Superior de Ensenada, Baja California
MR
Programa de Posgrado en Ciencias
en Ciencias de la Tierra
Inversi ´
on conjunta 2D de forma de onda y anomal´ıa magn ´etica
por el m ´etodo de c ´
umulos difusos
c
-means
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de Maestro en Ciencias
Presenta:
Alejandro Romero Ruiz
y aprobada por el siguiente Comit ´e
Dr. Luis Alonso Gallardo Delgado Codirector del Comit ´e
Dr. Jon ´as de Dios de Basabe Delgado Codirector del Comit ´e
Dr. Miguel Angel Alonso Ar ´evalo
Dr. Pratap Narayan Sahay Sahay
Dr. Juan Garc´ıa Abdeslem
Coordinador del Programa de Posgrado en Ciencias de la Tierra
Dr. Jes ´us Favela Vara Director de Estudios de Posgrado
Alejandro Romero Ruiz © 2015
Resumen de la tesis que presenta Alejandro Romero Ruiz como requisito parcial para la obtenci ´on del grado de Maestro en Ciencias en Ciencias de la Tierra.
Inversi ´on conjunta 2D de forma de onda y anomal´ıa magn ´etica por el m ´etodo de c ´umulos difusosc-means
Resumen aprobado por:
Dr. Luis Alonso Gallardo Delgado Codirector de Tesis
Dr. Jon ´as de Dios de Basabe Delgado Codirector de Tesis
La marcada tendencia en el incremento del uso combinado de diferentes tipos de da-tos en interpretaci ´on geof´ısica ha llevado a una investigaci ´on intesiva en metodolog´ıas de inversi ´on conjunta. En el presente trabajo, exploramos una metodolog´ıa de inversi ´on conjunta generalizada que est ´a basada en el m ´etodo de c ´umulos difusos con c-centros (FCM). A diferencia de las aproximaciones de inversi ´on conjunta estructurales o petrof´ısi-cas, esta no requiere de alguna relaci ´on funcional apriori entre las propiedades f´ısicas de inter ´es. En nuestro esquema, construimos una funci ´on objetivo que incluye al mismo tiempo las funciones objetivo individuales para cada conjunto de datos geof´ısicos, as´ı co-mo la correspondiente para el an ´alisis de c ´umulos difusos y que adem ´as involucra un par ´ametroβ que controla el peso relativo de la funci ´on FCM en la inversi ´on conjunta. He-mos aplicado esta formulaci ´on a un conjunto de datos de pozo de velocidad y datos de anomal´ıa magn ´etica, lo que nos llev ´o a obtener modelos de velocidad y magnetizaci ´on con zonas homog ´eneas y bien definidas. En este caso, los datos observados mantienen una relaci ´on lineal con las propiedades del modelo. Los resultados demuestran que es posible estimar de manera conjunta los par ´ametros de agrupaci ´on con las propiedades f´ısicas del modelo conduciendo a modelos relevantes del subsuelo. En un experimento posterior, implementamos esta metodolog´ıa utilizando datos sint ´eticos de forma de on-da ac ´ustica en el dominio de la frecuencia, que presentan una relaci ´on no lineal entre la propiedad f´ısica y la observaci ´on, en combinaci ´on con datos de anomal´ıa magn ´etica. Hemos explorado aqu´ı cuatro distintas estrategias del manejo del par ´ametro de agrupa-ci ´on β. A ´un y cuando dos de estas estrategias nos condujeron a modelos significativos del subsuelo, para este caso no lineal, una t ´ecnica general para el manejo del par ´ametro
βcontinua como un problema sin resolver.
Abstract of the thesis presented by Alejandro Romero Ruiz as a partial requirement to obtain the Master of Science degree in Master in Earth Sciences in Earth Sciences.
Joint inversion of acoustic waveform and magnetic anomaly using fuzzyc-means clustering
Abstract approved by:
Dr. Luis Alonso Gallardo Delgado Thesis Co-Director
Dr. Jon ´as de Dios de Basabe Delgado Thesis Co-Director
The marked trend to increase the combined use of multiple types of data for geophy-sical interpretation has lead to an intensive research on joint inversion strategies. In the present work we explore a generalized methodology for joint inversion based on fuzzy c-means clustering (FCM). Unlike structural or petro-physical joint inversion, this does not require any priori property functional. In our scheme, we build an objective function that includes concurrently the individual objective functions for geophysical data sets and fuzzy clustering. Furthermore, it also involves aβ parameter that controls the relative weight of the FCM objective function over the overall inversion. We have applied this formulation to a set of sonic log data and magnetic anomaly data to obtain velocity and magnetiza-tion models with well-defined zones for model parameters. In this case, data and model parameters hold linear relationships. The result shows that the cluster and the property parameters can be estimated jointly to yield meaningful models of the subsurface. In a subsequent experiment we implemented this methodology to frequency domain acoustic waveform data, which hold a nonlinear relationship with the property of interest, in con-junction with magnetic anomaly data. Here we used four different strategies to manage the β clustering parameter. Although one of the strategies yields meaningful subsurface models, for this nonlinear case, a general technique to manage the β value remains an open problem.
Dedicatoria
A mi familia, mi padre Antonio, mi madre
Agradecimientos
A mi familia por siempre haberme brindado su apoyo incondicional, por haberme
da-do todas las herramientos necesarias para llegar hasta da-donde he llegada-do y por siempre
motivarme a superarme a mi mismo.
A mis amigos de mi pueblo natal, por mantenerse siempre cerca despu ´es de tantos
a ˜nos. Que, a pesar de que cada quien ha tomado un camino distinto en su vida, la amistad
se mantiene. Siempre es un placer volvernos a encontrar.
A mis amigos y excompa ˜neros de la Licenciatura en F´ısica que siempre me apoyaron,
siempre estuvieron al pendiente de mi progreso. Por seguir teniendo una gran amistad
incluso estando en distintos lugares.
A Maria Fernanda Mej´ıa por su apoyo a lo largo de todos estos a ˜nos sin importar
la distancia. Por todos los momentos compartidos, alegr´ıas y tristezas. A pesar de la
situaci ´on, no tengo m ´as que palabras de agradecimiento.
A todos mis profesores y compa ˜neros del posgrado en Ciencias de la Tierra. A mis
compa ˜neros del grupo de inversi ´on por haber convertido el compa ˜nerismo en una amistad
que trasciende m ´as all ´a de las aulas. En especial a mi compa ˜nero y amigo Ra ´ul por la
sana competencia que llevamos y por sus valiosos aportes en el modelado de forma de
onda presentes en este trabajo.
A todos los integrantes de mi comit ´e de tesis por su participaci ´on y su compromiso por
hacer de este un trabajo de tesis de calidad. Muy especialmente a mis asesores y
a disposici ´on, siempre haberme tenido la paciencia necesaria y sobre todo saber darme
las herramientas necesarias para resolver las dificultades encontradas en el camino.
Al Centro de Investigaci ´on Cient´ıfica y de Educaci ´on Superior de Ensenada y en
espe-cial al posgrado en Ciencias de la Tierra y todo el personal que en el labora. Al Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa (CONACyT) por brindarme el apoyo econ ´omico para
realizar mis estudios de maestr´ıa. Al CeMIE-Geo por permitirme el uso del cluster Lamb,
P ´agina
Resumen en espa ˜nol ii
Resumen en ingl ´es iii
Dedicatoria iv
Agradecimientos v
Lista de figuras ix
Lista de tablas xii
1. Introducci ´on 1
1.1. Importancia del tema . . . 1
1.2. Antecedentes . . . 1
1.2.1. Tomograf´ıa de tiempos de viaje . . . 1
1.2.2. Esquemas de inversi ´on de forma de onda . . . 2
1.2.3. Esquemas de inversi ´on de datos magn ´eticos . . . 3
1.2.4. Esquemas de inversi ´on conjunta . . . 4
1.3. Hip ´otesis . . . 5
1.4. Objetivos . . . 6
1.5. Organizaci ´on del trabajo . . . 6
2. Inversi ´on conjunta por an ´alisis de c ´umulos difusos 8 2.1. An ´alisis de c ´umulos difusos conccentros . . . 8
2.2. Esquema de inversi ´on conjunta . . . 12
2.2.1. Aproximaci ´on secuencial cooperativa . . . 12
2.2.2. Aproximaci ´on secuencial conjunta . . . 14
2.2.3. Aproximaci ´on conjunta completa . . . 19
2.2.4. Aproximaci ´on conjunta alternativa . . . 29
3. Modelado directo y c ´alculo de jacobianos: Caso Magn ´etico 32 3.1. Modelado directo de anomal´ıa magn ´etica . . . 32
3.1.1. Ejercicio de modelado magn ´etico directo . . . 35
3.2. C ´alculo de jacobianos . . . 36
4. Modelado directo y c ´alculo de jacobianos: Caso s´ısmico 38 4.1. Modelado directo de forma de onda ac ´ustica en el dominio de la fre-cuencia . . . 38
4.1.1. Ejercicio de modelado directo . . . 44
4.2. C ´alculo de jacobianos . . . 48
5. Resultados 53 5.1. Inversi ´on conjunta de c ´umulos difusos . . . 53
5.2. Inversi ´on conjunta de datos magn ´eticos y registros de pozo . . . 55
5.2.1. Experimento 1: caso de tres pozos libres de ruido . . . 55
Tabla de contenido (continuaci ´
on)
5.3.1. Obtenci ´on de datos sint ´eticos . . . 64
5.3.2. Estrategias de inversi ´on . . . 69
5.3.3. Resultados de la inversi ´on conjunta . . . 70
5.3.4. An ´alisis de convergencia . . . 73
6. Discusi ´on 82 6.1. Modelado y c ´alculo de jacobianos: Caso magn ´etico . . . 82
6.2. Modelado y c ´alculo de jacobianos: Registros de pozos. . . 83
6.3. Modelado y c ´alculo de jacobianos: Caso s´ısmico . . . 83
6.4. Inversi ´on conjunta con c ´umulos difusos . . . 85
7. Conclusiones 88 7.1. Trabajo a futuro . . . 89
Lista de referencias bibliogr ´aficas 90
A. Soluci ´on constre ˜nida al probrema de optimizaci ´on de la inversi ´on
conjun-ta 94
B. Campo Magn ´etico de un prisma recto con magnetizaci ´on uniforme 96 C. Coeficientes de llenado de la matriz de impedancia en modelado de forma
Figura P ´agina
1. Ilustraci ´on del concepto del centro de c ´umulos difusos. . . 11
2. Distribuci ´on de puntos en un an ´alisis de c ´umulos difusos . . . 12
3. Diagrama de flujo que describe la aproximaci ´on secuencial de inversi ´on empleada por Paasche y Tronicke (2007). . . 14
4. Diagrama de flujo para describir el procedimiento empleado en la aproxi-maci ´on secuencial de inversi ´on conjunta. . . 19
5. MatrizN−1 para un problema de cincuenta celdas y tres centros . . . 28
6. Diagrama de flujo del procedimiento iterativo de inversi ´on conjunta en su aproximaci ´on completa. . . 29
7. Diagrama de flujo del procedimiento iterativo de inversi ´on conjunta en su aproximaci ´on alternativa. . . 31
8. Anomal´ıa magn ´etica producida por un bloque con magnetizaci ´on de3A/m. 36 9. MatrizN−1 caso magn ´etico . . . . 37
10. Estrellas del operador Laplaciano por diferencias finitas . . . 41
11. Gr ´afica de valores de la diferencia porcentual de coeficientes de la diago-nal de la matriz de impedancia con variaci ´on de velocidad para diferentes combinaciones de velocidad y frecuencia. . . 44
12. Fuente s´ısmica empleada tipo Ricker en el dominio del tiempo (a) y en el dominio de la frecuencia (b) . . . 45
13. Modelado directo de forma de onda . . . 46
14. Sismograma de presi ´on de la figura 13, para receptores ubicados equies-paciadeamente en la parte superior del modelo. . . 47
15. Sensibilidad s´ısmica . . . 50
16. Matriz N−1 una vez introducido todos los elementos. . . . . 51
17. Modelos sint ´eticos de velocidad (a) y magnetizaci ´on (b). . . 53
18. Evoluci ´on de la gr ´afica Vel-Mag con respecto a las iteraciones. . . 54
19. Modelos soluci ´on en la inversi ´on conjunta. (a) Velocidad. (b) Magnetiza-ci ´on. . . 55
20. Datos de registro de pozo de velocidad (a) y anomal´ıa magn ´etica (b) gene-rados a partir de los correspondientes modelos de velocidad (c) y magneti-zaci ´on (d) usados para nuestro experimento de prueba. . . 57
Lista de figuras (continuaci ´
on)
Figura P ´agina
22. Resultados de inversi ´on conjunta con pozo y anomal´ıa magn ´etica,
experi-mento 1. . . 59
23. Evoluci ´on de las componentes de la funci ´on objetivo con respecto al n ´ume-ro de iteraciones. . . 60
24. Datos de registro s ´onico (a) y anomal´ıa magn ´etica (b) generados a partir de los correspondientes modelos de velocidad (c) y magnetizaci ´on (d) usados para nuestro experimento de prueba. . . 61
25. Resultados de inversi ´on conjunta de datos de pozo y anomal´ıa magn ´etica del segundo experimento con la aproximaci ´on 2. . . 62
26. Resultados de inversi ´on conjunta de datos de pozo y anomal´ıa magn ´etica del segundo experimento con la aproximaci ´on 1. . . 63
27. Evoluci ´on de las componentes de la funci ´on objetivo completa. (a) Usando la formulaci ´on conjunta alternativa, (b) Usando la aproximaci ´on conjunta completa. . . 64
28. Modelos sint ´etico para la inversi ´on conjunta de datos de forma de forma de onda s´ısmica y magn ´eticos. . . 65
29. Modelado directo de forma de onda en el dominio del tiempo . . . 66
30. Sismograma de presi ´on de la figura 29 . . . 67
31. Anomal´ıa magn ´etica sint ´etica . . . 68
32. Valor adoptado por el par ´ametro de agrupaci ´on en cada iteraci ´on para cua-tro estrategias implementadas en los experimentos de inversi ´on de forma de onda y datos magn ´eticos. . . 70
33. Resultado de inversi ´on conjunta de la primera iteraci ´on para todas las es-trategias illustradads en la figura 32. . . 71
34. Modelos geof´ısicos encontrados para cada una de las estrategias de inver-si ´on conjunta indicadas en la figura 32. . . 72
35. Comparaci ´on del modelo de velocidad con la iteraci ´on previa y el modelo real. . . 75
36. Comparaci ´on del modelo de magnetizaci ´on con la iteraci ´on previa y el mo-delo real. . . 76
37. Valor cuadr ´atico medio normalizado. . . 77
Lista de tablas
Tabla P ´agina
Cap´ıtulo 1.
Introducci ´
on
1.1. Importancia del tema
En tomograf´ıa geof´ısica, se usan observaciones recolectadas en la superficie de la tierra o bien de pozos para reconstruir una distribuci ´on espacial de un par ´ametro geof´ısico del subsuelo. Sin embargo, en la inversi ´on de un solo conjunto de datos geof´ısicos resulta dif´ıcil determinar dicha distribuci ´on, esto debido a que siempre existen diversos modelos que pueden explicar los mismos datos geof´ısicos.
Actualmente, los retos de la exploraci ´on geof´ısica demandan el uso combinado de datos que permitan mejorar la resoluci ´on, dado que implementaciones multipar ´ametros pueden reducir considerablemente las ambig ¨uedades en los modelos resultados de inver-siones independientes (separadas), as´ı como facilitar la interpretaci ´on de datos geof´ısi-cos. Mediante la inversi ´on cooperativa (Gallardo y Meju, 2011; Bedrosian, 2007; Haber y Gazit, 2013) se pueden proponer modelos que explican simult ´aneamente todos los con-juntos de datos, y por tanto, que reducen las ambig ¨uedades en el modelo geof´ısico.
Existe una gran variedad de datos geof´ısicos, como lo son los datos s´ısmicos, a los que se les atribuye una buena resoluci ´on a profundidad y los datos magn ´eticos, que por su parte, cuentan con una buena resoluci ´on lateral. Por lo cual, construir un esquema de inversi ´on conjunta que combine ambos tipos de datos deber´ıa permitir modelos geof´ısicos de alta resoluci ´on horizontal y vertical.
1.2. Antecedentes
1.2.1. Tomograf´ıa de tiempos de viaje
las velocidades a las cuales la energ´ıa viaja a trav ´es del medio. Dicha informaci ´on es ´util para inferir la estructura y propiedades el ´asticas del subsuelo.
Dado que la amplitud de la onda no es de ningun inter ´es en esta aproximaci ´on, ge-neralmente es suficiente con saber la velocidad de propagaci ´on de la perturbaci ´on, por lo que aproximaciones simples del fen ´omeno el ´astico son generalmente suficientes. Es por esto que aproximaciones asint ´oticas (simulando procesos ´opticos) son empleadas. En este caso es com ´un emplear el m ´etodo de trazado de rayos para estimar trayectorias de propagaci ´on de la onda y calcular la distancia recorrida hasta llegar al punto espec´ıfico de un receptor. El tiempo de viaje se calcula simplemente empleando la integraci ´on de los tiempos de viaje en cada segmento de esta trayectoria (Cervenyet al., 1977).
Debido a que este m ´etodo deja de lado informaci ´on importante de dicha onda como lo es la amplitud, resulta en un m ´etodo de resoluci ´on limitada.
1.2.2. Esquemas de inversi ´on de forma de onda
Existen en la literatura de inversi ´on de forma de onda trabajos fundamentales que han influenciado notablemente el desarrollo de t ´ecnicas de inversi ´on de datos s´ısmicos. Entre ellos se destacan: a) el trabajo de Tarantola (1988), el cual fue el primer trabajo de tomograf´ıa de forma de onda desarrollado en el dominio del tiempo; b) el trabajo de Pratt (1999) el cual fue el primero en proponer una soluci ´on al problema en el dominio de la frecuencia; as´ı c ´omo c) el trabajo de Shin y Ha (2008), el cual efectu ´o el proceso en el dominio de Laplace.
Tarantola (1988) establece el problema de obtener un modelo de la tierra que pue-da predecir de la mejor manera los sismogramas observados. El propone y resuelve la ecuaci ´on de onda a traves de un m ´etodo de diferencias finitas en el dominio del tiempo.
inversa de una matriz, no resultan pr ´acticos. En este caso es com ´un emplear t ´ecnicas de soluci ´on iterativas y hacer un c ´alculo eficiente de las derivadas parciales de los datos con respecto a los par ´ametros.
Las dificultades ya mencionadas as´ı como los grandes tiempos de c ´omputo debidos a los pasos de tiempo han desviado la atenci ´on del dominio del tiempo hacia la inversi ´on en el dominio de Fourier, es decir, el dominio de la frecuencia.
Algunas de las ventajas del dominio de la frecuencia sobre el dominio del tiempo (Pratt, 1999) son la flexibilidad del modelado directo mediante diferencias finitas con un n ´ume-ro grande de posiciones de la fuente, adem ´as de que la inversi ´on puede ser realizada tomando en cuenta tan solo un l´ımitado n ´umero de frecuencias, lo que a su vez reduce considerablemente el tiempo de c ´omputo.
La inversi ´on de forma de onda en el dominio de Fourier, depende en gran medida de un modelo inicial lo suficientemente preciso para lograr converger a una soluci ´on (Pratt, 1999). La tomograf´ıa de tiempos de viaje ha sido utilizada para obtener dicho modelo inicial. No obstante, la inversi ´on de forma de onda en el dominio de Laplace representa una mejor alternativa a dicho problema, pues es menos sensible al modelo inicial (Shin y Ha, 2008). Luego, el modelo resultante de una inversi ´on en el dominio de Laplace puede ser usado como modelo inicial para realizar la inversi ´on en el dominio de Fourier.
Es pertinente mencionar que hemos hablado de los tres autores que han influenciado en mayor manera la historia de los algoritmos de inversi ´on de datos s´ısmicos, no obstante, diversos grupos de investigaci ´on continuan trabajando en este t ´opico (Zhou y Greenhalgh, 2003; Sourbieret al., 2008; Vighet al., 2009; Krebset al., 2009) lo cual es prueba de que este problema es de actualidad.
1.2.3. Esquemas de inversi ´on de datos magn ´eticos
cualitativa, que se basa en el mapeo de anomal´ıas magn ´eticas que son un reflejo de los objetos magnetizados en el subsuelo. La otra filosof´ıa de mucho m ´as desarrollo en la actualidad, es la inversi ´on de datos magn ´eticos en la cual se requiere conocer de forma cuantitativa la estructura y caracter´ısticas magn ´eticas de los cuerpos geol ´ogicos.
A diferencia del caso s´ısmico, para el caso magn ´etico existe una gran variedad de solu-ciones an ´aliticas del campo magn ´etico asociado a cuerpos de m ´ultiples formas geom ´etri-cas. Desde cuerpos simples como esferas y cilindros (Dobrin y Savit, 1960; Sharma, 1985; Blakely, 1996), prismas (Bhattacharyya, 1964), cilindros truncados, pol´ıgonos (Tal-wani y Ewing, 1960) y poliedros (Gotze y Lahmeyerl, 1988).
Bhattacharyya (1964) estudi ´o las anomal´ıas magn ´eticas causadas por cuerpos en forma de prisma con magnetizaci ´on arbitraria; adem ´as, dedujo las expresiones para el campo total y su primera y segunda derivada suponiendo una magnetizaci ´on uniforme de dicho cuerpo, expresiones a partir de las cuales se puede obtener de manera directa las correspondientes al caso 2D.
Este tipo de vol ´umenes son ampliamente utilizados para el planteamiento y soluci ´on de diversos problemas inversos (Martinezet al., 2012; Li y Oldenburg, 1996; Parker, 1976; P ´erez-Floreset al., 2004) en medios bi y tridimensionales estimando tanto las dimensio-nes de los prismas como sus propiedades magn ´eticas.
1.2.4. Esquemas de inversi ´on conjunta
En la actualidad, es pr ´actica cotidiana el recolectar m ´ultiples conjuntos de datos geof´ısi-cos en un mismo sitio de estudio. Esto ofrece la oportunidad de reducir ambig ¨uedades en la interpretaci ´on de los datos. Para ser efectivos, los conjuntos de datos deben ser ligados mediante una inversi ´on cooperativa que de como resultado la estimaci ´on de un modelo que a su vez sea consistente con todos los conjuntos de datos.
se obtienen entre las distribuci ´on de las propiedades f´ısicas a manera de estructuras del subsuelo (Gallardo, 2004; Haber y Oldenburg, 1997). Impl´ıcito en estas formulaciones est ´a la suposici ´on de variaciones graduales de par ´ametros del subsuelo. Aspecto que puede ser dif´ıcilmente encontrado en escenarios geol ´ogicos.
Una t ´ecnica que ha ganado auge reciente es la inversi ´on de datos suponiendo una relaci ´on estad´ıstica entre los par ´ametros con la suposici ´on de que el subsuelo se divide en zonas relativamente homog ´eneas (Boschet al., 2006; Paascheet al., 2006; Paasche y Tronicke, 2007). Esta metodolog´ıa se basa en la suposici ´on de que el subsuelo puede ser descrito por un modelo de zonas en el cual cada zona est ´a caracterizada por un conjunto de diferentes par ´ametros geof´ısicos, as´ı como una zona difusa de transici ´on entre ellas.
El m ´etodo de inversi ´on cooperativa basado en el an ´alisis de c ´umulos difusos con c -centros (FCM) (Hoeppner y F. Kruse, 1999) fue adoptado por Paasche y Tronicke (2007) y aplicado a datos de resistividad y de tomograf´ıa de tiempo de viaje, que cuentan con bue-na resoluci ´on, para determibue-nar autom ´aticamente la geometr´ıa y par ´ametros caracter´ısti-cos de estructuras dominantes bajo la superficie. Sin embargo, en esta formulaci ´on los par ´ametros de inter ´es de cada tipo de datos son obtenidos independientemente mediante t ´ecnicas de inversi ´on convencionales, por lo que, a pesar de invertir cooperativamente los datos con la ayuda de la t ´ecnica FCM, esta no es propiamente una inversi ´on conjunta.
Con estos antecedentes, resulta importante explorar el potencial beneficio que tiene un esquema de inversi ´on verdaderamente conjunto que, siguiendo la filosof´ıa estad´ıstica de inversi ´on conjunta, se apoye en el m ´etodo de an ´alisis de c ´umulos difusos. Adicional-mente, resulta apropiado preguntarse si es factible combinar dos m ´etodos con resolucio-nes distintas como magnetometr´ıa (baja resoluci ´on en volumen y alta resoluci ´on lateral) y s´ısmica de forma de onda (alta resoluci ´on espacial, especialmente a profundidad), y que adem ´as, hist ´oricamente se han aplicado en dominios distintos como son petrolero y minero.
1.3. Hip ´otesis
una aproximaci ´on estad´ıstica para la conjunci ´on de datos como lo es el uso de c ´umu-los difusos podr´ıa facilitar la obtenci ´on de mode´umu-los de alta resoluci ´on que integren las propiedades el ´asticas y magn ´eticas del subsuelo. Es de esperar que un algoritmo con estas capacidades pueda ser de gran relavancia en contextos de exploraci ´on petrolera y minera.
1.4. Objetivos
1.- Dise ˜nar un esquema general de inversi ´on conjunta basado en la t ´ecnica de inversi ´on de datos por an ´alisis de c ´umulos difusos (FCM), que permita incomporar de manera flexible datos magn ´eticos y s´ısmicos.
2.- Desarrollar un algoritmo de modelado num ´erico de anomal´ıa magn ´etica e imple-mentarlo en un esquema de inversi ´on.
3.- Desarrollar un algoritmo de modelado num ´erico de forma de onda en un medio ac ´ustico en el dominio de la frecuencia e implementarlo en un esquema de inversi ´on.
4.- Probar el algoritmo utilizando datos sint ´enticos.
1.5. Organizaci ´on del trabajo
El presente trabajo de tesis est ´a organizado por secciones de la siguiente manera:
En el cap´ıtulo 2, primero presentamos los fundamentos te ´oricos de la t ´ecnica de an ´ali-sis de c ´umulos difusos con c-centros. Luego, discutimos brevemente la manera en que esta t ´ecnica ha sido empleada hist ´oricamente en el ´ambito de geof´ısica. Finalmente, ha-cemos una descripci ´on detallada de la metodolog´ıa empleada para construir nuestra for-mulaci ´on del problema de inversi ´on conjunta basada en esta t ´ecnica.
de las t ´ecnicas. Adem ´as, en ambos casos se muestra un sencillo experimento num ´erico ilustrando el modelado directo.
El cap´ıtulo 5 contiene resultados de diferentes experimentos realizados empleando nuestro algoritmo de inversi ´on conjunta. Primero presentamos un ejercicio de inversi ´on conjunta en el cual el funcional de ambos datos es igual al operador de identidad. Luego se muestran un par de experimentos en los cuales se ha aplicado el algoritmo a datos de pozo de velocidad y de anomal´ıa magn ´etica que han sido simulados a partir de modelos sint ´eticos. Para cerrar el cap´ıtulo se presentan los resultados obtenidos de una inversi ´on conjunta que combina datos de forma de onda ac ´ustica con datos de anomal´ıa magn ´etica.
Cap´ıtulo 2.
Inversi ´
on conjunta por an ´alisis de c ´
umulos
difusos
En primera instancia, presentar ´e la teor´ıa en la cual se basa el esquema de inversi ´on conjunta. De esta manera es posible identificar con facilidad la forma en que se presentan los elementos de inversiones convencionales en el esquema completo, lo que a la postre nos permitir ´a desarrollar el m ´etodo utilizado para calcular e incorporar dichos elementos al algoritmo de inversi ´on conjunta.
2.1. An ´alisis de c ´umulos difusos conccentros
La t ´ecnica de an ´alisis de c ´umulos difusos es una herramienta poderosa para explorar y caracterizar diferentes conjuntos de datos (Hoeppner y F. Kruse, 1999). El objetivo prin-cipal de esta t ´ecnica seg ´un Hoeppner y F. Kruse (1999) es particionar cierto conjunto de datos en diferentes c ´umulos (subconjuntos, grupos o clases). Dichos c ´umulos deben de cumplir con las siguientes caracter´ısticas:
Homogeneidad dentro de cada c ´umulo; lo que significa que los datos pertenecientes a un mismo c ´umulo deben ser tan similares como sea posible.
Heterogeneidad entre c ´umulos, es decir, los datos pertenecientes a distinto c ´umulo debe ser tan diferentes como sea posible.
En la mayor´ıa de los desarrollos de c ´umulos difusos, el nivel de similitud (o falta de similitud) entre dos datos enRnse mide a trav ´es de la distancia Euclidiana entre ellos.
Un algoritmo de an ´alisis de c ´umulos difusos conc-centros convencionalmente se basa en la minimizaci ´on de una funci ´on objetivo que agrega ponderadamente las distancias Euclidianas entre cada combinaci ´on dato-centro. De tal manera, si se consideran como el n ´umero total de datos y nc el n ´umero total de c ´umulos, la funci ´on objetivo se define
como:
QF =
n
X
i nc
X
j
Uijmxi−µj
2
dondedij = xi−µj representa la medida de la distancia desde eli- ´esimo dato (xi ⇒
Rn) hasta elj- ´esimo c ´umulo (µj ⇒ Rn) y, por su parte, Uij es el grado de pertencia del i- ´esimo dato alj- ´esimo c ´umulo el cual debe cumplir:
nc
X
j
Uij = 1, (2)
es decir, que para cada datoxi, la suma del grado de pertenencia hacia todos los centros
es igual a la unidad.
El problema se puede caracterizar a trav ´es de la busqueda de los datos (xi), los
cen-tros (µj) y/o los pesos (Uij) que minimizen dicha funci ´on objetivo. Y dependiendo de
nuestra selecci ´on de par ´ametros fijos y par ´ametros de b ´usqueda, nos puede llevar a diferentes esquemas de soluci ´on. En el caso m ´as general de inversi ´on conjunta, se pre-tender´ıa determinar los tres tipos de par ´ametros simult ´aneamente, sin embargo, esto nos lleva diferentes niveles de complicaci ´on computacional.
Como primer problema a resolver, podemos notar que existe una correlaci ´on inversa entre los par ´ametrosU y la distancia a los centros ya que un determinado valor de esta funci ´on objetivo puede ser m´ınimo (cero) ya sea porque la distancia entre el dato y uno de los centros es m´ınima (i.e. el dato debe pertenecer a este centro), o bien, porque le asignamos un valor de pertenencia U muy peque ˜no (el dato no pertenece a dicho centro); siendo ambas condiciones aceptables. Para entender mejor el significado de esta funci ´on objetivo, imaginemos un par de datosxi yxk localizados uno muy cercano y otro lejano
a un c ´umulo µj. As´ı pues, el valor de la distancia dij para el primer xi es cercana a 0,
mientras que el grado de pertenencia Uij es m ´aximo (cercano a 1) ya que este punto
coincide pr ´acticamente con la posici ´on del centro del c ´umulo. Por otro lado, entre m ´as grande sea la distancia del dato xk al c ´umulo µj el grado de pertenecia ser ´a menor y
tender ´a a 0. Entonces, la contribuci ´on a la funci ´on objetivo en ambos casos, o bien el productoUm×d2, es peque ˜no ya que en el primer caso la distancia es reducida mientras
que en el segundo caso el grado de pertenencia es peque ˜no.
ejem-plo, si m = 6, un grado de pertenecia relativamente grande como 0.8 ser ´a reducido por un factor de0.26. Por lo tanto, mientras m ´as grande seam los resultados ser ´an m ´as dis-persos. As´ı quempuede ser elegido dependiendo del estimado de que tan bien pueden ser divididos los datos en agrupaciones.
Es notable que la funci ´on objetivo en (1) es no lineal y la estrategia m ´as convencional es minimizarla con la restricci ´on en (2) iterativamente. Una primera aproximaci ´on es em-plear un esquema de punto fijo, es decir, suponemos que contamos con un conjunto fijo de datosxi, el cual no se ver ´a alterado durante el proceso de minimizaci’on, resolvemos
problema de optimizaci ´on para llegar a:
µjt =
Pn i Uij
mx it
Pn l xlt
, (3)
que se obtiene al igualar a cero la derivada de la funci ´on objetivo con respecto a un centro arbitrarioµk, y:
Uij =
1
Pnc
k ||
xi−µj||
2
||xi−µk||
2
1
m−1
, (4)
resultado de resolver el problema de multiplicadores de Lagrange que implican en con-junto las ecuaciones (1) y (2).
La figura 1 muestra un experimento realizado en donde xi ⇒ R2 y por consiguiente µj ⇒ R2. El experimento consiste en encontrar la posici ´on en el plano de los centros
a partir de centros coincidentes) dichos centros se reparten entre cada una de las cir-cunferencias; asimismo, se observa como est ´an ligeramente desplazados en direcci ´on al centro geom ´etrico de todo el conjunto de datos repartidos en todas las circunferencias.
Figura 1: Ilustraci ´on del concepto del centro de c ´umulos difusos. Los cuadros en azul son los datos
disponibles para analizar y los puntos en negro representan la posici ´on optima de los centros que
representan dichos datos.
En una segunda aproximaci ´on, vamos a suponer que el conjunto de datos xi son
tambi ´en p ´arametros por estimar, la minimizaci ´on de la funci ´on objetivo nos lleva a resolver tambi ´en la ecuaci ´on:
xit =
Pnc
j Uijmµjt
Pnc j Uijm
, (5)
obtenida al igualar a cero la derivada de la funci ´on objetivo con respecto a un dato arbi-trarioxkt.
nueva ubicaci ´on en cada iteraci ´on manteniendo fijos los centros. Vale la pena mencio-nar que la figura 2b corresponde a una iteraci ´on intermedia, que es m ´as ilustrativa pues muestra los datos acerc ´andose a los centros. El m´ınimo global de la funci ´on se alcanza cuando la posici ´on de cada dato coincide con la de alguno de los centros.
(a) Datos en posiciones fijas (b) Datos en posiciones flexibles
Figura 2: Posiciones de centros (puntos negros) soluci ´on para el problema de c ´umulos difusos con
los datos fijos (a) y m ´oviles (b).
2.2. Esquema de inversi ´on conjunta
Como ya se hizo menci ´on, la funci ´on objetivo para el an ´alisis de c ´umulos difusos no est ´a limitada a un solo tipo de datos, por lo que es directamente aplicable a varios tipos de datos geof´ısicos de manera conjunta. En este caso, es necesario reformular el problema en t ´erminos de nuevos datos observacionalesdy de las funciones de relaci ´on que existen entre ellos y las propiedades del medio (consideradas aqui comox). En general veremos que, existe m ´as de una manera de formular el problema y de resolverlo. La presente secci ´on est ´a dedicada formular una funci ´on objetivo generalizada y de proponer diferentes aproximaciones para su minimizaci ´on.
2.2.1. Aproximaci ´on secuencial cooperativa
En esta aproximaci ´on el problema se replantea como:
minQ1(x1) =QG1 +QR1,
minQ2(x2) =QG2 +QR2.
Paso 2. Inversi ´on separada de centros y ponderacionesU:
minQ3(µ1,µ2, U) = QF1, QF2.
Paso 3. Actualizaci ´on por FCM de modelos iniciales xpara inversi ´on geof´ısica inde-pendiente:
minQ3(x1,x2) = QF1, QF2.
Esta aproximaci ´on cooresponde a aquella propuesta originalmente por Paasche y Tro-nicke (2007) donde se invierten datos de geo-radar y tiempo de viaje de onda P de manera cooperativa con la ayuda de la t ´ecnica de agrupaci ´on difusa (FCM).
Figura 3: Diagrama de flujo que describe la aproximaci ´on secuencial de inversi ´on empleada por Paasche y Tronicke (2007).
2.2.2. Aproximaci ´on secuencial conjunta
par ´ametros del problema conjunto. Una nueva aproximaci ´on es retomar la funci ´on objetivo original Q (1) e incluir al mismo tiempo cada una de las funciones objetivos individuales provenientes de la geof´ısica. En una aproximaci ´on secuencial, esta funci ´on objetivo se define como:
Q=QGS+QGM+QF S+QF M, (6)
la cual est ´a restringida por la ecuaci ´on 2 y donde:
QGS Funci ´on objetivo por geof´ısica para datos s´ısmicos, dada por:
QGS =
ns
X
i
(dsi −F si(xs))2
σ2 s i
, (7)
con:
• dsi i- ´esimo dato s´ısmico observado.
• F si(xs) respuesta s´ısmica del modelo xs correspondiente a la posici ´on del i
-´esimo dato s´ısmico.
• xsconjunto de valores de los par ´ametros s´ısmicos del subsuelo.
• σs i desviaci ´on est ´andar deli- ´esimo dato s´ısmico.
• nsn ´umero de datos s´ısmicos.
QGM Funci ´on objetivo por geof´ısica para datos magn ´eticos, dada por:
QGM =
nm
X
i
(dmi−F mi(xm))2
σ2m i , (8)
con:
• dmi i- ´esimo dato magn ´etico observado.
• F mi(xm)respuesta magn ´etica del modeloxmcorrespondiente a la posici ´on del
i- ´esimo dato magn ´etico.
• σm idesviaci ´on est ´andar deli- ´esimo dato magn ´etico.
• nmn ´umero de datos magn ´eticos.
QFS Funci ´on objetivo por FCM para datos s´ısmicos:
QF S=
n
X
i nc
X
j
Uijm xs i−µs j
2
, (9)
con:
• xs i valor de la propiedad s´ısmica del elemento i- ´esimo.
• µs j valor de la propiedad s´ısmica del centro j.
• n n ´umero de celdas.
• Uij informaci ´on de pertenencia de los par ´ametros s´ısmicos y magn ´eticos del i- ´esimo elementoial centroj.
QFM Funci ´on objetivo por FCM para datos magn ´eticos.
QGS =
n
X
i nc
X
j
Uijm xm i−µm j
2
, (10)
con:
• xs i valor de la propiedad magn ´etica del elementoi- ´esimo.
• µs j valor de la propiedad magn ´etica del centro j.
• n n ´umero de celdas.
• Uij informaci ´on de pertenencia de los par ´ametros s´ısmicos y magn ´eticos del i- ´esimo elementoial centroj.
Este problema es un problema cl ´asico de programaci ´on no lineal (con restricciones lineales), con el cual se busca encontrar el conjunto de par ´ametros (xs,xm,µs,µm,U)
QL=Q+ ΛTF (11)
dondeΛes el vector de multiplicadores de Lagrange yF es la representaci ´on vectorial de la restricci ´on (2). El m´ınimo de esta funci ´on objetivo se encuentra al resolver simult ´ane-mente las ecuaciones:
∂QL ∂xs p
= 0, ∂QL
∂xm q
= 0,
∂QL ∂µs r = 0,
∂QL ∂µm t = 0, ∂QL
∂Ukl
= 0, ∂QL
∂λt
= 0..
(12)
En general, las funciones de modelado directo son no lineales con respecto al par ´ame-tro de inter ´es y la soluci ´on de las ecuaciones en (12) no se puede llevar a cabo con t ´ecnicas convencionales de algebra lineal. En nuestro caso adoptamos un esquema ti-po Newton y sustituimos dichas funciones ti-por aproximaciones lineales derivadas de una expansi ´on en serie de Taylor de primer orden como se muestra a continuaci ´on:
F si(xs)≈F si(xs 0) +
n
X
k
J s0i,k(xs k−xs0k), (13)
donde:
J s0i,k = ∂F si ∂xs k
xs0
. (14)
representa el Jacobiano de la funci ´on de modelado directo s´ısmico y de manera similar:
F mi(xm)≈F mi(xm 0) +
n
X
k
J m0i,k(xm k−xm0k), (15)
J m0i,k =
∂F mi ∂xm k
xm0 . (16)
es el Jacobiano de la funci ´on de modelado directo magn ´etico.
Tomando en cuenta la aproximaci ´on a funciones no lineales reci ´en descrita, el pro-blema de optimizaci ´on queda acotado a un sistema de ecuaciones que depende de la soluci ´on en la iteraci ´on previa. Dicho sistema resulta de desarrollar y derivar cada una de las ecuaciones en (12) y est ´a dado por:
X
k
J s0is,kJ sis,pxs k σ2
s is
+X
j
Up,jm(xs p−µs j) =
X
is
(dsis−f sis(xs0) +PkJ s0is,kxs0k)J sis,p σ2 s is , (17) X k
J m0im,kJ mim,qxm k σ2
m im
+X
j
Ui,qm(xs i−µs q) =
X
im
(dmim−f mim(xm0) +
P
kJ m0im,kxm0k)J mim,q σ2 m im , (18) X i
µsrUi,rm−X i
Ui,rmxs i = 0, (19)
X
i
µmrUi,tm−X i
Ui,tmxm i= 0, (20)
(xs x−µs y)
2+ (x
m x−µm y)
2Um−1
it −
X
k
(xs x−µs k)
2+ (x
m x−µm k)
2 = 0. (21)
Figura 4: Diagrama de flujo para describir el procedimiento empleado en la aproximaci ´on secuencial
de inversi ´on conjunta.
2.2.3. Aproximaci ´on conjunta completa
Similarmente a la secci ´on anterior, la funci ´on objetivo propuesta est ´a dada por:
Q=QGS+QGM +QF S+QF M+QRS+QRM. (22)
Nuevamente, QGS y QGM son el desajuste en los datos s´ısmicos y magn ´eticos res-pectivamente. Para esta formulaci ´on los expresamos en forma matricial como:
QGS= (ds−Fs)
T Cs−1
dd(ds−Fs), (23)
QGM = (dm−Fm)T Cmdd−1 (dm−Fm), (24)
donde el vector d contiene las mediciones geof´ısicas, el vector x es el conjunto de par ´ametros geof´ısicos de inter ´es,Fes el operador de modelado directo para el problema espec´ıfico y Cdd es la matriz de covarianza de los datos correspondientes (en nuestro
caso una matriz diagonal).
QFS y QFM, las funciones objetivos correspondientes al an ´alisis de c ´umulos difusos se expresan como:
QF S =β2kAF(U)xs+BF(U)µsk 2
, (25)
QF M =β2kAF(U)xm+BF(U)µmk 2
, (26)
en las cuales se puede notar la inclusi ´on de un nuevo par ´ametroβ cuya funci ´on es con-trolar el peso que tienen estos t ´erminos en la inversi ´on conjunta, AF y BF son matrices
dispersas definidas en funci ´on del grado de pertenciaU.
QRS =α2kDrxsk
2
. (27)
QRS =α2kDrxmk2. (28)
donde Dr es el operador discreto del gradiente usado como medida de la suavidad y α
controla el peso relativo de la regularizaci ´on sobre la inversi ´on.
Es importante aclarar que durante el presente an ´alisis se estar ´a haciendo uso del par ´ametro de pertenciaU, cuyos elementos pueden ser expresado sin ambig ¨uedad como elementos de una matriz o de un vector, teniendo en cuenta que:
Uk=Uij, (29)
dondek = (j −1)n+ilos sub´ındices iy j se asocian a los datos y los centros respecti-vamente.
Como hicimos anteriormente, utilizamos una expansi ´on en serie de Taylor para li-nealizar los funcionales no lineales y acomodamos todos los par ´ametros involucrados
(xs,xm,µs,µm,U)en un vector ´unico de par ´ametros(X)de tal manera que:
D =AX, (30)
ds(ns×1)
dm(nm×1)
d∇s(n∇×1) d∇m(n∇×1) d∆s((nxnc)×1)
d∆m((nxnc)×1)
=
J s0 0 0 0 0
0 J m0 0 0 0
Dr 0 0 0 0
0 Dr 0 0 0
AF0 0 BF0 0 Cs0
0 AF0 0 BF0 Cm0
xs(n×1)
xm(n×1)
µs
(nc×1)
µm
(nc×1)
U((nxnc)×1)
. (31)
correspondiente al an ´alisis de c ´umulus difusos y est ´an definidas en funci ´on al tama ˜no de los vectores de par ´ametros involucrados como:
AF0 =
U0m11 0 · · · 0
0 Um
021 · · · 0
..
. ... . .. ...
0 0 · · · Um
0n1
Um
012 0 · · · 0
0 Um
022 · · · 0
..
. ... . .. ...
0 0 · · · Um
0n2
.. .
Um
01nc 0 · · · 0
0 U0m2nc · · · 0
..
. ... . .. ...
0 0 · · · U0mnnc
, (32)
esta matriz est ´a asociada a los vectores de par ´ametros f´ısicos xs y xm y es igual para
BF0 =−
U0m11 0 · · · 0
Um
021 0 · · · 0
..
. ... ...
Um
0n1 0 · · · 0
0 Um
012 · · · 0
0 Um
022 · · · 0
..
. ... ...
0 Um
0n2 · · · 0
.. .
0 0 · · · Um
01nc
0 0 · · · U0m2nc
..
. ... ...
0 0 · · · Um
0nnc , (33)
que a su vez, se le asocia a los vectores de posici ´on de los centros de los c ´umulosµs y
µm y tambi ´en es igual para ambos.
Cs0 =
U0m−1
11 xs01 −µs01
0 · · · 0
0 U0m21−1 xs02 −µs01
· · · 0
..
. ... . .. ...
0 0 U0mnnc−1 xs0n−µs0nc
. (34)
que junto con Cm0 (la cual corresponde al caso magn ´etico y se construye de manera
an ´aloga), est ´an asociadas con el vector de pesos U y m ´as adelante jugar ´an un papel fundamental en la estructura del problema conjunto.
Una vez identificado la estructura y componentes de la matrizA, el problema consiste en minimizar la funci ´on objetivo general, o bien encontrar:
sujeto a la constricci ´on:
HX =P, (36)
que es equivalente a la ecuaci ´on (2) y puede ser tambi ´en expresada como:
0 0 0 0 Hu
xs
xm
µs
µm
U
=P, (37)
dondeHu es id ´entica en estructura aATF0 y se obtiene de ella sustituyendo los elementos
disntintos de cero por la unidad.
La soluci ´on general (vease Ap ´endice A) para esta minimizaci ´on constre ˜nida est ´a dada por:
X=1−N HT HN HT−1HXLS+N HT HN HT
−1
P, (38)
dondeXLSes la soluci ´on convencional de m´ınimos cuadrados para el problema sin
cons-tricciones:
XLS =Nn, (39)
con:
N = ATCdd−1A,−1 (40)
y
Enseguida presentamos las expresiones correspondientes para las matrices N yn
que son b ´asicas en la formulaci ´on num ´erica del problema:
N−1 =
JsT
0Js0+DTrDr 0 ATF0BF0 0 A
T F0Cs0
+AT F0AF0
0 JmT
0Jm0+DTrDr 0 ATF0BF0 A
T F0Cm0
+AT F0AF0
BT
F0AF0 0 B
T
F0BF0 0 B
T F0Cs0
0 BT
F0AF0 0 B
T
F0BF0 B
T F0Cm0
CsT
0AF0 Cm
T
0AF0 Cs
T
0BF0 Cm
T
0BF0 Cs
T
0Cs0+CmT0Cm0
, (42) por lo que la matrizN es sim ´etrica y puede ser tambi ´en expresada como una matriz por bloques en funci ´on de submatrices:
N = (ATCdd−1A)−1 =
N11 N12 N13 N14 N15
N22 N23 N24 N25
N33 N34 N35
N44 N45
N55 . (43)
n= JT
s0(ds−Fs0+Jsxs0) +mA
t
F0AF0xs0 +mA
T
F0BF0µs0
JT
m0(dm−Fm0 +Jmxm0) +mA
t
F0AF0xm0 +mA
T
F0BF0µm0
mBT
F0AF0xs0+mB
t
F0BF0µs0
mBTF0AF0xm0+mB
t
F0BF0µm0
mCsTAF0xs0 +mC
T
sBF0µs0 +mC
T
s AF0xs0 +mC
T
sBF0µs0 . (44) Si definimos:
E = HN HT−1, (45)
que es una matriz cuadrada (n×n), entonces:
E5 =
E · · · E
..
. . .. ...
E · · · E
nc×nc
, (46)
es una matriz cuadrada compuesta pornc×ncbloques donde cada uno de ellos contiene a la matriz E. Por su parte, para poder representar el vector G5, primero definimos el
G=−
Pn j E1j
Pn j E2j
.. . Pn
j Enj
, (47)
y finalmente:
G5 =
G
G
.. .
G
nc×1
, (48)
que es un vector compuesto dencsubvectoresGapilados.
La soluci ´on para cada uno de los t ´erminos del vectorX est ´a dada por:
Xs=Xsls−N15E5Uls+N15G5, (49)
Xm =Xmls−N25E5Uls+N25G5, (50)
µs =µlss −N35E5Uls+N35G5, (51)
µm =µlsm−N45E5Uls+N45G5, (52)
U =Uls−N55E5Uls+N55G5. (53)
En la figura 5 se ilustran los elementos no nulos dentro de la matriz N−1 para un problema con 50 celdas y tres centros. La escala ha sido fijada en valores peque ˜nos como simple ejercicio para identificar en que parte de la matriz se encuentran valores distintos de cero tanto positivos como negativos. Se pueden observar tambi ´en f ´acilmente los distintos bloques dentro de la matriz compar ´andola directamente con la ecuaci ´on (42) teniendo en cuenta que solamente nos interesa illustrar la forma general de la matrizN−1,
en este caso se usaron ambas matrices de jacobianos igual a la matriz identidad.
Figura 5: MatrizN−1para un problema de cincuenta celdas y tres centros considerando los
Jaco-bianos como la matriz identidad.
Figura 6: Diagrama de flujo del procedimiento iterativo de inversi ´on conjunta en su aproximaci ´on completa.
2.2.4. Aproximaci ´on conjunta alternativa
La aproximaci ´on conjunta alternativa propuesta aqui es una formulaci ´on del problema que es computacionalmente m ´as eficiente a la presentada en la secci ´on anterior. Esta aproximaci ´on consiste en mantener fija la informaci ´on de pertenencia Umientras se re-suelven simult ´aneamente todos los par ´ametros restantes (xs,xm,µs,µm). Por tanto, la
N−1 = JsT
0Js0+DTrDr 0 ATF0BF0 0
+AT F0AF0
0 JmT
0Jm0+DTrDr 0 ATF0BF0
+AT F0AF0
BT
F0AF0 0 B
T
F0BF0 0
0 BT
F0AF0 0 B
T F0BF0
, (54)
por su parte, la matriznse simplifica tambi ´en de manera considerable y queda:
n=
J sT
0 (ds−Fs0 +Jsxs0)
J mT
0 (dm−Fm0 +Jmxm0)
0 0 . (55)
Una vez que el grado de pertenenciaUqueda fuera de la inversi ´on, la soluci ´on para el vector de par ´ametros restantes queda definida como la soluci ´on convencional para el problema de m´ınimos cuadrados. Este vector de par ´ametros actualizado se utiliza en un paso inmediato para calcular el grado de pertenenciaUseg ´un:
Uij =
1
Pnc k
xsi−µsj2+xmi−µmj2
(xsi−µsk)2+(xmi−µmk)2
! 1
m−1
. (56)
´uni-ca diferencia con el presentado para la aproximaci ´on completa (fig. 4) es que el vector de pertenenciaUse calcula en otro paso, posterior a la estimaci ´on del resto de par ´ametros.
Figura 7: Diagrama de flujo del procedimiento iterativo de inversi ´on conjunta en su aproximaci ´on
Cap´ıtulo 3.
Modelado directo y c ´alculo de jacobianos:
Caso Magn ´etico
3.1. Modelado directo de anomal´ıa magn ´etica
Para definir un modelo, se debe considerar que los efectos magn ´eticos est ´an aso-ciados comunmente a cuerpos masivos que, como se mencion ´o, presentan propiedades magn ´eticas m ´as o menos uniformes. En el presente desarrollo se emplear ´a el momento magn ´etico dipolar por unidad de volumen o magnetizaci ´onJ, de tal manera que se puede simular las propiedades magn ´eticas de la materia a trav ´es de un conjunto de peque ˜nos dipolos a lo largo de todo el cuerpo (Gallardo, 1997).
Una propiedad adicional que es empleada con frecuencia es la susceptibilidad χM
que, para un material magn ´etico homog ´eneo e isotr ´opico, se relaciona a trav ´es de:
J=χMH+JR, (57)
donde H es el campo magn ´etico inductor de magnetizaci ´on y JR es la magnetizaci ´on
remanente dentro del cuerpo.
Se ha observado que la influencia de magnetismo remanente en algunas rocas puede ser importante ya que ´este determina la magnitud y orientaci ´on final de la magnetizaci ´on del cuerpo, modificando grandemente la anomal´ıa magn ´etica que este produce. Se opta as´ı por trabajar conJcomo propiedad magn ´etica b ´asica.
Para iniciar el desarrollo, se considera la expresi ´on del potencial magn ´etico escalar
A(r)(Blakely, 1996) de un cuerpo como:
A(r) = C
Z Z
v
Z
J(r0)· ∇0
1
|∆r|
dv0, (58)
donde:
r es el radio vector al punto elemental del cuerpo
Ces una constante magn ´etica cuyo valor en el S.I. es:
C= µ0 4π,
con µ0 = 4π ×10−7N
A2 y J(r
0) es el vector de magnetizaci ´on en un punto elemental del cuerpo.
El campo magn ´eticoTproducido por un cuerpo en general viene dado por:
T(r) = −∇(A(r)), (59)
donde al sustituir (58) en (59) queda:
T(r) = −C∇
Z Z
v
Z
J(r0)· ∇0
1
|∆r|
dv0. (60)
Considerando ahora un cuerpo prism ´atico de magnetizaci ´on uniforme en todo el cuer-po, el campo magn ´eticoT(x, y, z)en un punto cualquiera es:
T(r) = −C∇
Z x2
x1
Z y2
y1
Z z2
z1
J· ∇0
1
|∆r|
dx0dy0dz0, (61)
dondex1,x2,y1,y2,z1 yz2 son las coordenadas que delimitan las esquinas del prisma.
La ecuaci ´on final puede expresarse (v ´ease ap ´endice B) empleando expresiones ma-triciales, como:
T(r) =
−tan−1 yzxr ln(r+z) ln(r+y)
ln(r+z) −tan−1xz yr
ln(r+x)
ln(r+y) ln(r+x) −tan−1 xyzr
∆x2
∆x1
∆y2
∆y1
∆z2
∆z1
Jx Jy Jz (62)
r=p(x0−x)2+ (y0−y)2+ (z0−z)2
Jx,Jy yJz son las componentes del vector de magnetizaci ´on en las direccionesx,y,z.
Si se trabaja con mediciones en la direcci ´on del campo magn ´etico terrestre, la com-ponente del campo medido en esta direcci ´on (T) es:
T =UT ·T(r), (63)
dondeUT = (l, m, n)yl,m,n son los cosenos directores del vector del campo magn ´etico
terrestre.
Consideremos entonces la expresi ´on (63), que corresponde al campo magn ´etico total producido por un prisma homog ´eneamente magnetizado (Bhattacharyya, 1964). De tal manera que, el campo magn ´etico total en determinado punto producido por un conjunto deN prismas magnetizados homog ´eneamente est ´a dado por:
T =
N
X
i=1
UT ·Ti(r), (64)
es decir, la suma aritm ´etica del campo magn ´etico producido de manera independiente por cada uno de los prismas. Finalmente, en este trabajo de tesis se ha hecho la suposici ´on de que el vector de magnetizaci ´on est ´a orientado en direcci ´on al campo magn ´etico terrestre para cada uno de los prismas, con ello este se reduce a un solo valor de magnetizaci ´on para cada celda. Por lo tanto, la ecuaci ´on (63) se transforma en:
T =
l m n
−tan−1 yz
xr
ln(r+z) ln(r+y)
ln(r+z) −tan−1
xz yr
ln(r+x)
ln(r+y) ln(r+x) −tan−1 xy zr
∆x2
∆x1
∆y2
∆y1
∆z2
∆z1
direcci ´on del campo magn ´etico terrestre es obtenido combinando las ecuaciones (64) y (65) de tal manera que:
Ti = N
X
j=1
aijJj, (66)
donde:
aij =
l m n
−tan−1 yz
xr
ln(r+z) ln(r+y)
ln(r+z) −tan−1xz yr
ln(r+x)
ln(r+y) ln(r+x) −tan−1 xy zr
∆x2
∆x1
∆y2
∆y1
∆z2
∆z1
l m n , (67) es constante para cada prisma y ser ´a discutida m ´as adelante, los sub´ındicesiyj espe-cifican el campo magn ´etico medido en la i- ´esima posici ´on asociado al j- ´esimo prisma. Obs ´ervese que, convenientemente para el desarrollo del problema inverso, la relaci ´on entre el campo magn ´etico medido y la magnetizaci ´on del prismaJ es lineal.
3.1.1. Ejercicio de modelado magn ´etico directo
Se realiz ´o un sencillo ejercicio de modelado directo de anomal´ıa magn ´etica, esto con la intenci ´on de calibrar el algoritmo construido y probar su funcionalidad. El modelo est ´a constituido por un arreglo bidimensional de20×20celdas id ´enticas de1m×1m. En el centro del modelo se encuentra un cuadrado delimitado desde7mhasta 13m tanto en direcci ´on vertical como horizontal y con un bloque centrado de5×5ma una profundidad de7m, centrado enx= 10m y con contraste de magnetizaci ´on de3A/m en comparaci ´on con el resto de las celdas exteriores. Para tratar el problema en dos dimensiones supusi-mos que cada uno de los prismas se extiende sim ´etricamente desde−100m hasta100m
en un aumento de campo magn ´etico, cuyo m ´aximo valor se presenta en la posici ´on del centro del cuerpo magnetizado.
Figura 8: Anomal´ıa magn ´etica producida por un bloque con magnetizaci ´on de3A/m.
3.2. C ´alculo de jacobianos
Dado que ya hemos desarrollado el esquema de inversi ´on conjunta, ahora es posi-ble identificar los elementos de inversi ´on independiente para cada tipo de dato que son requeridos por el esquema conjunto.
Para el caso magn ´etico, es necesario calcular el Jacobiano del campo magn ´etico ob-servado. Siendo el jacobiano la derivada de la funci ´on de modelado directo representada por la ecuaci ´on (66) con respecto a la magnetizaci ´onJ de cada una de los prismas (cel-das) del modelo, expl´ıcitamente el elemento(i, k)del jacobiano queda definido como:
Jik = ∂ ∂Jk
Ti = ∂ ∂Jk
N
X
j=1
aijJj
=
N
X
j=1
aij ∂Jj ∂Jk
=
N
X
j=1
aijδjk
=aik,
es decir,aij es el jacobiano de la funci ´on y es adem ´as el campo magn ´etico producido
por un prisma de magnetizaci ´on unitaria.
La figura 9 nos muestra la estructura que presenta la matriz N−1 del problema
con-junto una vez que se ha llenado la parte correspodiente al Jacobiano magn ´etico. En esta representacion a ´un se supone el jacobiano del caso s´ısmico como una identidad.
Figura 9: La matrizN−1donde la secci ´on correspondiente al jacobiano de los datos magn ´eticos ha
Cap´ıtulo 4.
Modelado directo y c ´alculo de jacobianos:
Caso s´ısmico
Una forma de onda s´ısmica contiene una gran cantidad de informaci ´on que, general-mente, pasa desapercibida bajo esquemas de procesado est ´andares; por tanto, la inver-si ´on de forma de onda procura incorporar toda la informaci ´on contenida en el campo de onda medido. En la presente secci ´on discutiremos la metodolog´ıa empleada en el mo-delado y la inversi ´on de forma de onda ac ´ustica, as´ı como su proceso de adaptaci ´on al esquema de inversi ´on.
4.1. Modelado directo de forma de onda ac ´ustica en el dominio de la frecuencia
Para nuestro desarrollo partimos de la ecuaci ´on de onda expresada en el dominio de la frecuencia (Moreiraet al., 2014), es decir, de la ecuaci ´on de Helmholtz, dada por:
∇2P +ω2
v2P =S, (69)
donde∇2 representa el operador Laplaciano,P es el campo de presi ´on en el dominio de la frecuencia,ωes la frecuencia angular,ves la velocidad de la onda P en el medio que es una funci ´on impl´ıcita de las coordenadas espaciales ySrepresenta la fuente s´ısmica. En el caso de un modelo y una fuente bidimensional, la ecuaci ´on anterior se puede escribir como:
∂2 ∂x2P +
∂2 ∂z2P +
ω2
v2P =S. (70)
Como en el caso magn ´etico, las coordeandas cartesianas est ´an definidas con el eje
x positivo apuntando en direcci ´on horizontal y el eje z positivo apuntando hacia abajo en direcci ´on vertical. La fuente que emplearemos es una fuente de presi ´on tipo Ricker expresada en el dominio de la frecuencia, est ´a definida como:
S = 2f
2
πf2 c
exp
−f
2
f2 c
dondef =ω/2π es la frecuencia yfces la frecuencia de m ´axima amplitud.
En la soluci ´on de esta ecuaci ´on en un medio finito requiere aplicar condiciones de frontera que permitan a las ondas viajeras salir del dominio del modelo sin generar re-flexiones espurias que se propaguen hacia el interior. Esto debido a que, eventualmente, estas perturbaciones se combinar ´an con las se ˜nales reales degradando la calidad de la respuesta predicha por el modelo.
Para minimizar estos efectos en el modelado s´ısmico, se puede extender el dominio retardando la llegada de las reflexiones espurias m ´as all ´a del tiempo de registro de la se ˜nal s´ısmica proveniente de la regi ´on de investigaci ´on. Sin embargo, esta t ´ecnica no puede ser aplicada al dominio de la frecuencia debido a que las reflexiones no pueden ser eliminadas con un simple ventaneo en tiempo.
Otra t ´ecnica para reducir el efecto de las reflexiones en los l´ımites del modelo es la t ´ecnica de condiciones de frontera absorbentes, la cual fue introducida por Clayton y Engquist (1977). El m ´etodo consiste en aplicar una onda que se propaga exclusivamen-te hacia el inexclusivamen-terior del dominio a partir de las fronexclusivamen-teras del medio. Clayton y Engquist (1977) proponen incorporar en los nodos de las paredes inferior, derecha e izquierda un esquema discreto basado en la ecuaci ´on:
∂P
∂n −i
ω
vP = 0, (72)
donde n es el vector perpendicular al l´ımite del dominio que apunta hacia afuera e i =
√
−1. Por otro lado, en la frontera superior se aplican condiciones de frontera de superficie libre:
P = 0. (73)
(figura 10), donde el factor de peso (a) ´optimo es escogido despu ´es de hacer un an ´alisis de dispersi ´on (Jo y Shin, 1996). El operador de Laplaciano se expresa de manera general como:
∇2P =a
∇2
(0)P + (1−a)∇
2
(45)P, (74)
y a su vez los operadores del Laplaciano tradicional (∇2(0)) y rotado∇2(45)son aproximados de manera discreta por diferencias finitas como:
∇2
(0)P
x=xm,z=zn =
Pm+1,n+Pm−1,n−4Pm,n+Pm,n+1+Pm,n−1
∆2 , (75)
y
∇2
(45)P
x=xm,z=zn =
Pm+1,n+1+Pm−1,n+1−4Pm,n+Pm+1,n−1+Pm−1,n−1
(√2∆)2 , (76)
donde∆ = ∆x = ∆z. Como reslutado de la ponderaci ´on propuesta P queda expresado como una combinaci ´on lineal de los puntos empleados como:
P|m,n =cPm,n+d(Pm+1,n+Pm−1,n+Pm,n+1+Pm,n−1)
+e(Pm+1,n+1+Pm+1,n−1+Pm−1,n+1+Pm−1,n−1),
(77)
con c+ 4d+ 4e = 1. Los valores num ´ericos de los par ´ametros (a, c, d, e) utilizados fue-ron aquellos que minimizaban la dispersi ´on y est ´an reportados (Jo y Shin, 1996). Estos valores sona= 0.5461,c= 0.6248yd= 0.09381.
(a) Estrella convencional de 5 puntos centrada.
(b) Estrella rotada de 5 puntos.
(c) Estrella de 9 puntos resultado de la convinaci ´on de (a) y (b).
aPm+1,n+Pm−1,n−4Pm,n+Pm,n+1+Pm,n−1 ∆2
+ (1−a)Pm+1,n+1+Pm−1,n+1−4Pm,n+Pm+1,n−1+Pm−1,n−1 (√2∆)2
+ω
2
v2 [(cPm,n) +d(Pm+1,n+Pm−1,n+Pm,n+1+Pm,n−1)
+(1−c−4d)
4 (Pm+1,n+1+Pm+1,n−1+Pm−1,n+1+Pm−1,n−1)
=Sm,n,
(78)
adem ´as, empleamos el est ´encil cl ´asico de 5 puntos (Fig. 10a) para discretizar las condi-ciones de frontera y la ecuaci ´on de Helmholtz en los nodos de la frontera.
Una vez que seleccionada una aproximaci ´on de la ecuaci ´on de onda discreta por di-ferencias finitas y especificado las condiciones de frontera pertinentes, estamos en con-diciones de construir el sistema de ecuaciones lineales que a la postre lleve a obtener el campo de presi ´on para determinada frecuencia. Como ya se ha mencionado, la ecuaci ´on de onda discreta puede ser representada por un sistema de ecuaciones lineales que a su vez se expresa de manera compacta en notaci ´on matricial como:
M P =F, (79)
donde M = M(ω, v) es equivalente al operador ∇2 + ωv22 y es conocida como la matriz
de impedancia cuyo llenado se especifica expl´ıcitamente en el Ap ´endice C,P =P(ω)es un vector que contiene el de campo de presi ´on en cada una de los nodos del dominio y
F = F(ω) es el vector que contiene la fuente en cada uno de los nodos del dominio. Si reacomodamos la ecuaci ´on en t ´erminos de la inversa de la matriz de impedancia se tiene que:
P =M−1F, (80)
Es importante considerar que existe cierta condici ´on de estabilidad en el modelado di-recto de forma de onda en el dominio de la frecuencia. Como se identifica en la ecuaci ´on (78) (vease tambi ´en Ap ´endice C), existen determinadas combinaciones entre frecuen-cia, espaciamiento y velocidad para las cuales la matriz de impedancia adopta un valor cercano a cero en uno o varios elementos de la diagonal y por tanto la soluci ´on no es confiable. Esto se da cuando:
v
ω =
r c
2(a+ 1)∆≈0.45∆, (81)
´o
v
ω ≈
1
2∆. (82)
En la figura 11 se confirma que las zonas se ˜naladas son problem ´aticas. Teniendo un espaciamento fijo (10m) en este caso, la gr ´afica resalta las zonas para las cuales una peque ˜na variaci ´on en velocidad modifica dr ´asticamente algun coeficiente de la diagonal ocasionando un error en el c ´alculo. Si consideramos los coeficientes de la diagonal (vease Ap ´endice C) para el est ´encil de 9 y 5 puntos y los denotamos comoN9
c yNc5
respectiva-mente, el mapa de diferencia porcentual ilustrado en la figura 11 se obtiene calculando:
∆Nc% =
N9
c (v, ω)−Nc9(v+ ∆v, ω) N9
c (v, ω)
+ N
5
c (v, ω)−Nc5(v+ ∆v, ω) N5
c (v, ω)
, (83)
v ω >
1
2∆, (84)
o bien
∆<2v
ω, (85)
de aqui concluimos que el m ´aximo valor que puede adoptar el espaciado∆se debe es-coger en funci ´on de la velocidad m´ınima del modelo y la frecuencia m ´axima para obtener resultados confiables.
Figura 11: Gr ´afica de valores de la diferencia porcentual de coeficientes de la diagonal de la matriz
de impedancia con variaci ´on de velocidad para diferentes combinaciones de velocidad y frecuencia.
4.1.1. Ejercicio de modelado directo
Una vez m ´as, paralelo a lo realizado en el caso magn ´etico, resulta importante poner a prueba el algoritmo de modelado de forma de onda ac ´ustica desarrollado. Para ello, simulamos la propagaci ´on de una onda a trav ´es de un medio homog ´eneo, que va de0a
(a) (b)
Figura 12: Fuente s´ısmica empleada tipo Ricker en el dominio del tiempo (a) y en el dominio de la frecuencia (b)