Guia_Espacios vectoriales.pdf

(1)

___________________________________________________________________________________ Universidad Diego Portales – Instituto de Ciencias Básicas – Ingeniería Civil

1

Espacios Vectoriales

Espacios y subespacios vectoriales

1. Demuestre que ℜcon la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real. 2. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma usual.

a) Para la multiplicación por escalar

α

∈ℜ:

α

(a+bi)=

α

a+

α

bi, demuestre que C es un espacio vectorial real.

b) Para la multiplicación por λ=α+βi∈C: λ(a+bi)=(αa−βb)+(αb+βa)i, demuestre que C es un espacio vectorial complejo.

3. Demuestre que en un espacio vectorial V sobre K se verifica: a) α ⋅ 0_V = 0_V, ∀α ∈ K

b) 0⋅ v = 0_V, ∀v∈V c) αv = 0 ⇒ (α = 0 ∨ v = 0)

4. Demuestre que ℜ2 no es un espacio vectorial sobre ℜcuando se considera la suma y el producto por escalar definidos como sigue:

( ) (

x,y + x',y'

) (

= x + x', 0

)

( ) (

x,y = αx,0

)

α

5. Considere el conjunto ℜ+ y las siguientes operaciones +

ℜ ∈ ⋅

=

⊕ y x y, parax,y

x ,

+

α _α _∈_ℜ _∈_ℜ

= ⊗

α x x , , x

a) Evalúe

4 1 2 1

⊗ , 7

5 3

⊕ y -3 ⊗

(

6⊕2

)

,

b) Demuestre que IR con estas operaciones es un espacio vectorial real. +

6. Sea V= ℜ+ × ℜ+. En V se define la suma y la multiplicación por escalar real así:

( ) (

x, y + x', y'

) (

= xx', yy'

)

( )

=

(

)

α∈ ℜ α x, y xα, yα ,

a) Determine v + 3w y 2v – 3w para v = (1, 2) y w = (2, 1).

(2)

2 c) Encuentre α,β∈ ℜ tales que

( )

1, 3 =α

( ) ( )

2, 2 +β 3, 1 .

7. ℜ2 con las operaciones suma y producto por escalar que se definen a continuación no es un espacio vectorial sobre ℜ; indique por qué.

( ) ( ) (

x,y + a,b = x +a, 0

)

, α

( ) (

x, y = αx, αy

)

, con α∈ℜ

8. ℜ2 con las operaciones suma y producto por escalar que se definen a continuación no es un espacio vectorial sobre ℜ; indique por qué.

( ) ( ) (

x, y + a,b = x + a,y +b

)

, α

( ) (

x,y = αx, y

)

, con α∈ℜ 9. Establezca si los siguientes conjuntos V son o no espacios vectoriales reales.

a) V=

{

( )

x,y ∈ℜ2 / x≥y

}

con la suma y multiplicación por escalar habituales de

2

ℜ .

b) V= ℜ3 con la suma habitual de ℜ3 y la multiplicación por escalar

(

x,y,z

) (

= αx,0, αz

)

α .

c) / a, b }

1 b

a 1 {

V _ ∈ℜ

    

= con la suma y multiplicación por escalar usuales en

( )

ℜ

2

M .

d) V= {ax +ax2 / a ∈ℜ} con la suma y multiplicación por escalar usuales de

[ ]

x.

P₂

e) V= { f :

] [

a,b →IR /f es derivableen

]

a, b

[

} con la suma y multiplicación por escalar usuales de las funciones reales.

10. Sea V espacio vectorial sobre el cuerpo K. Demuestre que V y

{ }

0_v son subespacios de V.

11. Averigüe si los siguientes conjuntos son o no son subespacios vectoriales de ℜ3. a) W =

{

(

x ,y ,z

)

∈ℜ3/ x −y +2z =0

}

b) W =

{

(

x ,y ,z

)

∈ℜ3/ x− y=0∧z=1

}

c) W =

{

(

x ,y, z

)

∈ℜ3/ x=y =z

}

d) W =

{

(

a ,b, c

)

∈ℜ3 / a≤ b≤c

}

e) W =

{

(

a, b, c

)

∈ℜ3/ a∈Q

}

(3)

3 12. Decida si los siguientes conjuntos son o no son subespacios vectoriales de M_n

( )

ℜ .

Justifique sus afirmaciones.

a) W =

{

A ∈ M_n

( )

ℜ / A esdiagonal

}

. b) W =

{

A∈ M_n

( )

ℜ / A esinvertible

}

. c) W =

{

A ∈M_n

( )

ℜ / Aesantisimétrica

}

. d) W =

{

A ∈ M_n

( )

ℜ / A2 =I_n

}

.

e) W=

{

A∈M_n

( )

ℜ / tr

( )

A =0

}

.

13. Sea A matriz real de orden mxn. Demuestre que U =

{

X ∈ℜn / AX = 0

}

es un subespacio de ℜn.

14. Determine si los siguientes conjuntos son o no subespacios vectoriales de P₂

[ ]

x . En caso de serlo, demuéstrelo.

a) W=

{

a +bx +cx2∈ P₂

[ ]

x /a =b=c

}

b) W=

{

a +bx +cx2∈ P₂

[ ]

x /a +b +c=1

}

c) W=

{

a +bx +cx2∈P₂

[ ]

x / a+2b+c=0 ∧ a −b−2c =0

}

d) W =

{

p

( )

x ∈P₂

[ ]

x / p

( )

0 =1

}

15. Determine si los siguientes conjuntos son o no son subespacios vectoriales del espacio

(

A;ℜ

)

F de todas las funciones reales definidas en el dominio A. Justifique su respuesta.

a) W =

{

f ∈F

(

ℜ, ℜ

) ( ) ( )

/ f 0 =f 1

}

. b) W =

{

f ∈F

(

ℜ, ℜ

)

/f esfunción par

}

.

c) W =

{

f ∈F

(

[ ]

a,b,ℜ

)

/f es integrable en

[ ]

a,b

}

.

d) W f F

(

[ ]

a,b,

)

/ f esintegrable en

[ ]

a,b bf 1 .

a _

 



 _∈ _ℜ _∧ ₌

=

_∫

16. Sea U =

{

(

x, y, z, w

)

∈ℜ4/ 2x+3y−w =0 ∧ z =0

}

. a) Demuestre que U es un subespacio vectorial del ℜ4

(4)

4 17. Encuentre tres subespacios vectoriales no triviales de ℜ3 y tales que sus

intersecciones de dos en dos sean {0}.

18. Muestre que la unión de dos subespacios de un espacio vectorial V no necesariamente es un subespacio de V.

19. En cada caso, encuentre el subespacio U∩ W de los subespacios U y W dados.

a) U =

{

(

x₁, x₂, x₃, x₄

)

∈ℜ4/ x₁− x₄ =0

}

(

)

{

x , x , x ,x / x x 2x 3x 0

}

W = ₁ ₂ ₃ ₄ ∈ℜ4 ₁+ ₂ − ₃+ ₄=

b)

( )

      = − + ℜ ∈      

= M / a 2b 3d 0

d c b a U ₂

( )

      = + ℜ ∈      

= M /b c 0

d c

b a

W ₂

c) U =

{

a + ax2∈ P₂

[ ]

x / a∈ℜ

}

[ ]

{

a bx cx P x / a b c 0

}

W = + + 2∈ ₂ + + =

Combinaciones lineales - Generadores

20. Considere el espacio vectorial real ℜ2 y los conjuntos S = {(4, 1)}, T = {(a, b)} y R = {(1, 2), (3, 6)}. Describa algebraica y geométricamente < S >, < T > y < R > los subespacios generados por S, T y R respectivamente.

21. Sean u = (-1, 2, 3, 1), ₁ u = (0, 2, 4, -1), ₂ u = (5, 1, 1, 3), ₃ u = (1, 0, -1, 4). ¿Existen ₄ escalares reales α₁,α₂, α₃,α₄ tales que α₁u₁+α₂u₂ +α₃u₃+α₄u₄= (-2, 3, 6, -8). 22. Sean u = (2, 1, 0, 3), v = (3, -1, 5, 2), w = (-1, 0, 2, 1). ¿Cuáles de los siguientes

vectores a = (5, -5, 0, 10), b = (-2, 1, -2, 1) está en el espacio generado por u, v y w? 23. En cada caso, escriba el vector v como combinación lineal de los vectores v ._i

a) v = (8, 4, 2), v

(

1, , 2

)

, v₂

(

2,1,5

)

2 1

1 = − =

b) v= x2−x; v₁ = x2−x +2, v₂ =2x2−3x −1, v₃ =x +3.

c) . 0 1 0 1 v , 0 1 1 1 v , 1 1 0 1 v , 2 4 1 2

v ₁ ₂ ₃ _

(5)

5 24. Determine, en cada caso, si el vector v pertenece al espacio generado por el conjunto S.

a) v= 3−4x−2x2+8x3, S=

{

2−x+3x2+2x3, 1+x+6x2−5x3, −1+x+x2−8x3

}

.

b) v= x3+4x2 − x−1, S=

{

x2+x+2, x3+x+1, 2x3+x2−1

}

. c)             −             − =       = 3 0 1 1 , 3 1 0 1 , 2 0 2 4 S , 1 2 1 2 v

25. En cada caso, muestre un vector del espacio V que no pertenezca al subespacio generado por el conjunto S, que se denotará <S>. Determine la condición que deben cumplir los vectores de V para pertenecer al subespacio <S>.

a) V = ℜ4, S = {(1, 0, 0, -1), (0, 1, -1, 0)}

b) V = ℜ4, S = {(1, 0, 2, -1), (0, 1, -1, 3), (-1, 1, 0, 1)} c) V= P₂

[ ]

x, S=

{

2, x −1, 2x2+4

}

d)                   −       = ℜ = 1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 0 0 1 S ), ( M V ₂

26. En el espacio ℜ3 considere S = {(2, -1, 6), (-3, 4, 1)} y T = {(-1, 3, 7), (8, -9, 4)}. Muestre que <S> = <T>.

27. Muestre que el espacio vectorial ℜ3 no está generado por los vectores v = (1, 0, 1) y u = (4, 1, 2), pero que ℜ3 si está generado por v, u y w = (2, 1, 1).

28. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Demuestre que 0_V∈<S> y que

V S cualquier para , S

S⊆< > ⊆

29. Determine un conjunto finito que genere al subespacio W si, a) W = {(x, y, z) ∈ℜ3 : 2x – 3y + 4z = 0}

b) W =

{

A∈ M₃

( )

ℜ : A es simétrica

}

c) W=

{

a + bx+cx2 + dx3 ∈ P₃

[ ]

x / a+ b+d=0∧3b−c−d =0

}

(6)

6 Dependencia lineal

31. Sean (a, b) y (c, d) vectores del espacio ℜ2. Demuestre que si ad – bc = 0, entonces estos vectores son l.i.

32. Determine si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial V dado son l.i. o l.d.

a)

{

(

1,−1

) ( ) (

, 1,2 , 3,−2

)

}

, V = ℜ2

b)

{

(

1,−3,0

) (

, 3,0,4

) (

, 11,−6,12

)

}

, V = ℜ3

c)

{

x −1,

(

x −1

)

2, 2x − 3

}

, V = P₂

[ ]

x

d)

{

f

( )

x = x, g

( )

x = x2

}

, V = F

(

ℜ;ℜ

)

e) =

( )

ℜ

  

  

   

 

− 

  

  −    

 

− 

  

  −

2

M V , 1 3

0 5 , 1 1

4 0 , 2 2

0 3 , 1 1

2 1

f)

{

(

1, −1, 0, 6

) (

, −1, 0, 3,1

) (

, 1,1, −1, 2

) (

, 0,1,1, 0

)

}

, V = ℜ4

g)

{

2x, x3 −3, 1+ x − 4x3, x3+18x − 9

}

, V = P₃

[ ]

x

33. Encuentre 3 vectores de ℜ3 que sean l.d. y tales que dos cualesquiera de ellos sean l.i. 34. Suponga que v1, v2, v3 ∈ℜ3 tienen sus puntos iniciales en el origen. En cada caso

determine si ellos pertenecen a un mismo plano: a) v1 = ( 1, 0, −2), v2 = ( 3, 1, 2), v3 = ( 1, −1, 0)

b) v1 = ( 2, −1, 4), v2 = ( 4, 2, 3), v3 = ( 2, 7, −6)

c) v1 = ( 3, −6, 9), v2 = ( 2, −4, 6), v3 = ( 1, 1, 1)

d) v1 = ( 4, 6, 8), v2 = ( 2, 3, 4), v3 = ( −2, −3, −4)

35. Encuentre todos los valores k∈ ℜ de modo que el conjunto S sea l.i. si: a) S = { (1 + k, 1 – k) , (1 – k, 1 + k) }⊂ℜ2

b) S = { (1, k, 0), (-1, 2, 1), (2, -1, k) } ⊂ℜ3

36. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Demuestre que: a) { v } es l. i. ⇔ v≠0

b) { v, u } es l. d. ⇔ v es un múltiplo escalar de u c) 0∈S ⇒ S es l. d.

(7)

7 38. Sea

{

v₁,v₂, v₃

}

⊂ V conjunto l.i. Demuestre que:

a)

{

v₁ +v₂ −v₃, v₂ +v₃,2v₁

}

es l.i. b)

{

v₁ +v₂, v₁ − 2v₂ + v₃, v₁ − v₃

}

es l.i.

39. Si

{

v₁,. . . . .,v_k

}

⊂ ℜn y k > n, demuestre que

{

v₁,...,v_k

}

es l.d.

Base – Dimensión - Coordenadas

40. Explique por qué los siguientes conjuntos de vectores no forman una base para el espacio vectorial que se indica (resuelva a simple vista)

a) {(1, 2), (0, 3), (2, 7)} para ℜ2 b) {(-1, 3, 2), (6, 1, 1)} para ℜ3

41. Determine si los conjuntos B dados forman o no una base del espacio vectorial real V. a) B = {(3, 2), (-1, 4)}, V = ℜ2

b) B = {(3, 9), (-4, -12)}, V = ℜ2 c) B = {(1, 1, 2), (0, 1, -1)}, V = ℜ3

d) B = {(2, -3, 1), (4, 1, 1), (0, -7, 1)}, V = ℜ3

e) B = {(2, -1, 0, 1), (3, 0, 1, -2), (1, -1, 1, -1}, V = ℜ4 f) B =

{

1, 1+ x2,1+x −2x2

}

, V =P₂

[ ]

x .

g) B = , V M ( )

1 1

2 1 , 1 0

1 0 , 0 1

0 1 , 1 1

0 2

2 ℜ

=   

  

   

 

− − 

        

  − −    

 

−

42. Sea W subespacio de ℜ2, W ≠ ℜ2. Demuestre que W = {0W} ó W es una línea

recta que pasa por el origen.

43. Encuentre una base para cada uno de los siguientes subespacios de ℜ3 a) El plano x – y = 0.

b) El conjunto de vectores de ℜ3 que están en el plano de ecuación 2x – y – z = 0 c) El plano definido por x + y –3z = 0

d) La recta dada por las ecuaciones paramétricas x = t, y = -2t, z = 3t, con t∈ℜ 44. En cada caso, encuentre una base y la dimensión del espacio solución del sistema de

(8)

8 a)      = + = + = + + 0 x x 0 x 2 x 0 x 3 x x 2 3 2 2 1 3 2 1 _b)    = − + − = + + + 0 w z y x 5 0 w z y x 3 c)      = + − = + − = + − 0 x 3 x 9 x 3 0 x 3 x 6 x 2 0 x x 3 x 3 2 1 3 2 1 3 2 1

45. Sean W₁, W₂ los subespacios de ℜ4 :

(

)

{

x ,x ,x ,x / x x 0

}

W₁= ₁ ₂ ₃ ₄ ∈ℜ4 ₁− ₄ =

(

)

{

x , x , x , x / x x x 0 x x 2x 0

}

W₂ = ₁ ₂ ₃ ₄ ∈ℜ4 ₁ + ₂ − ₄ = ∧ ₁ − ₃ + ₄ =

Muestre una base y determine la dimensión de cada uno de los siguientes subespacios

2 1 2

1 2

1, W , W W y W W

W ∩ + .

46. Encuentre una base y determine la dimensión de los subespacios de P₂

[ ]

x : U∩W y U + W si U =<

{

1−x, 1+2x2

}

> y W=<

{

x, x+ 2x2

}

>

47. Determine todos los valores reales de k tales que S es una base de ℜ3: a) S = {(2, 1, 1), (1, 2k, k), (1, k, -k)}

b) S = {(k - 1, k, k), (1 – 2k, k + 2, 2k), (k, k, 2k)}

48. Si B =

{

v₁, v₂, v₃

}

es una base de un espacio vectorial V, demuestre que

{

v1+v2 +v3,v1+v2, v1

}

también es una base de V.

49. En el subespacio ℜ3 considere los conjuntos W1 y W2 :

W1 = {(x1, x2, x3) / 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0} y W2 = {(x1, x2, x3) / x1 − x2 = 0}.

a) ¿Son W1 y W2 subespacios vectoriales de ℜ3? Pruébelo.

b) Demuestre que W1 y W2 son distintos de ℜ3.

c) Determine una base para.W1 ∩ W2.

d) Encuentre una base para W1 y W2 extendiendo la base que obtuvo en c).

e) Determine el espacio W1 + W2 y una base para él. ¿Es W1 + W2 = ℜ3?

f) ¿Cuáles son las dimensiones de W1, W2, W1 ∩ W2, W1 + W2?

g) Construya una base para ℜ3 extendiendo la que obtuvo para W2

50. Sean U₁, U₂ los subespacios de ℜ4 :

(

)

{

x ,x ,x ,x / x x x 0 x x 2x 0

}

(9)

9

{

(1,0,0,1),(0,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (2, -2, -2, 2)

}

U₂ =

a) Determine la dimensión de U₁∩U₂ b) Encuentre una base S para U ₂

c) Encuentre una base B de ℜ4 que contenga a la base S de U ₂ d) ¿Es ℜ4 = U₁+U₂?

51. Considere los subespacios de P₃

[ ]

x : W =

{

x3 +x2 −x+1, x2 +2,2x3+3x2 −2x

}

y U =

{

p(x) / p(1)=p(−1)

}

. Determine los subespacios W∩U , W + U y sus respectivas dimensiones.

52. Sea B la base ordenada de ℜ3, B = {(1, 0, -1), (-1, 1, 0), (0, 1, 1)}. Determine las coordenadas con respecto a la base B de cada uno de los vectores de la base canónica de ℜ3.

53. Considere B y C las bases ordenadas de ℜ3: B = { (1, -1, 0), (0, 1, 1), (-1, 0, 1) } y C = { (1, 0, 1), (1, 2, -2), (0, -1, 1) }. Si las coordenadas del vector v ∈ℜ3 con respecto a la base B son

[ ]

v_B = (1, -2, 3), determine las coordenadas de v con respecto a la base C.

54. Sean A y B las bases de P₂

[ ]

x : A =

{

−1+ x+2x2, 2−x−x2, −3+2x+2x2

}

y B =

{

5+2x−x2, −1+x−x2,−3x+2x2

}

. Si las coordenadas del vector p(x) con respecto a la base A son

[ ]

p(x)_A = (1, 4, -2) encuentre las coordenadas de p(x) con respecto a,

a) la base canónica E de P₂

[ ]

x b) la base B de P₂

[ ]

x

55. Considere las bases E =

{

1, x, x2

} {

, B= 1, x −1, x2−1

}

de P₂

[ ]

x . Determine las coordenadas de υ= a + bx + cx2∈ P₂

[ ]

x con respecto a la base E y con respecto a la base B.

56. Suponga que las coordenadas (o vectores coordenados) de los vectores de ℜ3,

1

u = (1, 0, -5) , u₂= (2, -1, 1), u = (-1, 4, -4) según la base ₃ B=

{

v₁,v₂,v₃

}

deℜ3

son: (-2, 2, -1), (-1, 1, 0), (2, -1, -2) respectivamente. Determine la base B.

(10)

10 58. Sean W = <

{

(

1,0,0

)

}

> y U =<

{

(

1,1,0

) (

, 0,1,1

)

}

> subespacios de ℜ3. Demuestre

que ℜ3 = W ⊕ U.

59. Sean W = <

{

(

1,0,−2

) (

, 1, −1, −1

)

}

> y U =

{

(

x, y,z

)

∈ ℜ3/ x+y−z =0

}

subespacio ℜ3. ¿Es ℜ3 = W ⊕ U ?. Justifique su respuesta.

(11)

11

Respuestas a algunos ejercicios

4. 1 (x, y) ≠ (x, y) 5. _a)

1728 1 12

1 5 21 2 1

3

,

, =

6. _{a) (8, 2) y}₍ _, ₄₎

8

1 _c) _log ₃_, ₁

2 β=−

= α 7. La suma no tiene elemento neutro (cero).

8. _{No cumple con}₍_α₊_β₎_v₌_α_v₊_β_v_,_∀_α_,_β_∈_ℜ _y _∀_v_∈_ℜ2

9. a) No; (x, y) ∈ V pero (-x, -y) ∉ V b) No; 1(x, y, z) ≠ (x, y, z)

c) No; existen A, B ∈ V pero A + B ∉ V d) Sí; V es un subespacio de P₂

[ ]

x

e) Sí; V es un subespacio del espacio de las funciones reales definidas en

] [

a,b . 11. a) Sí b) No c) Sí

d) No e) No f) Sí 12. a) Sí b) No c) Sí

d) No e) Sí

14. a) Sí b) No c) Sí d) No 15. a) Sí b) Sí c) Sí d) No 16. a) W es el subespacio generado por { (1, 0, 0, 2), (0, 1, 0, 3) }

b) La forma es (x, y, 0, 2x + 3y) , con x, y ∈ ℜ

c) Por ejemplo, U = { 0 }; también U = < {(0, 1, 0, 3)} > 17. U = {(x, y, z) / x = 0, y = 0}, V = {(x, y, z) / y = 0, z = 0},

W = {(x, y, z) / x = 0, z = 0}.

19. a) U∩W = < {(1, -4, 0, 1), (0, 2, 1, 0)`> b) U∩W =

  

  

         



 −

1 0

0 3 , 0 1

1 2

c) U∩W = { 0 }

20. _{< S > = {(x, y)} _/ _y _x

4 1

2 ₌

ℜ

∈ } recta por el origen con pendiente

4 1_.

< T > = {(x, y) / y x

a b

2 ₌

ℜ

∈ } recta por el origen con pendiente

a b_.

< S > = {(x, y) ∈ℜ2 / y=2x} recta por el origen con pendiente 2. 21. Sí, existen y son α₁ =3, α₂ =−2, α₃ =1, α₄ =−4

22. El vector a pertenece a <{u, v, w}>; a = -3u + 2v -5w. El vector b no pertenece. 23. a) v=4v₁+2v₂ b) v=−v₁+v₂+v₃

c) v no se puede escribir como combinación lineal de los vectores dados. 25. a) (1, 0, 0, 1) ∉< S >; (a, b, c, d) tal que b + c = 0 y a + d = 0.

(12)

12

d) _

     > ∉<      

d c

b a ; S 0 1

1 0

tal que b + c = 0. 27. _{v = (1, -2, 0)}_∈_ℜ3_{y v ∉}_{< {v, u} >}

29. _{a) { (3, 2, 0) } c)}

{

₋₁₊_x₊₃_x2_, ₋₁₋_x2 ₊_x3

}

32. a) l.d. c) l.i. e) l.i. g) l.d. 33. Por ejemplo, (1, -1, 1), (2, 1, -1), (-1, -2, 2)

35. _a)_k_∈_ℜ₋_{₀_}_b)_k_∈_ℜ₋_{₋₁_± ₃_}

40. _{a) vectores l.d. b) los vectores no generan a}_ℜ3

41. a) Sí b) No c) No d) Sí e) No f) Sí g) Sí

43. a) B = {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} b) B = {(0, 1, -1), (1, 0, 2)} c) B = {(-1, 1, 0), (3, 0, 1)} d) B = {(1, -2, 3)}

45. B = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} base de W , dim ₁ W = 3 ₁ B = {(1, -1, 1, 0), (0, 1, 2, 1)} base de W , dim ₂ W = 2 ₂

B = {(1, 0, 3, 1)} base de W₁∩W₂, dim (W₁∩W₂) = 1

B = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (1, -1, 1, 0)} base de W₁+W₂, dim W₁+W₂ = 3.

47. _a)_k _{₀_, _}

6 1

− − ℜ

∈ b) k {0,1, }

3 4

− −

ℜ

∈

49. c) B = {(1, 1, -1)} base de W₁∩W₂

d) B’ = {(1, 1, -1), (0, 5, -3)} base de W₁, B = {(1, 1, -1), (0, 0, 1)} base de W₂. e) B = {(1, 1, -1), (0, 5, -3), (0, 0, 1)} base de W₁+W₂. Sí, es suma directa.

f) Las dimensiones son 2, 2, 1, 3 respectivamente. g) B = {(1, 1, -1), (0, 0, 1), (1, 0, 0)} base de ℜ3. 51. W₁∩W₂ = W = U = W + U. dim W = 3 = dim U. 52. _[_e _] ₍ _, _, ₎

2 1 2 1 2 1 B

1 = − , [e2]B =(₂1, ₂1, 1₂), [e3]B =(−1₂,−₂1, ₂1)

53. [v]_B =(−2,0,3)

55. [v]_E = (a, b, c) [v]_B = (a + b + c, b, c)

57. 2

2 2

1 2 1 0 2 2 1

0 a x a x (a a a ) (a 2a )(x 1) a (x 1)

a + + = + + + + − + −