Enseñanza de funciones por medio de transposición didáctica

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(1)Enseñanza de funciones por medio de transposición didáctica Ernesto Inzunza Araya1 Resumen El presente documento contiene el proceso de implementación de una unidad didáctica de la asignatura de Matemáticas para un primer año medio de un colegio particular subvencionado. Inicialmente se describen los fundamentos que sustentan la teoría de Transposición Didáctica y se define el objeto matemático en torno al cual se configura la unidad. El tema abordado contempla los conceptos de función lineal y función afín, además de la composición de funciones y sus propiedades. Luego, se añade un diagnóstico del curso y de la institución sobre la que se aplica la implementación, para posteriormente entregar una caracterización de la unidad a aplicar. La propuesta planteada pretende reforzar los significados y priorizar la comprensión de los conceptos matemáticos enseñados, antes que promover únicamente el desarrollo de habilidades procedimentales para el cálculo y resolución de ejercicios. Los resultados de la puesta en práctica son incorporados junto con un análisis reflexivo de lo obtenido a partir de las clases realizadas y la evaluación aplicada sobre el curso. Finalmente, se incluye un plan de mejora que contiene los aspectos didácticos, disciplinares y pedagógicos que deben perfeccionarse, además de las conclusiones que se pueden formular luego de todo el proceso vivido en la experiencia laboral. Palabras claves Transposición Didáctica, función lineal, función afín, composición de funciones, Matemáticas.. La enseñanza de las matemáticas forma parte de las asignaturas con más horas dentro del currículum nacional, por lo que suele asignársele un valor especial dentro de la formación general de los estudiantes. Esto sumado al hecho de que es una de las dos pruebas obligatorias para el ingreso a estudios superiores, independiente de la orientación de la carrera a la cual se desee ingresar. En este contexto, desarrollar estrategias que permitan acercar los contenidos a la población escolar y ampliar la comprensión en torno a materias con un grado de abstracción considerable resulta algo no solamente útil, sino necesario. Así, el papel del docente se convierte en una labor determinante, ya que es el encargado de tomar una serie de decisiones y administrar el contenido de la disciplina en función de la realidad de sus estudiantes. En esta lógica, el presente documento describe la implementación de una unidad didáctica de 20 horas pedagógicas, aplicada sobre un primer año medio de un colegio particular subvencionado ubicado en la comuna de Santiago y que imparte educación científico-humanista. Para esto se utiliza la Transposición Didáctica como estrategia de enseñanza sobre el contenido de ‘funciones’; tema acotado a los casos de función lineal, función afín y composición de funciones. Esta teoría didáctica se sustenta en la transformación que realiza el profesor de los saberes matemáticos desde su forma más pura, hasta obtener una adaptación pertinente de ser aprehendida por los educandos. Aquí, tanto el contexto de los alumnos como el objeto matemático son factores claves en el diseño y la posterior ejecución de la unidad.. 1. Ingeniero Civil, mención Estructuras y Construcción, Universidad de Chile. Actualmente colaborando en proyectos de investigación del Departamento de Ingeniería Civil de la Universidad de Chile. Estudiante del programa Pedagogía para Profesionales, Universidad Alberto Hurtado. Taller de práctica profesional guiada por Michael Pérez, Licenciado en Matemáticas, Magíster en Didáctica de la Matemática, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.. 1.

(2) Tomando en cuenta estos antecedentes, el presente artículo se estructura de la siguiente forma: en primer lugar, contiene un marco teórico que describe y fundamenta los aspectos didácticos, pedagógicos y disciplinares considerados; en seguida, se incluye el diagnóstico de la institución y del curso, donde se relatan las particularidades del contexto en que se encuentran los estudiantes, las cuales influyen fuertemente en las decisiones tomadas en torno al diseño de la unidad; luego, se hace una descripción de la unidad didáctica que explicita los aprendizajes esperados, tiempos contemplados, estrategias utilizadas y actividades o recursos utilizados, entre otros; posteriormente, se muestran los resultados obtenidos en la implementación, en conjunto con su análisis crítico correspondiente; y, por último, se desarrolla un plan de mejora que considera el caso particular estudiado y lo extiende a decisiones a nivel personal y profesional. En suma, este artículo tiene la finalidad de contribuir a la comunidad docente, presentando una estrategia metodológica que considera un escenario real y que busca entregar aprendizajes significativos a los estudiantes, desde la perspectiva de un profesor facilitador que acerca y adapta los saberes a sus estudiantes, de modo que éstos no solamente reproduzcan un procedimiento y resuelvan ejercicios, sino que también puedan comprender realmente el significado de lo que se les enseña. Todo esto sujeto a la respuesta obtenida por parte de los alumnos luego de la puesta en práctica de la propuesta. Fundamentos de la propuesta de implementación La Didáctica de las Matemáticas es una disciplina científica que -como toda área del saber- se ha desarrollado, evolucionado y especializado con el transcurso de los años. Ésta se enfoca en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la disciplina, poniendo especial interés en los elementos constituyentes del sistema: el conocimiento matemático; los actores que intervienen en la interacción -educador y educando-; y el contexto en el cual se está inmerso. Actualmente, existen distintos enfoques o teorías que abordan la problemática de la enseñanza de las matemáticas con el objetivo de sistematizar, caracterizar y mejorar el planteamiento pedagógico de la especialidad. Una de éstas tiene su génesis el año 1975, cuando el francés Michel Verret introduce por primera vez el concepto de “Transposición Didáctica” en su tesis doctoral de sociología relacionada con los tiempos de estudio. No obstante, es Yves Chevallard -matemático francés- quien retoma el término de ‘Transposición’ en el año 1985 y desarrolla una teoría propiamente tal, desde una visión antropológica. Ésta, según palabras del mismo Chevallard (1997), se define como el conjunto de transformaciones que sufre un saber con el fin de ser enseñado. En esta lógica es que el objeto de saber experimenta una serie de cambios que lo transportan desde su noción más pura y esencial: ‘saber sabio’, hasta el conocimiento que en definitiva interioriza el educando luego de la enseñanza impartida: ‘saber del alumno’. En esta trayectoria, el saber matemático adquiere formas intermedias producto de un ejercicio de selección y reescritura: ‘saber a enseñar’ y ‘saber enseñado’. Dentro de este proceso de cambio existe una instancia preliminar en la cual el docente no tiene injerencia directa. Aquí se realiza una descontextualización del saber en cuestión y es la. 2.

(3) ‘noósfera’ o sistema social de enseñanza el que determina los aspectos relevantes para la formación matemática de los alumnos. Posteriormente, el maestro adapta y administra el saber definido en el currículum en función de cada contexto. A raíz de sus estudios, Chevallard, se aventura en la noción de distancia geométrica en las matemáticas, concepto que para la década de 1970 había sido introducido en los programas escolares franceses y no contaba con una definición concreta. Luego de indagar en el conocimiento especializado de la matemática, logra identificar el origen y la esencia del objeto señalado, lo que le permite establecer un camino que convierte el concepto original en un contenido apropiado a tratar en la escuela. Esta experiencia es uno de los primeros antecedentes que implementa de forma evidente la transposición didáctica como una teoría que asiste y contribuye con la enseñanza de la asignatura. Por otro lado, y como una experiencia más reciente, se puede mencionar el trabajo desarrollado por Alfaro y Chavarría (2012) en su publicación La Transposición Didáctica: Un ejemplo en el sistema educativo costarricense. Aquí se analiza críticamente la pertinencia de ciertos conceptos relacionados con los números enteros en el currículum nacional utilizando la transposición didáctica como estrategia de estudio. La Transposición Didáctica resulta un enfoque interesante de implementar, porque pone en práctica de forma implícita aspectos de la enseñanza y el aprendizaje tratados tanto por Shulman como por Vigotsky respectivamente. Por una parte, es posible notar una evidente correlación entre la teoría aquí descrita y el “Modelo de Razonamiento y Acción Pedagógicos” descrito por Shulman (2001), donde el proceso de ‘transformación’ adquiere un papel esencial en el rol docente. Por otro lado, la participación del profesor y las acciones que realiza para lograr los aprendizajes en los estudiantes se asemejan al concepto de ‘mediador’ o facilitador del que hablan Cubero y Luque (1990), quienes hacen referencia a la obra de Vigotsky y su “Modelo de Aprendizaje Sociocultural”. Así también, tomando en cuenta que los saberes matemáticos, en general, poseen una definición compleja y abstracta que dificulta su comprensión a quienes no pertenecen a esta área del conocimiento, la Transposición Didáctica se posiciona como una teoría bastante pertinente en un contexto escolar donde conviven estudiantes con distintas experiencias e intereses. En este caso se han seleccionado las ‘funciones’ como objeto matemático sobre el cual se expone en las siguientes páginas. Goles (1993) define este concepto de la siguiente forma: Dada una relación 𝑅 ⊆ 𝐴×𝐵, se dirá que 𝑅 es una función si y sólo si: (∀ 𝑎 ∈ 𝐴)(∃! 𝑏 ∈ 𝐵) (𝑥𝑅𝑦) Donde la notación utilizada es la siguiente: 𝑥𝑅𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑓(𝑥). 3.

(4) 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑥 → 𝑓(𝑥) En lenguaje natural, esto se entiende como una regla de asociación en que a un elemento de un conjunto dado se le asigna un único elemento de un segundo conjunto. Sin embargo, para obtener esta definición es necesario pasar por un proceso de transformación y adaptación tanto del código utilizado como del significado intrínseco del objeto. En esta misma lógica, se puede apreciar la importancia de contar con un mínimo de conocimientos previos esenciales para la cabal comprensión de las funciones. De esta forma, nociones básicas de Teoría de Conjuntos y Relaciones también forman parte de los contenidos necesarios para tratar el objeto matemático, pues son insumos valiosos para ejecutar una adecuada y contextualizada ‘transposición’. Por otro lado, se debe tener presente el grado de especialización con el cual se aborda el contenido, pues dependiendo del nivel en que se trata la unidad se toman decisiones sobre la profundización u omisión de algunos aspectos. Dado el contexto en el cual se está trabajando, el objeto está acotado específicamente a los casos de función lineal, función afín y composición de este tipo de funciones. Respecto a estos conceptos, se puede decir que tanto la función lineal como afín son casos particulares de funciones y que se distinguen en que no satisfacen las mismas propiedades. Sólo la primera de ellas cumple con la propiedad aditiva y con la propiedad homogénea, las que juntas componen la propiedad de linealidad. A pesar de estas diferencias, en ambos casos su representación gráfica corresponde a una recta. Por lo tanto, así como ocurre con la Teoría de Conjuntos y Relaciones, también es pertinente desarrollar la Ecuación de la Recta, describir sus atributos y conectarlos con la representación de funciones. Por otro lado, Goles (1993) define la composición de funciones de la siguiente forma: Dadas las funciones 𝑓: 𝐴 → 𝐵, g: 𝐵 → 𝐶 se define la función “𝑔 compuesta con 𝑓” como: 𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐶 𝑥 → (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) Para determinar adecuadamente la forma en que se presentan y trabajan las funciones resulta útil tomar en cuenta su epistemología, ya que según la etapa de la historia en que se desarrolle el concepto, resaltan diferentes enfoques los cuales se acompañan de distintos tipos de representación. Así, como indica Farfán (2005), al remontarse a la época antigua –cultura babilónica-, en donde el objetivo primitivo consiste en explicar ciertos fenómenos naturales, la asociación directa por medio de tabulación permite ilustrar una relación inicial entre elementos distintos. En contraste con esto, si se pone el foco en el siglo XVII, donde la geometría analítica se posicionaba como una herramienta fuerte en el análisis matemático, la representación gráfica y la representación algebraica permiten describir las funciones de una manera más detallada, directa y profunda. Por lo tanto, al considerar el aprendizaje como un proceso en que la complejidad de los significados aumenta gradualmente –tal como ocurre en 4.

(5) la evolución histórica del concepto de función-, las diversas formas de representación de funciones son estimadas como un elemento clave en la enseñanza de esta unidad. Así, la representación por medio de diagramas sagitales, tablas de valores, expresión gráfica y expresión algebraica constituyen sólidos fundamentos sobre los cuales es sencillo ejemplificar y desentrañar cualidades o propiedades del objeto estudiado. Dentro de las reformas que ha experimentado el currículum en los últimos 20 años, se destaca el ajuste curricular del año 2009. En él se realizan algunas modificaciones en la estructura del sistema escolar que inciden directamente en la enseñanza de las matemáticas en general y de las funciones en particular. El principal cambio es que se adelanta en un año la introducción del concepto función, tratándose por primera vez en octavo básico en lugar de primero medio. Quizás la principal característica respecto a la enseñanza de funciones en el sistema escolar chileno es que ésta se aborda desde una perspectiva casi totalmente algebraica. Es más, uno de los ejes en que se organiza el contenido matemático en el currículum nacional tiene por nombre “Álgebra y Funciones”. Este hecho deja al margen otras representaciones igualmente importantes, tales como el lenguaje tabular y la expresión gráfica de las funciones en el plano cartesiano. Además, es común que los estudiantes separen completamente este contenido de las experiencias cotidianas, por lo que tampoco lo asocian a un lenguaje más coloquial. Este fenómeno es curioso, pues cada representación se puede relacionar de forma directa y sencilla con el resto, no siendo necesario forzar las transformaciones. Conjugar y trabajar de forma conjunta todas las representaciones señaladas puede ser beneficioso para eliminar ciertos sesgos presentes en la población escolar. Por este motivo es que se pretende abordar la unidad integrando las distintas formas en que se pueden expresar las funciones, para así desarrollar un concepto más flexible y amplio que permita superar los obstáculos que se vayan presentando. Diagnóstico institución y curso El proceso de inserción en el contexto escolar incide fuertemente en las decisiones que se toman para llevar a cabo la implementación de la unidad, ya que la práctica docente no se limita únicamente al desempeño de una labor técnica centrada en el conocimiento profesional, sino que se conjuga activamente con las relaciones que se van construyendo al interior de la comunidad educativa. Por este motivo, la elaboración de un diagnóstico claro y acertado puede constituirse en una herramienta valiosa dentro del proceso expuesto en este artículo. La observación y registro de las dinámicas tanto de los profesores como de los alumnos -dentro y fuera de aula- es uno de los elementos básicos utilizados para la construcción del diagnóstico. Esto se ejecuta desde una posición inicial externa y ligeramente distante, la cual poco a poco se moviliza e integra a las prácticas habituales de la escuela. Así, la socialización misma con los integrantes de la comunidad educativa, basada en las conversaciones con los profesores y la indagación sobre los intereses de los estudiantes, también forman parte de los medios de recogida de información. Los registros mencionados consisten en observaciones breves y precisas, las cuales se. 5.

(6) escriben en un cuaderno después de haber finalizado la jornada y con una recurrencia más bien semanal. Por otro lado, se toman en cuenta aspectos rescatados de la página web del establecimiento cuyo contenido se actualiza regularmente, además de los documentos institucionales como el Proyecto Educativo Institucional y el Manual de Convivencia. La práctica profesional se lleva a cabo en un colegio particular subvencionado de la comuna de Santiago, donde se imparte enseñanza científico humanista. El establecimiento está administrado por una congregación religiosa ligada a la Iglesia Católica por lo que, de acuerdo a su naturaleza, transmite una misión educativa orientada a: Formar a los miembros de su comunidad en la verdad y en el espíritu de Jesucristo para vivir como discípulos en servicio a los demás y ser ciudadanos responsables, protagonistas y constructores de un entorno social justo, fraternal y democrático. (Proyecto Educativo Institucional, 2014, p.11). En la misma línea, presenta la visión de desarrollar diversas habilidades en los estudiantes académicas y sociales, entre otras-, siempre fundamentadas en las enseñanzas de la Iglesia Católica. Así, el colegio se propone formar no sólo ciudadanos que sepan desempeñarse en una sociedad democrática y justa, sino que también respeten la fe católica y reconozcan el valor de Dios en la humanidad. La estructura escolar está constituida por dos cursos mixtos por nivel, los cuales se extienden desde kínder hasta cuarto año medio. El curso que se sigue -y seguirá durante el resto del año- es el primer año medio B que está compuesto por cuarenta alumnos. Pese a que recién comienzan la enseñanza media y les restan casi cuatro años para terminar la educación secundaria, la gran mayoría aspira a continuar estudios universitarios una vez finalizado el cuarto medio. Dentro de las proyecciones que manifiestan, hacen bastante énfasis en escoger una carrera que les guste y un número no menor considera trabajar de forma paralela. En este sentido, los planes de futuro de los estudiantes no se condicen totalmente con la concepción educativa del colegio, ya que por un lado no estiman como esenciales los aspectos religiosos que la Congregación busca fomentar y, por otro, evidencian un foco principalmente instrumental en la escuela, es decir, que ésta les provea de las herramientas necesarias para construir su futuro laboral. En lo referente a la asignatura, la concepción de la matemática como un ramo más o como “números” es predominante en los jóvenes, no obstante, hay opiniones que la describen como un área esencial para la vida y de mucha utilidad. El gusto o disgusto por la disciplina no presenta una tendencia clara y se manifiesta en diversos grados. Muchos admiten que se les dificultan las materias que se tratan, pero a pesar de eso no demuestran temor para enfrentarlas, de hecho, el curso en general es bastante espontáneo y participativo durante las clases. Esto muchas veces se traslada hacia el límite del desorden y la indisciplina, pues la conversación es una práctica constante al interior del aula. Tomando en cuenta lo anterior es que las clases suelen llevar una estructura relativamente fija y rígida, donde se intercala la enseñanza participativa con el trabajo personal -que usualmente se convierte en grupal-, de modo que no existan tiempos muertos que gatillen situaciones de indisciplina. Los educandos se encuentran habituados a un ritmo de trabajo rápido y sin mucha profundización, donde hacen preguntas. 6.

(7) frecuentemente y no dudan en levantar la mano cuando no entienden algo o cuando necesitan algún tipo de ayuda. Tomando en cuenta estos aspectos, se valora la diligencia y proactividad de un alto porcentaje del grupo curso, acompañado del dominio general básico de contenidos que poseen. Sin embargo, se hace igualmente evidente un exceso de confianza que muchas veces juega en contra y se convierte en desorden e indisciplina. Por otro lado, y relacionado con la clase en sí, ésta puede -y debe- reforzar habilidades de orden superior como el análisis y la reflexión en torno a lo aprendido para que no sólo se refuercen y ejerciten destrezas, sino que también se logre interiorizar la disciplina y aplicar a diversas situaciones. Finalmente, pero igualmente importante, es la necesidad de lograr una mayor integración de los educandos que no manifiestan interés ni participan en las clases de matemáticas. Descripción de la unidad didáctica El contexto del curso muestra un panorama en el cual los estudiantes han incorporado la clase de matemáticas como un ejercicio mecánico donde cada uno cumple un rol dentro de ella; desde aquellos acostumbrados a colaborar públicamente y expresarse en voz alta, hasta los que pasan desapercibidos e, incluso, no demuestran interés por participar ni aprender -durmiendo o pendientes de otros asuntos-. Dentro de esta lógica, los alumnos que son considerados “aplicados” y de “buen desempeño” son aquellos que realizan la mayor cantidad de ejercicios de forma correcta y en el tiempo estipulado. Dicho de otra forma, se valora la eficiencia y diligencia para desarrollar las actividades, por sobre otros atributos que engloba la comprensión cabal de la asignatura -como el razonamiento flexible o el planteamiento de problemáticas, entre otros-. De esta forma, -y buscando ir más allá del simple dominio de mecanismos de resolución- se toma como premisa principal para la implementación: que los alumnos comprendan y no solamente sepan usar o calcular. Esto se busca, ya que los estudiantes del curso han mecanizado en gran medida el ramo y pocos comprenden realmente qué están haciendo o cuál es el significado de algunos contenidos o habilidades que aplican. En este sentido, se pretende promover la comprensión, aterrizando los conceptos abstractos y complejos a un lenguaje entendible, fomentando la ‘ejemplificación’ y las distintas formas de ‘representar’ una misma cosa. Así, se procura no descuidar las definiciones y aplicaciones del objeto por la ejercitación, que es lo que usualmente se hace en clases. En esta misma línea, se considera esencial realizar un primer acercamiento eficaz para todos -o la mayor cantidad de alumnos-, pues la primera aproximación a un nuevo contenido es determinante para el logro de los aprendizajes esperados. Considerando que una explicación bastante recurrente en los profesores frente a las dificultades que presentan los alumnos para la comprensión de nuevos contenidos es que no dominan conocimientos previos, se pretende abordar los conceptos de Relaciones y Conjuntos para una interiorización cabal del significado. A pesar que esto no se precisa dentro de los CMO puede contribuir bastante en el concepto integral de función, que suele asociarse fuertemente a la representación 7.

(8) algebraica, la cual dista de ser sencilla por su lenguaje ajeno a los alumnos. Por lo tanto, se pretende no focalizar la enseñanza de funciones únicamente a lo algebraico, sino que se complemente con otras formas de expresar el objeto con la finalidad que el lenguaje sea cercano y aprehensible por los educandos. Para materializar la propuesta y poner en práctica los aspectos mencionados anteriormente se propone separar la enseñanza en tres etapas: En primer lugar, se realiza una contextualización, donde se abordan contenidos generales respecto a la Teoría de Conjuntos y Relaciones. Para reforzar la definición de función, es necesario manejar elementos generales de los temas mencionados, tales como la noción de pertenencia y la asociación por medio de pares ordenados. Si bien son conceptos que deben estar integrados para este nivel, se considera esencial retomarlos y oficializarlos para resaltar la importancia que tienen en los contenidos más específicos a tratar. De esta forma, la primera fase está pensada desde una perspectiva panorámica e introductoria, con el fin de aproximar a los estudiantes al objeto matemático y prepararlos para su enseñanza. Aquí se ejecutará una postura eminentemente expositiva, en primera instancia, la cual será complementada con ejercitación, pero también con aplicación y ejemplificación para dejar de manifiesto el sentido que tienen estos contenidos en su vida escolar. Dentro de las actividades pensadas, se propone integrar ítems que permitan trabajar la comprensión de conceptos y no sólo la resolución y aplicación de procedimientos. Es decir, se espera que no sólo desarrollen habilidades cognitivas relacionadas con la resolución, sino que también puedan explicar con palabras algunos conceptos. El tiempo destinado a abordar estos temas es bastante acotado y se ha apartado una clase de 2 horas pedagógicas. En la segunda etapa, se hace énfasis en la definición del objeto y se presentan los términos elementales sobre los cuales se sustenta el conocimiento de las funciones. Aquí, además de responder a la pregunta “¿Qué es una función?”, se profundiza en los distintos tipos de representaciones, apoyándose en la epistemología del mismo objeto. De esta manera, será posible no sólo conocer la diversidad de formas en que se puede representar una función, sino que además comprender la utilidad que éstas tienen. Aquí se procede inicialmente desde una posición eminentemente expositiva, para ir dando paso a una disposición más dialógica en donde se potencian los aprendizajes con actividades de aplicación. Específicamente, se desarrollan guías con ítems de ejercitación, pero también se abordan los conceptos para reforzar la comprensión de las definiciones. Esta fase es tratada con más detalle y profundidad que la primera, por lo que el tiempo destinado para abordar estos contenidos también es mayor (dos clases de 2 y 3 horas pedagógicas respectivamente). Dado que los aprendizajes alcanzados en esta etapa son determinantes para comprender y trabajar con funciones lineales y afines, además, se realiza una conexión con la Ecuación de la Recta, donde se retoman los conceptos de proporcionalidad y se identifican los elementos que definen las rectas en el plano. En tercer y último lugar, se abordan los contenidos específicos de la unidad, que corresponden a la función lineal, función afín y composición de funciones. Para conectar estos contenidos con las. 8.

(9) definiciones generales tratadas en la sección anterior se utiliza la representación gráfica y el concepto de linealidad para generar el puente. Dado que esta parte de la unidad es principalmente de aplicación, no se profundiza tanto en las definiciones como en los casos previos. Aquí se aprovecha un recurso tecnológico: el software Geogebra. Éste no se utiliza únicamente como una herramienta de apoyo a la enseñanza, sino que cumple una función de apoyo a los aprendizajes de los estudiantes, ya que se les solicita que trabajen con el software. Esto es positivo para entender el comportamiento de este tipo de funciones, pues son fácilmente estudiables cuando es posible visualizarlas. Considerando que se espera que los estudiantes manipulen el programa computacional, es necesario tomar en cuenta el tiempo que tardarán en familiarizarse con él y la capacitación que tendrá que realizar el profesor. Luego de esto, se conforman parejas para desarrollar una actividad evaluada en Geogebra, donde se deben aplicar conocimientos sobre la función lineal, función afín y composición de funciones. El tiempo destinado para esta etapa alcanza las 13 horas pedagógicas, separadas en: 3 clases que suman 7 horas pedagógicas para abordar los contenidos y enseñar a utilizar el software; y 3 clases que suman 6 horas pedagógicas para realizar la evaluación sumativa y una síntesis final de la unidad. Tabla 1. Síntesis de la Planificación. Título de la unidad: Funciones / Álgebra Enfoque: Transposición didáctica para la comprensión de funciones Nivel: Primer año medio Tiempo Estimado: 20 horas pedagógicas Clase N° Objetivos Contenido Actividad 1 Comprender y - Teoría de Inicio: (2 hrs.) aplicar conceptos Conjuntos Se anuncia la unidad que se previos a la - Producto desarrollará durante las próximas tres definición de Cartesiano semanas. funciones - Relaciones Se refuerza contrato didáctico - Definición de construido durante el año. Comprender Función Se consulta sobre nociones generales significado de una de conjuntos. función. Desarrollo: Se explica qué es un conjunto y cómo se entienden los conceptos de igualdad, inclusión, unión e intersección de conjuntos. Se define lo que es un par ordenado, para posteriormente determinar qué es un producto cartesiano. Se explica qué es una relación (utilizando los términos previamente definidos). Se presenta el concepto de función como un caso particular de relación, que cumple ciertas condiciones. Se recurre a la ejemplificación y se distribuye guía de ejercitación para. Evaluación FORMATIVA: A través de preguntas durante la clase y ejercicios que refuercen los nuevos contenidos presentados.. 9.

(10) 2 (2 hrs.). 3 (3 hrs.). Analizar representaciones de funciones.. Identifica concepto de proporcionalidad. Aplica ecuación de la recta en diferentes casos.. 4 (2 hrs.). Analizar representaciones. Elementos propios de las funciones relacionados con el conjunto de salida y de llegada. Representacione s utilizadas para funciones: - Diagrama sagital - Tablas de valores - Gráficos - Expresión algebraica - Razones y constante de proporcionali dad - Ecuación de la recta - Términos: pendiente y coeficiente de posición. - Función lineal - Función afín. afianzar aprendizajes. Cierre: Se aclaran dudas más recurrentes y se resumen aspectos más importantes de lo visto en clases. Inicio: Se pregunta sobre nociones sobre algunos conceptos relacionados con las funciones. Desarrollo: Por medio de la ejemplificación, se asocian términos con los conjuntos que definen las funciones. Se presentan distintos tipos de representar las funciones y se aclara la mayor utilidad de unas sobre otras, dependiendo del caso. Se distribuye guía de ejercitación para afianzar aprendizajes. Cierre: Se aclaran dudas más recurrentes y se resumen aspectos más importantes de lo visto en clases. Inicio: Se refuerzan aspectos de funciones vistos las clases anteriores. Se anuncia que se realizará una especie de paréntesis, donde se trabajará con la recta y sus elementos constituyentes. Desarrollo: Se recuerda lo que es una razón y se identifica la constante de proporcionalidad. Se relaciona la constante de proporcionalidad con la pendiente de una recta. Se define el coeficiente de posición. Se distribuye guía de ejercitación para afianzar aprendizajes. Cierre: Se aclaran dudas más recurrentes y se resumen aspectos más importantes de lo visto en clases. Inicio: Se recuerdan conceptos de pendiente. FORMATIVA: A través de preguntas durante la clase y ejercicios que refuercen los nuevos contenidos presentados.. FORMATIVA: A través de preguntas durante la clase y ejercicios que refuercen los nuevos contenidos presentados.. FORMATIVA: A través de 10.

(11) de la función lineal y de la función afín.. 5 (2 hrs.). Construir composición de funciones y reconocer algunas propiedades algebraicas de esta operación.. 6 (3 hrs.). Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín. Manejo de software para. - Formas de representar estas funciones. y coeficiente de posición y se anuncia que se definirán los tipos de funciones con los que se trabajará en las próximas clases. Desarrollo: Se utiliza ejemplo de recta para mostrar que corresponde a un caso particular de funciones. Se define lo que es una función lineal y afín y en qué se diferencian. Se muestran las distintas formas de representar estas funciones. Se distribuye guía de ejercitación para afianzar aprendizajes. Cierre: Se aclaran dudas más recurrentes y se resumen aspectos más importantes de lo visto en clases. - Composición Inicio: de funciones y Se recuerda qué es una función lineal sus y afín. propiedades Se anuncia que se explicará en qué consiste la composición de funciones. Desarrollo: Se define lo que es una composición por medio de ejemplificación. Se identifican las propiedades que cumple la composición de funciones lineales y afines (también utilizando ejemplificación). Se indica importancia de la composición de funciones. Se distribuye guía de ejercitación para afianzar aprendizajes. Cierre: Se aclaran dudas más recurrentes y se resumen aspectos más importantes de lo visto en clases. - Función lineal Inicio: - Función afín Se informa a los alumnos que se comenzará a usar un programa para trabajar lo que se ha aprendido de funciones. Se recuerdan conceptos relacionados con funciones lineales y afines, además de la composición entre ellas.. preguntas durante la clase y ejercicios que refuercen los nuevos contenidos presentados.. FORMATIVA: A través de preguntas durante la clase y ejercicios que refuercen los nuevos contenidos presentados.. FORMATIVA: A través de preguntas durante la clase y ejercicios realizados en el software.. 11.

(12) aplicar conocimientos sobre funciones lineales y afines.. 7 (2 hrs.). Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín.. - Función lineal - Función afín - Composición de funciones. Construir composición de funciones e identificar algunas propiedades algebraicas de esta operación.. 8 (2 hrs.). Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín.. - Función lineal - Función afín - Composición de funciones. Desarrollo: El profesor explica cómo utilizar el programa, para posteriormente conducirlos a la sala de computación, de modo que ellos se familiaricen con el software. Desde el comienzo el profesor solicita que se reúnan en parejas para trabajar. Se entrega guía tutorial donde los alumnos podrán ejercitar y prepararse para la actividad evaluada. Cierre: Se aclaran dudas sobre la utilización del programa. Se recuerda que la próxima clase se comenzará con la actividad evaluada, así que se trabajará en la sala de computación. Inicio: Se dan las instrucciones generales de cómo se debe realizar la evaluación. Se pide al curso dirigirse a la sala de computación y agruparse según las parejas previamente acordadas. Desarrollo: Se destina el resto de la clase para trabajar en la actividad evaluada. El profesor se pasea por los puestos, atendiendo dudas y orientando a los alumnos en el desarrollo de las instrucciones. Cierre: Se pregunta sobre su apreciación de su desempeño en la actividad. Se pregunta sobre las principales dificultades que han tenido durante el trabajo. Se anuncia que la próxima clase se continuará trabajando en la actividad y se dará por finalizada. Inicio: Se recuerda que esta clase se debe terminar la actividad pendiente. Se solicita al curso que se dirija a la sala de computación y se organice en. SUMATIVA: A través de actividad diseñada para desarrollar en Geogebra sobre funciones y composición de ellas.. SUMATIVA: A través de actividad diseñada para. 12.

(13) Construir composición de funciones e identificar algunas propiedades algebraicas de esta operación.. 9 (2 hrs.). Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín. Construir composición de funciones e identificar algunas propiedades algebraicas de esta operación.. los grupos definidos. Desarrollo: Se destina el resto de la clase para trabajar en la actividad evaluada. El profesor se pasea por los puestos, atendiendo dudas y orientando a los alumnos en el desarrollo de las instrucciones. Cierre: Cuando quedan 10 minutos para el término de la clase, se pide que comiencen a terminar y guardar los archivos correspondientes. Se indaga sobre la apreciación de su desempeño en la actividad. Se anuncia que la próxima clase se termina la unidad sobre funciones. Inicio: Se recuerda que hoy se da por finalizada la unidad, así que se realizará un resumen con los elementos principales de lo visto las últimas semanas. Desarrollo: Se recuerdan conceptos como: - Definición de función - Tipos de representación: diagrama sagital, tabla de valores, expresión algebraica y gráfica. - Definición de función lineal y afín (relevancia de la pendiente y el coeficiente de posición). - Composición de funciones. Se realizan algunas preguntas generales al curso sobre su apreciación de las clases. Se indaga sobre: sus mayores dificultades, aquello que más recuerdan, algo que les hubiese gustado agregar, noción de su propio desempeño (entre otras cosas). Cierre: Se agradece la disposición del curso. Se informa que las notas se tendrán la semana siguiente. Se finaliza la clase.. desarrollar en Geogebra sobre funciones y composición de ellas.. FORMATIVA: A través de preguntas y síntesis final de la unidad.. 13.

(14) Como se puede observar, la forma en que se desea implementar la propuesta es por medio de una disposición del profesor que varía gradualmente a lo largo de las clases. En primera instancia el docente se posiciona por sobre el estudiante, postura que le permite presentar con propiedad los nuevos aprendizajes y aterrizarlos para la comprensión del grupo curso. Las clases aquí son eminentemente expositivas y se apoyan en actividades donde los alumnos pueden consolidar los nuevos contenidos. Poco a poco la dinámica en el aula se torna más dialógica y horizontal, hasta el punto en que el profesor se convierte en un asistente de los aprendizajes, pero siempre poniendo cuidado de no perder su autoridad y el respeto de los estudiantes al interior del salón. Para esto, es esencial dejar claro el contrato didáctico al inicio de la implementación. Los aspectos generales de la propuesta aquí expuestos dejan de manifiesto que se pretende romper con la tendencia de “entrenamiento”, para que los alumnos se acostumbren a entender lo que hacen y no simplemente reproduzcan una metodología. Se busca que la matemática no se conciba únicamente como algo procedimental, sino que se profundice más en su real concepción y que su utilidad les haga más sentido. Esto, sin duda, es un gran desafío ya que los educandos tienen fuertemente mecanizada la asignatura como algo inmediato y de ejercitación constante. No obstante, es crucial que las clases tengan un apoyo fuerte en actividades de aprendizaje, pues los estudiantes tienen la costumbre de ejercitar en clases y no se puede pretender cambiar esto de un instante a otro. Por lo tanto, la herramienta tecnológica se asoma como una buena alternativa para aplicar conocimientos nuevos y observar propiedades y características difíciles de evidenciar sólo de forma verbal. Esto se suma al hecho de que usualmente el profesor de matemáticas no utiliza recursos tecnológicos más allá de la proyección de diapositivas, por lo que además se potenciarán habilidades relacionadas con las TIC fomentadas en el currículum nacional. Finalmente, -y en términos netamente matemáticos- se busca cambiar la perspectiva de que el objeto es abordable sólo desde su representación algebraica y que la utilización de otros lenguajes contribuye sustancialmente en la comprensión cabal de los contenidos. Resultado de la implementación En primer lugar, es pertinente presentar el contexto bajo el cual se lleva a cabo la implementación, no entrando en detalles ya mencionados en la sección anterior, sino en lo referente a la época que atraviesa el colegio. El calendario tentativo proyecta nueve sesiones, las cuales debiesen extenderse por tres semanas, por cuanto el curso tiene clases de matemáticas tres veces a la semana. No obstante, la duración real estimada de la unidad didáctica es de cuatro semanas, ya que se considera una semana de vacaciones durante el transcurso de la implementación. Adicional a esto, el cronograma se ve modificado aún más por la programación de las pruebas de nivel, que se traduce en la pérdida de dos clases y el adelantamiento del inicio de la unidad -en lugar de partir un jueves, se comienza el día lunes de esa misma semana-. En este sentido, es importante mencionar que este cambio es solicitado por el profesor guía con menos de una semana de anticipación, por lo que el proceso se inicia de forma precipitada.. 14.

(15) Tomando en cuenta estos antecedentes, se procede, en primer lugar, a comentar los resultados referentes a la propuesta de enseñanza planteada, para luego plantear los resultados desde el punto de vista de los aprendizajes. Las primeras tres sesiones muestran un curso inquieto y con bastantes dudas, las que son manifestadas constantemente. Esto ocurre porque la estrategia escogida plantea que las clases iniciales sean mayoritariamente expositivas, de modo que sea posible lograr una contextualización adecuada antes de presentar los contenidos solicitados por el currículum. En esta lógica, las primeras tres clases dejan de manifiesto una elevada concentración de información, lo que se traduce en falta de tiempo para desarrollar algunos ejemplos y ejercicios. Así, se solicita a los estudiantes que las primeras dos guías las trabajen casi de forma íntegra en sus casas y sólo se aclaran dudas generales al inicio de las clases siguientes. Buscando remediar esta situación, se opta por confeccionar presentaciones en power point para cada sesión, de modo que se optimice al máximo el tiempo y no se inviertan tantos minutos en escribir en el pizarrón. De esta forma el profesor tiene la posibilidad de mantener control visual con el curso para así evitar situaciones de desorden o indisciplina. Con el fin de atender las necesidades expuestas, al inicio de cada clase se hace una recapitulación de los aspectos más importantes tratados hasta la fecha. Por otro lado, a la gran concentración de contenidos se le agregan dos primeras semanas en que las clases de matemáticas son recurrentemente interrumpidas. Es así como se comienza a implementar un día lunes, para luego destinar la clase del día martes a la prueba final de la unidad saliente y el día jueves a una prueba de nivel de otra asignatura; por lo tanto, la segunda clase se lleva a cabo una semana después de la primera. A pesar que la tercera clase se desarrolla al día siguiente -como lo indica el horario del curso-, nuevamente se dispone del jueves para realizar otra prueba de nivel. Posterior a esto comienza la semana de vacaciones, por lo que vuelven a transcurrir bastantes días entre clase y clase. Es importante señalar que el jueves es el único día en que los estudiantes tienen clases en la mañana -primera y segunda hora-, ya que tanto el lunes como el martes las clases se realizan posterior al horario de almuerzo. Luego de las vacaciones, las clases alcanzan la regularidad normal y se disminuye el volumen de contenidos para incorporar más aplicación por medio de ejercicios diseñados en guías de trabajo. En esta etapa los estudiantes aumentan levemente su atención y participación, pero siempre manteniendo su naturaleza inquieta. Durante esta semana se debe incurrir en otra modificación de la planificación, ya que el profesor solicita que se utilice la mitad de una clase para realizar un repaso para una prueba. Esto genera que se añada una sesión extra a la programado preliminarmente, para así contar con los tiempos suficientes para plantear los contenidos de forma adecuada e ir reforzando aspectos que se ven débiles. Posteriormente, se destina una clase para explicar cómo usar el programa Geogebra y para que los jóvenes puedan familiarizarse con él antes de aplicarlo en la evaluación. Dado que cuentan con dos sesiones para realizar la actividad a evaluar, no se manifiestan problemas mayores en el desarrollo de ésta. Se logra solucionar los casos de inasistencia, ya que se ha diseñado un instrumento más acotado. 15.

(16) que permite cumplir los objetivos en una sola clase. Existe el caso de un estudiante que faltó a las dos primeras clases en que se trabajó con el software, por lo que se construyó un instrumento que prescinde del programa computacional, pero que persigue los mismos objetivos disciplinares. Tomando en cuenta el material dispuesto para la unidad, se utilizaron todas las guías construidas para el trabajo clase a clase. Como ya se indicó, en los primeros días se destinó menos tiempo a ellas y fue complejo llevar a cabo un trabajo asistido por el profesor, pues fueron desarrolladas mayoritariamente en casa. Este aspecto se remedió paulatinamente, y desde la tercera clase los tiempos fueron ajustados para permitir un avance colaborativo en el horario de la asignatura. El material no fue sometido a modificaciones durante la implementación y se permitió que los alumnos trabajaran en pareja. El espacio físico utilizado fue la sala de clases del curso y una de las salas de computación del colegio. Se recurrió en casi la totalidad de las sesiones a la proyección por medio de data show, donde se complementaban algunos puntos y se aclaraban dudas por medio del pizarrón. Al posicionarse desde la perspectiva de los aprendizajes, un porcentaje superior al 50% de los estudiantes experimentó dificultades con algunos de los contenidos de la clase introductoria. Esto se pone en evidencia por las constantes preguntas relacionadas con teoría de conjuntos y algunos errores recurrentes observados en la resolución de ejercicios propuestos. Durante las clases posteriores y por medio de ejemplos se van dilucidando aquellas dudas. En términos de la metodología, algunos alumnos no se adaptaron a la forma empleada por el profesor y solicitaban realizar más ejercicios durante las clases. Junto con esto, hubo un grupo de jóvenes que se relajó y disminuyó su participación y atención en las clases al enterarse que las diapositivas utilizadas serían enviadas al correo del curso. A pesar de ello, el ambiente en aula se caracterizó por el interés de algunos estudiantes por participar, respondiendo las preguntas que el docente realizaba o desarrollando algunos ejemplos que se mostraban en el pizarrón. Por otro lado, si bien los alumnos no habían trabajado con computadores durante todo el año para la asignatura, se manifestaron cómodos con la actividad evaluada. En este sentido, mostraron una actitud colaborativa desde el comienzo, tomando en cuenta que surgieron dificultades e imprevistos -los cuales fueron solucionados oportunamente-, tales como la pérdida de algunos archivos. Las sesiones realizadas en la sala de computación se caracterizaron por ser dinámicas, pues se construyeron en base a las interrogantes que se planteaba cada pareja. Aquí existió completa participación del curso, ya que todos los grupos en algún momento hicieron ver sus dudas. Con respecto a los resultados de la evaluación, se alcanzó un porcentaje de aprobación del 100% y un rendimiento promedio de 6,0. La corrección evidencia que una gran proporción del curso no demuestra problemas en diferenciar los tipos de función afín y lineal. Además, no se observan dificultades para representar las funciones tanto de forma gráfica, como por medio de tablas de datos. Por otra parte, donde se identifican errores más recurrentes es en el cálculo de parámetros característicos de la recta -como la pendiente y el coeficiente de posición- y en algunas justificaciones, ya sea por mal uso de conceptos o por conclusiones imprecisas.. 16.

(17) Análisis de los resultados Las condiciones en las cuales se desarrolló la implementación, en términos de la programación y calendario académico, generaron una sensación de incomodidad y apremio en el docente, estado que se prolongó durante gran parte del proceso. Por un lado, el adelantamiento de la fecha de inicio -para comenzar incluso antes de dar término a la unidad anterior con la evaluación correspondiente- fue una situación de tensión para el profesor, puesto que debió enfrentarse a un curso que enfocaba su atención en reforzar otros contenidos. Por otro lado, las constantes pérdidas de clases y la semana de vacaciones no permitieron establecer la continuidad esperada a los temas que se estaban tratando. Estos acontecimientos afectaron la tranquilidad y confianza del maestro, pues tuvo que solucionar y adaptarse a los imprevistos señalados. Las consecuencias se extienden tanto al ámbito de la enseñanza como al de los aprendizajes, ya que la confianza incide las decisiones que el docente termina tomando en el aula y la actitud que este último refleja es percibida por los alumnos, influyendo directamente en la predisposición que toman en su propia construcción de los aprendizajes. Respecto a la elevada concentración de contenidos y la decisión de reducir la ejercitación en las clases, afectaron significativamente la atención y actitud del curso en el aula. En este sentido, algunos estudiantes manifiestan abiertamente que se trabaje con más ejercicios; a otros les cuesta seguir la dinámica de la clase y se distraen fácilmente, conversando o poniéndose de pie; incluso aumentan las dudas y preguntas respecto a contenidos, siendo muchas de éstas reiteradas clase a clase. Estos aspectos demuestran una incomodidad o desadaptación por parte varios alumnos, al presentárseles una forma distinta de abordar nuevos aprendizajes. Además, se aprecia inseguridad en su proceso de comprensión, pues no cuentan con numerosas actividades que les permitan interiorizar algunos conceptos o mecanizar procedimientos. Esto se acompaña con la necesidad constante de recibir la validación por parte del profesor. La decisión sobre utilizar presentaciones en power point, si bien contribuyó en la optimización del tiempo, también trajo consecuencias en la interacción profesor-alumnos. Dado que el docente acostumbra utilizar casi íntegramente el pizarrón y no suele recurrir a la herramienta del data show, no se logró promover una clase dialógica como se pretendía. Específicamente, los tiempos que se dieron para que las preguntas que se iban planteando fueran respondidas por los mismos estudiantes fueron muy reducidos, por lo que, finalmente, era el maestro quien iba encauzando estas respuestas y avanzando en las diapositivas para no estancar el progreso de las clases. Por otro lado, el control de la disciplina y la motivación de los estudiantes en las clases fue una tarea difícil, ya que éstos acostumbran recibir incentivos en forma de décimas cuando trabajan de acuerdo a los tiempos y objetivos. Dentro de las decisiones pedagógicas tomadas, se optó por promover la autoconciencia y apelar a la colaboración solicitada por el profesor cuando se presenta el contrato pedagógico al inicio de la implementación. Sin embargo, la opción indicada se convirtió en una propuesta ambiciosa, pues las prácticas conductistas están insertas en la dinámica habitual de la asignatura, por lo. 17.

(18) que el docente debía solicitar recurrentemente que se mantuviera el orden y el respeto; situación que se prolongaba sólo por algunos minutos hasta una nueva apelación del profesor. En lo que respecta la construcción de significados y la comprensión integral del concepto función, se puede inferir que estos objetivos se logran sólo de manera parcial. En este sentido, es ilustrador observar los resultados de la evaluación, ya que se obtiene que gran porcentaje del curso comprende la diferencia entre una función lineal y afín desde su representación gráfica. Por lo mismo, indirectamente se puede desprender que se entiende -en términos generales- los atributos de estos tipos de funciones, pues para realizar una diferenciación, al menos, es necesario dominar algunos aspectos básicos del objeto matemático. No obstante, tampoco se logra una comprensión cabal y profunda, puesto que se identifican falencias en las argumentaciones de algunas preguntas, utilizando nombres que no corresponden o estableciendo implicancias no necesariamente válidas. Además, se observa que un número no menor de alumnos se equivoca en procedimientos, hecho que por un lado deja en evidencia la disminución de ejercitación, pero que por otro muestra dificultades en habilidades y conocimientos previos, tales como operatoria con fracciones y uso de paréntesis en multiplicaciones. Finalmente, la utilización de computadores para cerrar la unidad y afianzar los conocimientos nuevos se considera un acierto, ya que el curso respondió positivamente a este tipo de actividad. Tomando en cuenta que las distintas formas de representar las funciones se podían enlazar fácilmente en el software, Geogebra se constituyó en una herramienta que clarificó términos como la pendiente y el coeficiente de posición, pues era posible visualizar de forma inmediata en la gráfica la consecuencia de cambiar los parámetros señalados en una recta. Adicionalmente, tuvieron la posibilidad de crear sus propias funciones y que se les evaluara de acuerdo a la elección ellos mismo tomaron. Plan de mejora La finalización de la implementación de la unidad didáctica trae consigo una serie de aspectos sobre los cuales es necesario mejorar, pero también algunas decisiones y propuestas que se pueden respaldar, para continuar aplicándolas en el futuro profesional. A continuación, se presentan algunos puntos que surgen de una autoevaluación de la propia experiencia, cuyo objetivo es contribuir en la constante construcción de la identidad del profesor e identificar las buenas prácticas que podemos utilizar como profesionales de la educación. En primer lugar, cabe señalar que “el currículum se refiere a funciones fundamentales de selección de conocimiento, distribución y organización de ese conocimiento que legitima la escuela para los distintos niveles del sistema escolar” (Soto, 2003, p.42). En este sentido, el profesor debe desempeñar esta misma labor a nivel de aula, de modo que sea posible impartir de forma adecuada la enseñanza de la disciplina a los alumnos con los cuales se relaciona. En las páginas anteriores se ha expuesto que las clases impartidas presentaron una alta concentración de contenidos, lo que generó dificultades en el manejo de los tiempos y en la profundización de algunos temas. Este aspecto es uno de los que se debe mejorar, ya que al momento de diseñar una unidad es complejo discernir qué elementos son prescindibles para los objetivos que se quieren lograr. Esto se acentúa cuando la experiencia en sala 18.

(19) es reducida; por lo que aprender a ‘seleccionar’ se convierte en una necesidad cuando se desea hacer énfasis en algunos conceptos o priorizar aspectos extra-disciplinarios como la interacción al interior de la sala de clases. Otro de los puntos que no se cumplieron a cabalidad fue el de acercar los contenidos a la realidad, describiendo la utilidad que tienen actualmente en nuestra sociedad. Si bien se destinó una clase para ejemplificar algunas situaciones en donde se usan funciones, se estima que este ejercicio no debiese exhibirse como algo puntual y acotado, sino que debiese estar presente de manera transversal y como uno de los elementos que se utilicen inicialmente para captar la atención de los estudiantes. Este fue un error en el que se incurrió, pues se dio mayor importancia al significado técnico del objeto matemático, en desmedro de su función práctica. Por otro lado, es de suma relevancia poner especial preocupación en la actitud que transmite el profesor a los estudiantes. A pesar de que nunca existió un mal trato o apatía por parte del docente, algunos jóvenes percibieron una postura predominantemente seria en la ejecución de las clases. Esto se debió a la tensión y preocupación diaria que experimentaba el maestro frente a: la incertidumbre en la coordinación de algunos recursos pedagógicos, como el notebook utilizado para proyectar; la impresión y copiado de las guías necesarias para cada clase, que se realizaban el mismo día que serían utilizadas; o las modificaciones en el calendario, que no necesariamente se anunciaban con mucha anticipación. Así, tomando en cuenta que el educador siempre estará expuesto a situaciones externas que puedan influir su ejercicio docente, éste debe procurar minimizar estas perturbaciones para que su forma de expresarse no perjudique ni merme el desempeño de la clase. En relación a los aspectos que pueden ser reforzados para potenciar el ejercicio profesional en el futuro, se puede mencionar el uso de recursos TIC para apoyar los aprendizajes. Aquí es importante hacer la diferencia entre los recursos TIC que apoyan los aprendizajes y los que asisten la enseñanza, ya que no se está haciendo referencia a la utilización del data show para proyectar una presentación en power point, sino que se destaca la función cumplida por el Geogebra en la comprensión de algunos parámetros matemáticos relevantes. El software implementado posibilitó que los alumnos se instalaran en una posición activa frente a los aprendizajes, de manera que fueron agentes participativos en la construcción de nuevos conocimientos. Además, es positivo transmitir la importancia de entender el significado de lo que se utiliza y no simplemente centrarse en lo procedimental, que podría fomentar la ejercitación sin un fundamento lógico del porqué se hacen ciertos cálculos. Este atributo adquiere especial relevancia en el contexto en que se realiza la práctica, pues los alumnos están ambientados a clases con mucha resolución de ejercicios, lo cual suele provocar sólo el desarrollo de una habilidad mecánica pero que carece de sentido en su aplicación. Una muestra de aquello son las falencias observadas en conocimientos previos, como el desarrollo algebraico de algunas expresiones, hecho que deja en evidencia una comprensión deficiente del método mismo y desencadena un efecto dominó en los aprendizajes posteriores. Por esto es que. 19.

(20) resulta esencial potenciar la construcción de significados, pero apoyados de forma equilibrada con ejercitación y ejemplificación que permita asentar los nuevos conocimientos. Por último, promover la autorregulación en los estudiantes también es considerada una práctica que debe promoverse en niveles que poco a poco se enfrentan a la toma de decisiones de forma independiente. No obstante, se deben buscar los medios que permitan fomentar esta cualidad eficazmente, ya que la adolescencia es una etapa llena de cambios que no necesariamente se manifiesta de la misma manera en todos los individuos. Asimismo, es trascendental considerar el contexto de cada curso, pues no se puede pretender cambios inmediatos o a corto plazo, cuando lo pertinente es hablar de un proceso que permita reconstruir nociones sobre los roles al interior del aula. Por lo tanto, dentro del diseño de clases se deben integrar metodologías o recursos que posibiliten una dinámica en que no sea necesario recurrir al conductismo, sino que los mismos estudiantes puedan sentirse motivados a participar y colaborar. Conclusiones La experiencia laboral en su totalidad, entendiendo ésta como la asistencia al establecimiento durante el año completo y la ejecución del proyecto de implementación, conforman uno de los más grandes procesos de aprendizaje del programa. Si bien existen muchos fundamentos teóricos adquiridos a lo largo de estos dos años de carrera que son trascendentales para cualquier profesional de la educación, la oportunidad de convivir con los miembros de la comunidad educativa de un colegio y experimentar en primera persona las vicisitudes que atraviesa un profesor en sus funciones habituales brindan un panorama real de lo que ocurre en nuestro sistema de enseñanza nacional. En este sentido, se deja en evidencia que una de las cualidades que necesariamente debe cultivar un docente es la capacidad de ‘adaptación’, ya que debe ser capaz de atender a las necesidades de distintos niveles, que a su vez se conforman por estudiantes diferentes entre sí. Adicionalmente a todo lo relacionado con la función de educar, debe desenvolverse en una estructura laboral con personas que cumplen diversas tareas en el establecimiento. En lo que respecta la Transposición Didáctica como teoría aplicada en la construcción y diseño de la enseñanza, es considerada una estrategia que permite no solamente dotar al profesor de los conocimientos disciplinares suficientes para la instrucción, sino que también sugiere un ejercicio de adaptación al contexto que posibilita la aprehensión de significados por parte de los estudiantes. Esta característica dota a la Transposición Didáctica de un atributo muy valioso en educación y en la sociedad en general, que es la ‘vigencia’. Las nociones sobre ciertos objetos matemáticos y sus respectivas aplicaciones pueden ir cambiando con los años, pero focalizarse en el ‘saber sabio’ –tomando en cuenta su epistemología- para a partir de éste configurar el ‘saber a enseñar’, permite que siempre sea posible transformar la enseñanza atendiendo a las necesidades de los alumnos. Por otro lado, es importante tener presente que la experiencia del maestro es un insumo esencial a la hora de emplear la Transposición, ya que un profesor novato tendrá mayores dificultades para realizar las selecciones y transformaciones respectivas a cada temática.. 20.

(21) Finalmente, el proceso de implementación ha invitado a reflexionar sobre el peso que tiene cada decisión que toma el docente en la formación de los estudiantes. Durante las clases que se dictaron, se observó que algunos de los alumnos que usualmente no prestan mucha atención -y que también corresponden a los rendimientos bajos en la asignatura-, esta vez mostraban más interés por escuchar y entender lo que se planteaba. En contraposición, y como se mencionó en páginas anteriores, surgió un grupo un poco más numeroso que no se adaptó a la modalidad propuesta, solicitando aumentar la ejercitación de modo que se asemejara más al sistema impartido por el profesor titular. Esta situación deja entrever que es complejo atender a las necesidades de todos los estudiantes, por cuanto todos poseen ritmos y estilos de aprendizajes diferentes. Así, muchas veces se prioriza satisfacer a los grupos más numerosos, dejando de lado a aquellos que poseen rendimientos más bajos o que simplemente participan menos en las clases. Por lo tanto, se convierte prácticamente en un deber desplegar estrategias variadas que permitan que todos los alumnos puedan sentirse cómodos y no conformarse simplemente con las mayorías. Para esto es preciso que el profesor constantemente se cuestione su práctica y ponga atención no solamente a aquellos que colaboran más activamente en las clases, sino además se preocupe por quienes no demuestran interés, que bien podría ser consecuencia de las mismas decisiones del maestro.. 21.

(22) Referencias Alfaro, C. y Chavarría, J. (2012). La transposición didáctica: un ejemplo en el sistema educativo costarricense. Uniciencia, 26, (1 y 2), 153-168. Chevallard, Y. (1997). La transposición didáctica. Buenos Aires: Aique. Cubero, R. y Luque, A. (1990). Desarrollo, educación y educación escolar: la teoría sociocultural del desarrollo y del aprendizaje. En C., Coll (Comp.), Desarrollo psicológico y educación (pp. 137-156). Madrid, España: Alianza. Farfán, R. M. y García, M. A. (2005). El Concepto de Función: Un Breve Recorrido Epistemológico. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 18, 489-494. Goles, Erik. (1993). Álgebra. Santiago: Ediciones Dolmen. Proyecto Educativo Institucional. (noviembre, 2014). Recuperado de página web del colegio. Shulman, L. (2001).Conocimiento y enseñanza. Revista de Estudios Públicos, (83), 164-196. Soto, V. (2013). Paradigmas, naturaleza y funciones de la disciplina del currículum. Reflexiones Pedagógicas,(20), 36-46.. 22.

(23) Anexos Concepción de los estudiantes sobre las Matemáticas y gusto por ellas.. Figura 1. Apreciación de alumnos del curso sobre la asignatura, expresada en encuesta anónima. Apreciación de los estudiantes sobre la implementación de la unidad.. Figura 2. Opinión de algunos alumnos sobre las clases realizadas en la implementación, expresada en encuesta anónima. 23.

(24) Errores observados en la evaluación final.. Figura 3. Errores observados en respuestas de algunos alumnos en evaluación final de la unidad didáctica. 24.

(25) Otras respuestas en evaluación final.. Figura 4. Respuestas acertadas en la evaluación de la unidad que evidencian el nivel de comprensión de algunos estudiantes. 25.

(26)