matrices.pptx

HISTORIA



Las matrices aparecen por primera vez

hacia el año 1850, introducidas por J.J.

Sylvester. El desarrollo inicial de la

teoría se debe al matemático W.R.

Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

introduce la notación matricial como

una forma abreviada de escribir un

sistema de

m

ecuaciones lineales con

n



La utilización de matrices (arrays)

constituye actualmente una parte

esencial de los lenguajes de

programación, ya que la mayoría de

los datos se introducen en los

ordenadores como tablas

DEFINICION



Una matriz es una tabla

y una columna es cada una de

las líneas verticales.



A una matriz con

m

filas y

n

columnas se le denomina

matriz

m

-por-

n

(escrito

m

×

n

), y

a

m

y

n

dimensiones de la



Las dimensiones de una matriz

siempre se dan con el número de

filas primero y el número de

columnas después. Comúnmente se

dice que una matriz

m

-por-

n

tiene un

orden

de m × n ("orden" tiene el



Dos matrices se dice que son



Al elemento de una matriz que

se encuentra en la fila

i

-ésima y

la columna

j

-ésima se le llama

elemento

i,j

o elemento (

i

,

j



La matriz

es una matriz 4x3.



La matriz

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

 Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a

la matriz que se obtiene cambiando

Matriz Cuadrada



Aquella matriz que tiene igual

número de filas que de

IDENTIDAD



Es una matriz cuadrada que tiene

todos sus elementos nulos excepto

Matriz Nula



Si todos sus elementos son cero.



La matriz opuesta de una dada es

la que resulta de sustituir cada

SUMA O ADICIÓN



Dadas las matrices

m

-por-

n

,

A

y

B

, su

suma

A + B

es la matriz

m

-por-

n

calculada sumando los

POR EJEMPLO:

Sumar cada uno de los

PROPIEDADES

 Asociativa

Dadas las matrices m×n A, B y C

A + (B + C) = (A + B) + C

 Conmutativa

Dadas las matrices m×n A y B

PROPIEDADES (CONT.)

 Existencia de matriz cero o matriz nula

A + 0 = 0 + A = A

 Existencia de matriz opuesta

PRODUCTO DE MATRICES



El

producto

de dos matrices se puede

definir sólo si el número de columnas de la

matriz izquierda es el mismo que el

número de filas de la matriz derecha. Si

A

MATRICES, TRANSFORMACIONES Y

COORDENADAS HOMOGÉNEAS: 3DIMENSIONES



Para conseguir las transformaciones

básicas ( translación, rotación,

escalado, deformación, en general las

transformaciones afines) se utilizan

matrices de transformación.



Realizando algunos cambios a las matrices,

COORDENADAS HOMOGÉNEAS

 Las coordenadas homogéneas son un instrumento

usado para describir un punto en el espacio proyectivo.

 Se usan como un sistema alternativo de

SISTEMA DE COORDENADAS

HOMOGÉNEAS

 Un objeto se representa por polígonos.

 Un polígono es una colección de vértices y aristas.

 Para transformar un objeto se transforman sus

vértices.

 Si todos los puntos se expresan en coordenadas

homogéneas, todas las transformaciones se pueden expresar como multiplicación.

 En coordenadas homogéneas a cada punto P(x,y)

se le añade una tercera coordenada, W de forma que se representa mediante una tripleta,

SISTEMA DE COORDENADAS

HOMOGÉNEAS

 Si la coordenada W es distinta de cero, se puede

normalizar la tripleta, dividiéndola por W, (x/W,y/ W,1), seguirá representando al mismo punto. (x/W) y (y/W) se llaman coordenadas cartesianas del

punto homogéneo.

 Cada punto expresado en coordenadas homogéneas

representa una línea en el espacio 3D.

 Cuando se normaliza el punto, se obtiene un punto

de la forma (x,y,1). La normalización de un punto equivale a proyectar sobre el plano W = 1. Los

EXPLICAREMOS PRIMERO LAS

TRANSFORMACIONES EN 2DIMENCIONES

Y LUEGO LAS DE 3DIMENCIONES

 Existe un numero de representaciones

homogéneas equivalentes para cada coordenada (x,y) seleccionando un valor no cero para w.

 Por conveniencia escogeremos w=1, para cada

TRANSFORMACIONES EN 2D

 Traslación

 Escalado

 Rotación

TRANSLACIÓN 2D DE UN PUNTO (X,Y,1) A UNA DISTANCIA EN X Y UNA DISTANCIA EN Y

 Obtenemos,

x´ 1 0 t_x x

y´ 0 1 t_y y

1 0 0 1 1

x´ = x + t_x

2 DIMENSIONES: ESCALADO

x´ = s

·x

y´ = s

·y

x´ s_x 0 0 x

y´ 0 s_y 0 y

2 DIMENSIONES: ROTACIÓN

 Representado matricialmente en coordenadas

homogéneas:

x´ cos Ѳ -sin Ѳ 0 x y´ sin Ѳ cos Ѳ 0 y

2 DIMENSIONES: DEFORMACIÓN

(SHEAR)

 Deformación de la coordenada x:

x´ = x + h_x ·y

y´ = y

x´ 1 h_x 0 x

y´ 0 1 0 y

EJEMPLO DE TRASLACIÓN EN 2D

 Si queremos trasladar a dos unidades un vector

INVERSA DE LA MATRIZ

TRANSFORMADA

 En realidad la inversa de la matriz es fácil de

encontrar y el efecto que produce es “ undo” o sea regresar a la matriz original.

EJEMPLO DE TRASLACIÓN UTILIZANDO LA INVERSA DE LA MATRIZ EN 2DIMENSIONES

 Utilizando el ejemplo anterior de la traslación del

vector a la posición la inversa seria

la siguiente:

TRANSFORMACIONES EN

3DIMENCIONES

 La expresión general de una transformación en

3D en coordenadas homogéneas es

x´ a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ x y´ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ y z´ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄ z

MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN M

 Describe todas las transformaciones: traslación,

escalado, rotación, deformación, etc...

 La composición de transformaciones se realiza

mediante el producto de matrices.

 El producto de dos matrices es una herramienta

TRASLACIÓN EN 3DIMENCIONES

x´ = x + t_x

y´ = y + t_y

ESCALADO EN 3DIMENSIONES

ROTACIÓN EN 3DIMENSIONES

 Rotación en x

 Rotación en y

 Rotación en z

x´ 1 0 0 0 x

y´ 0 cos θ -sin θ 0 y

z´ 0 sin θ cos θ 0 z

1 0 0 0 1 1

x´ cos θ 0 sin θ 0 x

y´ 0 1 0 0 y

z´ -sin θ 0 cos θ 0 z

1 0 0 0 1 1

x´ cos θ-sin θ 0 0 x

y´ sin θ cos θ 0 0 y

z´ 0 0 1 0 z

DEFORMACIÓN EN 3DIMENCIONES

1 0 0 0

1 0 0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0

0 1 0 0

k 1 0

0 0 0 1

1 0 0

1 1 0

k 0 1 0

COMPOSICIÓN DE

TRANSFORMACIONES

 Se puede aplicar sucesivas transformaciones a un

punto

 Al resultado de la primera transformación

 Se aplica una segunda transformación

 La composición de trans. Se realiza mediante el

EJEMPLO DE COMPOSICIÓN

 Supongamos una nueva escala para un objeto por

un factor 2 en x al punto(1,1,1) del origen S(2,1,1) ; T(-1,-1,-1); S*T

IMPLEMENTACIÓN A LA

COMPUTADORA

 En una concatenación de dos matrices de 3D en

orden de(4x4) serian 64 multiplicaciones usando el método estándar de mult. De matrices.

 Es mas eficiente utilizar un una matriz de una

dimensión de 12 elementos y sustituirla por la matriz general de transformaciones 3D;

Obtenemos,

=

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁₄ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₂₄ a₃₁ a₃₂ a₃₃ a₃₄

0 0 0 1

a₀ a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ a₈ a₉ a₁₀ a₁₁

CONCLUSIÓN

 Este capitulo nos enseña como atreves de las

matemáticas (transformación de matrices)