PROPIEDADES DE LOS REALES.pdf

(1)

Propiedades de los Reales

1. Descubrir las propiedades de los números

Reales

(2)

2 Números enteros (Z) Números Reales (R) Números

irracionales (Q´= I)

Números Enteros negativos Z -Cero (0) Números Enteros positivos Z+ = N

(3)

3

Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto representaría un número real, de ahí que a dicha recta suela llamársele recta real o eje real.

La recta numérica real (R)

- -3 -2 -1 0 1 2 3 

3



2



(4)

4

- 9 2,34 π + 1 - ¾ 3 ℮ ⅞

N

Z

Q

Q*

R

Complete la siguiente tabla

(5)

Ejercicio 1

-2 + 3 = 3 + -2

7 + 1/7 = 1/7 + 7

-6 + -2 = -2 + -6

3 + (a + b) = (a + b) + 3

x + (2

.

8) = (2

.

8) + x

(6)

Exploración Ejercicio 1

• ¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?

• ¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación (el orden de los números o la forma como están agrupados)?

• ¿Qué operación matemática se afectó con el cambio: suma o multiplicación?

(7)

Ejercicio 2

3

.

(-5) = (-5)

.

3 2x = x

.

2 (a + b) 2 = 2 (a + b)

(-6)

.

ab = ab

.

(-6)

½

.

(10 + 4) = (10 + 4)

.

½

(8)

Exploración Ejercicio 2

(9)

Análisis de Ejercicios 1 y 2

• Conmutar significa intercambiar de orden.

• La propiedad que asegura que al intercambiar el orden de los números se obtiene el mismo el

resultado se llama: Conmutativa.

• Si la operación que se afecta es suma, se llama Conmutativa de la Suma.

(10)

Propiedad Conmutativa

A continuación aparece la forma general

de expresar la propiedad conmutativa:

• Conmutativa de la Suma

a + b = b + a

• Conmutativa de la Multiplicación

(11)

Ejercicio 3

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

-7 + (-1 + 5) = (-7 + -1) + 5

(2x + 5) + 10 = 2x + (5 + 10)

(12)

Exploración Ejercicio 3

(13)

Ejercicio 4

(-1

.

5)

.

4 = -1

.

(5

.

4)

(xy)

.

2 = x

.

( y

.

2)

-5 (ab) = (-5a)

.

b

-7

.

(-1

.

5) = (-7

.

-1)

.

5

(14)

Exploración Ejercicio 4

(15)

Análisis de Ejercicios 3 y 4

• Asociar significa agrupar.

• La propiedad que asegura que al cambiar la

agrupación de los números se obtiene el mismo el resultado se llama: Asociativa.

• Si la operación que se afecta es suma, se llama Asociativa de la Suma.

(16)

Propiedad Asociativa

A continuación aparece la forma general

de expresar la propiedad asociativa:

• Asociativa de la Suma

(a + b) + c = a + (b + c)

• Asociativa de la Multiplicación

(17)

Ejercicio 5

3 ( 4 + 1) = 12 + 3

7 ( x - y) = 7x - 7y

a (-2 + 5) = -2a + 5a

-2 (5 + -4) = -10 + 8

12x + 24 = 12 (x + 2)

(18)

Exploración Ejercicio 5

• ¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación?

• ¿Qué operaciones matemáticas se incluyen en cada ecuación?

(19)

Análisis de Ejercicio 5

• Esta propiedad es la única que une dos operaciones en el mismo ejercicio: suma y multiplicación.

• Recuerda que la resta se puede ver como una suma de opuestos, por tanto solo decimos suma y no

resta.

• Esta propiedad asegura que al multiplicar un número por una suma se obtiene el mismo

(20)

Análisis de Ejercicio 5

• Esto significa que la multiplicación de un

número por una suma se distribuye en la

suma de las multiplicaciones, del número

por cada uno de los sumandos.

• Por esto, esta propiedad se llama:

(21)

Propiedad Distributiva

A continuación aparece la forma general

de expresar la propiedad distributiva:

• Propiedad Distributiva

(22)

Ejercicio 6

7 + 0 = 7

-2 + 0 = -2

0 + 3/5 = 3/5

(23)

Exploración Ejercicio 6

• ¿Qué operación matemática se incluye en cada ecuación?

(24)

Análisis de Ejercicios 6

• En cada una de las ecuaciones se suma 0 y el

resultado que se obtiene es el número al cual se le ha sumado 0.

• La propiedad que asegura que al sumar 0 a cualquier número, el número no pierde su identidad, esto

significa que se obtiene como resultado el mismo número, se llama: Identidad.

(25)

Ejercicio 7

3

.

1 = 3

-6

.

1 = -6

1

.

a = a

1

.

-xy = -xy

(26)

Exploración Ejercicio 7

(27)

Análisis de Ejercicios 7

• En cada una de las ecuaciones se multiplica por 1 y el resultado que se obtiene es el número al cual se ha multiplicado por 1.

• La propiedad que asegura que al multiplicar

cualquier número por 1, el número no pierde su identidad, es decir, se obtiene como resultado el mismo número, se llama: Identidad.

• En este caso, como la operación es multiplicación la propiedad se llama: Identidad de la

(28)

Propiedad de Identidad

A continuación aparece la forma general de expresar la propiedad de identidad:

• Identidad de la Suma a + 0 = a

(29)

Ejercicio 8

2 + -2 = 0

-5 + 5 = 0

¼ + -¼ = 0

-2/3 + 2/3 = 0

(30)

Exploración Ejercicio 8

(31)

Análisis de Ejercicio 8

• En cada una de las ecuaciones se suma el opuesto de cada número y se obtiene como resultado 0, que es el elemento identidad de la suma.

• Recuerda que el opuesto de un número se halla cambiando el signo del número: positivo o

negativo.

• La propiedad que asegura que al sumar dos

(32)

Ejercicio 9

2/5

.

5/2 = 1

-3/4

.

-4/3 = 1

2 ½ = 1

1/3

.

3 = 1

1/6

.

6 = 1

(33)

Exploración Ejercicio 9

(34)

Análisis de Ejercicio 9

• En cada una de las ecuaciones se multiplica por el recíproco de cada número y se obtiene como

resultado 1, que es el elemento identidad de la multiplicación.

• Recuerda que el recíproco de un número se construye invirtiendo las cantidades en el

(35)

Análisis de Ejercicio 9

• Recuerda que si el número es entero al

escribirlo como fracción se coloca sobre 1

(ejemplos: 2/1, 7/1, -5/1).

• La propiedad que asegura que al multiplicar

dos recíprocos se obtiene como resultado

(36)

Propiedad de Inversos

A continuación aparece la forma general

de expresar la propiedad de inversos:

• Inverso de la Suma

a + (-a) = 0

• Inverso de la Multiplicación

a . (1/a)= 1

(-a)

(Opines)

(1/a)

(37)

Ejercicio 10

5

.

0 = 0

-2

.

0 = 0

½

.

0 = 0

0

.

(-8) = 0

0

.

(1.9) = 0

(38)

Exploración Ejercicio 10

(39)

Análisis de Ejercicio 10

• En cada una de las ecuaciones se multiplica

por 0 y se obtiene como resultado 0.

• La propiedad que asegura que al multiplicar

cualquier número por 0 se obtiene 0, se

(40)

Propiedad Multiplicativa del 0

A continuación aparece la forma general

de expresar la propiedad de multiplicativa

del 0 :

• Propiedad Multiplicativa del Cero

(41)

Identifica la Propiedad

(6 + 8) + 2 = (8 + 6) + 2

(6 + 8) + 2 = 6 + (8 + 2)

(6 + 8) + 2 = 6 + (2 + 8)

3

.

(4 + 1) = (4 + 1)

.

3

.

(4 + 1) = (1 + 4)

.

3

.

_{(4 + 1) = 12 + 3}

6

.

_{(5 + -2) = 30 – 12}

(42)

Identifica la Propiedad

–18 + 18 = 0

–18

.

0 = 0

-18

.

-1/18 = 1

-18 + 0 = -18

-18

.

1 = -18

5

.

₍₆

.

_{-2) = (5}

.

_{6 )}

.

_-2

(43)

Identifica la Propiedad

(-2

.

5) + 4 = 4 + (5

.

-2)

(-3

.

3) + 1 = (3

.

-3) + 1

8 + 12 = (4 + 6)

.

2 (-1

.

3)

.

5 = (5

.

-1)

.

3

6

.

0 = 0

7 + 0 = 7

0

.

_{-2 = 0}

(44)

Identifica la Propiedad

-3 = -3 + 0

0 = -9 + 9

0 + 0 = 0

0

.

0 = 0

0

.

35 = 35

22

23

24

25