11 Diferenciación logarítmica

Diferenciación logarítmica

Existe una técnica denominada diferenciación logarítmica, que a menudo simplifica la diferenciación de y = f(x) cuando f(x) contiene productos, cocientes o potencias. El procedimiento es el siguiente

Para diferenciar y = f(x).

1. Tome el logaritmo natural de ambos miembros de la ecuación. Esto resulta en ln𝑦𝑦= ln𝑓𝑓(𝑥𝑥)

2. Simplifique ln𝑓𝑓(𝑥𝑥) utilizando las propiedades de los logaritmos

3. Derive ambos lados de la igualdad con respecto a 𝑥𝑥 ; recuerde que 𝐷𝐷𝑥𝑥[ln(𝑦𝑦)] =𝑦𝑦′ 𝑦𝑦 por la regla de la cadena, además que𝐷𝐷𝑥𝑥[ln𝑢𝑢(𝑥𝑥)] =𝑢𝑢′(𝑥𝑥)

𝑢𝑢(𝑥𝑥) 4. Despeje para 𝑦𝑦′

1. Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar dy

dx en el caso de la función:

6 4

6 3 2 ₁

( 1) ( 1) 3 x

e x x

y

x

− _{+ −}

=

+

6 4 6 4

6 6

3

2 2

1/2 1/2 1/3 1 _{( 1) ( 1)} 1

( 1) ( 1) ( 3) 3

x x

e x x e x x

y

x x

− _{+ −} − _{+ −}

= =

+ +

6 4 6

2

1/2 1/2 1/3

1

( ) x ( 1) ( 1) ( 3)

ln y =ln e_ − x + x − _−ln x +

 

6 4 6

2

1/2 1/2 1/3

1

( ) x ( 1) ( 1) ( 3)

ln y =ln e_ − _+ln x + + ln x − −ln x +

 

6 4 6

2 1 1 1

2 2 3

( ) 1 ( 1) ( 1) ( 3)

ln y =x − + ln x + + ln x − − ln x +

5 3 5

6 4 6

6 ₁ 4 ₁ 6 ₃

1 1 1

2 2 3

'

2

x x x

x x x

y

x

y

     

     

 ₊   ₋   ₊ 

     

=

+

+

−

5 3 5

6 4 6

' 3 2 2

2

1 1 3

y x x x

x

y = + x + + x − − x +

5 3 5

6 4 6

3 2 2

' 2

1 1 3

x x x

y y x

x x x

 

= _ + + − _

+ − +

 

6 4 5 3 5

6 4 6

6 3 2 ₁

( 1) ( 1) 3 2 2

' 2

1 1 3

3 x

e x x x x x

y x

x x x

x

− _{+ −  }

= _ + + − _

+ − +

+  

2. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva _y=(x2₊₁₎ln( )x −3 _{en el punto} 1 8 1, .

     

Primero determinamos la derivada aplicando diferenciación logarítmica

ln( ) 3

2 2

2 2

2 2

2 2

( 1) ( ) [ ( ) 3] ( 1)

' 2 1 2 [ ( ) 3] ( 1)

[ ( ) 3] ( 1)

1 1

2 [ ( ) 3] ( 1)

'

1

x

y x ln y ln x ln x

y x x ln x ln x

ln x ln x

y x x x x

x ln x ln x

y y

x x

−

= + ⇒ = − +

− +

 

= − + + _{ }= +

+   +

 − + 

= _ + _

+

 

Luego con la derivada determinamos la pendiente:

2 2

1 2(1) [ (1) 3] ((1) 1) 1 6 (2) '

8 (1) 1 1 8 2 1

3 (2) (2) 3

'

8 8 8 8

ln ln ln

y

ln ln

y m

 − +   

   

= _{ }_{ +} + _= − + 

  

 

= − + ⇒ = −

En esta parte se aplicaron

únicamente las

propiedades de los

logaritmos

Aquí se aplicaron las

reglas de diferenciación

para funciones

logarítmicas

Ahora con la pendiente y el punto dado determinamos la ecuación de la recta tangente

0 ( 0) ( 0) 0

(2) 3 1

( 1)

8 8 8

(2) 3 (2) 3 1

8 8 8 8 8

(2) 3 (2) 1

8 8 2

0.2883566024 0.4133566024 0.2884 0.4134

y y m x x y m x x y

ln

y x

ln ln

y x

ln ln

y x

y x

y x

− = − ⇒ = − +

 

⇒ =_ − _ − +

 

 

⇒ =_ − _ − + +

 

−

⇒ = − +

⇒ = − +

⇒ = − +

3.

Utilice diferenciación logarítmica a fin de evaluar

dy

dx

en el caso de las

funciones siguientes:

a)

2 2 3

3 2

( 1) ( 2)

( 4)

x x

y

x

+ +

=

+

2 3 3

2 2

2 3 3

2 2

2 3 3

2 2

2 3 3

2 2 3 2 2

3 2 2 3 3

1

ln( ) 2 ln( 1) ln( 2) 2 ln( 4) 2

' 1 4 3 6

2 1 2 4

' 2 3 3

1 2( 2) 4

2 3 3

'

1 2( 2) 4

( 1) ( 2) 2 3 3

'

( 4) 1 2( 2) 4

y x x x

y x x x

y x x x

y x x x

y x x x

x x x

y y

x x x

x x x x x

y

x x x x

 

= _ + + + − + _

 

= _ + − _

+ + +

 

= + −

+ + +

 

= _ + − _

+ + +

 

 

+ +

= _ + − _

+ _ + + + _

4.

2

x

y

=

x

5.

y

=

x

ln x

( )

( )

2

'

2 ( )

2

( )

2

( )

( )

[ ( )]

'

'

ln x

y

ln x

y ln x

ln x

ln y

ln x

y

y

y

x

x

x

x

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

[

]

2

[

]

' 2 ln( ) ' x 2 ln( )

y = y x + x x ⇒ y =

x

x + x x

2 ' 2 1

ln( )y x ln( )x y x 2 ln( )x x x 2 ln( )x x

y x

 

= ⇒ = _{ } + = +

6.

(

) (

)

4 2

2

3 5

2

5

3

2

8

x

x

y

x

x

x

−

=

+

+

1 _{2 3 5}

4

2 4

2 3 5

2

2 3

2 5 3 2 8

2 2 2 15 10 8

4 2 5 3 2 8

2(1 30 2

4 2 5 3

ln( ) ln( ) 2 ln( ) ln( ) ( )

'

( )

) '

( )

y x x x x x

x x x

y

y x x x x x

x x

y

y x x x

= − − −

−

= − −

− −

= − −

−

+

+

+

+

+

+

4

(5 4

2

) x

+

4

5

2 4

2 3 5

2 4

2 3 5

2 2 4

3 2 5 2 3 5

( 4

1 30 5 4

2 2 5 3 4

1 30 5 4

2 2 5 3 4

2 1 30 5 4

5 3 2 8 2 2 5 3 4

) '

( )

'

( )

'

( ) ( ) ( )

x x

x x x

y

y x x x x x

x x x

y y

x x x x x

x x x x x

y

x x x x x x x x

−

= − −

−

 − 

=  − − 

−

 

 

 

− −

=  − − 

−

 

 

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

7.

3

2

2

[ln( )

]

x

x

y

=

x

+

x

e

−

3

2 1

3 3

2 2

2 2

3 3

2 2

3 2 3

2 2

3 2 3

3

2

2

2 2

6 1

1 2

2 2

6 1

1 2 2

6 1

1 2 2

ln( ) ln[ln( ) ]

'

( ) ln[ln( ) ]

ln( )

'

( ) ln[ln( ) ]

ln( )

'

( ) ln[ln( ) ]

ln( )

'

ln( )

x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x

y x x

x y

x x x

y x x

x y

x x x

y x x x

x y

x x x

y x x x

x y y

x x x

e

e

e

e

e

e

e

−

− −

− −

−

−

= +

+

= + − +

+ +

= + − +

+

 ₊ 

= _ + − + _

+

 

+

= +

+

2 2

3 _{3 2}

2 2 2

3

6 1

2 _{2 1 2}

6 1

( ) ln[ln( ) ]

' [ln( ) ] ( ) ln[ln( ) ]

ln( )

x x _{x x}

x x x

x

y x x x x x

x x x

e

_e

−

 

− +

 

 

 

−  + 

= + _ + − + _

+

2 2

2

2

2 2

ln( ) ln(2 1)

' 2

2 ln(2 1)

2 1

' 2

2 ln(2 1)

2 1

2

' 2 ln(2 1)

2 1

2

' 2 ln(2 1)

2 1

(2

1)

y x x

y

x x x

y x

y x

x x

y x

x

y y x x

x

x x

y x x

x

x

= +

 

= _{ } + +

+

 

= + +

+

 

= _ + + _

+

 

 

= _ + + _

+

 

+

8.

9.

2

( 1) 3 5 2

(

1)

x x x

y

=

x

+

+

e

− + −

10. _{ln( )y = ln}

₍₂

_x

₁₎

x2 

 



+



3 2

3 2

2 4 6

3 1 4

1 1

2 6 2 4

3 2

5 3

2 6 4

5 3

2 6 4

2 4 6 5

2 6

3 1 4

3 5

2

3 5 3 1 2

8 2 4

2 3

3 5 2

8 2 4

2 3

3 5 2

3 5 8 2

2

3 5

2

4

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

'

'

(

)

'

x x

x x

x

x

ln y

x

ln y

ln x

ln x

x

x

ln x

y

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

y

y

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

e

e

ln

_{+ −}

+ −



₊

₋







=



₊







=

+ +

− −

−

+ −

+

=

+

−

− −

+

−

+





=



+

−

− −



+

−

+









+

−

=

+

−

−

+

−

+

3 4

4 3

2

x

x





−





+









[

]

[

]

2

2

2

( 1) 3 5 2

( 1) 3 5 2

1

1

3

5

2

1

1

6

5

1

6

6

1

6

6

1

6

6

(

1)

( )

(

) (

)

'

(

)

(

)

'

(

)

'

(

1)

(

)

x x x

x x x

y

x

e

ln y

x

ln x

x

x

y

ln x

x

ln x

x

y

y

y ln x

x

y

x

e

ln x

x

+ − + −

+ − + −

=

+

=

+

+ −

+

−

= +

+ −

+ =

+ −

+

=

+ −

+

=

+

+ −

+

3 2

2 4 6

3 1 4

3 5

2

(

)

x x

x

x

y

x

e

+ −

+

−

=

11.

12.

13.

[

]

[

]

2

2

2

( 1) 3 5 2

( 1) 3 5 2

1 1 3 5 2

1 1 6 5 1 6 6

1 6 6

1 6 6

(

1)

( )

(

) (

)

'

(

)

(

)

'

(

)

'

(

1)

(

)

x x x

x x x

y

x

e

ln y

x

ln x

x

x

y

ln x

x

ln x

x

y

y

y ln x

x

y

x

e

ln x

x

+ − + −

+ − + −

=

+

=

+

+ −

+

−

= +

+ −

+ =

+ −

+

=

+ −

+

=

+

+ −

+

2

(

1)

3

5

2

(

1)

x

x

x

y

=

x

+

+

e

−

+

−

3

4 2

5 2

8 3

( 1)

( ) x

x y

x

e

−

+ =

−

3

2

2

3

2

4 2 5 2

4 2 5 2

8 1 _{4 2}

(8) 2 ( 1) 5 ( 3)

3 3

3

' 1 8

5 4

3 ₁

3

1 8

' 5

4

3 ₁

3 8

1 8

' 5

4

3 3 1

( 1)

( )

( )

2 ( 3)

2 ( 3)

( 1) 2

( 3)

( )

x

x

ln ln x ln x

y x

y _x

x

y y

x

x y

x x

y ln y x

x

x x

x x

x x

x x

e

e

 _{+ + + −} 

 

 

 

 + 

 + 

 

 

 + 

 + 

 

 

 + 

 ₊ 

 

+

= ⇒ = −

−

= −

−

= −

− +

= −

− −

3 2

2 4 6

3 1 4

3 5

2

(

)

x x

x

x

y

x

e

+ −

+

−

=

+

3 2

3 2

2 4 6

3 1 4

1 1

2 6 2 4

3 2

5 3

2 6 4

5 3

2 6 4

2 4 6 5

2 6

3 1 4

3 5

2

3 5 3 1 2

8 2 4

2 3

3 5 2

8 2 4

2 3

3 5 2

3 5 8 2

2

3 5

2

4

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

'

'

( )

'

x x

x x

x x

ln y

x

ln y ln x ln x x x ln x

y x x x

x

y x x x

x x x

y y x

x x x

x x x x

y x

x x

x

e

e

ln

_{+ −}

+ −

 _{+ −} 

 

=

 ₊ 

 

= + + − − − + − +

= + − − −

+ − +

 

= _ + − − − _

+ − +

 

 

+ −

= + − −

+ −

+

3 4

4 3

2

x x

 

−

 

+

 

14.

15.

16.

2

3 1 2 3

4 2 2

2

1 1

( 3) (5 ) ( )

x x

x y

x x

e + − −

=

− +

2

2 1 / 2

3 1 2 3 4 2 2

2 ₁

3 1 2 3 4 2 2

2

2 _{1 1}

3 1 2 3 4 2 2

2 2

1 3 2

3

2 2

2 5 1 1

2 5 1 1

2 5 1 1

3 1 2

ln( ) ln( ) ln ( 3) ln( ) ln( )

ln( ) ln( ) ln ( 3) ln( ) ln( )

ln( ) ln( ) ln( ) ln( 3) ln( ) ln( )

ln( ) ln( ) ln(

x x

x x

x x

y x x x

y x x x

y x x x

y x x x

e e e

+ −

+ −

+ −

 

= + _ − _ − − − +

 

= + _ − _− − − +

= + + − − − − +

= + − + + −

3

2 4

3

2 4

3

2 4

4 2

3

3 2 20

2

2 4

2 _{3 5 1}

2

2 2

3 1 2 3

4 2 2

2 5 1 1

6 1 2

1

3 40 2

6 1

5 1

3 40 2

6 1

5 1

2 3 40 2

6 1

5

1 1

) ln( ) ln( )

' 2

'

3 1

'

3 1

( 3)

'

3 1

(5 ) ( )

x x x x

x x

x x

y x

x

y x

y x x x

x

y x x x

x x x

y y x

x x x

x x x

y x

x x

x x

e

   

   

 ₋   ₋ 

   

+ −

− − − +

= + + − −

+

= + + − −

− − +

 

= _ + + ₋ − ₋ − _

+

 

−

= + + − −

− −

− + 2

1 x x

 

 

 ₊ 

 

3

2x x

y

=

x

e

−

(

₂

)

2 2

1

2

x

x

y

x

+

=

+

(

)

( )

3 3

3 3

2 2

3 2 3 2

3 2 3 2

3

3 2 1

3 2 1

3 2 1

[2 1]

'

' ' ' [ ln( )]

' [ ln( )]

' ( [ ln( )])

' ln( )

x x

x x

x x

x x x x

x x x x

z e z e

y w z w z x e x x e

y e x e x x

y e x x

y e x x

− −

− −

− −

− −

= ⇒ = −

= ⋅ + ⋅ = ⋅ − + + ⋅

= − + +

= − + +

= −

3 2

2

2

1

2 2 2

2 2 2 1

2 1

2 1

,

'

ln( ) ln( ) ln( )

'

ln( ) [ ln( )] ' [ ln( )]

' [ ln( )]

x x

x

x

Sean w x z e

w

w x w x x x x

w x

w

x x

w

w w x

w x x

−

= =

 

= ⇒ = ⇒ = _{ }+

 

⇒ = + = +

⇒ = +

⇒ = +

(

)

2 2

2 2

2 2

2 2 ₂ 2 2

1 2

' 1 4

( ) ( ) 2 (1 ) (2 )

1 2

1

1 4 1 4

' '

1 2 2 1 2

y x x

ln y ln x ln x ln x

y x x x

x x

x x x x

y y y

x x x x x x x

= + + − + ⇒ = + −

+ +

+

   

= _ + − _ ⇒ = _ + − _

+ + + + +

17.

18.

Determine la Ecuación de la Recta Tangente a la curva en el punto donde x = 2 2

2 2 (2

4

3)

_,

(

1)

x

x

e

y

x

x

−

=

+

{

}

1 1

2 2 2

2 4 2 4 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

1 4

1 1 1

4 4 4

1 4

(2 (2 (2

(2 (2

(2

3) 3) 3)

( ) ( )

( 1) ( 1) ( 1)

( ) 3) ( 1) ( ) 3) ( 1)

( ) 3)

x x x

x x

x e x e x e

y ln y ln y

x x x x x x

ln y x e x x ln y x e x x

ln y x

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

 ₋   ₋   ₋  =  ⇒ =   ⇒ =   + + +                     = _ − _− _ + _ ⇒ = _ − _− _ + _

= − + 2 2

2 2 2 2 2 1 4 1 1 4 4

1 1 1 1 1 1

4 2 2 4 4 2 2 4

1 1

2 2 4 2 2

(2 2 2

4 1 1

(2

1 2

1 1 1 1

1

2 2

( ) ( ) ( 1)

( ) 3) ( ) ( 1)

'

( ) 3) ( ) ( 1)

3 ' ' ( ) 3 3 x

e x x

ln y x x x x

x y x

ln y x x x

y x x x

y x x

y y

y x x x x x

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

 − _ + + _       = _ − + _− _ + + _     = − + − − + ⇒ = _{ −} _+ − −  ₊      = + − − ⇒ = + − − + − − 2 2 2 2 4 1

2 2 4

1

(2 1 1

4 1 2 ( ) 3) ' ( )

( 1) 3

x

x

x e x

y

x x

x x x

   ₊      − = _ + − − _ + + _ − _ 2 27 4 1 4 x x y x

e

− = +

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

1 / 2 1 / 2 1 / 2

1 / 2

2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 27 27

27 4 1

4 1 4 1

27 4 1

27 4 4 1

27 4 4 1

1 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' x x

x x x

y ln y ln y x x

x x

x

ln y x x

ln y x x x

ln y x x x

y y x

e

e

_e

e

e

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

ln

  − − ₋   _{ } = ⇒ = _{ } ⇒ = − _ + _ + _ + _ − _{ } ⇒ = + + − _ + _ ⇒ = + + − − + ⇒ = + + − − + = 1 2 2

4 1 2

2 2

4 1 4 1

1 2 27 1 2

2 2

4 1 4 1 4 1

4

' '

x x

x x x

x x

y y x y x

x x x x x

e

  + − _{ }= + − + +   −     = _ + − _ ⇒ = _ + − _ + + +     2 27 4 1 4 x x y x

e

− = + 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 0

27 2 27 2

2 18 2 18

3 4 2 1

2

27 2 2 2

2 2 18 4 9 72 4 77

4 2 1 9

4 2 1

18 77 2

18 77 154

77 154 18

77 136

( ) 4

( ) ( )

( ) ( ) 4 ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x y x y

m m

y y m x x y x