Ejercicios de Derivadas y Aplicaciones
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(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 7. (2018-M4;Sept-B-2) El beneficio, en miles de euros, que ha obtenido una almazara a lo largo de. ⎧− 0.04t 2 + 2.4t ⎪ 50 años viene dado por la expresión B(t ) = ⎨ 40t − 320 ⎪⎩ t donde t es el tiempo transcurrido.. 0 ≤ t < 40 40 ≤ t ≤ 50. a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función B (t ) en el intervalo. [0, 50] .. b) (1 punto) Estudie la monotonía de la función B (t ) y determine en qué momento fueron mayores los beneficios de la almazara, así como el beneficio máximo. c) (0.5 puntos) Represente la gráfica de la función y explique la evolución del beneficio.. x−5 ⎧ si ⎪ x−4 8. (2018-M5-A-2) Se considera la función f ( x ) = ⎨ ⎪ 2 ⎩− x + 7 x − 10 si. x<3. x≥3 a) (1.25 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f . b) (0.75 puntos) Calcule los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes de coordenadas. c) (0.5 puntos) Calcule las asíntotas de f , en caso de que existan.. 9. (2018-M5-B-2) a) (1.5 puntos) Calcule la derivada de las funciones. f ( x ) = e ⋅ (x − 5) 5x. 3. 2. (x + 1) g (x ) = ln (x + 2) 2. 3. 2. b) (1 punto) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función. h( x ) =. x + 10 , en el punto de abscisa x = 0. x+5. 10. (2018-M6-A-2) Los costes de producción de una empresa, en miles de euros, dependen de la cantidad de producto fabricada x , medida en toneladas, según la función 2 3 f ( x ) = 30 − 9 x + 6 x − x . La capacidad máxima de producción es de 2 toneladas. a) (1.25 puntos) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función de costes de la empresa. b) (0.75 puntos) Determine la cantidad que la empresa debe producir para minimizar los costes. ¿Cuál sería dicho coste mínimo? c) (0.5 puntos) ¿Con qué producción la empresa tiene unos costes de producción máximos?. ⎧ ax + 1 si x ≤ −1 ⎪ x 11. (2018-M6-B-2) Se considera la función f ( x ) = ⎨ si − 1 < x ≤ 0 ⎪ x2 + 2 x>0 ⎩ x − bx si a) (1.6 puntos) Calcule a y b para que la función sea continua y derivable en x = −1 y x = 0. 1 b) Para a = 2 y b = − estudie su monotonía. 2 12. (2017-M1;Sept-A-2) Sea la función f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx . a) (1 punto) Halle a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en el punto de abscisa x = −1 y un punto de inflexión en el punto de abscisa x = −2 . b) (1.5 puntos) Para a = 6 y b = 9 , halle los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y extremos y esboce la gráfica de la función. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque II: Análisis de Funciones Unidades 5, 6 y 7: Límites, Continuidad y Derivación.
(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 5 x − 16 y g (x ) = x 2 . x a) (1 punto) Determine la abscisa del punto donde se verifique que f ′( x ) = g ′( x ) .. 13. (2017-M1;Sept-B-2) Se consideran las siguientes funciones f ( x ) =. b) (1.5 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto de abscisa x = 2 y determine el punto de corte de ambas rectas tangentes, si existe.. ⎧ax − 3 x 2 14. (2017-M2-B-2) Se considera la función f ( x ) = ⎨ 2 ⎩ 2x + b. si. x ≤1. si. x >1. a) (1.5 puntos) Calcule los valores de a y b para que la función f sea derivable en x = 1 . b) (1 punto) Para a = 3 y b = −2 , estudie la monotonía y curvatura de la función f.. 15. (2017-M4-A-2) En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de exponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por. ⎧⎪ t 2 si 0 ≤ t ≤ 2 f (t ) = ⎨ 4 si t>2 ⎪⎩ t − 1 donde t es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la luz en el ojo. a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f. b) (1 punto) Represente gráficamente la función f, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que existan. c) (0.5 puntos) Determine en qué instante se obtiene la máxima contracción y su valor. 16. (2017-M5;Jun-A-2) Sea f (t ) el porcentaje de ocupación de un determinado complejo hotelero en función del tiempo t, medido en meses, transcurrido desde su inauguración:. ⎧ 5 2 ⎪− 2 t + 20t f (t ) = ⎨ 90t − 240 ⎪ ⎩ t+4 a) b) c) d). si 0 ≤ t ≤ 6 t >6. si. (0.5 puntos) ¿Evoluciona la función f de forma continua? (0.5 puntos) ¿Cuál sería el porcentaje de ocupación al finalizar el segundo año? (1 punto) ¿En qué momentos el porcentaje de ocupación sería del 40%? (0.5 puntos) ¿Llegaría en algún momento a estar completo en caso de que estuviese abierto indefinidamente?. 17. (2017-M5;Jun-B-2) a) (1.5 puntos) Calcule la derivada de las siguientes funciones. f (x ) =. e5 x − x x2 − x. (. ). (. g ( x ) = 2 x 2 − x ⋅ ln x 3 + 2 3. ). b) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h( x ) = en el punto de abscisa x = 1 .. 1 x. 18. (2017-M6-B-2) a) (1.5 puntos) Calcule los valores de los parámetros a y b para que la gráfica de la función f ( x ) = x 3 + ax 2 + b presente un extremo relativo en el punto (2, 6 ) . b) (1 punto) Para a = 1 y b = 1 , halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa x = 1 .. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque II: Análisis de Funciones Unidades 5, 6 y 7: Límites, Continuidad y Derivación.
(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 19. (2016-M1;Sept-A-2) De una función continua y derivable, f , se sabe que la gráfica de la. función derivada, f ′ , es una parábola que pasa por los puntos (− 1, 0 ) y (3, 0 ) y que tiene su. vértice en el punto (1, − 2) . a) (1.5 puntos) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f , así como la existencia de extremos. b) (1 punto) Si f (1) = 2 , encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1 . 20. (2016-M2-A-2) a) (1.2 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones:. (. )(. f (x ) = x 2 − 1 ⋅ 3x 3 + 5 x. ). g (x ) =. 3. ln (3x ) e2x. b) (0.7 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función. h( x ) =. 3x + 6 en el punto de abscisa x = 1 . 2x +1. c) (0.6 puntos) Determine, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de la función h( x ) . 21. (2016-M2-B-2) La función de costes de una fábrica, f ( x ) , en miles de euros, viene dada por la expresión:. f ( x ) = 2 x 2 − 36 x + 200,. donde x es la cantidad fabricada del producto, en miles de kilogramos. a) (0.8 puntos) Determine la cantidad a fabricar para minimizar el coste y calcule este coste mínimo. b) (0.8 puntos) A partir del signo de f ′(7 ) , ¿qué se puede decir del coste para una producción de siete mil kilogramos? c) (0.9 puntos) Dibuje la gráfica de la función de costes. ¿Para qué cantidad o cantidades fabricadas el coste es de 200000 €? 22. (2016-M3-B-2) Se considera la función f ( x ) =. 3x + 1 . x −1. a) (1 punto) Estudie la continuidad y derivabilidad. Calcule la función derivada. b) (0.8 puntos) Calcule las ecuaciones de sus asíntotas, en caso de que existan. c) (0.7 puntos) Halle los puntos de la gráfica de f donde la recta tangente sea tal que su pendiente valga -1.. ⎧1 2 ⎪ x + 1 si 23. (2016-M4-A-2) Sea la función f ( x ) = ⎨ a ⎪⎩ − x + a si. x≤2 x>2. ,. con a > 0 .. a) (1.3 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que la función sea continua en su dominio. En este caso, ¿sería derivable en su dominio? b) (1.2 puntos) Para el valor a = 4 , represente gráficamente la función y halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = −1 . 24. (2015-M2-B-2) Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:. 2 ⋅ (1 − 3x) 2 a) (0.9 puntos) f ( x ) = 1 + 3x 2 b) (0.8 puntos) g ( x ) = x − x + 1 ⋅ e 5 x c) (0.8 puntos) h( x ) = log x 2 + x + 1. (. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. (. ). ). 4. Bloque II: Análisis de Funciones Unidades 5, 6 y 7: Límites, Continuidad y Derivación.
(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 25. (2015-M3;Sept-B-2) Sea la función f ( x ) = x 3 − 9 x 2 + 8. a) (1.7 puntos) Halle las coordenadas de sus extremos relativos y de su punto de inflexión, si existen. b) (0.8 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1. 26. (2015-M4;Jun-A-2) a) (1.5 puntos) Calcule la derivada de cada una de las siguientes funciones:. f (x ) =. 3 ln ( x ) , x3. (. )(. ). g (x ) = 1 − x 2 ⋅ x 3 − 1 ,. b) (1 punto) Halle las asíntotas de la función p ( x ) =. h( x ) = 3 x 2 − 7 x +. 2. 1 . e2x. 7x . 3x − 12. ⎧x 2 + 2 ⎪ 27. (2015-M4;Jun-B-2) Se considera la función f ( x ) = ⎨ 8 x + a ⎪⎩ x − 1. si 0 ≤ x ≤ 2 x>2. si. a) (1 punto) Determine el valor de a para que la función sea continua. b) (0.75 puntos) ¿Para a = −10, es creciente la función en x = 3 ? c) (0.75 puntos) Halle sus asíntotas para a = −10. 28. (2014-M1-A-2) Sea la función f ( x ) = −2 x 3 + a ⋅ e − x + b ⋅ x − 1. a) (1.5 puntos) Halle los valores de a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en x = 0 y que la gráfica de la función pasa por el punto (0, 0 ) . b) (1 punto) Para a = 0 y b = 1, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = −1.. (. ) ( ). 29. (2014-M5-A-2) (2.5 puntos) Sean las funciones f ( x ) = 2 x − 1 ln x 2. 3. Determine el valor de f ′(− 1) y de g ′(0 ) . 30. (2013-M1-B-2) Sea la función f ( x) =. 4. 2. e −2 x + x y g (x ) = 2 . x +1. 1 3 1 2 x + x − 2 x + 3. 3 2. a) (1 punto) Determine sus máximos y mínimos relativos. b) (1 punto) Consideremos la función g ( x ) = f ′( x ) . Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g ( x ) , en el punto de abscisa x = 2.. c) (0.5 puntos) Dibuje la gráfica de g ( x ) y de la recta tangente calculada en b). 31. (2013-M2;Sept-A-2) En una empresa de montajes el número de montajes diarios realizados por un trabajador depende de los días trabajados según la función M (t ) =. 11t + 17 , t ≥ 1, donde t 2t + 12. es el número de días trabajados. a) (0.5 puntos) ¿Cuántos montajes realiza el primer día? ¿Cuántos días necesitará para realizar cinco montajes diarios? b) (0.75 puntos) ¿Qué ocurrirá con el número de montajes diarios si trabajara indefinidamente? c) (0.75 puntos) El dueño de la empresa cree que el número de montajes diarios aumenta con los días de trabajo. Estudiando la función, justifique si es cierta dicha creencia. d) (0.5 puntos) Dibuje la gráfica de la función.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. Bloque II: Análisis de Funciones Unidades 5, 6 y 7: Límites, Continuidad y Derivación.
(6) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. ⎧ x 2 − bx + 1 si x ≤ 2 32. (2013-M2;Sept-B-2) Sea la función f ( x) = ⎨ si x > 2 ⎩ 2x + a a) (1.5 puntos) Determine los valores de a y b para que dicha función sea continua en x = 2 y, además, tenga un mínimo en x = 1. b) (1 punto) Para a = 2 y b = 6, determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = −2. 33. (2013-M4-A-2) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) (0.75 puntos). (x f ( x) =. ). 3. −5 . 3 − x2 2. (. ). 2. b) (0.75 puntos) g ( x) = e 7 x ⋅ x − 5 x 2 . c) (1 punto) h( x) =. (. ). x ⋅ ln 1 − x 2 . x−3. 34. (2013-M6;Jun-A-2) Los beneficios de una empresa en sus primeros 8 años vienen dados, en millones de euros, por la función. B(t ) =. t3 − 3t 2 + 9t , 4. 0≤t ≤8. donde la variable t indica el tiempo transcurrido, en años, desde su fundación. a) (1.5 puntos) Estudie la monotonía y los extremos de B (t ).. b) (1 punto) Dibuje la gráfica de B (t ) en el intervalo [0, 8] y explique, a partir de ella, la evolución de los beneficios de esta empresa en sus 8 años de existencia.. 35. (2012-M1-B-2) a) (1.25 puntos) Dada la función f ( x) = 2 x 2 + ax + b , determine los valores de a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en x = −2. b) (1.25 puntos) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g ( x) = 3 x 2 − 2 x + 1 , en el punto de abscisa x = 1. 36. (2012-M2-A-2) Se considera la función f ( x) = 1 −. 2 . x+2. a) (0.8 puntos) Determine la monotonía y curvatura de la función. b) (0.8 puntos) Calcule sus asíntotas. c) (0.9 puntos) Represéntela gráficamente. 37. (2012-M3;Sept-B-2) En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en km 2 , viene dada por la función f (t ) =. 11t + 20 , siendo t el tiempo t+2. transcurrido desde que empezamos a observarla. a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la superficie afectada inicialmente, cuando empezamos a medirla? b) (1.25 puntos) Estudie si la mancha crece o decrece con el tiempo. c) (0.75 puntos) ¿Tiene algún límite la extensión de la superficie de la mancha? 38. (2012-M6-A-2) Sean dos funciones, f y g, tales que las expresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente, f ´(x) = x + 2 y g´(x) = 2. a) (1 punto) Estudie la monotonía de las funciones f y g. b) (0.75 puntos) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula. c) (0.75 puntos) ¿Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? ¿Por qué? Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. Bloque II: Análisis de Funciones Unidades 5, 6 y 7: Límites, Continuidad y Derivación.
(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 39. (2012-M6-B-2) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) (0.8 puntos) f ( x) = e 3 x ⋅ ln(2 x − 5).. 32 x . x2 −1 c) (0.9 puntos) h( x) = (3 x 2 + 5 x − 1) 6 + x 2 − ln x. b) (0.8 puntos) g ( x) =. 40. (2009-M2;Sept-A-2) La función derivada de una función f viene dada por f ′( x ) = 3 x 2 − 12 x + 9. a) (1.5 puntos) Obtenga los intervalos de monotonía de la función f y los valores de x en los que dicha función alcanza sus extremos locales. b) (0.75 puntos) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función f . c) (0.75 puntos) Sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (2,5) , calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto.. 41. (2008-M1-A-2) Sea la función f definida mediante f ( x ) = a) b) c) d). x +1 . 2x −1. (0.5 puntos) Determine los puntos de corte con los ejes. (1 punto) Estudie su curvatura. (1 punto) Determine sus asíntotas. (0.5 puntos) Represente la función.. ⎧ x 2 + 4 si. x ≤1. ⎩ax + b. x >1. 42. (2008-M5-B-2) Sea la función f ( x ) = ⎨. si. a) (2 puntos) Calcule a y b, sabiendo que f (2 ) = 7 y que f es continua en x = 1. b) (1 punto) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = −1. 43. (2008-M6-B-2) b) (1.5 puntos) Sea la función g ( x ) = x 3 + ax 2 + b. Calcule a y b sabiendo que su gráfica presenta un punto de inflexión en el punto (2,5).. 44. (2007-M1-B-2) a) (1.5 puntos) Determine dónde se alcanza el mínimo de la función f ( x ) = 3 x 2 − 6 x + a . Calcule el valor de a para que el valor mínimo de la función sea 5 . b) (1.5 puntos) Calcule g ′(3) , siendo g ( x ) = 2 x ⋅ e 3 x −1 . 45. (2007-M2;Jun-A-2) Para la función f : ℜ → ℜ definida por f ( x ) = 8 x 3 − 84x 2 + 240x , determine: a) (1.5 puntos) Su monotonía y sus extremos relativos. b) (1.5 puntos) Su curvatura y su punto de inflexión. 46. (2007-M2;Jun-B-2) a) (2 puntos) Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f ( x ) = ax 2 − b en el punto (1,5) sea la recta y = 3x + 2 . b) (1 punto) Para g ( x ) = e1− x + Ln ( x + 2 ) , calcule g ′(1) .. 47. (2006-M6-B-2) a) (1.5 puntos) De una función f se sabe que la gráfica de su función derivada, f ′ , es la recta de ecuación y = −2 x + 4 . Estudie razonadamente la monotonía de f , a la vista de la gráfica de la derivada.. 4x − 4 , calcule la ecuación de la recta tangente a x+4 su gráfica en el punto de abscisa x = 0 .. b) (1.5 puntos) Dada la función g ( x ) =. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 7. Bloque II: Análisis de Funciones Unidades 5, 6 y 7: Límites, Continuidad y Derivación.
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