Técnicas y tareas de la prueba CDI de Matemáticas (2008 – 2012)
NÚMEROS
Tarea Técnica Ejercicios CDI
Ordenar números de menor
a mayor * Convertir fracciones en decimales (dividir el numerador por el denominador)* hacer encuadramiento de las raíces cuadradas:
- hallar dos números consecutivos para que el cuadrado de uno sea superior y el cuadrado de otro sea inferior al número dentro de la raíz cuadrada
- para mayor precisión, hacer la media de los dos números y seguir el proceso con números decimales
* Ordenar los números de menor a mayor
2012 (1) 2011 (1a)
Representar puntos en un
sistema de coordenadas 1º paso: hallar en el eje de abscisas el valor de la primera coordenada (x), y hallar en el eje de ordenadas el valor de la segunda coordenada (y) Coordenadas expresadas como fracciones:
* Dividir el numerador por el denominador para transformarlo en número decimal. Luego seguir la técnica para números decimales.
* Dividir cada unidad del eje en el número de partes que indica el denominador de la fracción. Luego contar la cantidad de partes indicadas por el numerador.
Coordenadas expresadas como decimales:
* Dividir cada unidad del eje en 10. Luego contar la cantidad de partes indicadas por las décimas de la parte decimal.
2º paso: dibujar un punto en el punto de corte de la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por (x), y la recta paralela al eje de abscisas que pasa por (y)
1011 (1b)
Realizar operaciones básicas encadenadas con fracciones
* Empezar por realizar los cálculos entre paréntesis. Luego realizar multiplicaciones y divisiones, y finalmente sumas y restas.
* Para sumar/restar un número entero y una fracción, se multiplica el número entero por el denominador de la fracción, se suma/resta los numeradores, y se mantiene el denominador de la fracción.
* Para sumar / restar dos fracciones: se busca el m.c.m. de los denominadores. Esto será el
denominador del resultado. Luego, se calcula el m.c.m. dividido entre el denominador de la primera fracción, multiplicado por su numerador. Se realiza el mismo cálculo para el resto de numeradores. El numerador del resultado es la suma/resta de los numeradores, partido por el m.c.m. de los denominadores.
* Para multiplicar fracciones: se multiplican en línea los numeradores y denominadores * Para dividir fracciones: En la fracción del divisor, se invierte numerador y denominador, y se multiplican las fracciones.
Operar con potencias Fracción elevada a potencia n (a/b)n
* Multiplicar la fracción por si misma n veces
* Elevar el numerador a la potencia n y el denominador a la potencia n an/bn Multiplicar números con misma base y diferente potencia an ·a m
* Multiplicar el número por si mismo n veces luego m veces, contar las veces que se ha multiplicado por si mismo y escribirlo como potencia
* Dejar la base y sumar las potencias: an·am=an+m
Dividir números con misma base y diferente potencia a :an m
* Multiplicar el número por si mismo n veces y dividirlo por el producto de multiplicarlo por si mismo m veces
* Escribir el número multiplicado por si n veces en el numerador, y en el denominador el número multiplicado por si mismo m veces. Simplificar y expresar el resultado como potencia.
* Dejar la base y restar las potencias: an:am=an-m
Multiplicar números con base distinta y misma potencia a ·bn n * Dejar la potencia y multiplicar las bases: an·bn=(a·b)n Dividir números con base distinta y misma potencia an :b n * Dejar la potencia y dividirr las bases: an:bn=(a:b)n
2011 (2a) 2010 (8b) 2009 (1b) 2009 (6a) 2008 (4)
Operar con raíces cuadradas
* a+b≠a+b
* a·b=a·b
* a2=a
Determinar el valor del
exponente x para que
10x·m=n
* Si n es inferior a m: x será negativo. Para conocer su valor se cuenta el número de dígitos que se ha desplazado la coma.
* Si n es superior a m: x será positivo. Para conocer su valor se cuenta el número de dígitos que se ha desplazado la coma.
2012 (3)
Determinar el valor del exponente x para que
10a·m=10x·n
* Calcular n:m, expresar el resultado de forma 10b. x=a-b
2009 (6b)
Expresar el producto de potencias de 10 y números decimales
* Convertir los números decimales en potencia de 10 para expresarlos de forma m·10a. Luego se
suman los exponentes para expresar el resultado de forma: m·10a+b+c+… 2011 (2b)
Descomponer en factores
proceso hasta que todos los divisores son números primos Hallar los divisores
comunes de dos números
* Escribir todos los divisores de los dos números en orden creciente y buscar todos los números que coinciden
* Hacer la descomposición en factores primos y hallar los divisores comunes: los números primos comunes y sus productos
2011 (4a)
Calcular el MCD de dos
números * descomposición en factores primos: el MCD es el producto de los factores comunes elevados a menor potencia * Algoritmo de Euclides: dividir el número mayor entre el menor. El MCD también es divisor del resto de la división. Luego se divide el divisor entre el resto. Si el resto da 0, significa que el resto anterior era el MCD.
* Usando el MCM: mcda,b=a·bmcm(a,b)
2011 (4b) 2009 (10b)
Calcular el MCM de dos
números *calcular sucesivamente los múltiplos de ambos números y hallar el mínimo múltiplo común* descomposición en factores primos: el MCM es el producto de los factores comunes y no comunes elevados a mayor potencia
* Usando el MCD: mcma,b=a·bmcd(a,b)
2011 (4b)
Factorizar polinomios
* a·m+a·n=a(m+n)
2009 (7)
Identidades notables
* (a-b)2=a-b·a-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2
* (a-b)2=a2-2ab+b2
ECUACIONES
Tarea Técnica Concepto matemático Ejercicios CDI
Hallar un número El triple de un número menos 6 da 18:
* algebraicamente: sea x el número. Plantear la ecuación: 3x-6=18
* aritméticamente: hacer el camino inverso. Sumar 6 a 18, luego dividir el resultado entre 3
La suma de n números consecutivos es A :
* algebraicamente: sea x el primer de los números. Plantear la ecuación: x+x+1+x+2+…+x+(n-1)=A
* aritméticamente: dividir A entre n. El primer número es el resultado menos (n-1)/2.
Un número sumado con su quinta parte de 24:
* algebraicamente: x+x5=24
* aritméticamente: dividiendo 24 por 6 se obtiene el quinto de x. Hay que multiplicar este número por 5 para hallar x.
La suma de dos números es A, y la diferencia entre los dos es B:
* algebraicamente: x+x+B=A
* aritméticamente: Dividir A entre 2, luego restas B/2 para obtener el primer número
Los ¾ de un número da 39:
.álgebra
.aritmética 2012 (6)
2012 (6) 2010 (1)
2011 (10b)
2010 (7)
* algebraicamente: x·34=39
* aritméticamente: Dividir 39 entre 3 para saber cuánto vale cada cuarto, luego multiplicar el resultado por 4.
* regla de 3: 39 es a x como 3 es a 4 Hallar xn para que la media
de n términos sea M
* algebraicamente: a+b+…+xnn=M
* aritméticamente: Multiplicar M por n, luego restar los números conocidos de la serie (a, b…)
.media .álgebra .aritmética
2010 (4) 2008 (3)
Proporcionalidad directa: A es a B como C es a D
* Igualdad de razones: AB=CD
* Producto en cruz: AD=BC
* Regla de 3: A=BCD
.proporcionalidad
* Reducción à la unidad: AB es a 1
Reparto proporcional * Dividir la cantidad a repartir entre la suma de unidades para saber el importe que corresponde a cada unidad, luego multiplicar el resultado obtenido por el número de unidades en cada caso.
.proporcionalidad 2008 (P2a)
Hallar x que cumple la
igualdad Ax=BC
* La x pasa al otro miembro multiplicando, C pasa al primer miembro multiplicando y B pasa al primer miembro dividiendo
* Producto en cruz: AC=Bx
* Como las fracciones son proporcionales, x se obtiene multiplicando C por la razón se semejanza que existe entre A y B (B:A)
.álgebra
.proporcionalidad
2011 (7)
Completar una tabla de valores
* Traducir el enunciado a lenguaje algebraico (y=f(x)). Calcular el valor de y para valores dados de x
2012
Calcular y para un valor de
x dado * Sustituir x por el valor dado en la ecuación, y determinar y 20122010 (P2a)
2008 (6) Comprobar que un número
es solución de una ecuación dada
* Sustituir x por el valor dado en la ecuación, realizar el cálculo y comprobar
que se verifica la igualdad .jerarquía de operaciones
.operaciones con fracciones .signos
2011 (10a) 2010 (8a)
Traducir un enunciado a lenguaje algebraico con sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
* Asociar una letra a cada variable, y escribir dos igualdades diferentes en las que intervienen ambas variables
.funciones
.sistemas de ecuaciones
Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
* Buscar todas las parejas de valores que satisfacen la primera ecuación. Luego sustituirlas en la segunda ecuación y ver si se cumple la igualdad. * Método de igualación: despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones, igualar las expresiones para hallar la otra incógnita, luego sustituirla por su valor en cualquiera de las expresiones iniciales para hallar la primera. *Método de sustitución: despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones, y sustituir esta incógnita por su expresión en función de la otra en la otra ecuación. Resolver la ecuación para hallar la segunda incógnita, luego sustituirla por su valor en cualquiera de las expresiones iniciales para hallar la primera.
*Método de reducción: multiplicar o dividir las ecuaciones por un número de forma que una de las incógnitas tenga mismo factor en ambas
expresiones. Luego sumar o restar una expresión a la otra de forma que desaparezca de la ecuación dicha incógnita. Resolver la ecuación para hallar la segunda incógnita, luego sustituirla por su valor en cualquiera de las expresiones iniciales para hallar la primera.
*Gráficamente: representar gráficamente las dos funciones, y la solución es la pareja de valores representada por las coordenadas del punto de corte de las rectas.
.sistemas de ecuaciones 2009 (P1b) 2008 (5) 2008 (P3a)
Comparar dos ofertas expresadas como funciones afines o lineales
* Por tanteo y encuadramiento, calcular y1 e y2 para diferentes valores de x, hasta encontrar el valor de x que da la misma imagen en cada caso
* Igualar las expresiones de las dos funciones, y resolver la ecuación * Gráficamente, representar las dos funciones y hallar en el eje de abscisas las coordenadas del punto de corte de las dos rectas
.sistemas de ecuaciones .ecuaciones de 1º grado
ESTADÍSTICA
Tarea Técnica Concepto matemático Ejercicios CDI
Completar una tabla que asocia porcentaje con expresión decimal y fracción irreducible
Para calcular la expresión decimal: * valor del porcentaje dividido entre 100
* desplazar la coma del porcentaje dos dígitos hacia la izquierda * dividir numerador por denominador en la fracción irreducible * visualizar diagramas de sectores y establecer equivalencias Para calcular el porcentaje:
* valor de la expresión decimal multiplicado por 100
* desplazar la coma del número decimal dos dígitos hacia la derecha * por regla de 3: el numerador es al denominador de la fracción irreducible como el porcentaje es a 100
Para calcular la fracción irreductible:
* escribir el porcentaje como fracción de denominador 100, calcular el m.c.d. de numerador y denominador, y dividir ambos números por dicho valor para simplificar la fracción
* por regla de 3: el numerador es al denominador de la fracción irreducible como el porcentaje es a 100
* por regla de 3: el numerador es al denominador de la fracción irreducible como la expresión decimal es a 1
Para calcular la parte conociendo el total: * las fracciones tienen que sumar 1 * los porcentajes tienen que sumar 100 * los números tienen que sumar el total
.porcentajes .números decimales .fracciones irreductibles 2012 (4) 2011 (P1) 2010 (3) 2009 (2)
Determinar el tamaño de la muestra a partir de una tabla de frecuencias absolutas
* Sumar todos los términos de la fila/columna que contiene el número de individuos
Calcular la media
* Calcular: x=i=1nxi·nii=1nni
.media 2010 (P1b)
Calcular el porcentaje de un
número a * Calcular: a·n100
.porcentajes 2010 (P1c)
2009 (3) 2008 (2)
Calcular un número x
sabiendo que a representa
el n% de dicho número
* Ecuación de 1º grado: Plantear x·n100=a
* Regla de 3: a es a x como n es a 100
* Transformar el porcentaje en fracción, y multiplicar a por la inversa de
dicha fracción
.porcentajes 2011 (5a)
2010 (2)
Calcular x para que un * Resolver: x·1+n100=a
incremento del n% dé a * Resolver: x+x·n100=a
Calcular porcentajes
encadenados (el m% del n
% de a)
* Calcular el n% de a. Luego calcular el m% del resultado.
* Calcular a·n100·m100
.porcentajes
RECUENTO y PROBABILIDAD
Tarea Técnica Concepto matemático Ejercicios CDI
Determinar el número de objetos sabiendo el número del primero y el número del último
*Contar los elementos uno por uno
* n=max-min+1 .conteo 2011 (9a)
Probabilidad de que un número de una serie
cumple cierta condición P5=nº de casos favorablescasos posibles
* Contar todos los números que cumplen la condición y dividirlo por el número de elementos de la serie
* Si la condición es periódica: La última cifra de un número se repite cada 10 números, con lo que la probabilidad es la misma que en una serie de 10 números consecutivos: 1/10
.probabilidad
.regla de Laplace 2011 (9b)2008 (P4a)
Probabilidad que el elemento pertenece a un conjunto particular sabiendo el número de subconjuntos, número de elementos en el resto de conjuntos y número total de elementos
* Calcular el número de elementos e del conjunto, restando al número total
T la cantidad de los otros conjuntos.
Pe=nº de casos favorablescasos posibles=eT
.probabilidad
Calcular el número de
elementos de un conjunto e
conociendo su probabilidad
P(e) y el número total de
elementos T
* Resolver: Pe=eT
.probabilidad .regla de Laplace
GEOMETRÍA
Tarea Técnica Concepto matemático Ejercicios CDI
Dibujar y medir con regla la altura de un triángulo ABC desde el vértice B
* colocar un cateto de una escuadra sobre el segmento [AC], y deslizarlo sobre la recta hasta que el punto B se encuentre alineado con el otro cateto de la escuadra. Dibujar el segmento que une el punto B con la recta (AC). Luego medir con la regla, colocando el 0 en una de las extremidades del segmento.
.altura de un triángulo 2009 (8)
Aplicar el teorema de
Pitágoras Hallar la hipotenusa conociendo la medida de los dos catetos:* resolver la ecuación hipotenusa2=cateto 12+cateto22
Hallar un cateto conociendo la medida de la hipotenusa y otro cateto:
Hallar los catetos conociendo la medida de la hipotenusa y sabiendo que los dos catetos son iguales:
.triángulo rectángulo .diámetro de un rectángulo
.Teorema de Pitágoras .álgebra
.raíces cuadradas
2012 (7) 2011 (8) 2010 (9) 2009 (5) 2009 (P2c) 2008 (9)
Hallar un ángulo A sabiendo que su ángulo suplementario es parte de un triángulo con dos ángulos conocidos
* Calcular primero el ángulo suplementario γ=180-α-β, con α y β los dos
ángulos conocidos del triángulo. Luego calcular A=180-γ.
* A es igual a la suma de los dos ángulos conocidos del triángulo:
A=180-.suma de los ángulos de un triángulo
.ángulos suplementarios
180-α-β=α+β
Calcular el volumen de un cilindro dados el diámetro y la altura
*Dividir el diámetro por 2 para obtener el radio, luego aplicar la fórmula
A=πr2h
.fórmula del volumen de
poliedros 2011 (6a)2008 (P5a)
Calcular la altura de un prisma de base cuadrada con dimensiones conocidas
* Escribir la fórmula del volumen de un prisma, en la que la incógnita es la
altura. Resolver la ecuación de 1º grado. .fórmula del volumen de poliedros .ecuaciones de 1º grado
2012 (8)
Calcular el área de un rectángulo conociendo base y altura
* Multiplicar base por altura
* Dividir el rectángulo en n columnas y m filas, con n las dimensiones de la base y m las dimensiones de la altura, luego contar el número de cuadrados de la superficie
.fórmula del área de
polígonos 2012 (9a)
Calcular el área de un cuadrado conociendo el lado
* Multiplicar base por altura * Multiplicar lado al cuadrado
* Dividir el cuadrado en L columnas y L filas, con L las dimensiones de los lados, luego contar el número de cuadrados de la superficie
.fórmula del área de
polígonos 2011 (8)
Calcular el área de un círculo conociendo el radio
* A=πr2
.fórmula del área de polígonos
2011 (8)
Calcular el área de un triángulo
* A=bh2
.fórmula del área de
polígonos 2009 (8)
vuelta de una pista de atletismo sabiendo cuánto miden las rectas y
conociendo el diámetro de las semicircunferencias
fórmula de circunferencia de un círculo (P=2πr) y sumar dos veces la
Los estándares evaluados en las pruebas CDI
Los estándares se definen como: “una concreción del currículo en cuanto a los conocimientos que el alumno debe adquirir y las destrezas que debe dominar en cada momento de su trayectoria académica”.
Para cada uno de los tres primeros cursos de la ESO, el Boletín Oficial de la Comunidad de Madrid del 21 de octubre de 2009 enumera un cierto número de estándares, agrupados en varias categorías.
Al cruzar el análisis de técnicas y tareas de las pruebas CDI de matemáticas con dichos estándares, se observa que las pruebas CDI no evalúan de manera equitativa los diferentes epígrafes.
La gráfica a continuación muestra el número total de epígrafes por categoría sobre los tres años, y en azul marino la proporción de los epígrafes que se han evaluado en por lo menos una prueba CDI (entre 2008 y 2012). El punto verde indica el porcentaje de los estándares en cada categoría que han sido evaluados en dichas pruebas.
Cabe destacar que las pruebas CDI otorgan un peso primordial al epígrafe “Números” (se han evaluado un 71% de los estándares), seguido por “Álgebra” (60%). Por otra parte, están casi excluidos los estándares de funciones y gráficas.
Desglosando los estándares por curso (ver las tablas a continuación), se observa que se evalúan sobre todo los estándares correspondientes a los cursos de 1º y 2º de la ESO, y en menor grado los de 3º de la ESO, ya que en los dos primeros cursos se evalúan cerca del 60% de los estándares, y en 3º se evalúa el 36%. Dicha diferencia parece razonable, dado que las pruebas se realizan en primavera, antes de terminar el periodo lectivo.
CURSO Números Álgebra Geometría Funciones y gráficas
Estadística y
probabilidad TOTAL
1º ESO nº estándares 61 6 37 11 - 115
nº evaluado en CDI 45 6 12 1 - 64
% 74% 100% 32% 9% - 56%
2º ESO nº estándares 54 12 21 6 6 99
nº evaluado en CDI 39 8 10 - 2 59
% 72% 67% 48% 0% 33% 60%
3º ESO nº estándares 28 22 36 13 14 113
nº evaluado en CDI 18 10 9 - 4 41
% 64% 45% 25% 0% 29% 36%
TOTAL nº estándares 143 40 94 30 20 327
nº evaluado en CDI 102 24 31 1 6 164
% 71% 60% 33% 3% 30% 50%
El detalle del epígrafe “Números” es el siguiente:
CURSO Números
Números naturales y enteros Fracciones y decimales Medidas y
magnitudes Divisibilidad Operaciones
Proporcio-nalidad y porcentajes
1º ESO nº estándares 61 26 15 13 - - 7
nº evaluado en CDI 45 17 11 10 - - 7
% 74% 65% 73% 77% - - 100%
2º ESO nº estándares 54 - 12 13 8 14 7
nº evaluado en CDI 39 - 12 7 6 9 5
% 72% - 100% 54% 75% 64% 71%
3º ESO nº estándares 28 - - - - 22 6
nº evaluado en CDI 18 - - - - 14 4
% 64% - - - - 64% 67%
TOTAL nº estándares 143 26 27 26 8 36 20
nº evaluado en CDI 102 17 23 17 6 23 16
Puede parecer interesante mencionar que los siguientes conceptos matemáticos incluidos en los estándares, a fecha de hoy, no han sido evaluados en ninguna de las pruebas CDI:
- Numeración romana (1ºESO)
- Conversiones de medidas de ángulos (1º ESO) - Ecuaciones de segundo grado (2º ESO)
- Proporcionalidad inversa (2-3º ESO) - Sucesiones y progresiones (3º ESO) - Teorema de Tales (3º ESO)