 * 1 )
3.14
* 1 )
-- Cos (
Cos (
3.14
3.14 * 0 )
* 0 )
}}
= 3.18
= 3.18
bb
22= 3.18
= 3.18 voltios.
voltios. ;;
Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.
Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.
Si
Si queremqueremos uos utiliztilizar la ar la herraherramienta mienta de MAde MATLAB TLAB parapara verificar verificar el resulel resultado, tado, podemopodemos hacerls hacerlo utilizo utilizando elando el comando
comando int ( )int ( ) que que nos nos permite permite calcular calcular integrales, integrales, así:así: >>syms t; >>syms t; >>b2=0. 5*int(10*sin(3.14*t),t,0,1); >>b2=0. 5*int(10*sin(3.14*t),t,0,1); >>pretty(b2) >>pretty(b2)
Entonces,
Entonces, para el
para el caso en
caso en que
que n = 3
n = 3 tenemos:
tenemos:
44
b
b
33=
=
(( 22
)
) **
∫∫
V
V ( t ) * Sen (
( t ) * Sen (
w
w
33t t )
) dt
dt
;;
Se cumpl
Se cumple
e Para la
Para la n =
n = 3.
3.
44
00Realice U
Realice USTED STED esta integraesta integral l y deberá y deberá obtener como obtener como resultado :resultado :
bb
33=
=
1.06
1.06 voltios. ;
voltios. ;
Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.
Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.
El resumen de los coeficientes
El resumen de los coeficientes b
b
nncalculados
calculados hasta
hasta n
n =
= 3
3 es
es el
el siguiente:
siguiente:
bb
11= 3.18
= 3.18 voltios.
voltios. ;; Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.
Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.
bb
22= 3.18
= 3.18 voltios.
voltios. ;; Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.
Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.
bb
33= 1.06
= 1.06 voltios. ;
voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.
Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.
Todos estos cálculos nos llevaron a encontrar los valores de los COEFICIENTES de la SERIE DE FOURIER, ahora Todos estos cálculos nos llevaron a encontrar los valores de los COEFICIENTES de la SERIE DE FOURIER, ahora
aa
00,
, aa
nn, , bb
nn.,., son son conocidos conocidos hastahasta n = 3n = 3 y podemos ry podemos reemplazarlos eemplazarlos en la SERen la SERIE DE FIE DE FOURIER OURIER correcorrespondientespondientea la función
a la función
V (t)
V (t)
así:así:V(t)
V(t) ==
aa00 ++ [ a[ a11* Cos (* Cos (1*1.57*1*1.57* t t ) ) ] ] + + [ [ aa22* Cos (* Cos (2*1.57*2*1.57* t ) t ) ] ] + [ + [ aa33* Cos (* Cos (3*1.57*3*1.57* t ) t ) ]]+
+ [ b[ b11* Sen (* Sen (1*1.57*1*1.57* t t ) ) ] ] + + [ [ bb22* Sen (* Sen (2*1.57*2*1.57* t t ) ) ] ] + + [ [ bb33* Sen (* Sen (3*1.57*3*1.57* t t ) ) ]]
V(t)
V(t) == 2.52.5 ++ [[ 3.183.18 * Cos (* Cos (1.57*1.57* t ) ] + [t ) ] + [00 * Cos (* Cos (3.14* t ) 3.14*t ) ] ] + [+ [-1.06-1.06 * Cos (* Cos ( 4.71*4.71* t ) t ) ]] +
+ [[3.183.18 * Sen (* Sen (1.57*1.57* t ) t ) ] + ] + [[3.183.18 * Sen (* Sen ( 3.14*3.14* t ) t ) ] + ] + [[1.061.06* Sen (* Sen (4.71* t t ) 4.71* ) ]] Observe la
Observe la gráfica correspondiente gráfica correspondiente a la a la SERIE DSERIE DE FOURIEE FOURIER R para la para la función función V ( V ( t ) t ) , , hasta hasta n = n = 3:3:
Esta
Esta es es una una pobre pobre representación representación de de V(t), V(t), pero pero será será cada cada vez vez mejor, mejor, cuantos cuantos más más armónicos armónicos se se incluyan incluyan en en lala construcción
#
# 1010
ORIEN
ORIENT
TACIÓN P
ACIÓN PARA S
ARA SU T
U T.I.
.I. DE 6
DE 6 HORA
HORAS CORRESPO
S CORRESPONDIENT
NDIENTE A
E A
ÉSTA SEMANA:
ÉSTA SEMANA:
1.
1.
Realice Realice como como repaso repaso los los dosdos Talleres de InicioTalleres de Inicio correspondientes correspondientes a a métodos métodos de de integración, integración, queque sese encuentran encuentran “colgados” “colgados” en en la la página página web web deldelITMITM (www.itm.edu.co)(www.itm.edu.co).. El procedimiento paraEl procedimiento para “descolgarlos”
“descolgarlos” es el es el siguiente:siguiente: Programas de Formación Programas de Formación Tecnología de Telecomunicaciones. Tecnología de Telecomunicaciones. Matemáticas Especiales. Matemáticas Especiales. T
Talleres alleres 4 y 5 4 y 5 de Inicio.de Inicio.
2.
2.
Repase Repase los procedimientos los procedimientos y y métodos métodos de integración: de integración: por por SUSTITUCION, y SUSTITUCION, y por por PPARTEARTES, enS, en cualquiercualquier libro libro de de Cálculo. Cálculo. Y Y busque busque ayuda ayuda con con los los docentesdocentes ASESORESASESORES que el ITM haque el ITM ha programado
programado para para USTED, USTED, en en horarios horarios que que aparecen aparecen publicados publicados en en la la Decanatura Decanatura de de CienciasCiencias Básicas.
Básicas.
3.
3.
Consulte en un libro cualquiera de ANÁLISIS DE REDES o de Consulte en un libro cualquiera de ANÁLISIS DE REDES o de ANALISIS DE FOURIER, ANALISIS DE FOURIER, sobresobre ejemplos de calculo de losejemplos de calculo de loscoeficientes de fouriercoeficientes de fourier
4.
4.
Realice Realice el el TTaller aller de de PROBLEMAS PROBLEMAS RESUELRESUELTOSTOSTPR
TPR
CLASE # 3,CLASE # 3, sobre sobre cálcucálculo lo dede coeficientes de fouriercoeficientes de fourier ..
5.
5.
Realice Realice el el TTaller sobre aller sobre PROBLEMAS PROBLEMAS PROPUESTPROPUESTOS.OS.TPP
TPP
CLASE # 3.CLASE # 3. Puede Puede utilizar utilizar laslas salas:salas: G-305, G-305, H-401, H-401, H-402, Laboratorio H-402, Laboratorio de de Física del H Física del H primer primer piso, en piso, en sus sus horarios horarios dede Atención
Atención a a Estudiantes. Estudiantes. Este Este trabajo trabajo debe debe entregarlo entregarlo la la próxima próxima clase.clase.
BIBLIOGRAFÍA:
BIBLIOGRAFÍA:
•
• Cualquier libro de Cualquier libro de ANÁLISIS DE ANÁLISIS DE REDES REDES para estudiar ejemplos para estudiar ejemplos de análisis de de análisis de Fourier, Fourier, por ejemplopor ejemplo
el d
el de VAN Ve VAN VALKENBURG.ALKENBURG.
•
• ANÁLISIS DE FOURIER. Hsu Hwei.ANÁLISIS DE FOURIER. Hsu Hwei.
•
• Cualquier Cualquier libro de libro de Cálculo Cálculo para rpara repasar epasar integrales.integrales. •
• Manual Manual del del Estudiante Estudiante Software Software MAMATLAB, TLAB, se se consigue consigue en en la la biblioteca biblioteca del del ITM.ITM. •
• Help Help sobre sobre el cel comandoomando syms.syms. •
• Help Help sobre sobre el cel comandoomando int ( ).int ( ). •
• Help Help sobre sobre el cel comandoomando plot( ). plot( ).
•
• MANUAL BMANUAL BÁSICO DE MAÁSICO DE MATLAB. TLAB. Prof: Dayron ArboleProf: Dayron Arboleda. da. Se consigue en DOBLE Se consigue en DOBLE CLICK.CLICK. •