Modulo Potencias (1).docx

(1)

Prof.: Marta Orias

Potencias y sus propiedades

Contenido:

-Propiedades

-Ejemplos

-Ejercicios PSU : Básicos

Intermedios

Alta complejidad

Problemas

(2)

Subsector: Matemáticas

Integrantes : Francisca Hamati – Valeria López

Modulo Matemáticas

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

Ejemplo: En la potencia 24 = 2·2·2·2 = 16, la base es 2 y el exponente es 4.se lee usualmente como «2 elevado a 4» o «2

elevado a la cuarta» dependiendo de su base y exponente,Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo.

Propiedades:

*Potencia elevado a 0: Cualquier numero elevado a 0 es

equivalente a 1 , excepto el caso particular de 00 que aun no esta definido. Ejemplos:

a0= 1

345630 = 1

*Potencia elevado a 1: Cualquier numero elevado a 1 es igual a su base. Ejemplos:

a1 = a

5671 = 567

*Potencia de exponente negativo: Cualquier numero elevado a exponente negativo queda invertido en una fracción, eliminando el signo negativo de su exponente. Ejemplos:

(3)

a-n =

1 a n

2-3 =

1

2 3

En elcaso de que la base fuera negativa la base queda con el mismo signo. Ejemplo:

(-3)-4 = - 4

-2

5 -5 ₌

-5

2 5₌

-3125

32

*Multiplicación de potencia de igual base:

Son potencias de igual base y diferente exponente, de esta forma los exponentes se tienen que sumar , dejando la misma base. Ejemplos:

am · an = a m+n

62 · 64 = 6 2+4 = 66

En el caso de que el exponente sea negativo se restan y se conserva el signo del mayor. Ejemplo:

2-3 · 27 = 2 -3+7 = 24

*División de potencias de igual base:

Son potencias de igual base y diferente exponente , de esta forma los exponentes se tienen que sumar , dejando la misma base. Ejemplos:

am : an = a m-n

36 : 32 = 3 6-2 = 34

En el caso de que el exponente sea negativo se cambia los signos y se conserva el signo del mayor. Ejemplo:

4-8 : 42 = 4(-8)-2 = 4-6

(4)

Es cuando una base es elevada a dos exponentes los cuales se multiplican entre si dejando un solo exponente. Ejemplos:

(am)n = a m·n

(82)5 = 9 2·5 = 910

Cuando los exponentes son negativos se realiza la regla de la multiplicación en negación. Ejemplo:

(9-4)3 = 9-4·3 = 9-12

*Potencia base 10

Para las potencias con base 10, el efecto será desplazar la coma decimal tantas posiciones como indique el exponente, hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo. Ejemplos:

103 = 1000

10-3 = 0,001

*Multiplicación de igual exponente y distinta base:

Se multiplican las bases y se conserva el exponente. Ejemplos:

92 · 82 = 722 75 · 35= 215

*División de igual exponente y distinta base:

244 : 64 = 44

125 : 65 = 25

(5)

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.Para resolver una ecuación exponencial debemos tener en cuenta que:

a > 0 a

≠

1 Ejercicio PSU:

Basicos

1)¿Cuál es el valor de 30 · (20 + 50) + (80 – 30)= a)0

b)3 c)-2 d)2 e)-1

2) Calcula 913 · 9 24 =

a)934

b)936

c)937

d)8137

e)ninguna de las anteriores 3) Calcula 1245 : 1215=

(6)

a)14425 b)12-30 c)14445

d)1230

e)ninguna de las anteriores 4)Calcula 252 · 1253 · 5 =

a)514 b)253 c)520 d)1255

e)ninguna de las anteriores 5)Calcula 34· 93· 812= a)819

b)318 c)3-18 d)2712

e)ninguna de las anteriores

6)Calcula (124)3)6)0)=

a)1212

b)122 c)1 d)0

7)Calcula 321 · 621 · 221=

(7)

b)3634 c)2636

d)3621

8)Calcula 3656 : 456=

a)956

b)9-56

c)364

d)436

9)Calcula (166)4)2) =

a)161 b)0 c)1648 d)1628

10)Calcula (-1)2)2)2)= a)-16

b)16 c)18 d)-18

(8)

Intermedios:

1) Calcula : ( 2₉

)

2 · -(3 2)

3₌

a)-1

b) 1₃

c)- 6₁

d)

-

1₆

2) Simplifica 36 · 25 · 52/93 · 43 · 5= a)5/5

b)2/4 c)-2/5 d)2/5

3) Calcula a−3· b−4· c7

a−5_{· b}−2_{· c}1

=

a)0

b)a2 · b-2 · c8

c)a1 · b2 · c8 d)1

(9)

a)₁₆1 8

b)1

c)−₇₆18

d)1/768

5)Calcula 4 · 1₃ · - ₂₃3 =

a)9

b) 9₁

c) - 9₂

d) 9₂

6) Al simplificar la expresión 22

2

(222

)

a)2 b)22

c)1₂

d)1

e)2-1

7)Calcula 2

5_·₆−3_·

(−3)8 18−2_·

(−12)3

(10)

c)-2-2 ·36 d)22_{· -3}-6

e)ninguna de las anteriores 8)si ‘’x’’ = 5·10-3 entonces x2= a)5·106

b)25·10-5 c)10·10-3 d)25·106

e)ninguna de las anteriores 9)Calcula (132)·(134) : (136) = a)1

b)0 c)-1 d)4 e)-4

10)Calcula (a4)·(a3) : (a4) =

a) a_a

b) a₃

(11)

Alta complejidad:

1) Calcula 8(a−1+b−1)

2

−8(a−1−b−1)2 (2ab)3

a)24ab

b)28 a2b2

c)2ab

d)a2b2

e)ab2

2)Calcula 2

5

·6−3

·(−3)8 18−2

·¿ ¿

a)1 b)-23 c)-34 + 24 d)23

e)2-2 ·

3

6*

3)Calcula

((m+n)/p)−2·((m+n)/p)3

( p m+n)

3

a) p (m+n)

2*

b)p+m-n c)p2 d)m2+pn

(12)

4)Calcula 2−2·2−3

2−4

=

a)2₁

b-2₁

c) 1₂

d)-1 e) 26

5)Calcula 5x ·−3

2_·₂2

32

=

a)0 b)2 c)-1 d)1

6)Calcula [2+2(c-1)-1]

-1

= a)c+2

b) c_2c−1

c) 2_cc

d)c-1

7) Calcula (3

−2

+3−3

3−4 )2 =

a)122

b)₁₂2

(13)

e)24

8)24·4-2· ¿

a)1/2

b)₋1₂

c) ₂₁₀1

d)1

9) Calcula (532845)47)89)100)120)112)0)36)1)456)= a)38100402

b)15 c)-1

d) ₅₃₂₈1

e)1

10)Calcula (−1

3 )-3+90·3-1-3·(-3)2=

a)8₃

b)3₈

c)- 3₈

d)- 8₃

(14)

Problemas :

1) Un científico pone en un recipiente 500 bacterias de cierto tipo cuya población se triplica cada una hora .Si x representa el tiempo,en horas ,transcurrido, la operación que permite determinar el numero de bacterias presentes en el cultivo al cabo de x horas es :

a) x = 500 · 3-x b) x = 500 · 3x c) x = 500 · 3500x d) x = 500 · 3-500x

e) Ninguna de las anteriores

2) Una persona planifica su entrenamiento para una maratón del siguiente modo : correrá cada día el doble de lo que corrió el anterior. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el número de metros que corre el dia x , si el primer dia corrió 1000 metros?

a)1000 · 2(x-1) b)1000 · 2x

c)1000 · 2-x d)1000 · 2x+1 e)a y c

3) Una máquina genera 1020_{, Contando con que un año tiene}

365 días, ¿Cuánto tiempo tardará un ordenador en forzar la clave y descubrir el mensaje cifrado, asumiendo que el

ordenador puede comprobar un millón de claves por segundo y nunca será interrumpido hasta descifrarlo, cuantos años tardaría?

a) 3,1710 · 106 _años

b) 3,1710 · 1010 _años

c) 3,1710 · 10años d) 3,1710 · 106 _años

(15)

4) A las 13:00 horas, un tanque de agua esta vació. A partir de ese momento, comienza a ingresar agua con un caudal variable.

Un minuto después, hay una cierta cantidad de agua. Cada minuto que pasa, se duplica la cantidad de agua que había en el minuto anterior. Si el tanque se llenó a las 13:08 ¿A qué hora estaba lleno hasta la mitad?

a)13:04 b)13:03 c)13:07 d)13:02

e)Falta información

5)Si un numero termina en 7 , ¿En que digito termina su quinta potencia?

a)6 b)7 c)4 d)a y b

5)Una persona infectada con un cierto virus contagia

diariamente en promedio a otras 3 personas. Si la infección comienza un dia lunes con 2 personas , ¿Cuántas estarán infectadas en total el dia viernes?

a)99 b)192 c)162 d)14

6)Un cierto tipo de bacteria es tal que se duplica cada 10 horas. Si en un cultivo se deja una de estas bacterias, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones son correctas I) En diez días habrá 224 bacterias

II) Transcurridas 20 horas habrá 4 bacterias III)En 2 días , el número de bacterias será ₂n5

(16)

7)Una pareja de conejos se deja en una isla , en condiciones tales que su numero se triplica cada 6 meses .¿Cual es la función que representa el numero de conejos (y) después de transcurridos x años ?

a) y = 2 · 32x b) y= 2 · 3x c) y= 2 · ₃2x

d) y=62x e) y=12x

8) Una caja de carton tiene una base cuadrada de lado x cm. Si la longitud total de las 12 aristas de la caja es 144 cm , entonces el volumen de la caja esta dado por la función a) x3

b) 18x3 c) 36x2 – x3 d) 36x2 – 2x3 e) b y d

9)El numero mas grande que se puede escribir utilizando exactamente tres veces la cifra 3 , sin usar signos de operación es:

a) 333 b) 333 c)(33)3 d)333

e)Ninguna de las anteriores

10)Se dispone de una cartulina de 1 mm de grosor que se puede doblar sucesivamente de modo que cada doblez se hace sobre el anterior. ¿Cuál es la función que expresa la relación entre la altura del papel doblado y el numero de dobleces?

(17)

Suficiencia:

1)El valor de la potencia an es uno si : (1) a = 1

(2) n = 0 y a ≠ 0

a) (1) por si sola b) (2) por si sola

c) Ambas juntas (1) y (2)

d) Cada una por si sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional

2) Si x^y se define como x2y, entonces ¿es x^y positivo?

(1) y2 > 0 (2) x = 2

a)(1) por si sola b)(2) por si sola

c)Ambas juntas , (1) y (2)

d) Cada una por si sola, (1) ó(2) e) Se requiere información adicional

3)¿Cuál es el valor de a, siendo que a es un numero entero?

(1) a4 = 1

(2) a3 + 1 = 0 a) (1) por si sola b) (2) por si sola

(18)

4)Sabiendo que 10y = 100x , entonces para que se cumpla la igualdad anterior es necesario y basta que :

(1) y = 2 x

(2) y = x2

5) De acuerdo a la definición inductiva (*) de potencia para base real y exponente natural , la expresión a n+1 es igual a:

(1)a n+1 · a0 (2)an · a

Combinados :

1) Resuelva 516_{: 5}8

a)5 · 58 b)58 c)5 d)516

(19)

2)Resuelva (−1)2_{· (}₋₃₎0

a)0 b)-1 c)1 d)-3 e)3

3) Resuelva [(−2)6 _{: (}₋₂₎3 _]3

a)697 b)695 c)967 d)-697 e)-695

4) Desarrolle (3)2_{· (3)}1

a)18 b)9 c)21 d)81 e)27

5)Resuelva [(2)6_{: (4)}3_] 3_{· (5)}0_]

a)33.554.433 b)33.334.332 c)254.425.452 d)554.552.521 e)45.254.245

(20)

(21)

(22)