Frecuencias de la dirección del viento

1

.

2:

5

1

1)

•

3

rz.

·

.

-

--B

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NI~OGI\

NOTAS DE CLIMATOLOGIA

3

PROGRAMA DE APLICACIONES Y REDES ESPECIALES

'

(Z.:

~~

F

e

e..

10

06~'"\~

DISTRIBUCION DE

VALORES

EXTREMOS (PERIODOS

D

E RETORNO)

~

n

-

¿

1 •

Andr~s

lnanco Garcia

Jefe Secci6n Estudios Climatol6gicos

DISTRIBUCION DE VALORES EYTREMOS (PERIODOS DE RETORNO)

---Para el estudio de una serie homogénea de n valores extremos independientes,

~'

x2'

x3' ...•.. '

xn

(A)

correspondientes a una variable aleatoria x representativa de un cierto fen6meno

que transcurre en el tiempo, pueden seguirse varios

m~todos;

uno de los

que

dan

mejores resultados es el de Gumbel que parte de la funci6n de distribuci6n

F

(x)

=

Prob (

w

<

x)

=

e

-

e

- o<.

(x -

u)

en la que

<::><.

y u son parámetros con

estimaciones

(

v~ase bibliografia)~

y,

por tanto

X.

o<

=

S

n

S

D<.

(x -

u)

=

y

u

S

n

S

=

X -

y •

~

n

S

n

[ (x.

- i)2

(B)

(C)

[

J

~ ~

siendo

:z:

=

y

S

=

la media aritmética y la des"Viaci6n

__

n

n

1

tipica de la serie

(A)

_{de valores extremos,}

_e

[

yi

J

[

(yi

-Y

)2

y

_S

n

_(D)

=

y

=

L -~·

n

n

n

n

la media y desviaci6n tipica de la serie

-

L (L

~__!__),

- L (L

n

+

1

₎

'

-

L (L

n

+

1

)

(E)

yl

=

y2

=

....

'

yn

=

1

2

n

•

..

Se demuestra (v. bibliografia) que si

Y

______..

Constante de EuJ.er

=

0,5772156 ••••••

n

y

que

S

n

=

~,2825498

...•

-

2

-Cuando en la serie (A) los términos son valores extremos anuales, se denomi-

,;;,::

·

na

11

_{periodo de retorno}

11

_{o de}

11

_recurrencian

_al

_{inter-valo medio T, expresado en}

_año~:.

en que el valor extremo alcanza o supera el valor particular X una vez solamente

- ot

(x -

u)

De (B) se deduce:

Prob (

w

~

x)

=

l. -

F (x)

₌

l. -

e

-

e

y,

teniendo en cuenta la definici6n de periodo de retorno, resulta

T

=

de donde

-o<.

(x -

u)

- e

e

=

l. -

e

-

e

-

0<.

(x -

u)

y de aqui, tomando dos veces logaritmos neperianos, se llega a

ex

(x -

u)

=

- L (- L

T -

l. )

T

=

-L (-L

T

)

T -

l.

T -

l.

T

(F)

Igualando los ú.l.tilnos

-

miembros de (C)

y

(F)

y

despejando x (x tendrá ahora

la significaci6n

dada

antes a X) resulta

X

=

Ka

+

ll

en l.a que K, denominado factor de frecuencia, es

K.r-

y

K

₌

n

(G)

S

n

donde se ha hecho

~

=

-

L (L

T

)

(H)

•

- 3

Es de notar que tanto KT como yi

= -

L (L

n

+

1

),

t~rmino

general de la a&

i

rie (E), son variables reducidas, por lo cual K es adi.mensional..

La

determinaci6n de K mediante (G) exige el cálculo previo de KT por (H) par:

los T que interesen, y de

Y

y S

por las (D) aplicadas a (E) para cada n concret1

n

n

una simplificaci6n de este cálculo puede hacerse con la tabla auxiliar de la p4g.

4,

que da valores de Yn y Sn en funci6n de n, y de KT en funci6n de T.

Resulta útil tabular K para los distintos n y T más usuales, tal como se ha

hecho en la tabla de la página 5

que permite obtener fácilmente los valores

de K correspondientes a los n y T que incluye.

Los valores de K dados por la tabla, o calculados directamente mediante (G),

son aplicables a series (A) de valores máximos; para las de mínimos es

fác~

ver

(bastaría multiplicar por -1 los

t~rminos

de la serie de minimos para

-

trahs:tormar.

la en otra de máximos) que los valores de K han de tomarse con signo opuesto. Es

decir, los valores de K obtenidos por la tabla o por (G), llevados a la expresi6n

+

X

= -

Ks

+

:x:

permiten finalmente determinar los X correspondientes, debiendose tomar del doble

signo que antecede a K el positivo para series de valores máximos y el negativo

para las de mínimos.

Para evaluar la exactitud de los X calculados, es conveniente determinar el

intervalo de confianza

X:!:

t

(c)·M

en el interior de cuyos límites es de esperar se encuentre el valor de X, para

niveles, e, de confianza dados. Los valores de t(c) para los niveles de confianza

más utilizados son

e

=

95

%

t(c)

₌

1,960

e

=

90

%

t(c)

₌

l.,6.q.5

e

₌

80

%

t(c)

₌

1,282

e

₌

68

%

t(c)

₌

1,000

En la mayor parte de los casos, l.os valores de M pueden calcularse por medio

de la f6rmula

S

en la que, para la distribuci6n de Gumbel,

_m

=

V

1,1 K

2

+

1,14 K

+

1

siendo K el valor dado por (G) o por la tabla de la

p~g.

5.

4

-Valores de

y

_y

_S

en funci6n de n

n

_n

n

y

sn

n

_yn

_sn

n

10

0.495207

0.949625

60

C.552884

1.174665

1 1

0.499614

0.967580

61

0.552385

1.175860

12

0.503498

0.983270

62

0.552678

1.177024

13

0.506951

0.997127

63

0.552963

1.178158

14

..

0.510045

1.009478

64

0.553241

1.179263

15

0.512836

1.020571

65

0.553512

l. 180341

16

0.515369

1-030603

66

0.553776

}.,181392

17

0.517680

1.039730

67

0.554034

1.182418

18

0.519798

1.048076

68

0.554285

1.183420

t ~: r ··

19

0.521749

1.055746

69

0.554530

1.184398

20

0.523552

1.062822

₇₀

_0.554770

_1.185353

21

0.525224

1.069377

₇₁

_0.555004

_1.186287

l.2

0.526779

1.075470

72

0.555232

1 • 1 8 7 1 99

23

0.528231

1.081152

73

::>.555455

1.11;8091

24

0.529590

1.086464

74

C.555673

1.188964

25

0.530864

1.091446

7S

0.555887

1.11:l9818

26

0.532062

1.096128

76

0.556095

1.190653

l.7

_0.533191

l .

100539

77

0.556299

1.191471

2H

0.534257

1.1047(

·

3

₇₈

_0.556499

_1.192272

29

0.535266

1.108641

79

0.556695

1.193056

30

0.536221

1.112374

₈₀

_0.556886

_1.193824

j1

_0.537128

_1.115917

81

0.557073

1.194577

32

0.537990

1.119285

₈₂

_0.557257

_1.195315

33

0.538811

1.122493

₈₃

_0.557437

_1.196038

34

0.539593

1.125552

84

0.557613

1.196747

35

0.540340

1.128472

₈₅

_0.557786

_1.197443

36

0.541053

1.131265

₈₆

_0.557955

_1.19!:3126

j ]

_0.541736

_1.133937

87

0.558121

1.198795

j8

_0.542390

_1.136498

₈₈

0.558284

1.1994-53

j9

0.?43018

1.138955

₈₉

_0.558444

_1.200098

40

0.543620

1.141315

90

0.553601

1.200731

4 1

0.544198

1.143582

91

0.558755

1.201353

42

0.544754

1.145764

92

0.558906

1.201964

43

0.545289

1.147865

93

0.5~9055

1.202564

44

0.')4';805

1.149890

94

0.559201

1.203154

45

0.546302

1.151843

95

0.55')344

1.203734

46

0.546781

1.153728

96

0.559484

1.204304

47

0.547244

1.155549

97

0.559623

1.204864

48

0.547691

1.157310

98

0.559758

1.205414

49

0.548124

1-1~9012

99

0.559892

1.205956

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50

0.548542

1.160661

51

0.548947

1.162257

CD

0.577216

l.

282550

52

0.~49339

_1.163804

53

0.549719

l.l653G5

_{Valores de KT para los}

mas

,

_{usuales de T.}

54

0.550087

1.166760

T

KT

T

KT

55

0.558445

1.168173

56

0-550792

1.169546

2

0,3665l3

30

3,384294

57

0.551128

1.170880

5

1,499940

4Q

_3,676247

58

_0.551456

_1.172176

_lO

_2,250367

₅₀

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59

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1.173438

15

2,673752

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20

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J. J 5

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6

-EJEMpLO

~Q

Rachas MAXIMA..S (en Km/h.) de viento anuales en

e~

Observatorio de San

Fernan-do (

Cádiz).

Año

~965

66

67

68

69

70

7~

72

73

74

75

76

77

78

79

1980

Km/h.

100

87

~02

9~

97

87

102

92

96

90

~o~

86

105

100

~02

98

n

=

~6

:X

=

96,0

S

=

6

,27~6

Para

T

=

2

y

T

=

5

Obtenemos en

~a tab~a

K (16,2)

= -

0,~444

; K

(~6,5)

=

0,9553

Aplicando

X

=

Ka

+

x

saJ.e

x 2

= -

o,1444

x

6,27~6

+

96,0

=

95

x

5

=

0,9553

x

6,27~6

+

96,o

=

~02

Operando de igual. modo resu1 ta

T

(años)

X

(Km/h.)

2

.

95

5

~02

~o

~07

25

ll2

50

ll7

~00

~21.

Cálcu1o de

~os

llmi

tea

de~ interv~o

que

inc~u­

ye, p.

ej., a

x

25

=

ll2,

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·

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9.5%:

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₌

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_(~6,25)

=

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_.....

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x

(2,6035)

2

+

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X

2,6035

+

~

=

=

3,3799

6,27~6

V16

M

=

3,3799

=

5,2993

x

7

-EJEMFLO

2Q

Precipitaciones

M.A.XIM.A.S

(mm.) en 24 horas en Vide de .AJ.ba (Zamora)

Año

mm.

1.951

58,3

52

38,6

53

30,1.

54

44,6

55

40,2

56

39,3

57

27

,l.

58

28,5

59

38,9

60

30,6

61.

41.,2

62

36,1.

63

65,0

64

30,4

65

40,1.

66

48,2

67

26,1.

68

46 1

'

69

46,4

70

40,8

n

50,6

72

30,2

73

56,2

1974

41.,5

n

=

24;

x

=

40,629a;

S

=

1.0,1.755

Para T

=

2, obtenemos en la tabla

K (24,2)

= -

0,1.501

Aplicando X

=

Ks

+

i

sale

x

₂

= -

o

,1.501.

::z::

1.0,1755

+

40,

6~2

=

39,1.

.

Operando de igual modo re.sul.ta:

T

(años)

X

(mm.)

2

39,1

5

49,7

10

56,7

20

63,5

30

6?,4

50

72,2

100

?B,B

CUcuJ.o de los límites del. i.ntervaJ.o que incluye,

p. ej., a

x

30

=

6?,4, con un nivel de confianza

del

800.-0:

e

₌

80%;

t(c)

=

1.,282;

K

(24,30)

=

2,6275

~

1,1

::z::

2

2,6275

+

1

=

3,4043

m

₌

(2,6275)

+

1.,14

::z::

M

₌

_3,4043

10ll755

=

7,0710

v24

- 8-

.

EJEMPLO

30

Temperaturas MINIMAS absol.utas de ENERO en el. Observatorio del. Retiro (Madrid

Año

oc.

1941

7,6

42

- 5,2

43

2,3

44

- 4,0

45

- 10,1

46

_{- 5,6}

47

- 5,2

48

2,6

49

- 2,3

50

- 2,5

5l.

- 4,0

52

- 6,4

53

- 3,0

54

- 5,2

55

0,6

56

- 3,0

57

- 7,0

58

- 3,6

59

- 1,6

60

- 5,0

61

- 2,2

62

- 2,0

63

- 2,4

64

2,8

65

3,6

66

0,2

67

- 2,2

68

_{- 4,8}

69

- 2,2

1970

o,o

n

=

30

X

= -

3,5867 ;

S

=

2,34o9

Para

T

=

2 y

T

~

=

5 obtenemos en l.a tabl.a

K (30,2)

= -

0,1526 y K (30,5) = 0,8664

Por tratarse de

una

serie de MINIMOS apl.icamos

X

= -

Ks

+

x

resul. tando

x

_{2 = 0,1526 x 2,3409 - 3,5867 = - 3,2}

x

₅

= - o,8664 x 2,34o9 - 3,5867

= -

5,6

Operando de igual. modo resul.ta

T (años)

X (QC.)

-2

_{- 3,2}

5

- 5,6

l. O

- 7,2

20

8,7

30

_{- 9,6}

50

- 10,7

75

ll,5

l. OO

- l.2,l.

Cálculo de l.os

l.í.mi

tes del. interTalo que incl.uye,

P• ej., a

x

50

=- 10,7, con un nivel de confianza

del. 90%:

e = 90% ;

t(c)

=

1,645

K(30,50)

=

3,0257

M

=

3,8105

X

!

t(c)M

=-

10,7

:!:

1,645 x 1,6286

50

+

{

9

-BIBLI OGRAFIA

1.- Guía de Prácticas Hidrometeorol6gicas.-O.M.H. nQ 186.-T.P. 82.- 1970.

2.- HidrologÍa y recursos hidráulicos.-Por Rafael Heras.-Centro de Estudios

_\

Hidrográficos. -Madrid.- 1972.

3.- Precipitaciones máYirnas en España.-Por F. Elías y L.

Ruiz.-ICONA.-Mono-grafía 2l.-Madrid.- 1979.

4.-

Que1ques Méthodes de L'Ana1yse Climato1ogique.-Por H.C.S.

Thom.-O.M.M. nQ 199.- N.T. nQ 81.

5.- Statistics of extremes.-By E.J. Gumbe1.-Co1umbia University Press.- 1958.

6.- Las T.ABLA.S han sido calculadas por el Servicio de Informática del I.N.M.

Madrid, Mayo 1983