PARTE I: SELECCI ´ON ´UNICA
1. Si x2 + y2 = 6xy, con x > 0, y > 0 y x > y entonces el valor de la raz´on
x+y
x−y corresponde a
(a) √2
(b) √3
(c) √5
(d) √6
Soluci´on:
Partiendo, x2 + y2 = 6xy y completando cuadrados de dos maneras direferentes tenemos:
I) x2 + 2xy +y2 = 8xy ⇒ (x+y)2 = 8xy ⇒ x+ y = √8xy
II) x2 −2xy+ y2 = 4xy ⇒(x−y)2 = 4xy ⇒ x−y = √4xy
entonces de I y II se obtiene,
x+y x−y =
√
8xy √
4xy =
q 8xy
4xy =
√ 2.
Por lo que la opci´on correcta es a).
2. En un tri´angulo rect´angulo la hipotenusa mide 6cm y el per´ımetro 14 cm. Entonces el ´area del tri´angulo es
(a) 7cm2
(b) 10cm2
(c) 14cm2
(d) 28cm2
Soluci´on:
Sean x y y las medidas de los catetos. Al ser rect´anculo tenemos que el ´area es 12xy. Aplicando Pit´agoras obtenemos x2 + y2 = 36, por otro lado tenemos que x + y + 6 = 14, entonces x + y = 8. Por lo tanto 64 = (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 = 36 + 2xy, esto implica que xy = 14 y el ´area es 7.
3. La cantidad de n´umeros de cuatro cifras tales que el producto de sus cifras es 343, corresponde a
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Soluci´on:
Observamos primero que 343 = 73. Entonces tres de las cuatro cifras deben ser 7, y la restante debe ser 1. Hay cuatro formas de acomodar estas cuatro cifras.
Por lo que la opci´on correcta es d).
4. Sean A, B, C, D puntos en una circunferencia tales queAB = AC,m]BAC = 30◦, DB = BC y sea E el punto de intersecci´on de AB y DC . Entonces la medida del ]AEC es
(a) 95
(b) 100
(c) 105
(d) 110
Soluci´on:
En el tri´angulo 4ABC: m]ABC+m]ACB+m]BAC = 180◦ de donde 2m]ABC = 150◦ ⇒m]ABC = 75◦
Ahora, los ´angulos ]BDC ∼= ]BAC miden 30◦, pues subtienden el mismo arco.
En el tri´angulo 4DBC: ]BDC ∼= ]BCD, pues ]DCB es agudo, de don-de m]BCD = 30◦.
Por lo tanto, m]AEC = 75◦ + 30◦ = 105◦, pues es ´angulo externo del 4EBC.
5. Considere la funci´on f : Z → Z que satisface las siguientes condiciones para todos los valores enteros de m y n
f(2) = 2
f(mn) =f(m)f(n)
Si m > n entonces f(m) > f(n)
Entonces el valor de f 22011 corresponde a
(a) 1
(b) 2
(c) 22010
(d) 22011
Soluci´on:
f (2n) = f 2· · ·2 | {z }
n veces
!
= f (2)· · ·f (2)
| {z }
n veces
= 2· · ·2 | {z }
n veces
= 2n; as´ıf 22011 = 22011.
Por lo que la opci´on correcta es d).
6. Considere la figura adjunta, donde se tiene que el punto D (centro de la circunferencia) equidista de los segmentos AB, BC y AC . Si DE = 4, entonces la longitud del segmento
EC corresponde a
(a) 12
(b) 4√3
(c) 8√3
(d) 6√3
...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ...... ...... ... ...... ...... ...... ...... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... .... .... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A B C D E • Soluci´on:
Como el punto D equidista de los segmentos AB, BC y AC se tiene que
cuerdas del c´ırculo.
Por propiedades del baricentro DB = 2DE. As´ı, BE= AD + DE. As´ı por tri´angulos especiales se tiene que, BE = AD + DE = 3DE = 12.
As´ı la medida de EC = 4√3.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. ... ... ... ... ... E B C 12
4√3 8√3 30o
60o
Entonces la opci´on correcta es B.
7. Si una m´aquina y media produce un art´ıculo y medio en un d´ıa y medio. Entonces, la cantidad de m´aquinas que son necesarias para producir una docena de art´ıculos por d´ıa es
(a) 14
(b) 16
(c) 18
(d) 20
Soluci´on:
Si una m´aquina y media produce un art´ıculo y medio en un d´ıa y medio, entonces produce tres art´ıculos en tres d´ıas. Luego, tres m´aquinas producen seis art´ıculos en tres d´ıas, contin´uando con este razonamiento obtenemos la siguiente tabla
m´aquinas art´ıculos d´ıas 3/2 3/2 3/2
3/2 3 3
3 6 3
3 2 1
18 12 1
Entonces la opci´on correcta es c).
8. El n´umero de soluciones enteras que tiene la ecuaci´on 23+x+ 23−x = 65 es
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
Soluci´on:
Como 65 es entero y de las expresiones 23+x y 23−x si las dos no son enteras entonces ambas son menores que 1, lo que no puede ser, por lo tanto am-bas tienen que ser enteras. Tenemos entonces que −3≤ x ≤ 3. Como x es entero podemos probar cada una de las posibilidades (o podemos ver que las ´unicas potencias de 2 que funcionan son 64+1). Obtenemos entonces dos soluciones, x = −3, x = 3.
Por lo que la opci´on correcta es c).
9. La cantidad de enteros n entre 1 y 50, tales que x2+x−n se puede facto-rizar como producto de dos factores lineales con coeficientes enteros es
(a) 0
(b) 2
(c) 6
(d) 7
Soluci´on:
Las soluciones para x2 +x−n ser´ıan −b± √
b2 −4ac 2a =
−1±√1 + 4n
2
Para que dicha soluci´on sea coeficiente entero se debe cumplir que 1 + 4n
sea un cuadrado perfecto. Adem´as 1 ≤ n≤ 50 ⇒ 5≤ 4n+ 1≤ 201 Tambi´en √4n+ 1 de ser impar.
10. Un conductor debe realizar un viaje de una ciudad A a B y luego regresar. Desea hacer una velocidad promedio de 60 km/h en todo el viaje de ida y vuelta. Al llegar a la ciudad B observ´o que su velocidad promedio hasta ese momento era de 40km/h. Entonces, para lograr su objetivo, en el viaje de vuelta debe viajar en promedio a
(a) 80 km/h
(b) 90 km/h
(c) 100 km/h
(d) 120 km/h
Soluci´on:
Llamemos d a la distancia entre A y B, t1 al tiempo tardado en el viaje de ida, t2 al tiempo del viaje de regreso, x la velocidad promedio en el viaje de regreso.
Sabemos que d 40 = t1
d x = t2
Para lograr una velocidad promedio de 60km/h en todo el recorrido debe
darse 2d
t1 +t2
= 60 de donde
2d d
40 +
d x
= 60 ⇒ 2
x+ 40 40x
= 60 ⇒ 80x = 60(x+ 40) ⇒ x = 120
Por lo tanto debe viajar a 120 km/h en el viaje de regreso. Entonces la opci´on correcta es d).
11. La cantidad de n´umeros primos p tales que 9p + 1 es un cubo perfecto corresponde a
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Soluci´on:
factores de 9p son 1,3,9 y p, por lo que las posibles formas de factorizar 9p son: 9p = 1 · 9p, 9p = 3 · 3p, 9p = 9 · p. Dado que n es positivo, se tiene que n−1 < n2 +n+ 1. Tomando el primer caso, se tiene n−1 = 1,
n2+n+ 1 = 9p, pero se tendr´ıa n= 2, es decir p= 79, lo cual es un absurdo. Sin−1 = 3 y n2+n+ 1 = 3p, se tiene que n= 4, y as´ı 42+ 4 + 1 = 21 = 3p, por lo que p = 7. Para el tercer caso, por simple inspecci´on, se puede verifi-car que los primos menores que 9 salvo el 7 no cumplen la propiedad, por lo que para obtener nuevas posibilidades verificamos el caso 9 < p tomamos
n−1 = 9, y n2 + n+ 1 = p, as´ın = 10, y n2 + n+ 1 = 111 = p, pero 111 no es primo. Por lo tanto el ´unico primo que cumple la propiedad es 7. Entonces la opci´on correcta es a).
12. Dos ciudades A y B est´an a 999Km de distancia entre s´ı. A lo largo de la carretera hay postes a cada kil´ometro que indican la distancia hacia A
y la distancia hacia B (por ejemplo, el primero poste, en A, est´a indicado por el par ordenado (0,999) el siguente por (1,998) y as´ı sucesivamente). Entonces la cantidad de estos postes que tienen n´umeros que se escriben con exactamente dos cifras distintas (por ejemplo (272,727)) es
(a) 10
(b) 20
(c) 40
(d) 80
Soluci´on:
Notemos que si en uno de los n´umeros aparece el d´ıgito x en el otro apare-cer´a 9−x. Por lo tanto las parejas de d´ıgitos que se utilizar´an son 0 y 9, 1 y 8, 2 y 7, 3 y 6, 4 y 5. Para cada una de estas parejas, como tenemos que formar n´umeros de tres cifras (con repeticiones), tenemos 23 = 8 maneras de armar los n´umeros. Por lo tanto la cantidad de n´umeros formados con dos cifras es 5×8 = 40.
PARTE II: DESARROLLO
1. El 4ABC es acut´angulo y AB = AC = 1. Sea D el punto de interseci´on de la bisectriz del ∠ACB con AB. Si 4ACD es obtus´angulo is´osceles, de-termine la medida de BC.
Soluci´on:
Llamemos α = m∠ACD
Como 4ABC es acut´angulo, entonces ∠BAC y ∠ACD son agudos, luego
∠ACD tambi´en es agudo. Como ∠ACD es obtus´angulo, EL ∠ADC debe ser obtuso, y como adem´as dicho 4 es is´osceles, necesariamente AD = DC
y m∠ACD = m∠DAC = α
Como AB = AC, m∠ABC = m∠ACB = 2α. As´ı que 2α+ 2α+α = 180◦ de donde α = 36◦.
Entonces m∠CBD = m∠CDB = 72◦, ie, 4BCD es is´osceles, y adem´as es semejante con 4BAC
Sea x = BC, entonces BD = 1−x
Por la semejanza se tri´angulos se tiene BD
BC =
BC AB ie
1−x
x =
x
1 de donde
x2 +x−1 = 0, 4 = 12 −4·1· −1 = 5
x = −1± √
5
2 ∴ x =
√ 5−1
2
2. Manuel y Teresa tienen menos de cien a˜nos cada uno. Si escribimos jun-tas las edades, de izquierda a derecha comenzando con la edad de Teresa, obtenemos un n´umero de 4 d´ıgitos que es un cuadrado perfecto (es decir, el cuadrado de un n´uumero natural). De igual forma suceder´ıa si dentro de trece a˜nos hacemos el mismo acomodo, el nuevo n´umero ser´ıa tambi´en cuadrado perfecto. Determine las edades actuales de Teresa y Manuel. Soluci´on:
Sean ab y cd las edades de Teresa y Manuel respectivamente, entonces abcd
es un cuadrado perfecto, digamos x2. Dentro de trece a˜nos las edades de Teresa y Manuel ser´ıan respectivamente,ab+13 ycd+13. Colocarlas juntas equivale a sumar 1313 a abcd que, de nuevo, ser´ıa un cuadrado perfecto, digamos y2. Tenemos entonces,
x2 + 1313 = y2 ⇔ y2 −x2 = 1313
⇔ (y +x)(y −x) = 1313 Como 1313 = 13×101,
ne-cesariamente, y−x = 13 y y +x = 101; de donde, x = 44 y y = 57. Como
3. Sea f una funci´on real de variable real, tal que f(6) = 19 y f(x + y) =
f(x) +f(y) +xy, para todo x,y. Entonces calcular f(21). Soluci´on:
1) Paso. Como f(6) = f(3 + 3) = f(3) +f(3) + 3·3 2) Paso. Entonces, f(6) = 2·f(3) + 9 ⇒ f(3) = 5
3) Paso. De la misma manera, f(9) = f(6 + 3) =f(6) +f(3) + 6·3 4) Paso. Por lo que f(9) = 42
5) Paso. Continuando, f(15) = f(9 + 6) =f(9) +f(6) + 9·6 6) Paso. Entonces, f(15) = 115